C, H *N, j) N, -- 3 -> | D *ºinssº o L &# Zeeele aa . -ée ! ºé ce A en Zee A 42A) fe-&^ ^c fºpenx a fées cºu^ o va a cº éé o « aeonai A a o c elépe «ole-vCčca Cts b } UNlVERSITY OF MICHIGAN tº |||||||||||||||| 3 9O15 O8459 0614 " " v Y 559 . T S PRÉSENTÉES A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS POUR OBTENIR LE GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES, PAR M. S. DAUTHIEVILLE, Ancien élève de l'Ecole Normale, Maitre de Conférences à la Faculté des Sciences de Montpellier. 1" THESE. — ETUDE sUR LEs sÉRIEs ENTIÈREs PAR RAPPoRT A PLUsiEURs vARIABLEs IMAGINAIRES INDÉPENDANTES. 2° THESE. — PRoPosITIoNs DoNNÉEs PAR LA FACULTÉ. Soutenues le 7 juillet 1885, devant la Commission d'Examen. MM. HERMITE, Président. DARBOUX, PICARD, | Examinateurs, - PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L' ÉCOLE POLYTECHNIQU E, SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER , Quai des Augustins, 55. 1885 ACADÉMIE DE PARIS. FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - I-R-0E"E55EUR - H0N0R-AIR-E. , , , . PR.0E"E55EUR-S. , , , , , , , , , , , , , , , , , , . - CHARGÉs DE coURs....... - - - - - - AGRÉGÉs.......................... sECRÉTAIRE - - - - - - - - - - - - - - - PARIS. - IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARs, sUCCESSEUR 1o988 MM. MILNE EDWARDS, Professeur. Zoologie, Anatomie, Phy- siologie comparée. PASTEUR. P. DESAINS............. Physique. HEBERT. ... .. .. .. ... ... . Géologie. DUCHARTRE. .. ... .. ... . Botanique. JAMIN. .................. Physique. DE LACAZE-DUTHIERS. Zoologie, Anatomie, Physio- logie comparée. BERT. ... .. ... .. .. .. .. .. Physiologie. HERMITE ... ... .. .. .. .. . Algèbre supérieure. BOUQUET.. .. .. .. .. .. .. . Calcul différentiel et Calcul in- tégral. TROOST. .... ... ... ... .. Chimie. FRIEDEL. .. ... ... ... ... . Chimie organique. O. BONNET. .. .. ... .. ... Astronomie. DARBOUX. ... ........... Géométrie supérieure. DEBRAY... ... .. ... ... .. . Chimie. TISSERAND.. .. .. ... .. , . Astronomie. LIPPMANN ... .. .. , ... .. .. Calcul des probabilités, Phy- sique mathématique. HAUTEFEUILLE... ... .. . Minéralogie. APPELL ................. Mécanique rationnelle. POINCARÉ.............. Mécanique physique et expé- rimentale. BERTRAND. ... ... .. , ... . l Sciences mathématiques J. VIEILLE. ..... .. .. .. , . \ - PELIGOT. ... , ........ ... Sciences physiques. PHILIPPON. DE MALLET-BACHELIER, Quai des Augustins, 55. A M. G. DARBOUX, MEMBRE DE L'INsTITUT. llommage très respectueux, S. DAUTHEVILLE. PREMIÈRE THÈSE. ÉTUDE -1 | LES SÉRIES ENTIÈR ES - -- A PLUSIEURS VARIABLES IMAGINAIRES INDEPENDANTES. INTR0D U CTI0N. On connait les travaux récents de M. Weierstrass sur les fonctions analytiques uniformes de variables imaginaires. Dans le cas de plu- sieurs variables indépendantes, on fait un fréquent usage des séries ordonnées suivant les puissances entières, positives et croissantes des variables. Il m'a paru qu'il ne serait pas sans utilité de réunir les pro- priétés les plus importantes de ces séries, en les démontrant d'une manière rigoureuse, et de montrer par quelques théorèmes le profit qu'on peut en tirer pour la théorie des fonctions de plusieurs variables. C'est là le but de ce travail. Un premier Chapitre est consacré aux définitions et à la démonstra tion de quelques théorèmes préliminaires. Dans le second Chapitre, on démontre qu'une série qui s'annule pour l'origine des coordonnées peut être mise, dans un domaine conve- nablement choisi de ce point, sous forme d'un produit de deux fac- teurs dont l'un est une série qui ne s'annule en aucun point du domaine, 4 S. DAUTHEVILLE. et l'autre un polynôme entier relativement à l'une des variables. Ce théorème, dû à M. Weierstrass, sera d'un usage fréquent dans la suite. Nous en avons déduit la démonstration de plusieurs conséquences, relatives aux zéros d'une série et aux zéros communs à deux séries. La divisibilité des séries fait l'objet de la troisième Partie. So et S, représentant deux séries, si l'on peut fixer un domaine de l'origine dans lequel on ait S, = S,S,, S, étant une nouvelle série, M. Weier- strass dit que S, est divisible par S,. Je donne, d'après ce géomètre, les conditions pour qu'une série soit divisible par une autre, et les conditions pour que deux séries admettent des diviseurs communs. Lorsque deux séries admettent des diviseurs communs, on peut former une troisième série qui possède, relativement aux deux premières, des propriétés tout à fait analogues aux propriétés du plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers. J'ai insisté sur l'analogie qui existe entre les théorèmes relatifs à la divisibilité des polynômes et . ceux qui se rapportent à la divisibilité des séries. Je donne, à ce pro- pos, quelques théorèmes que je crois nouveaux; en particulier ceux qui permettent de définir le plus petit multiple commun de deux séries. Dans la quatrième Partie, les propriétés des séries sont appliquées à l'étude des points singuliers des fonctions uniformes de plusieurs ariables imaginaires indépendantes. A ce sujet, pour citer un exemple, je démontre un théorème que l'on peut considérer comme une généra- lisation d'un théorème de M. Mittag-Leffler sur les fonctions d'une seule variable. En se plaçant à un point de vue différent, M. Appell a indi- qué (') une autre généralisation du même théorème. Je termine en prouvant que toute fonction dépourvue de points singuliers essentiels est une fraction rationnelle. Ce théorème, qui n'est pas sans impor- tance, a été énoncé par M. Weierstrass. Je ne crois pas qu'on en ait encore donné une démonstration complète. Je dois ajouter que j'ai pris les premiers éléments de mon travail dans une Note communiquée par M. Weierstrass à la Société mathé- matique de Berlin : Einige aufdie Theorie der analytischen Functionen - (') ſeta mathematica, t. II, Cahier I, p 71, et t. IV, Cahier IV, p. 326. ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈREs, ETC. | - - mehrerer veränderlichen sich beziehende Sätze, susammengestellt und dem mathematischen Verein zu Berlin zur Veröffentlichung übergeben von Professor D C. Weierstrass ('). Définitions. Soient :,, sa, ..., sa, n variables imaginaires indépendantes. Nous les représenterons géométriquement sur des plans différents. Si a,, a , ..., a, sont n valeurs attribuées respectivement à chacune de ces variables, on dit que ce système de valeurs constitue un point, et l'on appelle ce point le point a. - Sur le plan où est figurée la variable z, imaginons une aire A,, sur le plan de z, une aire A2, etc., et enfin sur le plan de z, une aire A,. On considère l'ensemble de ces aires A , Aa, ..., An comme formant l'aire A. On dit qu'un point est pris dans l'aire A lorsqu'il est formé par un système de valeurs a,, a2, ..., an, respectivement représentées géométriquement par des points situés, le premier dans l'aire A,, le second dans l'aire A2, etc., le dernier dans l'aire A,. On nomme, en particulier, domaine ô du point a l'aire formée par les cercles décrits sur le plan de chacune des variables avec les rayons ô,, ô2 , ..., ô, et avec les centres respectifs a, , aa, ..., a,. Cette définition peut se remplacer par la suivante. Désignons par le symbole | 51 - (11 | le module de l'expression imaginaire z, - a,. Alors, pour tout point du domaine ô du point a, on a la relation | -- a | < à, (i = 1, 2, , , ., n); et, réciproquement, tout point vérifiant cette relation appartient au domaine d du point a. (1) Autogr. Druck von H.-S. Hermann in Berlin, S. W. Beuthstrasse, 8, (, S. DAUTIIEVILLE. Si l'un des points a, est situé à l'infini, ap par exemple, on rempla- cera dans la définition précédente l'expression | z, — a, par #r /(z,, za, ..., z,) étant une fonction des variables z, on appelle va- leur de cette fonction au point a la valeur que prend f(s,, z,. ..., za) lorsqu'on attribue respectivement aux variables z,, z2, ..., z, les va- leurs a,, a,. .. ., a,. Si la fonction f(z,, za, ..., z,) est uniforme dans l'aire A, et si, en outre, pour chaque point de cette aire la fonction est continue et admet une dérivée partielle par rapport à chacune des va- riables z, on dit que f(z,, z2 , ..., z,) est holomorphe dans l'aire A. Nous considérerons, dans la suite, des séries dans les termes des- quelles les variables z ne figureront qu'à des puissances entières et positives. Il importe d'indiquer dans quel ordre seront rangés les termes. Désignons par P, le polynôme, homogène et du degré n, formé par les termes du n" degré par rapport à toutes les variables. Nous ordonnons P, par rapport aux puissances décroissantes de z,. Les coef- ficients de ce polynôme sont des polynômes homogènes en z2, s,, ..., s,. Soit Q l'un d'eux. Nous ordonnons Q par rapport aux puissances dé- croissantes de z,. Les coefficients des puissances de sa dans le poly- nôme Q écrit de cette façon sont des polynômes en za, ..., s,. Nous ordonnons chacun d'eux suivant les puissances décroissantes de z,, et ainsi de suite. Nous écrirons alors les termes de la série dans l'ordre suivant : P + P + P2 + . .. + Pn . . .. Pour abréger le langage, nous nommerons une telle série une série en- tuère en z, sa, ..., : Une série entière sera représentée par le symbole - ' - '- - - Av,,v, · · · - sºsº - - - sº, ' ' ' - 0 les A étant des constantes. THÉoRÈME I. Etant donnée une série entière en z,, s,, ..., s,, si les modules des termes sont tous finis pour les valeurs des variables qui véri- fient les relations | s | = r (i = 1, 2, ... , n), ÉTUDE SUR LES SÉRIEs ENTIÈREs, ETC. 7 la série sera convergente pour tout système de valeurs telles que l'on ait | s, | < r (i = 1, 2, ..., n). Soit la série "- '- '- - Av, . " , ' - . - 0 Prenons des valeurs positives r,, ... , r,, telles que l'on ai r < r (i = 1, 2, ... ., n), et écrivons les progressions géométriques décroissantes · · - - •' , \ 2 •' ' . ( 1 ) | # (#) (#) . /'! " | ri Formons la série -- (#) (2) /'! dont les termes sont rangés dans l'ordre suivant lequel on écrirait ceux - - - - - /- r" " , - d'une série entière en # # Cette série est convergente. Pour le 1 - prouver, il suffit de montrer que la somme de tous les termes dont le - - - /'1 - - d - - | - dépass s le nombre entie egre par rapport aux quotients ， ne depasse pas le nombre enner p reste finie quand p croît indéfiniment. Désignons cette somme par >, et appelons S,', ..., Sº les sommes analogues pour chacune des sé- ries (1). On a », < S, S,º. .. Sº. 8 S, DAUTHEVILLE. Or les séries (1) sont convergentes. Le produit S, S# ... S, reste donc fini lorsque p croît indéfiniment, et par suite il en est de même pour >,. Cela posé, soit a,... le module de A,..... Les quantités (/v, ..., v, r, r, ... r% (v1, ..., vn = o, ... , x ) étant finies, si nous multiplions respectivement par chacune d'elles les termes correspondants de la série (2), nous obtiendrons une série con- vergente. Cette nouvelle série est précisément formée par les modules des termes de la série donnée. La série donnée est donc convergente pour tout système de valeurs des variables vérifiant les relations | z | < r (i = 1, 2, ... ., n). Remarque. - La série (2), dont les termes sont positifs, reste con- vergente quel que soit l'ordre dans lequel on dispose ses termes. Il en résulte que, sil'on écrit dans un autre ordre les termes de la série donnée, on obtient encore une série convergente. Ayant, en effet, choisi une dis- position des termes pour la série considérée, écrivons les termes de (2) de manière que les termes Av,... sº. .. s# et (#) . (#)º occupent "1 - - - - - V, r, ' le même rang dans les deux séries. La nouvelle série ) 7, ] ' ' \ 7 . | "n étant convergente, nous démontrerons, en raisonnant comme plus haut, que les modules des termes de la nouvelle série XA,... z ... z# for- ment une suite convergente. La série considérée est donc elle-même convergente. Il importe d'observer que, pour le point considéré, non seulement la série converge, mais aussi la série formée par les modules des termes. Cercle de convergence. — Supposons que, pour le point a, les modules des termes d'une série entière soient tous finis. Sur le plan de chaque variable décrivons un cercle ayant l'origine pour centre et passant au point correspondant a,. Nous avons ainsi une aire A telle que pour cha- cun de ses points la série est absolument convergente ainsi que la série des modules. Nous nommerons une telle aire un cercle de convergence. De là résulte encore une conséquence importante. Une série entière peut renfermer une infinité de termes dans lesquels la variable z, figure ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 9 à la puissance p. Ces termes forment eux-mêmes une série convergente, puisque la série des modules est convergente. Par suite, pour tout point du cercle de convergence, une série entière peut s'écrire Pº + P1 s + Pa s# + . .. , les P désignant des séries entières par rapport aux autres variables z, séries qui admettent toutes pour cercle de convergence celui de la série donnée. THÉoRÈME II. - Une série entière en z,, ..., z,, ayant A pour cercle de convergence, est une fonction holomorphe des variables z dans l'aire A. En effet, si l'on attribue à n - 1 des variables des valeurs choisies arbitrairement dans A, la série devient une fonction de la n" variable, et l'on sait que cette fonction est holomorphe dans la portion de A cor- respondant à cette variable. Dès lors, il est clair que la série est holo- morphe par rapport aux variables z, THÉoRÈME III. — /(z,, z2, ..., z,) désignant une fonction des varia- bles z qui est holomorphe dans une aire A formée de cercles ayant les di- verses origines pour centres, on peut former une série entière ' - - - - -'- N Av,, .... », cº - - < ", - V , ºn - 0 admettant A pour cercle de convergence et telle qu'on ait pour tout point de A " , -- /(s1, 52, .. ., sn) - Av,,...,v, z . .. zºº ('). ", , ''a - ) THÉoRÈME IV. — Deux fonctions holomorphes dans une aire A, qui prennent la même valeur en chaque point d'une aire z comprise dans A, prennent la même valeur en chaque point de A. Soient les fonctions F(z,, z,, ..., z,) et /(z,, za, ..., z,). Posons F(z1, 52, . . , , zn ) - f(z1, z2, - - , , zn) - º(c1, -2, , , , , zn). (!) Voir Theorie des Fonctions elliptiques, par MM. Briot et Bouquet, 2° édition, p. 166, D. 2 I () S, DAUTHEVILLE. p est une fonction holomorphe dans A. Soient ba, ba, ..., b, des valeurs prises arbitrairement dans za, za, ..., z,. La fonction p(z,, b,, ..., b,) est holomorphe dans A, et s'annule en tous les points de z, qui est comprise dans A. La fonction ， s'annule donc si l'on attribue à z, une valeur quelconque dans l'aire A, et à z,, . ., z, des valeurs prises res- pectivement dans za, ..., za. Considérons maintenant p(c,, z2, ba, ..., ba), où c, désigne une valeur prise arbitrairement dans A,, ba, ..., b, ayant la même signification que plus haut. On a une fonction de sa qui est holomorphe dans A2 et nulle pour tout point de x2. Cette fonction est donc nulle dans A,. C'est-à-dire que la fonction ， s'annule si l'on attri- bue à z, une valeur prise arbitrairement dans A,, à z, une valeur prise arbitrairement dans A,, à za, ..., z, des valeurs arbitraires choisies dans za, ..., z,. On verra de même que, si l'on prend arbitrairement z,, za, z, dans A,, A2, Aa, p est encore nulle, et ainsi de suite. Le théo- rème est donc démontré. On peut observer qu'une série entière étant holomorphe dans l'aire où elle est convergente, si deux séries prennent la même valeur en tous les points d'un domaine compris dans l'aire de convergence, elles pren- dront la même valeur en tout point de cette aire. Sur les séries entières qui s'annulent à l'origine. Soit S(z,, sa, ..., s,) une série entière en z,, sa, ..., z,, convergente dans l'aire A, et qui s'annule à l'origine. On peut former un domaine ô de l'origine dans lequel il y a un nombre infini de points pour lesquels S = o. De plus, si l'on se donne arbitrairement, dans le domaine ô, les valeurs de n - 1 des variables s, les valeurs de la n" qu'il faut leur joindre pour obtenir un zéro de la série sont fournies par une équation algébrique. Ces résultats sont la conséquence d'un théorème fonda- mental dû à M. Weierstrass et relatif à une forme particulière qu'on peut donner à la série S dans un domaine de l'origine, Nous établirons d'abord un théorème préliminaire. THÉoRÈME V. - Soit S(s,, sa, ..., z,) une série entière en z, , , .., s,, ayant A pour cercle de convergence et qui s'annule à l'origine. S ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. | | S(s,, o, ..., o) n'est pas nulle pour toute valeur de z,, on peut déterminer trois nombres positifs go, o,, p, po étant inférieur à º, tels que pour tout système de valeurs des variables qui vérifie les relations ºo < | s | < 2, | z | < º (i - 2,3, , , , , n) on ait identiquement 0S ds, "- - - - | S | - m s1 ' + # ( s ) + N 9 (s , sa, , , sa) s . - - m designe le plus petit exposant de s, dans la série entière S(z,, o, ..., o); les nombres y sont des entiers ; g(z,) est une série entière en z, convergente pour les valeurs telles que 2o < | z | < º ; - enfin les 9 sont des séries entières en z,, ..., s,, qui admettent p, pour cercle de convergence et s'annulent toutes à l'origine, 9 , étant identi- quement nulle. La série S est absolument convergente dans A. Si on l'ordonne par rapport aux puissances croissantes de s, on obtient une nouvelle série convergente, dans laquelle les coefficients des diverses puissances de s, seront eux-mêmes des séries entières convergentes par rapport à z2, ..., =,. Prenons dans cet ordre les termes de la série S. Représentons par So(z,) la série obtenue en annulant dans la précédente les variables s2, . .. , sn, et posons - So(si) - S1(s1, s . .. , sn) = S (s1, s . , sn). So est une fonction de z, qui est holomorphe dans A et s'annule pour z, = o. Nous pouvons tracer de l'origine comme centre, dans l'aire A, deux cercles de rayons ， et ºo (ºo < º), de manière que So soit diffé- rente de o pour tous les points compris entre ces deux cercles. S, est aussi une fonction holomorphe des variables z,, ..., zn dans le cercle de convergence. Si l'on prend z2 = za = ... = zn = o, S, s'annule quelle que soit la valeur attribuée à z,. Des lors, S, ne contient aucun terme indépendant des variables z2, ..., zn. Il en résulte qu'on peu prendre un nouveau nombre positif º,, tel que, pour les valeurs qui satisfont aux inégalités | : | < 21 (t = 2, 3, ..., n), | 2 S. DAUTHEVILLE. on ait | S, | < | S,|, l'aire formée par les cercles º, étant comprise dans A. Considérons un système quelconque de valeurs pour :,, z, ..., zn vérifiant les inéga- lités précédentes. On a | | | S, S# ! 1 S# s S,- s, s, Si ST s,T s, s# S, Comme | | s < 1, le dernier terme tend vers o quand n croît indéfini- ment, et l'on peut écrire ) -- | y S# - S | -- S) ! / - On a donc 0S ) = 0 ou bien si . ds -| | | " 0s N ' " 0s S S, Sº" | S. · - ) -1 ) - 1 |! Mais s - º$ s ººº - " dsl " dsi 1 d Sº S) ) 1 - , ,) - c) ? S S +1 ) ds, S， - - - º S，- v \ S. , S. et, comme les trois séries N s, - 1 X 1 0 S - - Sº ont convergentes, -, ) 1 - 1 - º puisque $ < 1 et puisque S, zé o, on peut écrire • " - S . dS, - s , dSi - X # X sº X # ($) . - Sºº S$ - } ds \S - - . / - 1 et l'on a ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈREs, ETC. 13 - - - : | S - ). - - - - - Mais la série N (，) , étant elle-même une série entière, est absolu- - - ) - 1 ment convergente. On peut la considérer comme une série entière en z,, et l'on a ) ! ) . - 0 S 0- (751 · ds, 0 - | (1) # # # Y ( ) - 1 La fonction So est une série entière en z,. Soit ) - $ | S So(s1) - A s" + B s"" + . .. , A, B, ... étant des constantes et A étant différent de o. On a S, * | S = )'s S,/ \ A B = T / ** ' - -, " . - - - - - La fraction ( ) constitue une fonction des variables z qui vIB I est nulle au point zéro et qui est holomorphe pour les valeurs considé- rées, puisqu'elle est le quotient de deux fonctions holomorphes, le diviseur n'étant pas nul. Cette fraction est développable en série en- tière, et l'on peut imaginer cette série ordonnée suivant les puissances croissantes de z,. Soit donc - - S, \? ># - (2) ($) · 9 g (sa, sa, ... , sa)s1"", • ") [1 - 0 les 9 étant des séries entières en z . ..., z, toutes convergentes pour les valeurs considérées. Remarquons que ces séries ne contiennent pas de termes indépendants de za, ..., za, d'après la remarque faite plus haut que S, ne contient pas de terme indépendant de ces variables Imaginons maintenant les différentes séries représentées par la for- mule (2) lorsqu'on attribue à ) les valeurs , ..., c. Écrivons ces sé- ries les unes sous les autres en plaçant sur une même colonne verticale les termes qui renferment z, à la même puissance. Nous obtenons ainsi une série à double entrée. D'après ce qui a été dit plus haut, cette série converge quand oſſ prend les termes par lignes horizontales. Par suite, d'après les propriétés des séries à double entrée, les colonnes verticales l | S. DAUTIIEVILLE. - forment autant de séries convergentes, et la somme de ces nouvelles séries est la valeur de la série à double entrée. z, figurant à la même puissance dans tous les termes d'une même colonne, on peut écrire - - - - | S, ). - - - - - - ( -- - - - - - . ( 3) > 2, ( ) Y % (s- , sa)s ! -- 1 -- - où les 9 sont des séries entières en za, ..., z,, toutes convergentes dans l'aire considérée. De plus, les termes de ces séries s'annulent tous pour z = z, = ... = z, = o, puisque cela arrivait pour les séries ， de la formule (2). Mais l'hypothèse So = Az + Bz"'+ .. donne 0S //l -- | º o A + - B : -- . . ds m : ! | //l S, - 1 A + B s1 -- ... . La fraction est une fonction holomorphe de z,, qui se réduit à l'unité pour z, = o. On peut la représenter par 1 + g(z,), où g désigne une série entière en z,, sans terme constant. On peut donc écrire 0So ds1 · -- 1 - 5 - - ms ' + g (s1), So 1 g(z, ) étant une série entière en s,, convergente dans l'aire considérée. On a alors, à cause des formules (1), (2) et (3), dS - - ds1 · d -\ - | S - m s ' + º ( s )- ds, ) 9 ,(s , , , sa)s , , -- relation qu'on peut écrire 0S ds, N $ (751 - - ºs = m s ' s(s)+ ) 9 v(s , , , sa)s, "- - ( Il posant - - d - - l- | )s, Y 9 ,(ss, ... , sa)s - N -1, ,- - · - 9,(s . .. sa)s,. ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. | - . Remarquons que le second membre ne contiendra pas de terme en z,', c'est-à-dire que 9 , est identiquement nulle. On a donc la relation qu'il fallait établir. THÉoRÈME VI. - S désignant une serie entière en z,. ..., z,, ad- mettant A pour cercle de convergence, nulle à l'origine, et telle que S(s,, o, ..., o) ne soit pas nulle pour toute valeur de z,, on peut fixer un nombre positif ô(à s A) tel qu'on ait, pour chaque point du domaine à de l'origine, S - PS'. S désigne une serie entière en z,, . ., za, convergente dans à et qui ne s'annule en aucun point de ce domaine. | P est un polynôme entier par rapport à la variable s,; son degré est le plus faible exposant de s, dans S(z,, o, ..., o), et ses coefficients sont des séries entières par rapport aux autres variables, séries qui convergent dans à et s'annulent à l'origine. Posons, comme dans le théorème précédent, So( s ) - S(s1, o, ... ., o), (s, , , ., s,) - So S ( - ) S ( - , , sn), et prenons les nombres p, po, º,, comme il a été expliqué plus haut. Pour tout système de valeurs des variables vérifiant les inégalités 2o < | < | < 2 | z | < a, (i - 2, , , , n), 0 Il :ll1I':l ds - - (/ . - . -" ( 1 ) # me geo X . - les notations conservant le même sens. Attribuons à za, ... , z, des va- leurs arbitraires dans les limites considérées. S devient une fonction de z,, holomorphe dans le cercle º. Dans ce cercle, il y a des points où S 0S - - - - - 0: - s'annule. Car, si cela n'avait pas lieu, le quotient s serait holo- morphe et pourrait être développé en série entière en z, : cette série devrait présenter les mêmes termes que le second membre de la for- mule (1): or, dans ce second membre, figure le terme mz7', et l'on sait 16 S. DAUTHEVILLE. - que ni (s,) ni N 9.(s zn)z, ontiennent de terme en z ! | 3 ( 5 2L'º * · · · · ºº • 1 I10 (º Il 10 I1I10 (10 C. • - "-- Cela posé, S étant une fonction holomorphe de z,, ses racines sont en nombre limité, et chacune est d'un degré entier et fini. Soient a,, a , ..., ap ces racines, chacune d'elles étant répétée autant de fois que l'indique son degré. La somme 0 0 - | - - · - (2) -, 51 - ſ11 51 - ſt2 s1 - ap est finie, pour les valeurs considérées de z,. Ceci est évident pour les valeurs différentes des racines. Considérons la valeur a,. On a S (s1) = (s1 - a1)" ! (s1), q étant un nombre entier positif, et l une fonction holomorphe de z,, différente de o pour z, = a,. Dès lors, os , dy ds1 = % -- º, S -51 - ſt ! ' 0S d ! ds, | | ds, | | - - - - . - - - - _ - - - , . • - - - 51 - 01 s1 - ap |! 51 - ºr s - ap a,, ... ., a, étant les racines différentes de a,, et il est évident que le second membre prend une valeur finie pour z, = a,. La somme (2) peut donc être développée en série entière en s,, R (z,). Donnons à s, des valeurs telles que 2 > | s, | > | a, | (i = 1, ..., p) et | s | > 0o ; on aura, pour l'une quelconque de ces valeurs, ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 17 - - - | - - Mais, puisque | s,l>la,l, on peut développer ， en série conver- -1 - rr 1 gente | -- + a1 # + a#-, + · · · + aº - i + . - - 1 1 | - - | - - et de même pour les quotients - ，- , -- Si l'on pose alors -1 · - - 1 - Tº Qo = p, Q, = (a,)" + ... + (a,)", () Il : 111 l'.l dS - - - (3) d# Reo X ». sI " '. -, -) Le quotient # étant une fonction holomorphe de z, dans l'aire com- prise entre les deux cercles ºo et p, qui ont l'origine pour centre, le théorème de Laurent fait voir que les coefficients des mêmes puis- sances de z, dans les seconds membres des relations (1) et (3) doivent être égaux. Égalant les coefficients des puissances négatives de z,, on : l1I':1 Qo - m, Q, - 9 a, (4) " . .. • • • • • • . - Q. - 9 -1 , ce qui montre que les sommes Q peuvent se calculer au moyen des coef- ficients des séries 9, c'est-à-dire au moyen des coefficients de S. On peut maintenant écrire la relation (1) 0S ds1 - - - -'/ - 1 - - - - - - = g (s1) + 9,(s, , , ., sn) z + m s, -- 9-v(sa, • - za) z, -0 " 0 ou encore, d'après (4), 0S 03 ^ - ^ | S = seo ) .)--)9.ºº • -0 -0- - 18 S. DAUTIIEVILLE. Puisque Qo = m, on a aussi p = m. Posons P(z1) = ( z1 - a,) . .. ( z1 - am) = s" + P1 s" " + . .. + Pm. Les coefficients de P s'expriment en fonction des sommes Q au moyen des formules de Newton P1 - — Q1, 2 P2 -- Q. - Q1 P1, m Pm -- Qm - . - , - Q1 Pm . On voit donc, en considérant les formules (4), que les coefficients P,, ..., P,n sont des séries entières en za, ..., za, convergentes dans le domaine º, et qui s'annulent toutes à l'origine. - - * - - - - - - - - La série ) 9,(za, ..., za)z peut être considérée comme la dérivée - . par rapport à z, d'une autre série entière V - I "-0 | 1 - N 9,(sa, ... ., s,)s ", - et de même pour g(s,). Posons - 0 - - - - - | | - | (s1, - - - - sn) = ſ send ) v - 1-- I 9 (sa, • • • • sa)º", " 0 S'(s,, - - - - sn) - eF s s . S est holomorphe dans le domaine de l'origine formé par les cercles : et e,, et ne s'annule pas dans ce domaine. On peut donc considérer S" comme une série entière différente de o pour tout point de ce domaine. Si maintenant on observe qu'on a 0S" )|» : 0s - |)s, - - 11 s(s,) \ 9 v(ss, , , , , 5n sº - $ - Xo,s *-1 # - - - - "- - 0n ll'0uVº dS 01* OS ds ds ds, TS - T ST d'où ÉTUDE SUR LES SERIES ENTIÈRES, ETC. 10 C étant une fonction de za, ..., zn indépendante de s,. Cette fonction est holomorphe dans le domaine º, : pour l'origine, elle se réduit au coefficient de z" dans So(z,). Si, en effet, on fait z2 = ... = z = o, Sde- vient S,(z,), P devient z et S" devient e"º ". Or re o= ſ g (s,) d'-1, - c'est-à-dire que F(z,, o, ..., o) est une série entière sans terme constant Il en résulte que e"º" " est une série entière ayant l'unité pour terme constant En représentant cette série par 1 + az, + .. annulant toutes les variables sauf z,, , , 0 Il alll'º , 0 Il So(s,) - [Clos"( + as + . ..), ce qui montre bien que [ C ] est le coefficient de z" dans S,(z,). La fonction C peut s'annuler pour les valeurs considérées des variables. Mais za, ..., z, sont assujetties à la seule condition d'avoir leurs mo- dules inférieurs à º,. On peut imaginer un nombre positif º, inférieur à 2, et assez petit pour que C, qui est différent de o à l'origine, ne s'annule pas dans le domaine 22 de l'origine. Alors, dans ce domaine, le produit CS" est une série entière qui ne s'annule pas. En représentant cette série par S', on aura finalement la relation (5) S - PS', où P et S ont les significations indiquées dans l'énoncé. Cette relation n'est établie que pour les valeurs des variables qui sont situées dans une aire déterminée. Cette aire est comprise dans le domaine de l'origine formée par des cercles ayant un rayon ) égal au plus petit des deux nombres p et o2. Les trois séries S, P, S sont con- vergentes dans ce domaine. Par suite, la relation (4) subsiste, d'après le théorème IV, pour tout point de 0, et le théorème est démontré. Le théorème précédent permet d'étudier les zéros de la fonction S(z,, ..., z,) qui sont situés dans un certain domaine de l'origine. Supposons, pour prendre d'abord un cas simple, que S,(z,, o, ..., o) ne soit pas nulle pour toute valeur de z,. Nous pouvons fixer un do- maine ô de l'origine dans lequel on a S = PS, les notations ayant 2( ) S, DAUTHEVILLE. le même sens que plus haut. Proposons-nous d'étudier les zéros de la fonction S dans le domaine ô. Donnons à z2, ..., za des valeurs arbitraires, situées dans ô, et cherchons les valeurs de z qu'il faut leur joindre pour obtenir des zéros de S. P est un polynôme, de degré m par exemple, et S une série entière en z,. Pour les valeurs considérées de z,, ..., z,, les coefficients de P et de S prennent des valeurs déterminées, et nous pouvons faire abstraction de la complica- tion des calculs qui donneraient ces valeurs. On est amené à chercher les valeurs de z,, situées dans ô, qui annulent le produit PS'. Or S ne s'annule pas dans ô. Donc il y a m valeurs de z,, situées dans d, qui annulent S, et pas davantage. On voit que ces valeurs sont données par l'équation algébrique P = o. Il y a donc, dans le domaine d, une infinité de points pour lesquels S s'annule. Autrement dit, il est impos- sible de fixer un domaine de l'origine dans lequel la fonction S n'ait qu'un nombre limité de zéros. Imaginons que les points qui figurent les variables z2, ... , zn sur leurs plans respectifs se déplacent en partant de l'origine et voyons comment se comporteront sur le plan des z, les différents points tels que chacun d'eux réuni avec les précédents forme un zéro de la fonc- tion. Traçons sur les plans respectifs des variables z2, ..., za des courbes arbitraires partant de l'origine, et supposons que les affixes des variablesse déplacent d'un mouvement continu sur les courbes cor- respondantes. Les coefficients de P sont des séries entières en z,, ..., z, qui s'annulent toutes à l'origine. Chacune de ces séries est une fonction holomorphe de z,, ..., z, dans le domaine ô. Par suite, si, comme on le suppose, chacune des variables za, ..., z, varie d'une manière con- tinue, il en sera de même des coefficients de P et des m racines de l'équation algébrique en z,. Les points qui représentent ces racines se déplacent donc d'un mouvement continu sur une courbe déterminée. Nous pouvons représenter analytiquement ces résultats. Posons sn = rn + Yn (h = 1, 2, . .. , n), xh = ph(t) (h = 2, ..., n), ya = ln (t) (h = 2, ..., n), t étant une variable réelle, les , et les ， des fonctions continues de t. Lorsque t variera, chaque point za (h = 2, ..., n) se déplacera sur une ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 2 | courbe, déterminée par les équations xa = pA (t), ra = !,(t). Si t varie d'une manière continue, chaque point se déplace sur la courbe corres- pondante d'un mouvement continu. Dans l'équation s"+ P1 s" " + . .. + Pm = o, substituons aux variables z les variables x, r, puis égalons à o le coef- ficient de i et le terme indépendant de i. Nous aurons deux équations / ( r1, )'1) = o, / (ar1 ) 1) = o. Enfin faisons la substitution ach - ºn(t), yn - ln (t) (h - 2, ... ., n), Il () llS tl ll I'() IlS P1 (aº1, Y1, t) = o, Vi( r1, y1, t) = o. Ces équations font connaître z, en fonction de t. De plus, elles déter- minent la courbe sur laquelle se déplace le point z,, d'un mouvement continu, quand t varie d'une manière continue. Si S(z,, o, ..., o) s'annule pour toute valeur de z,, on cherchera à recommencer le raisonnement avec une autre des variables. Dans le cas où chaque terme de la série contient toutes les variables z, le raison- nement est en défaut. Nous procéderons alors de la manière suivante. Représentons par (z,, za, ..., z,), l'ensemble des termes de S qui sont du degré ) par rapport à toutes les variables, et soit u la plus petite valeur de ) pour laquelle les coefficients (z,, ... , zn), ne sont pas tous nuls; on aura S (s1, ca, ..., sa) = (z1, ... ., zn)g + (-1, ... , sn)g 1 + ... . Faisons la substitution (1) ! ... .. .. ... ... .. .. .. .. .. .. .. . - za - C# t1 + C# t2 + . .. + C# tn, les C désignant des constantes choisies arbitrairement, mais telles que | C# C# ... C'! - - - - - C zé o et (C!, ..., C#)uzéo. C# C# ... C# 22 S. DAUTHEVILLE. Par cette substitution, S devient une série entière par rapport aux t. Représentons-la par > (t,, ..., t,). On a X (t, o, ..., o) = (C!, C4, ..., C#)g t# + .... - D'après ce qui précède, on a, dans un domaine ô', relatifaux variables t, >(/, , , , , ta) = (tº + Q1tº + · · · + Qu) >'(t ... , ta), où les Q sont des séries entières en ta, ..., t, qui s'annulent toutes pour t, = . .. = t, = o, et où X est une série entière différente de o dans ô'. Au domaine ô relatif aux t correspond un domaine ô pour les z. Alors, pour avoir les valeurs des variables z situées dans ô et qui annulent S, on prendra arbitrairement t,, ..., t, dans ô', on calculera u valeurs de t, par l'équation algébrique ( 2 ) tº + Q, t '-. .. + Qº = o, et l'on aura ensuite les z par les relations (1). On voit, comme plus haut, que si les points za, ..., z, se déplacent d'un mouvement continu sur des courbes partant de l'origine, le point z,, qu'il faut joindre à un système de valeurs de sa, ..., sa pour avoir un zéro de S, décrit d'un mouvement continu une trajectoire déter- minée. On peut déterminer analytiquement les trajectoires par un calcul analogue au précédent. Posons sh - rh + i yn tn - :, + in, #n = pa(u) l nn - la(u) (h - 1, 2, , , ., n); · (h - 2, . .. , n), les ， et l étant des fonctions continues de la variable réelle u Dans les équations (1) et (2), faisons les substitutions - - - sn - rh + l )'n, l'n - < n + t nh, puis égalons à o les coefficients de i et les termes indépendants. Nous aurons 2(n + 1) équations fº(ºn, ya # , # n, , , ma) = o ! (h = n). sa(rn, ra, ， ..., # n · · · , na) = o ) F(# ..., #a, n, .., ma) = o, G(# ..., #n, n ... , ma) = o. | ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 2 , Les équations suivantes déterminent la trajectoire du point z, : /n(æn ) n, é, - - · én, T11 , . . ·, ma) = O, • . : - ºn(ºn )'n, -1 • • • · én, Tl1 , · · · , nn) r O, F(é , ..., #n, n, ..., ma) = o, - . - G (#, ..., #n, n, ..., mn) - o, &a= pa(u), én= ºn(u), m2 = la(u), Nous ferons une autre remarque au sujet du théorème précédent. Soit S une série entière n'ayant pas de terme constant. On peut déter- miner un domaine à de l'origine, tel que, si l'on choisit un système de valeurs pour z2, ..., zn dans ce domaine, les valeurs de z,, situées dans à et satisfaisant à l'équation S = o, sont données par des équations algébriques. On voit ainsi que l'équation S = o définit, dans le do- maine 3, une fonction implicite z, des variables za, ..., z, qui possède les mêmes propriétés que la fonction implicite définie par une équation algébrique. Soient So et S, deux séries entières s'annulant à l'origine et admet- tant A pour cercle de convergence. Proposons-nous de rechercher s'il y a, dans un domaine de l'origine, d'autres points pour lesquels les deux séries s'annulent. Faisons la substitution zn = C， t1 + . .. + C# tn. So et S, deviennent des séries entières par rapport aux variables t, X. · et x,. Choisissons les constantes telles que le déterminant C! ... C'! * 1 C! ... C# 24 S, DAUTHEVILLE. soit différent de o, et telles aussi que ni >,(t,, o, ..., o) ni >, (t,, o, ..., o) ne soient nulles pour toutes les valeurs de t,. Cela posé, on peut fixer un domaine ô de l'origine dans lequel on aura " - | > " " V — P v -0 - 0 -0- -1 - 1 - 1 , P, P, étant deux polynômes en t, ; X,, X étant des séries entières par rapport aux t qui ne s'annulent en aucun point de ô'. Si X et X, s'an- nulent, P. et P, s'annulent aussi, et réciproquement. Soit R le résultant des polynômes P, P,. Ce résultant est une fonction entière et homogène des coefficients de Po et P,, c'est-à-dire une série entière en ta, ..., t,, série qui s'annule à l'origine. La série R admet une infinité de zéros dans un domaine à" de l'origine, etl'on peut prendre à"< ô'. A chaque zéro de R correspond au moins un zéro commun à S, et S,. En effet, si l'on prend un zéro de R, les polynômes Po et P, admettent au moins une racine commune située dans ô', et si l'on prend pour t, une racine commune, on a un zéro de Xo et de X,, c'est-à-dire de So et de S,. Si maintenant on appelle à le domaine relatif aux variables z qui corres- pond au domaine ô", on voit que les deux séries admettent une infinité de zéros communs dans le domaine à. On pourrait les déterminer de la manière suivante. On aurait d'abord un zéro de R d'après la méthode déjà indiquée, en prenant arbitrairement n — 2 variables et calculant la (n — 1)" par une équation algébrique. Cela fait, on chercherait la racine commune aux deux équations algébriques Pº = o, P, = o, et l'on aurait la n" variable. Les valeurs des z se déduisent sans peine de celles des t. Dans le cas particulier où les séries données sont à deux variables, R n'en contient plus qu'une, et alors les résultats changent. R étant une fonction holomorphe, nulle pour l'origine, on peut fixer un domaine à dans lequel R n'aura pas d'autres zéros que l'origine, et l'on peut prendre à ô'. Alors So et S, n'ont pas, dans le domaine à, d'autres zéros communs que l'origine. Ainsi, si deux séries à deux variables ont un zéro commun, il est possible de fixer un domaine de ce point dans lequel il n'y a pas d'autres zéros communs. ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 2 ) III. Divisibilité des séries entières. Conditions de divisibilité de deux séries entières. Soient So, S, deux séries entières par rapport aux variables indé- pendantes z,, ... , sn, et supposons que ces deux séries admettent A pour cercle de convergence. Nous dirons, en adoptant une locution de M. Weierstrass, que la série So est divisible par la série S,, si l'on peut fixer un domaine ô de l'origine dans lequel on ait So - S, Sa, S, désignant une série entière convergente dans ô. Si S, ne s'annule pas à l'origine, on peut fixer un domaine ô (ô A) - - - - - S de ce point dans lequella série n'a pas de zéros. Alors la fraction s es • 1 holomorphe dans ô, et l'on peut la mettre sous la forme d'une série entière convergente dans ô. Il en résulte que S, est divisible par S,. Au contraire, si S, s'annule à l'origine, tandis que S, prend en ce point S ) une valeur différente de o, le quotient sº étant infini à l'origine, il est S, impossible de le représenter dans un domaine de ce point par une série entière convergente. Il n'y a donc lieu de rechercher les condi- tions de divisibilité de deux séries que dans l'hypothèse où elles s'an- nulent toutes les deux à l'origine. - Si l'on sait reconnaitre que le module du quotient s, reste fini dans un domaine ô de l'origine, on en conclut que ce quotient est holo- morphe dans ô et peut être développé en série entière. S. est donc divisible par S,. Considérons maintenant le cas général. Soient So(z,, z2, ... , z,), S, (z,, z2, ..., z,) deux séries entières qui s'annulent à l'origine. Fai- sons la substitution z,- C!t1 + ... + C7 ta (i - 1, ... ., n) les C désignant des constantes assujetties seulement aux deux condi- I). 4 26 | S. DAUTHEVILLE. tions suivantes, le déterminant est différent de o, et aucune des deux séries So (C! l 1, C# t1, • • • • C# t1), S1 (C; l 1, C# t1 • • • • C# t1) ne s'annule pour toutes les valeurs de t,. Représentons par Xo et >, les séries entières par rapport aux variables t que l'on obtient par la substitution indiquée. Soient p et v les plus faibles exposants de t, dans X. (t,, o, ..., o) et X,(t,, o, ... , o). On sait que l'on peut déter- miner un domaine ô de l'origine dans lequel on aura " - P v " - -0 - 0 - 0 » 1 X,, X, désignant des séries qui ne s'annulent en aucun point de ô: P,, P, désignant des polynômes entiers en t,. Soit P,= t + Pº t + ... + Pº, P = t + P '' t ' + ... + Pº, les Po et P, étant des séries entières en ta, ... , ta, dépourvues de termes COnStan[S. Les conditions de divisibilité des séries sont alors données par le théorème suivant : TnÉoRÈME VII - Si l'on effectue la division du polynôme Po par le polynôme P,, on obtient pour reste un polynôme en t, dont les coeffi- cients sont des séries entières en ta, ..., ta. Pour que So soit divisible par S,, il faut et il suffit que ces nouvelles séries aient tous leurs coefficients nuls. En d'autres termes, pour que So soit divisible par S,, il faut et il suffit que le polynôme P soit divisible, au sens ordinaire du mot, par le poly- nôme P,, quelles que soient les valeurs attribuées à t,, ..., t,. En effet, pour que Se soit divisible par S,, il faut et il suffit que >, soit divisible par >,, c'est-à-dire que le module du quotient ， reste - 1 ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 27 fini dans un certain domaine A de l'origine, ce domaine étant re'atif aux variables t. Je dis d'abord que les conditions sont nécessaires. Nous pou- vons prendre ô aussi petit que nous voulons, et par suite inférieur . . >a , . - - à A. Le module du quotient ， doit donc rester fini pour tout point -1 de ô. Les racines des polynômes Pº, P, se réduisent à zéro pour t, = ta = ... = tn = o et sont, dans le domaine ô, des fonctions conti- nues des variables ta, ... , ta. On peut donc déterminer un nombre positif ô,s ô tel que, pour tout système de valeurs de ta, ..., t, vérifiant l'inégalité | t | < ô (i = 2, ... ., n), le module de chaque racine des polynômes Pº et P, soit inférieur à ô. Prenons alors un point t,, ..., t, dans ô,, et appelons t '', ..., t " les racines distinctes des polynômes P, et P, qui correspondent à ce point. On a, pour ce point, P p, - (t, · - tº) ! - - - (t, · tº)ºm, les ) étant des nombres entiers, positifs, négatifs ou nuls. De là N. º >n " = (t, - t '')º ... (t, - t")º ， | | · - - ", N. •, " - - - - Le quotient # étant différent de o, dans d, on voit que, si un seul | · - - , , > - - - des ) est négatif, ) par exemple, le module du quotient # est infini -1 pour le point (t, = tº, t,= t,, ... , t,= t,) pris dans A. Il faut donc que tous les ) soient positifs, ou nuls; c'est-à-dire que, pour les valeurs considérées t,, , .., t,, P, est divisible par P,. On a posé P,= t# + Pº tº "+ ... + Pº, P, = t + Pº t + ... + Pº. Soient le quotient des deux polynômes t#- + P,ºt - + ... + P#- 28 S. DAUTHEVILLE. et le reste - P, t + P, t# * -- . . . - P; *. On aura identiquement º Pºt + ... + Pº - (t ! -- P,ºt; " -- . .. -- Pº) (t# " . P,º t# " + . . . + P#-º) + P r ! ... P#-º et, par suite, P = P + Pº, Pº- Pº - PºP ! -- Pº, P# Pº " ... Pº ", >(!L - D (v) I>|!J.-V) ('/-1 Pº = P Pº " ... + Pg-º. Ces relations montrent que les coefficients P, et P, sont des séries en- tières en t,, ..., ta, convergentes dans ô. On a vu que, pour les va- leurs considérées de t,, ..., ta, Po était divisible par P. On a donc, pour ces valeurs, Pº - o, P = o, Py = o. Mais le même raisonnement peut se faire avec un autre système de va- leurs de t,, ..., t,, choisi arbitrairement dans ô,. Les séries P, pren- nent donc la valeur o pour tout point de l'aire d, et, par suite, les coef- ficients des termes de chacune de ces séries sont nuls. Ce sont les conditions indiquées. - On voit qu'on peut énoncer ce résultat en disant que le polynôme P. est divisible par P, c'est-à-dire qu'on a pour tout point de ô |) · |» |) 0 - I * -- P, étant un polynôme en t, dont les coefficients ont été calculés plus haut. · Je dis maintenant que les conditions sont suffisantes. Nous avons formé les polynômes P. et P, et reconnu qu'on avait pour tout point de ) P = o, P = 1, ... , P !)= o, c'est-à-dire P, P, P,. ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 20 On a identiquement dans d' - V | |) , I) |) , V "u - >o(ti, , , ., ta) = PoX - P, P, X = >, $ P,. - 1 Mais le quotient Nº est holomorphe dans ô, de même que Pa. Leur - •. - 1 produit est aussi holomorphe, et on peut le mettre sous forme de série entière, >2, convergente dans ô. On a alors > (º, · · , ta) = >1(t , .. , ta) >.(ti, , , ta), ce qui démontre le théorème. De ce théorème, on déduit qu'une série entière So, nulle pour l'ori- gine, est divisible par une infinité de séries s'annulant à l'origine. Par un changement de variables, mettons, comme plus haut, la série >. sous la forme Po >,, les notations ayant toujours le même sens. Pre- nons un diviseur quelconque P, du polynôme Po, et désignons par >, une série entière quelconque qui ne soit pas nulle à l'origine. On peut fixer un domaine à dans lequel >, ne sera pas nulle et dans lequel on aura >, = P >,. La fonction P, >, étant holomorphe dans 5, on peut la développer en série entière >,. Cette série X, divise Xo. Si maintenant on revient aux variables z, on obtiendra une série S, divisant So. Le facteur X étant arbitraire, la série So admet une infinité de diviseurs. Diviseurs communs à deux séries. Soient S,(z, ..., z,), S,(z,, ..., z,) deux séries entières qui s'annu- lent à l'origine. Proposons-nous de rechercher s'il y a des séries entières s'annulant à l'origine, qui divisent à la fois S, et S,. Si nous trouvons des séries répondant à la question, nous les appellerons des diviseurs communs aux deux séries données. Soit S, une série entière divisant So et S,, S, s'annulant à l'origine. Aux variables z, substituons de nouvelles variables t, comme précé- demment, et conservons les mêmes notations. On peut fixer un do- maine à de l'origine, dans lequel on aura X. - P. X. ", P, X. X - P,X.' - J - 0 -0 , - 1 - 1 » -2 - 2-2 • D'après le théorème précédent, pour que Sa divise So et S,, il faut que le polynôme P, divise P. et P,. Désignons par ) et u les degrés par 3o S, I)AUTIIEVILLE. rapport à t, des polynômes Po et P,, et supposons, pour fixer les idées, 7.2 p. Effectuons les divisions successives qui donnent le plus grand commun diviseur des polynômes. Le reste de la division de P, par P, sera un polynôme de degré p — 1 au plus. Si ce reste est effectivement de degré u — 1, représentons-le par - -1 Re , º + Rºtº + ... + R# '. Les coefficients sont des polynômes entiers par rapportaux coefficients de P, et P,, c'est-à-dire des séries entières en t,, ..., t, qui admettent à pour cercle de convergence et se réduisent toutes à o pour t2 = ta =...= t, = o. Divisons maintenant P, par ce reste, et faisons les divisions de manière que les coefficients du nouveau reste soient aussi des polynômes par rap- port aux coefficients du dividende et du diviseur, c'est-à-dire des sé- ries entières. Nous aurons un reste que nous représenterons par Rg at * + Rººt " + ... + R# #. Si le reste de la première division avait été de degré g - 2, le calcul indiqué n'aurait pu se faire. Dans ce cas, nous représenterons le reste de degré g - 1 par la même formule que précédemment, en convenant que les R,- désignent des séries dont tous les coefficients sont nuls, et alors le reste donné par la première division sera représenté par Re ,tº + Rº,tº "+ ... + R# #, la serie Ru 2 n'ayant pas tous ses coefficients nuls. En continuant de la même manière, nous pouvons dire que la série des divisions donne une suite de restes qui sont des polynômes en t, de degrés respective- ment égaux à y. - 1, u - 2, ..., 1, o, dont les coefficients sont des séries entières en t,, ...,, t, qui admettent toutes à pour cercle de con- vergence, et se réduisent toutes à zéro pour t2 = t, = ... = t, = o. Re- présentons ces restes par les formules -1 |. 1 Re , tº "+ ... + R ', - |.- Ru-stº + ... + R# #, R1 t1 + R '', R. ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 31 D'après nos conventions, si R, a tous ses coefficients nuls, il en est de même pour R '', ..., Rº. Cela posé, les polynômes P, et P, admettant un diviseur commun, on verra, comme précédemment, que la série R a tous ses coefficients nuls. On obtient ainsi, en fonction des coefficients des séries données So, S,, des conditions nécessaires pour que ces séries admettent des divi- seurs communs qui s'annulent à l'origine. Réciproquement, si la série R a tous ses coefficients nuls, je dis que les deux séries données admettent des diviseurs communs. Supposons, en effet, que chacune des séries R, R,, R", ... ait tous ses coefficients nuls, la série R, étant la première de la suite qui n'a pas tous ses coeffi- cients nuls. Prenons dans le domaine à un point t,, ..., t,, pour lequel la série R, ne soit pas nulle. Pour ces valeurs des variables t,, ..., t,, les polynômes Po et P, admettent un plus grand commun diviseur R,tº + R,ºt - + ... + Rº". On peut fixer un domaine » du point t,, ..., t,, qui soit compris dans ô, et dans lequel R, soit différent de o. Pour chaque point de ce domaine Po et P, admettent le polynôme précédent pour plus grand commun diviseur. Ce plus grand commun diviseur peut s'écrire R,! R% l'! ' tº 1 | . . .. | | - . i R. *i " R, - R,! Rº) - - - - Les quotients ， peuvent étre développés, dans le domaine o, - - en séries entières par rapport aux différences (t, - t,), ..., (ta - t,), soient T,,T,, ..., T,. Mais on peut considérer T,, ..., T, comme dessé- ries entières en t,, ..., t, convergentes dans ô. Si nous posons P, - t# +- T, t + - - - -- T,, on voit qu'on aura pour tout point de » et, par suite, de à (théorème IV). P,= P, P,, P1 - P2 P,, P, et P, désignant des polynômes en t, dont les coefficients sont des séries entières en t,, ..., t,. Il en résulte que > et >, admettent un di- viseur commun P,. Par suite, S, et S, admettent aussi un diviseur 32 S. DAUTIIEVILLE. commun S2, qu'on obtient en remplaçant dans P, les variables t par leurs valeurs en fonction des variables z. On peut, dès lors, énoncer le théorème suivant : TnÉoRÈME VIII. — Étant données deux séries entières en z,. .. , z, qui s'annulent à l'origine, si l'on fait un changement de variables comme il a été indiqué, et si ensuite on calcule le résultant des polynômes Pº et P, (nous conservons toujours les mêmes notations), les conditions nécessaires et suffisantes pour que So et S, admettent des diviseurs communs sont que la série résultante ait tous ses coefficients nuls. Plus grand commun diviseur de deux séries. Soient deux séries So, S, qui sont nulles à l'origine. Reprenons les notations précédentes. Aux variables s substituons les variables t. Nous obtenons les séries >o, >,. Soit ô un domaine de l'origine dans lequel on a > = P > , >, = P, >,. Supposons que P et P, admettent un plus grand commun diviseur de degré v, Pa. On a pour tout point de ) P,- P, P,, P, = P, P,, N - Pº >a, > - P2 >,, en posant - N., P. >. V" |', N -3 - * 3 - u , -4 4 - 1 . Soient enfin Sa, S, les séries que donnent >,, >,, quand on revient aux variables z. THÉoRÈME IX. - Les séries S,, S, n'admettent pas de diviseur commun nul à l'origine. Nous allons montrer, en effet, que, si Ss et S, admettaient un divi- seur commun, nul à l'origine, les polynômes en t,, P, et P, auraient un diviseur commun : or cela est impossible, puisque ces polynômes sont les quotients obtenus en divisant Pa et P, par leur plus grand commun diviseur. Si S, et S, admettent un diviseur commun nul à l'origine, on peut prendre un système de valeurs pour ta, ... , t, (dans le domaine où ces variables doivent rester), tel que les valeurs de t,, qui forment avec les précédentes un zéro du diviseur, soient aussi dans le domaine ô. Mais alors ce point est aussi un zéro de >, et de N,. ÉTUDE sUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 33 Or >, ne s'annule pas dans le domaine ô. Donc les valeurs considérées annulent P,. >, ne s'annule pas non plus. Donc ces mêmes valeurs annulent P,. Il en résulterait que P, et P, admettraient des racines ('0IIllIlllIl0S. THÉoRÈME X. — Toute série, nulle à l'origine, qui divise S. et S,, divise aussi S2 . Soit Q une série qui divise S, et S,. Prenons un domaine ) de l'ori- gine, dans lequel on ait · X - Po> , > - P1 > 1, Q = HQ X - P,X , Po, P,, Pa, H désignant toujours des polynômes en t, et >,, > , >,, Q'des séries différentes de o dans ). Donnons à t,, , .., t, des valeurs com- prises dans ô'(ô < ô) et telles que les valeurs correspondantes de t,, qui annulent H, soient comprises dans ô. Chaque racine de H associée à ces valeurs de ta, ... , la forme un zéro de Q et, par suite, un zéro de So et de S,. Donc, en raisonnant comme plus haut, on voit que Pº et P, sont tous les deux divisibles par H. Par suite, H divise le plus grand commun diviseur P, de P, et P,. Soit P. = HK, K étant un polynôme en t,. On aura, dans le domaine ô', K ' = Q o = 99e Q, désignant une série entière convergente dans d'. Alors X - QQ >, - QQ , où Q. est toujours une série entière convergente dans ô', et le théo- rème est démontré, De ce qui précède résulte que la série S2 joue, par rapport aux séries S, et S,, le même rôle que le plus grand commun diviseur par rapport à deux pblynômes. Tout diviseur commun de deux polynômes est un diviseur de leur plus grand commun diviseur; de même toute série qui divise S. et S, divise S,. Les quotients obtenus en divisant deux poly- nômes par leur plus grand commun diviseur sont premiers entre eux ; de même les séries S, et S,, qui, respectivement multipliées par S,. reproduisent So et S,, n'admettent aucun diviseur-série commun. I). 5 34 S, DAUTHEVILLE. Nous appellerons cette série S, le plus grand commun diviseur des séries So et S,. THÉoRÈME XI. — So, S,, S, étant trois séries entières par rapport aux variables z,, ..., z,, admettant A pour cercle de convergence et s'annu- lant à l'origine, si la série S, est divisible par S, et par Sa, les séries S, et Sa n'admettant pas de plus grand commun diviseur, la série So est divi- sible par le produit S, S2 . Aux variables z substituons les variables t, de la manière souvent indiquée, et conservons toujours les mêmes notations. Fixons un domaine ô(ô5A) dans lequel on ait ' - ID V" "- - - - I > " " >o= Po > , X1 = P1X , X2 = P2X ,. Par hypothèse, le résultant des polynômes Po et P, est nul en tout point de ), et de même pour celui de Po et Pa. Au contraire, le résul- tant de P, et de P, n'est pas nul pour tous les points de ô. Prenons un point t,, ..., t, et un domaine » de ce point tous deux compris dans ô, pour lesquels ce dernier résultant soit différent de o Appelons »' l'aire formée par les valeurs de t, situées dans ô et de ta, ... ., ta situées dans º». On a alors dans o' - · Po - P1 Pa, Po - P2 P., et, comme P,, P2 sont premiers entre eux, Po - P, P. Ps. P, est une série entière en t,, ... , t, qui admet ) pour cercle de con- vergence. Alors la relation précédente, établie pour »' seulement, subsiste pour le domaine ô tout entier (théorème IV). De cette relation on déduit V V , P, -0 -- - - YTNT » -1 -2 - - . . - et, comme le produit >, >, ne s'annule pas dans à, on peut remplacer - P - - - le quotient x $. par une série entière en t,, ..,, ta, X,. On a donc 1 -- ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 35 THÉoRÈME XII. - So, S,, S2 étant trois séries entières par rapport aux variables z,, ..., z, qui admettent A pour cercle de convergence et s'an- nulent à l'origine, si la série So est divisible par S, et par Sa, ces deux dernières admettant un plus grand commun diviseur S,, on peut fixer un domaine à de l'origine dans lequel on ait s Si Sºs N"o - • "- S, S, étant une série entière convergente dans ô. On sait, en effet, qu'on peut fixer un domaine ô de l'origine dans lequel on a So = S1 Q, S1 - S, Q,, S. - S, Q , les Q désignant des séries entières. On a donc So - Sa Q, Q. Ainsi la série So est divisible par S, et le quotient est lui-même divi- sible par Q,. On verrait de même que le quotient de S, par S, est divi- sible par Q2. Mais les séries Q, et Q2 n'admettent pas de plus grand commun diviseur (théorème IX). Donc le quotient s est divisible par - le produit Q, Q, d'après le théorème précédent. De là suit qu'on peut fixer un domaine de l'origine dans lequel on a So · Sa Q, Q. Qa, Q, étant une série entière. De cette relation on déduit -"- C. Q. F. D. Ce théorème donne la forme de toute série divisible séparément par deux autres. - - S, S, " . " - On peut appeler la série | S, le plus petit multiple commun des deux séries S, et S2. Les deux derniers théorèmes font encore ressortir l'analogie qui existe entre les théorèmes relatifs à la divisibilité des séries et ceux qui sont relatifs à la divisibilité des polynômes. Il serait aisé de poursuivre 36 S, DAUTHEVILLE. cette analogie et, en particulier, de considérer la recherche du plus grand commun diviseur et celle du plus petit multiple commun pour le cas de plusieurs séries. | V. Des points singuliers des fonctions uniformes de plusieurs . variables indépendantes. Une fonction uniforme des variables z,, ..., zn est dite régulière au point a si, dans un certain domaine de ce point, on peut la mettre sous la forme > Av,...,v,(s - a1)" (sa - a,)'. - - - (sn - an)'a (vi, . . . , Vn - O, I , . . . , 2- ). où les » sont des nombres entiers et les A des coefficients constants ; autrement dit, si la fonction peut être développée en série entière rela- tivement aux différences (z - a,), série convergente dans l'aire con- sidérée. Si la grandeur a, a un module infini, on remplace (z, — a,) par - - Une fonction régulière en un point est holomorphe dans le domaine de ce point (théorème II). Réciproquement, une fonction qui est holo- morphe dans une aire est régulière pour tout point de cette aire. Con- sidérons, en effet, un point a,, ..., a, situé dans l'aire où la fonction est holomorphe. Sur le plan de la variable a, on peut décrire un cercle de centre a, qui soit tout entier compris dans l'intérieur de l'aire dans laquelle la fonction est holomorphe. Alors, la fonction étant holo- morphe en tous les points de l'aire formée par les cercles ai, on peut la représenter dans cette aire par une série entière par rapport aux dif- férences (s - a,), . ., (sa - an). En particulier, une fonction régu- lière au point a est régulière en tout point du domaine de a. Un point pour lequel une fonction uniforme n'est pas régulière est dit point singulier Soit a un tel point. Si l'on peut former une série entière en (s, - a,), ..., (z, — a,), So, convergente dans un domaine de a, qui s'annule en a et soit telle que le produit ! Sa f(si, , . - sa) ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈREs, ETC. 37 soit lui-même une fonction régulière au point a, on dit que a est un point singuliernon essentiel de la fonction f(z,, ..., z,). Dans tout autre cas, le point singulier est dit essentiel. Si le nombre des variables est au moins deux, on distingue deux sortes de points singuliers non essentiels. Soit a un tel point. On a, S, S, séries entières en (z, - a,), ..., (zn - an) convergentes dans le do- maine à, et So s'annulant au point a. Supposons que S, soit différente de o en ce point. Les fonctions S sont continues au point a. Prenons arbitrairement un nombre positifs inférieur au module de la valeur que prend S, en a, ce que nous écrirons : < S,|. Nous pouvons déterminer un nombre positif ò'(ô's à) tel qu'on ait, pour tout point du domaine ô' de a, So |< e. Nous pouvons, en outre, déterminer un nombre positif ô"(ô"s à), tel que le module de l'accroissement de S, quand on passe du point a à un point quelconque du domaine ô" de a soit inférieur à t. Prenons alors ô, égal au plus petit des deux nombres 5, ô". On aura, pour tout point du domaine à, de a, dans le domaine à de ce point, f(z,, ..., z,) = #, So, S, désignant des | So | < s, | S, | > | S, la - s e ! | | S | | S, la - s l/l= s - . - - - - - - - - - -, - Soit A un nombre positif choisi arbitrairement. Si l'on prend s < | on aura | / | > A, et l'on voit que, pour tout point de ò,, le module de la fonction considérée est supérieur à tout nombre donné A. Supposons maintenant que S, s'annule au point a. Les séries S peu- vent admettre un diviseur comme nul au point a. Dans ce cas, en dési- gnant par S, leur plus grand commun diviseur et par S, S, les quo- tients, on aura -, • S - /(s, , , , sn) = S, · S,S, S,' et l'on sait (théorème IX) que les nouvelles séries S,, S, n'admettent pas de diviseur commun nul au point a. Il suffit donc de considérer le cas où les deux séries S n'admettent pas de diviseur commun nul au point a. On sait, par les Chapitres précédents, qu'on peut former des 38 S. DAUTHEVILLE. fonctions t,, t,, ..., ta, linéaires et homogènes en (z,- a,), au moyen desquelles, dans un domaine 3'(ô'Sô) du point a, les séries S se mettent sous les formes X,- [tº + P t ' + ... + Pº]X,, X, = [t - Pºt , " + ... + P# ]X , - et l'on se rappelle les propriétés des fonctions P, >,, >,. On peut, puisque >, et >, n'ont pas de diviseur commun, prendre dans le domaine ô' des valeurs de ta, ..., t, pour lesquelles les poly- nômes en t, n'ont pas de racines communes. Autrement dit, il y a certainement dans le domaine ô au moins un point pour lequel So = o, S, o. La fonction /(z,, ... , zn) est infinie en ce point. Soit maintenant K une constante arbitraire. On a, dans le domaine d, Sa[ f(s1, ..., sn)- K | - S, - So K = S2, S, étant une série entière, nulle au point a. Dès lors la fonction | - - - - f(s,, ..., s,) K est placée dans les mêmes conditions que f(z,, ..., z,). -1 » • • • • -- / - Par suite, on peut trouver un point dans le domaine ô pour lequel | , --- = 2c , c'est-à-dire f(s,, ..., z,)= K. Le point a est /(s1, ... , sa)- K donc tel qu'il existe toujours dans son domaine au moins un point pour lequel la fonction prend une valeur arbitraire, c'est-à-dire que la fonction est complètement indéterminée au point a. On reconnaît ainsi que la nature du point singulier non essentiel est différente, suivant que le numérateur de la fraction par laquelle la fonction est représentée dans le domaine du point est nul ou non en ce point. Dans la seconde hypothèse, on peut déterminer un domaine du point singulier tel que, pour tout point de ce domaine, la fonction prend une valeur dont le module surpasse tout nombre donné; on peut dire que la fonction prend une valeur infinie pour le point singulier. Dans la première hypothèse, il est possible de fixer un domaine du point singulier tel qu'il existe au moins un point du domaine, pour lequel la fonction prend une valeur assignée à l'avance d'une manière arbitraire : la fonction est indéterminée pour le point singulier. Comme application, étudions les points singuliers d'un polynôme ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 39 entier, d'une fraction rationnelle, et enfin d'une fraction ayant pour termes des séries entières. THÉoRÈME XIII. - Un polynôme entier n'a pas de points singuliers essentiels. Un polynôme, étant holomorphe pour toutes les valeurs finies des variables, sera une fonction régulière pour tout point à distance finie. Considérons un point pour lequel quelques-unes des variables, ou toutes, prennent un module infini. Soit le polynôme f(z,, ..., z,); soient m,, m2, ..., mn les degrés de / par rapport à z,, à za, ..., à z,. Enfin supposons que z,(i = 1, 2, ..., p)p5 n, prennent des modules infinis pour le point considéré, les autres variables étant finies. On a 1 -) -) I I (1) g z7 /(ºn • • • • sn)- XA -7 · · · - 57 1 . . . zºº , 1 • • • - 1 A étant un coefficient constant, m , ..., m, étant des nombres entiers positifs ou nuls, de même que ) , ... , )n .. Formons de la manière sui- vante un domaine du point considéré. Sur le plan de chacune des variables z,, ..., z, décrivons un cercle ayant l'origine pour centre et un rayon donné R. Sur le plan de chacune des variables z , ..., z, décrivons un cercle de centre a, , ..., an et de rayon r. Nous pren- drons pour domaine ô du point considéré, 51 - 52 - - - - - 51 - 2C , 5i + 1 - (71 -1, • • • • " " " ll1 l/1 le second membre de la relation précédente devient - - - ( 2 ) X Au ... uº sºl ... zºº-'. Au domaine ô correspond, pour les variables u,, ..., u,, z , ... , za un domaine ô formé par l'ensemble des cercles r et par i cercles décrits sur les plans des variables u de chaque origine comme centres avec des - - I - rayons égaux à # Il est clair que la somme (2) est holomorphe en 4o S, DAUTHEVILLE. chaque point de ô'. On peut donc la représenter par une série entière par rapport à u,, ..., u,, (z , - a ,), ..., (zn - a,). Si l'on remplace les u par leurs valeurs en fonction des z, on a une série entière en | - - - · · · · · · · (z, , - a, , ), ... , (za - a,). Soit cette série - 5, | | -, - " " " - s, ( - a 1), · · · , (sn - an) - - La relation (1) montre alors que l'on a pour tout point du domaine ô - , | ! | #- fº . = ) = s s, | e (º - º ) . . ., (sn - an | De la résulte que le point considéré est un point singulier non essen- - - - - - - - | I - - tiel, puisque l'on peut considérer le produit # , # comme une série - 1 - - - | | - - - entière en , · · · , --, (zi , - a, , , ), , , (zn - an), série qui s'annule au -1 - · point (s, = s2 = ... = s = xc , s = a , ... ., sn = an). Remarquons, en outre, que les deux sortes de points singuliers non essentiels peuvent se présenter. Supposons que dans le polynôme donné figure le terme Az" ... z", A étant un coefficient constant. Alors la somme (2) contiendra un terme, A, indépendant des u et des s : la série S prendra donc une valeur différente de o au point consi- déré, et le module de f deviendra infini en ce point. Au contraire, si dans le polynôme il n'y a aucun terme renfermant à la fois s,, sa, ... , z,, aux puissances respectives m,, ma, ..., m,, chacun des termes de (2) contiendra en facteur l'une au moins des variables u, et par conséquent la série S s'annulera au point considéré. On a alors un point singulier non essentiel dans le domaine duquel on peut toujours trouver un point qui donne à la fonction une valeur choisie arbitrairement. THÉoRÈME XIV. — Une fraction rationnelle des variables z,, ... , z, ne présente pas de points singuliers essentiels. Soient ， et l deux polynômes entiers par rapport aux variables s , ... , s• Le quotient - - º (ºi *a) | /( s )= # # - ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 41 constitue une fonction uniforme des variables z. Prenons d'abord un point a à distance finie. Si ! (a) o, on peut déterminer un domaine de a dans lequel | ne s'annule pas. Alors f est holomorphe en tout point de ce domaine, et par suite fest régulière au point a. Soit main- tenant ! (a) = o. Prenons pour domaine de a l'ensemble des cercles décrits de a,, ..., a, comme centres avec des rayons égaux à un nombre R choisi arbitrairement. On a pour ce domaine | (s, ... , sn) / (s, , , , , sn) = º (s , , , , sn). 2 et ! sont holomorphes, et l (a) = o. On voit donc que a est un point singulier non essentiel. Suivant que 7 (a) sera différent de o ou nul, on aura un point singulier non essentiel de l'une ou l'autre espèce. Considérons un point a pour lequel les modules de certaines varia- bles deviennent infinis, les modules des autres restant finis. Soient z,, ..., z, les variables dont les modules sont infinis, et a, , , ..., a, les valeurs finies des autres variables. Désignons par m,, ma, ... , m, les degrés du polynôme p par rapport à z, à sa, ... , à zi, et par p,, ..., p, les degrés de l par rapport aux mêmes variables. On a identiquement f( : 5n ) - | #'(ui, ..., u, z , ..., zn) - - I - - - - • - - m, - p - ºn L' - -- * sº ", ... ., zºº ' l ( tt1, , , ., u , -- 1, . .., sn ) - | | - - - - - où u, = -- · · , u, = º , et où p et l' désignent des polynômes entiers - - par rapport aux variables u et z. Formons le domaine d du point a comme dans le théorème précédent, et appelons encore ô" le domaine correspondant pour les valeurs u et z ,, ... , z,. Comme on l'a vu plus haut, le point a n'est pas un point singulier essentiel pour le quo- - c' - - nent y On peut former un domaine de a, ô, (d, ô), dans lequel on a - # · $ - - - . - - - - - - - - | | - S, S désignant des séries entières en - , , s,' (z , - a ), ... , - 1 - (z, — a,). De plus, la série S sera nulle au point a si a est un point singulier du quotient; elle se réduira à une constante, si le quotient I). 5 42 S. DAUTHEVILLE. est régulier en a. On a donc pour tout point de à / (s1, - - , sn ) - _p, m, -]º - º S - 1 - - - - i | -, 'ar suite, si p m,, ..., p, m, on peut poser S'/ - Q |# · · · · + , (si - - a 1), , , , (sn - an) lº - 1 - où Q |# · · · , (z,- a désigne une série entière, et a est un point - 1 p0ur lequel fest régulier si S'(a) est une constante, un point singu- lier non essentiel si S'(a) est nulle. Dans le cas où chaque nombre p n'est pas supérieur ou égal au nombre correspondant m, on aura Q / = Q, Q, Q' ayant toujours des significations analogues, et alors a est un point singulier non essentiel. · On peut remarquer que, lorsque a est un point singulier, Q(a) = o, et par suite la fonction f(z,, ... , z,) est indéterminée en ce point. THÉoRÈME XV. — Soient So, S, deux séries entières convergentes pour tous les points d'une aire A formée en prenant sur le plan de chaque variable le cercle de rayon R ayant l'origine pour centre. On peut consi- -, • " ! - - - - s comme une fonction uniforme, définie seulement - dans l'aire A, et ne présentant dans cette aire aucun point singulier essentiel. - dérer la fraction Soit a un point de l'aire pour lequel S,(a) o. Le quotient a une valeur déterminée. On peut former un domaine ô de a dans lequel - - S, o. On a dans ce domaine f= , et, comme ce quotient est holo- $ |. morphe, on voit que f est régulière en a. Considérons maintenant un point pour lequel S, (a) o, S,(a)= o. On peut former un domaine de a pour lequel S, o. On a, pour ce domaine, - So f - S, - et, par suite, a est un point singulier non essentiel pour lequel la fonction devient infinie. ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 43 Enfin prenons un point a pour lequel S,(a) = So(a) = o. On sait que l'on peut former un domaine ô de ce point dans lequel on a So = S2 Sa, S, = S. S,, les séries Sa, S, n'ayant aucun diviseur commun nul au point a. Alors on voit que l'on a, pour tout point de ), S,f= S,, et par suite a est un point singulier essentiel pour lequel la fonction est indéterminée. Soient n quantités données a, , , , , , an. Nous dirons, pour abréger le langage, qu'un point est formé avec les a, si, pour former ce point, on attribue à certaines des variables z,, . .. , zn les valeurs correspon- dantes dans la suite a,, ... , an. En particulier, on dira qu'un point est à l'infini si quelques-unes des variables, ou toutes, prennent des modules infinis; et l'on dira qu'un point est à distance finie si les modules des variables sont tous finis. Considérons la fraction A - - - ( s1 a 1)" . . , ( sn - aa )"- où A est une constante et les p des nombres entiers positifs.Tout point à distance finie et formé avec les a est un point singulier non essen- tiel. La fraction est régulière, au contraire, pour tout point à distance finie qui n'est pas formé avec les a. La fraction est régulière et s'an- nule pour tout point à l'infini qui n'est pas formé avec les a. Considé- rons un point à l'infini formé avec les a. Soit, par exemple, z = a,, z, = 2c , ..., s,, ..., z, ayant des valeurs finies respectivement diffé- rentes de a,, ... .. an. On a | A ( - º0º/- (s,- et le second nombre est une fonction régulière au point considéré. On voit donc que ce point est un point singulier non essentiel. Ainsi, étant données n quantités a,, . .. , an, il est possible de for- mer une fonction rationnelle des variables z,, ... , z, qui n'aura pas de points singuliers essentiels, n'admettra comme points singuliers non essentiels que ceux qui sont formés avec les a, et s'annulera pour tout point à l'infini qui n'est pas un point singulier non essentiel. On peut recommencer le même raisonnement en supposant cer- 44 S, DAUTHEV1LLE. taines des quantités a infinies, pourvu que dans ce cas on remplace - - - - | la différence z,— a,, qui correspond à la,| = x , par : - La considération de ces fractions est utile dans la démonstration du théorème suivant, théorème que l'on peut considérer comme une généralisation d'un théorème de M. Mittag-Leffler pour les fonctions d'une seule variable. | Avant d'aborder ce théorème, rappelons qu'on nomme fonction en- tière une fonction uniforme qui est régulière en tous les points formés par des valeurs des variables dont les modules sont finis. On voit qu'une telle fonction peut être représentée par une série entière con- vergente pour tout système de valeurs des variables dont les modules sont finis. Réciproquement, une telle série est une fonction entière. Si la série qui représente une fonction entière a une infinité de termes dont les coefficients ne sont pas nuls, on dit que la fonction est trans- cendante. Dans le cas contraire, on dit que la fonction est rationnelle, THÉORÈME XVI. — 1° Soient données n suites a! a! ... a} a aº . .. a% telles que dans chacune d'elles les modules croissent avec l'indice » et crois- sent indéfiniment. 2° Soit donnée une suite indéfinie de fonctions rationnelles f, des va- riables z,, , , ., sa possédant les propriétés suivantes. La fonction f, par exemple, n'a pas de points singuliers essentiels; elle n'admet pour points singuliers non essentiels que ceux qui sont formés avec les quantités a, ; elle est régulière en tout autre point et s'annule pour tout point à l'infini qui n'est pas un point singulier non essentiel. On peut former une fonction F(z,, ..., za)possédant les propriétés sui- ('(I/l/es : 1° Elle n'a pas de points singuliers essentiels à distance finie ; 2" Elle n'a pour points singuliers non essentiels que ceux qui sont formés avec les quantités a, en prenant pour certaines des variables ÉTUDE SUR LES SÉRIES ENTIÈRES, ETC. 45 s,, ..., s, une valeur dans celle des séries a', ..., a" qui lui correspond (à la variable z,, on fait correspondre la série a'); 3° Enfin, pour toute valeur de v, la différence F(s , • • • • sn) - f,(s, - - - - sn) est régulière au point a,. Prenons arbitrairement une suite de nombres positifs inférieurs à 1, dont la somme ait une limite ò. Soit O < s1, Ea, , , , , sv, ... , < 1 . Prenons aussi arbitrairement un nombre e, positif et moindre que . Nous formons d'abord des fonctions auxiliaires F, de la manière sui- Vante. Si l'une des quantités a, est nulle, on pose F,(s1, , , , , sn) = / (s1, , , ., sn). Soit a a#... aº z o. Sur le plan de chaque variable z,, décrivons un cercle ayant l'origine pour centre et laissant le point a en dehors. Dé- signons par A, l'aire formée par l'ensemble de ces cercles. La fonction / est holomorphe dans A,, puisque, par hypothèse, elle est régulière en tous les points de cette aire. Soit (1) Au,..,º,s la série qui représente / dans A,. Nous pouvons disposer dans l'ordre suivant les termes de cette série. Prenons d'abord le terme constant. Ensuite écrivons les termes qui sont du premier degré par rapport aux variables, puis les termes du second degré et ainsi de suite. C'est l'ordre indiqué pour écrire les termes d'une série entière. Représentons par le symbole suivant la série obtenue en retranchant de la première tous les termes dont le degré n'atteint pas m : + 1 |1 >A . c ' . . , 37". - - 46 S. DAUTHEVILLE. On peut déterminer m tel que, pour les valeurs - 1 - - #| (i = 1, 2, , n). (/, on ait : '1 ! ( 2 ) Ag,...,g, s . .. #" | < é - - - On a, en effet, pour ces valeurs des variables, - ^ -N \º º,llº * . .. | -,n |*. - - - - | N Ag U. =# - - - -'ºn - - - - - (2) n - - < Y A lºla . | - ºn Posons - so, & < su < 1 . Soit M le maximum des modules des termes de la série (1). On aura | Au g,| s | a3 º .. , | aº º M, et | Ag, ..., g,| Mso"| a | º. .. | aº -* . La relation (3) donne alors - : - | - e \ º (#) ) Au v. s s#