THE LIBRARY OF THE UNIVERSITY OF CALIFORNIA LOS ANGELES UNIVERSITY of CALIFOW AT LOS ANGELES LIBRARY MATHEMATICAL PAPEBS READ AT THE INTERNATIONAL MATHEMATICAL CONGRESS. PRINTED BY J. AND C. F. CLAY, AT THE UNIVERSITY PRESS. Papers Published by the American Mathematical Society. Vol. I. MATHEMATICAL PAPEES READ AT THE INTERNATIONAL MATHEMATICAL CONGRESS HELD IN CONNECTION WITH THE WORLD'S COLUMBIAN EXPOSITION CHICAGO 1893 EDITED BY THE COMMITTEE OF THE CONGRESS E. HASTINGS MOORE OSKAE BOLZA HEINRICH MASCHKE HENRY S. WHITE NEW YORK MACMILLAN AND CO. FOR THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 1896 1024SO r\ A o <-".'ig Mathematical JT 5 ^ ^ Sciences < Lforwy PREFACE. rTTHE Mathematical Congress of the World's Columbian Ex- position of whose proceedings a brief report follows this preface entrusted the publication of the papers presented to the Congress to the Chicago committee editing this volume. Neither the management of the Exposition nor the govern- ment of the United States had made provision for the publishing of the proceedings of any of the Chicago Congresses. No publisher was found willing to issue the papers at his own risk. At last a guaranty fund of one thousand dollars in all was subscribed, six hundred dollars by the American Mathematical Society, and four hundred dollars by members of that Society and other mathematicians. On the basis of this guaranty fund the j publication of the volume of papers was made possible, the Am. Math. Soc. assuming the financial, and the Chicago committee the ^4 editorial responsibility. The Editors take this opportunity to express their grateful , appreciation of the generosity of the subscribers to the guaranty ^ fund, and of the interest in the undertaking shown by the officers of the Am. Math. Soc. They desire also to thank Messrs. Macmillan and Co. for the satisfactory dress in which the papers appear. THE EDITORS. CHICAGO, December 1895. A BRIEF ACCOUNT OF THE CONGRESS ON MATHEMATICS, HELD AT CHICAGO IN AUGUST, 1893* IN the schedule put forth by the World's Congress Auxiliary of the World's Columbian Exposition of 1893, the week beginning on the twenty-first day of August Arrangements, was designated for Congresses on Science and Philo- sophy. Early in 1893 the local committee for the Department of Mathematics and Astronomy had sent invitations to a large number of eminent specialists in those sciences in American and European countries. In response to these invitations, many con- tributions were received by the local committee before the opening of the Congress. The government of one country, Germany, had delegated an Imperial Commissioner to attend the Congress in person, Professor Felix Klein of Gottingen, who brought nearly all the mathematical papers contributed by his countrymen, and cooperated effectively with the local committee in the preliminary arrangements. The general session of all congresses in the Department of Science and Philosophy, convened in the Memorial Art Palace, Hall of Columbus, at 10.30 A.M. of opening. Monday, August 21st, 1893. After an address of welcome by Mr Charles C. Bonney, President of the World's Con- gress Auxiliary, responses were made by foreign delegates. The assembly then dispersed, to meet immediately in the smaller rooms set apart for the several divisions. * Compiled by H. S. White from the official records of the Secretary, Professor H. W. Tyler of Boston, Massachusetts. Vlll The divisions for Mathematics and Astronomy convened in Room 24 at 12 M., under the chairmanship of Pro- Mathematics fessor Q w u ou gh O f Northwestern University. Astronomy After the introductory address of the chairman, Professor Klein addressed the division upon "The Present State of Mathematics*." By vote of those present it was then resolved to meet in two separate sections, for Mathematics and for Astronomy respectively. The mathematical section met at 12.30 P.M. in Room 25, where also all its subsequent sessions were held. The Organization. assembly was called to order by the chairman of the local committee, Professor E. H. Moore of Chicago. For the pur- pose of organization, a nominating committee was chosen, con- sisting of Professor J. M. Van Vleck of Wesleyan University, President H. T. Eddy of Rose Polytechnic Institute, and Professor O. Bolza of the University of Chicago. Upon their nomination the following officers were elected unanimously : President, Professor W. E. STORY of Clark University; Vice-President, Professor E. H. MOORE of the Uni- Offlcers. . m m_. versity of Chicago ; Secretary, Professor H. W. TYLER of the Massachusetts In- stitute of Technology ; Executive Committee, the above officers together with Professor FELIX KLEIN of the University of Gottingen, and Professor H. S. WHITE of Northwestern University. After a short recess the executive committee reported a program for the week, according to which daily sessions should begin at 9.30 A.M., and the papers and lectures re- ceived through the local committee and the commissioner from Germany should be presented as nearly as possible under the following order: Tuesday, August 22. Arithmetic, Algebra, Multiple Algebra: Wednesday, August 23. Algebraic Curve-Theory, Theory of Functions of a real variable ; See p. 133 of this volume ; also The Monist, vol. 4, p. 1 ; Chicago, 1893. IX Thursday, August 24. Theory of Functions of a complex variable ; Friday, August 25. Theory of Groups; Saturday, August 26. Geometry. The committee recommended further that the Congress accept for the afternoons of Tuesday, Wednesday, and University Friday the invitation of Professor Klein to visit the Gennan . . German University Exhibit at the World's Colum- bian Exposition, and attend his exhibition and explanation of mathematical models and apparatus. These recom- mendations were adopted. At the session of Tuesday, on motion of Professor E. H. Moore, the Congress by acclamation elected as Honorary Honorary Pre President Professor Felix Klein. sident, Klein. Meantime a program had been printed. The papers at hand being too numerous and extensive for reading in full ' . . Routine. were given in abstract by their authors if present, otherwise by members designated by the executive committee ; or, where this was not possible, were read by title. With this neces- sary condensation the Congress listened daily to the reading of six papers and the delivery of two lectures, sessions lasting usually three to four hours. On the three afternoons above mentioned, the Congress met at the German mathematical exhibit in the Columbian Exposition at 3 P.M., and attended lectures there given by Professor Klein with the assistance of Professor H. Maschke of the University of Chicago. The order in which the several papers were read is a matter of indifference ; the list of papers appears in the Table of Contents of this volume*. The names of those in attendance, taken from the official register preserved by the Secretary, are as follows : CHARLOTTE C. BARNUM, New Haven, Connecticut. WOOSTER W. BEMAN, A.M., professor of mathematics, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan. * A brief synopsis of these papers is given by Professor H. W. Tyler: The Mathematical Congress at Chicago, Bulletin of the New York Mathematical Society, vol. 3, pp. 14-19, 1893. E. M. BLAKE, Ph.D., instructor in mathematics, Columbia College, New York. T. M. BLAKSLEE, Ph.D., professor of mathematics, Des Moines College, Des Moines, Iowa. OSKAR BOLZA, Ph.D., associate professor of mathematics, University of Chicago. ELLERY W. DAVIS, Ph.D., professor of mathematics, University of Nebraska, Lincoln, Nebraska. HENRY T. EDDY, Ph.D., C.E., President of Rose Polytechnic Institute, Terre Haute, Indiana. ACHSAH M. ELY, B.A., professor of mathematics, Vassar College, Poughkeepsie, New York. RUFUS L. GREEN, M.A., associate professor of mathematics, Leland Stanford Junior University, Palo Alto, California. GEORGE BRUCE HALSTED, Ph.D., professor of mathematics, University of Texas. Austin, Texas. NORBERT HERZ, Ph.D., Vienna, Austria. THOMAS F. HOLGATE, Ph.D., instructor in mathematics, Northwestern University, Evanston, Illinois. LORRAIN S. HULBURT, M.A., instructor in mathematics, Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland. JOHN W. JOHNSON, M.A., associate professor of physics and astronomy, University of Mississippi. H. G. KEPPEL, fellow in mathematics, Clark University, Worcester, Massachusetts. FELIX KLEIN, Ph.D., professor of mathematics, University of Gcit- tingen, Germany. JOHN H. KLEIXHEKSEL, M.A., professor of mathematics, Hope College, Holland, Michigan. FRANK H. LOUD, B.A., professor of mathematics and astronomy, Colorado College, Colorado Springs, Colorado. ALEXANDER MACFARLANE, Sc.D., LL.D., professor of physics, Uni- versity of Texas, Austin, Texas. JAMES MMAHON, M.A., assistant professor of mathematics, Cornell University, Ithaca, New York. HEINRICH MASCHKE, Ph. D., assistant professor of mathematics, University of Chicago. MANSFIELD MERRIMAX, Ph.D., C.E., professor of civil engineering, Lehigh University, Bethlehem, Pennsylvania. XI JOHN A. MILLER, M.A., instructor in mathematics, Leland Stanford Junior University, Palo Alto, California. E. HASTINGS MOORE, Ph.D., professor of mathematics, University of Chicago. JAMES E. OLIVER, M.A., professor of mathematics, Cornell University, Ithaca, New York. MAX OSTERBERG, Columbia College, New York. BERNARD PALADINI, Ph.D., University of Pisa, Italy. JOHN E. PURDON, M.D., Cullman, Alabama. EDWARD D. ROE, Jr., associate professor of mathematics, Oberlin College, Oberlin, Ohio. IDA M. SCHOTTENFELS, A.B., Chicago, Illinois. MONTAGUE R. SEVERSON, M.D., Charlottesville, Virginia. JAMES B. SHAW, Jr., Ph.D., professor of mathematics, Illinois College, Jacksonville, Illinois. WILLIAM B. SMITH, Ph.D., professor of mathematics and astronomy, University of Missouri, Columbia, Missouri. WILLIAM E. STORY, Ph.D., professor of mathematics, Clark University, Worcester, Massachusetts. E. STUDY, Ph.D., professor extraordinarius of mathematics, Univer- sity of Marburg, Germany. HENRY TABER, Ph.D., assistant professor of mathematics, Clark University, Worcester, Massachusetts. HARRY W. TYLER, Ph.D., professor of mathematics, Massachusetts Institute of Technology, Boston, Massachusetts. CHARLES A. VAN VELZER, Ph.D., professor of mathematics, University of Wisconsin, Madison, Wisconsin. JOHN M. VAN VLECK, M.A., LL.D., professor of mathematics and astronomy, Wesleyan University, Middletown, Connecticut. CLARENCE A. WALDO, M.A., professor of mathematics, De Pauw University, Greencastle, Indiana. ARTHUR G. WEBSTER, Ph.D., assistant professor of mathematical physics, Clark University, Worcester, Massachusetts. HENRY S. WHITE, Ph.D., associate professor of mathematics, North- western University, Evanston, Illinois. MARY F. WINSTON, A.B., honorary fellow in mathematics, University of Chicago. M. J. YANTZYN, San Francisco, California. Xll ALEXANDER ZIWET, C.E., assistant professor of mathematics, Univer- sity of Michigan, Ann Arbor, Michigan At the final session on Saturday, August 26, after the regular ci sine program, certain concluding actions were taken. Session. ^ n motion of Professor J. M. Van Vleck it was voted: That the local committee of the mathematical Publication sec ti O n of this Congress have authority to make authorized. J arrangements in regard to the publication ot the proceedings and memoirs. On motion of Professor Moore it was voted unanimously: That the thanks of this mathematical section be tendered to Professor Klein for his very valuable con- tributions to the proceedings of the Congress and for his interesting expositions of the mathematical material in the German University Exhibit at the Exposition. Remarks were made by Professor A. G. Webster of Clark Uni- versity, deprecating the separation, in our educational curricula, of the different branches of mathematical and physical science. President Story congratulated the section upon the success of their sessions ; and in behalf of the section acknowledged its indebtedness to Professor Klein, and the indebtedness of American mathematics in general to the influence and inspiration of German Universities and mathematicians. Adjournment. The section then adjourned sine die. TABLE OF CONTENTS.* PAGE BOLZA, OSKAE, of Chicago : On Weierstrass' systems of hyperdliptic integrals of the first and second kind, Glc 1 BURKHARDT, HEINRICH, of Gottingen, Germany : Ueber einige mathematische Resultate neiierer astronomi- scher Untersuchungen, insbesondere iiber irreguldre Integrate linearer Differential gleichung 'en, H4aaref. U'5 . . 13 CAPELLI, ALFREDO, of Naples, Italy : Qiielqites formules relatives aux operations de polaire, B 4 b 35 COLE, FRANK N., of Ann Arbor, Michigan : On a certain simple group, J 4 a y . . . . . 40 DYCK, WALTHER, of Munich, Germany : Einleitung zu dem fur den mathematischen Teil der deutschen Universitatsavsstellung ausgegebenen Specialkatalog, Via 44 ECHOLS, WILLIAM H., of Charlottesville, Virginia : On interpolation formulae and their relation to infinite series, H12aA M | +0(\, /& = !, 2,.,.2/D) (8). Hence it follows that every integral of the second kind is ex- pressible as a homogeneous linear function of w lt w 2 , ...w^ 4- a rational function of x, y. Now let w 1} w 2 ,...w 2p be another canonical system, and let 2&> A> , denote the modulus of periodicity of w^ at the cross-cut A v , then iri . 2 -^ X-A* = -P ..-(9). X IJL 4= i p * I follow as nearly as possible Weierstr ass' notations; accordingly, the letters a, /3, 7 will always be used to denote indices running from 1 to p, whereas the letters X, n, v denote indices running from 1 to 2p; for the integrals of the first and second kind and their periods, I adopt the notation used by Weierstr ass in his course on hyperelliptic functions of 1881-82. + See for inst. Frobenius, Journal fiir Math. Bd. 89, p. 41. 12 4 OSKAR BOLZA. But according to the last remark the new system is expressible in terms of the old in the form : (10), where the CA M 'S are constants and the r A 's rational functions of x, y ; moreover c a , p+ = 0, r a = ..................... (11), since w lt w 2 , ... w p are again integrals of the first kind. From (10) follows a>A V = 2 CA M ov ........................ (12). n Substituting these values in (9) and making use of the relations (7) we obtain the following condition for the coefficients CA M : r+1 if fi-\ = + p 2 (CA C MP+0 Cxp+a C^) = < 1 fjt, \ = p ...(13). I /i-X+P But we can give this result a more explicit form. The relations (13) are the necessary and sufficient condition that the cogredient substitution : ^ A = Scx M ^, yi = 2c^y li .................. (14), /. t>- transforms the reduced alternating bilinear form 2(a2/p+a-aVHi2/a) a into itself, that is : 2 ( y p+a - x p+a y a ) = 2 (x ft y p+ p - x^ y p ) ...... (15). /3 Since c op+ ^ = we can throw the substitution (14) into the form* X a = S C /J OS ft S faft X p+aL = SS p+ ft + y S dft y y y , ft a y and if we substitute from these equations the values of * Compare the agreement concerning the notation of the indices in the footnote of p. 3. HYPERELLIPTIC INTEGRALS. 5 in (15) we obtain by comparing corresponding coefficients on both sides dp y = d y p , f aft = c^ . We thus reach the following theorem : Any two canonical systems Wi, w 2 ,...w 2p and w 1} w 2 ,...w 2p are connected by the following transformation: w a = 2 c a/3 Wp , ft ^c aft (w p+ai -r p+a ) = w p+ ft + '^d ?y w y ............ (16), a y where the coefficients c are subject to the only condition that their determinant shall be different from zero 10*140, and the coefficients dp y to the condition d y p = dp y , while the r p+a 's are arbitrary rational functions of x, y. 3. Periods of the integrals of the third kind. Let /*'*' be an elementary integral of the third kind with the parameters , and the limits x lt x ; it is single-valued in the surface T" derived from T' by a new cut from to 1} not inter- secting the cross-cuts A A . Let further I\ denote the modulus of periodicity of / at the cross-cut A A . The consideration of the integral* fw^dl (WP denoting one of the integrals of 1), taken along the complete rim of T', leads to the following ex- pression of /x in terms of the integrals of the special canonical system of 1 : 7 A = 2 (2o, aA w^ - 2a> + x w^) + 2 ,-^ \ aA p-t-a p+o, X a / (,* _ 1 a a V tt L where w denotes the integral w^ taken from the point to ^ * Compare for inst. Neumann, Abel'sche Integrate, p. 269. OSKAR BOLZA. Among the infinity of elementary integrals of the third kind with the same parameters f n f , there exists one and but one for which in the above expression of the periods the second term disappears (for every X), viz. the integral For this integral $, the expression of the period, S\, takes the simplified form . .. -- V aX p-fa p-fa, X a / a But the same result which we have just proved with respect to the special canonical system of 1 holds for every canonical system, viz. : To every canonical system w lt w 2 , ... w 2p there belongs one and but one elementary integral of the third kind, S^ , such that the expression of its periods, 8\, in terms of the integrals w 1} w 2 , ... w 2p takes the simplified form .. ..(19). p-J-a, Proof: Pass from the original canonical system of 1 to the new system W 1 ,w 2 ,...w 2p by the transformation (16); it is then easily seen that the integral (where r , denotes the difference of the values of the rational p+a function r p+0 in the two points , ) and no other has the required properties. 4. Interchange of Parameter and Argument. From the expression (19) of the periods of *S* it follows that the theorem on the interchange of parameter and argument -f- takes the following form for our integral S : flf^-Sw"* w XlXt = S u '-'&w Xl ?w* 1 *' ...... (21). , p + a a X t X 9 p + a a * We drop the stroke and denote by w l . . . Wy> any canonical system, by S the corresponding integral of 3. t See for inst. Konigsberger, I. c. p. 65. HYPERELLIPT1C INTEGRALS. The left-hand side of this equation is itself an elementary integral of the third kind with the parameters ^ , and the limits #i,a?<>; we denote it by P? 1 * : SlSo ,. XlX <> /OO\ a ............... (22), and obtain (21) in the form : that is : TFi'^ every canonical system there is associated a perfectly definite elementary integral of the third kind, Pf 1 ? , defined by (22), which remains unchanged if the parameters and limits are inter- changed. The periods of this commutative integral P are immediately derived from (19) and (21) ; they are : If we pass from the system w 1} w. 2 , ... w 2p to another canonical system w lt w. 2 , ... w 2p by the transformation (16), the commutative integral P belonging to the new system is connected with P by the relation w* = P **._ 2d * w . ............... (25) . ClSo Slfo a P a P a,p Hence follows the corollary : If two canonical systems lead to the same commutative integral P and have the same integrals of the first kind, then their corre- sponding integrals of the second kind differ only by rational functions. 5. Connection with the -Function. Weierstrass' function* (u 1 ,u 2 ,...Up) depends on 4p 2 con- stants (" moduli ") &) Afl satisfying the same bilinear relations (7) which are satisfied by the half-periods of a canonical system, and besides a certain inequality which is necessary for the convergence of the -series and which is likewise always satisfied by the half- periods. It is therefore allowed to choose for the moduli of the * See for inst. Schottky, AbeVsche Functionen, 1; our w jS, wo,p+/3, w p + 0) jS, w p +a,p+/3 correspond to Schottky's w a , w' /3> 'Jo/s, Va/s. 8 OSKAR BOLZA. -function the half-periods of a canonical system and we thus obtain corresponding to every canonical system a function In order to see how the function (u lt u 2 , ...u p ) is affected by a passage from one canonical system to another, we make use of the formula* (u 1} . . . Up) = ei< M *-- M P> 6 (VL v 2 , . . . v p ), where u a = S 2&> 0/3 v$, ft / \ 1 -c 1 da> 7? (w-i . . . u p ) = ^~ 2 o> p+ajY = - u a up, AM a/3y OCW0y and o) = | .^r is a certain decomposition of H (x) into two factors of degree p + 1, which depends on the canonical dissection of the Riemann-surface ; y lt y Q are the values of \/R(x) in the points x lt x and x l , x denote the points (#! , - yO, (a? , ~ 2/o) * See for inst. Wiltheiss, Math. Ann. 33, p. 269. t See Klein, Math. Ann. 27, p. 477 and 32, p. 368 and 376. HYPERELLIPTIC INTEGRALS. 9 6. Special canonical systems. In this last I propose to consider a few special canonical systems which are important on account of peculiarly simple properties either of the integrals of the first and second kind themselves or of the integrals of the third kind to which they lead. (a) Riemann-Clebsch's System. To obtain this system, we choose for the integrals of the first kind the p normal integrals v lt v. 2> ... v p with the table of periods : ...(28). The integrals of the second kind are then determined up to additive integrals of the first kind (see 2) ; by a proper choice of the latter we can make the periods V 2p j their remaining periods follow from the relations (7) ; they are contained in the following table*. L ...(29). A, A 2 ...A p A p+1 Ap+2 . . . A 2p l\ 1 1 ... ... TH Tl2 ... T lp v p ... 1 T PI v ... Tp p A, A 2 ...A p A A p+1 | *p+2 ...A* Vp+2 ... ... - 2iri ...0 ...0 ?>2 ... . . . - 2iri ' The commutative integral P belonging to this canonical system is Cleb.sch and Gordan's integral n!? * The same system has been obtained in a different way by Klein in his paper on Abelian Functions, Math. Ann. 36, p. 10. 10 OSKAR BOLZA. whose p first periods are zero. The corresponding function 8 (t*!, ,,... w p ) reduces to the function B(UI, w 2 ,...w p ). Riemann and Clebsch- Gordan operate exclusively with this canonical system. (6) Weierstrass' System. Weierstrass uses in his lectures a canonical system whose characteristic feature is that the corresponding integral S of 3 is A canonical system which leads to this integral is the following* : w p+a = where From this particular system, the most general system which leads to the above integral 8 is derived by the transformation (16) in which all the rational functions r p + a are taken = (see formula (20) for the transformation of 8). The corresponding integral P is always of the form ) ............ 7 where F(x, ) is an integral function of x and of degree p + 1 in each, symmetric in x, %, and moreover gjK i 9^ /-| 2 The transformation formula (25) shows that not only for the particular canonical system which leads to the above integral 8, but for every canonical system the commutative integral is reducible to the form (32). * Given for the case ^ =ObyWiltheiss, Jour. f. Math. 99, p. 238. t Weierstrass' lectures. HYPERELLIPTIC INTEGRALS. 11 (c) Klein's System. Among the infinity of commutative integrals of the third kind there is one of paramount importance, the integral discovered by Klein and denoted by him by the letter Q, in which the function F(x, ) is the p + lst polar of R (x) with respect to , that is, if we use homogeneous variables and write R (x) = a x 2p+2 : Among the various canonical systems which lead to this commutative integral Q, two are of particular interest : the system used by Klein himself, for which we refer to Klein's paper on hyperelliptic sigma functions (Math. Ann. 32, p. 365), and another system used by Wiltheiss in his researches on the partial differential equations of the -functions (Math. Ann. Bd. 29, 31, 33). It may be described as Weierstrass' system so normalized that the corresponding commutative integral is Klein's integral Q, that is, the integrals are of the form _fgi(x)dx X ~J y ' where the g\ (#)'s are integral functions and satisfy the relation : d (I y + rj \ . x-yn T, y Wiltheiss gives the explicit expression of the # A (#)'s only for the case p = 2 * ; to obtain it for the general case it is necessary to 1 V "4" 77 throw the function - -r^ - into a covariant form by the intro- duction of an auxiliary variable t = ti : t 2 ; the left-hand side of (34) becomes -f- : (dxx) d$ o< ** tW 2 (icf) 2 V-R (a where d$ denotes the complete differential with respect to the two * Math. Ann. 29, p. 276. t Compare Burkhardt, Math. Ann. 32, p. 384. 12 OSKAR BOLZA. HYPERELLIPTIC INTEGRALS. homogeneous variables into which has been split up. Effecting the division by (xl~f I find the above expression equal to ^ \ P "~~ /"* ' * / ^^ ^ic ^t (^7C) \C / (Cw7iC) v^t C/ - J - -...(36). Putting i = l, t z = and returning to non-homogeneous vari- ables we obtain the following result : The integrals w a .= a ~ i\ //3 - 1 \ a+1 , 7 )((3- a ) a * ai p+a ~ J7'7\ 2 form a canonical system whose commutative integral of the third kind is Kleins integral Q. The integral Q is the starting-point of Klein's theory of hyperelliptic o--functions ; indeed Klein's function 2 [log (as - a)] 2 + . . . + ^ [log (x - a)] m ] (1). Die bedeuten dabei Functionen, welche in der Umgebung von x = a eindeutig sind, also nach dem Laurent'schen Satze sich in Reihen nach Potenzen von x a mit positiven und negativen ganzzahligen Exponenten entwickeln lassen. Die Substitution* x = a + be it , t = V-l (2) fiihrt diese Integrale uber in folgende Form cos (pt -t- &,) [< + tfr + f 2 (j) 2 +...+ t m m ] (3), in welchen nunmehr die Dabei sind y li y a ... so zu bestimmen, dass sie an einer bestimmten Ste-lle a; = a; samt ihren w 1 ersten Ableitungen verschwinden. Sind die Coefficienten in D 2 klein gegen die Coefficienten von A> so hat es keine Schwierigkeit einzusehen, dass von den Functionen 2/o > 2/i, 2/2- j e de folgende klein gegen die vorhergehende ist, solange die unabhangige Variable auf einen kleinen Bereich beschrankt bleibt. In diesem Sinne sind Processe, welche specielle Falle des Fuchs'schen darstellen, seit langem als gute Annaher- ungsverfahren betrachtet und geiibt worden. Aber die Integration der in (4) auftretenden Gleichungen "mit zweitem Glied" fiihrt im allgemeinen Saecularglieder ein, und man hat es frtiher wol stets als selbstverstandlich angesehen, dass diese die Convergenz des Verfahrens storten, sobald die unabhangige Variable eine gewisse Grenze erreicht. Dem entgegen hat Fuchs a. a. O. bewiesen, dass die Reihe 2/ = 2/o + 2/i + 2/2+--- +2/m+..-ininf ............ (5), Exponenten in schlagender Weise : trotz alledem hat noch ganz neuerdings Hantzschel (Reduction der Potentialgleichung auf gewohnliche Differentialgleich- ungen, Berlin, 1893, p. 108) beide verwechselt und darauf einen ganz ungerecht- fertigten Angriff gegen Eesultate von Bruns gegriindet. * Annali di matematica, ser. n. t. 4, p. 36 (1870). DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 17 ungeachtet des Auftretens der Saecularglieder fur alle nicht singularen Werte der unabhangigen Veranderlichen convergirt, ohne dass man liber die Grosse der Coefficienten in D a und D. 2 irgend eine Voraussetzung zu machen brauchte. Uber die Art des Verhaltens der Integrale in der Umgebung der singularen Punkte geben Reihen der Form (5) zunachst keinen Aufschluss ; die formal auftretenden Saecularglieder brauchen nichts weiter zu sein als Entwicklungsglieder periodischer Func- tionen. Wie man gleichwol von ihnen aus zur Bestimrnung der Exponenten p in (1) vordringen kann, hat P. Gunther* gezeigt. Von astronomischer Seite ist von diesem Convergenzbeweis von Fuchs keine Notiz genommen, vielleicht weil Fuchs in der Einleitung anzudeuten scheint, dass es sich um zu numerischer Berechnung weniger geeignete Methoden handle. Thatsachlich sind, wie wir spater noch sehen werden, verschiedene der von den Astronomen inzwischen vorgeschlagenen Methoden Specialfalle seines Verfahrens. Fuchs hat auch noch einen andern Ansatz zur analytischen Darstellung der Integrale gegebenj*; clerselbe beruht aber auf dem Satze vom Grenzkreis, dessen Unrichtigkeit von Anissimoff| dargethan worden ist, und es bedarf noch der Nachuntersuchung > in wie weit mit diesem Satze auch die aus ihm gezogenen Folgerungen fallen. Von diesen Ansatzen abgesehen beziehen sich die Methoden, welche zur Darstellung der irreguliiren Integrale in der Umgebung eines singularen Punktes gegeben worden sind, zugleich auf einen allgemeineren Fall. Ob namlich der Weg der Veranderlichen x, dem entlang die Veranderung der Function verfolgt werden soil, einen einzelnen singularen Punkt umkreist oder deren mehrere, ist gleichgiltig ; wesentlich ist nur folgendes : es muss voraus- gesetzt werden, dass die Coefficienten der vorgelegten Differential- gleichung analytische Functionen von x sind, welche zwischen zwei conceiitrischen Kreisen eindeutig und stetig sind, sodass sie sich innerhalb des von diesen Kreisen begrenzten Ringgebietes in Laurent'sche Reihen entwickeln lassen. Wie sie sich innerhalb * Journal/, d. r. u. a. Mathematik, Bd. 106 (1890), p. 330, und Bd. 107 (1891), 298. + Ebenda Bd. 75, p. 177 (1872). J Mathematische Annalen, Bd. 40, p. 145 (1892). c. P. 2 18 HEINRICH BURKHARDT. des inneren oder ausserhalb des ausseren Begrerizungskreises verhalten, bleibt dabei ganz gleichgiltig, und die speciellen Falle, in welchen der Radius des ausseren Begrenzungskreises bis ins unendliche erweitert oder der des inueren beliebig verkleinert werden darf, bieten keine wesentliche Vereinfachung. Unter der getroffenen Voraussetzung sind die Integrale innerhalb des Ring- gebietes unverzweigt ; aber bei Durchlaufung einer in ihm liegen- den geschlossenen Curve, die sich ohne Uberschreitung seiner Grenzen nicht auf einen Punkt zusammenziehen lasst, erfahren sie eine lineare Substitution mit constanten Coefficienten. Sei x = a der gemeinsame Mittelpunkt der beiden Begrenzungskreise, so werden auch in diesem Falle die Integrale sich in der unter (1) gegebenen Form darstellen, und es handelt sich nur noch um die Bestimmung der in ihr auftretenden Exponenten und Coeffi- cienten. So gefasst scheint die Fragestellung auf den ersten Blick sehr abstract zu sein und von alien Anwendungen weit abzuliegen ; in der That ist das keineswegs der Fall. Demi die Substitution (2) fiihrt das unendlich oft iiberdeckt zu denkende Ringgebiet iiber in einen Parallelstreifen, der bei geeigneter Wahl der Constanten b die Axe der reellen Werte von t in sich enthalt; die vorgelegte Differentialgleichung aber geht unter Beibehaltung ihres linearen Charakters liber in eine andere, deren Coefficienten als Functionen von t durch absolut und gleichmassig convergente trigonoraetrische Reihen dargestellt sind; und solche Gleichungen treten bei physikalischen und astronomischen Problemen sehr haufig auf. Die Aufmerksamkeit der Mathematiker hat sich zunachst der Bestimmung der Exponenten p in (1) zugewendet. Die Grossen e 2pni sind Wurzeln einer algebraischen Gleichung, die man aufstellen kann, wenn man die lineare Substitution kennt, die irgend n von einander linear unabhangige Integrale bei einem Umlauf innerhalb des Gebietes erfahren. Seien etwa n solche y\> y-2,---y n gewahlt, welche durch die Bedingung definirt sind, dass fur t = Q, x = a + b bezw. werden soil. Analytische Fortsetzung auf einem Wege der DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 19 bezeichneten Art fiihrt y lt y^...y n iiber in andere Integrale t/i> 2/2, y n ] die Coefficienten der Anfangsglieder in den Entwick- lungen derselben nach Potenzen von x (a + b) geben dann direkt die gesuchten Substitutionscoefficienten, und deren Bestimmung wiirde somit geleistet sein, wenn das Verfahren der analytischen Fortsetzung sich thatsachlich durchfuhren Hesse. Die hiermit bezeichnete Schwierigkeit wiirde wegfallen, wenn man eine Ent- wicklung benutzte, aus der gleichzeitig die Anfangs- und die Endwerte der Integrale entnommen werden konnen. Die Methode von Fuchs vom Jahre 1870 leistet das in der That; aber sie ist wie oben bemerkt erst ganz neuerdings zur Bestimmung der p verwendet worden. Hamburger hat vorgeschlagen*, die Ent- wicklung nach Potenzen der durch (2) definirten Grosse t vorzunehmen. Unbeschadet der Allgemeinheit darf angenommen werden, a sei der Nullpunkt und das Ringgebiet sei durch die Ungleichungen R l <\a\ 2*- ........................ (9) ist, auch noch fur t = 2?r convergiren und also die gesuchten Endwerte zu berechnen gestatten. Ist aber die Ungleichung (9) nicht erfiillt, so werden auch hier analytische Fortsetzungen erforderlich ; aber die Anzahl der Zwischenwerte, welche einge- schaltet werden miissen, ist geringer, als bei dem ersten Ansatze. Uberdies hat Mittag-Lefflerf gezeigt, dass dabei noch gewisse Vereinfachungen erzielt werden konnen. Von einer Einschrankung wie die durch die Ungleichung (9) ausgedruckte frei ist die Methode von PoincareJ, der durch die * Journ.f. d. r. u. a. Math., Bd. 83, p. 185, Bd. 84, p. 264 (1877). t Acta mathematica, Bd. 15, p. 25 ff. (1891). t Ebenda Bd. 4, p. 211 (1884). 22 20 HEINRICH BURKHARDT. Substitution* t den Parallelstreifen auf einen Vollkreis abbildet und die Integrale nach Potenzen von z entwickelt. Im Anschluss hieran ist die functionentheoretische Untersuchung der Abhangigkeit der Ex- ponenten p von den in der Differentialgleichung auftretenden Coefficienten in der Pariser These von H. Vogtf weitergefuhrt worden. Beide Methoden, die von Hamburger wie die von Poincare, liefern schliesslich Ausdriicke fur p, welche den willkiirlich zu wahlenden Ausgangspunkt der Entwicklungen formell enthalten, wahrend ihr Wert tatsachlich von demselben unabhangig sein muss. Mittag-Leffler hat gezeigtj, wie man die von dieser Hilfsgrbsse freien Glieder der betr. Entwicklungen erhalten kann, ohne alle ubrigen berechnen zu mussen. Ubrigens scheint weder die eine noch die andere Methode jemals zu numerischer Durchfuhrung in einem einzelnen bestimm- ten Fall verwendet worden zu sein. II. Die Methode von Hill. Wahrend so die Mathematiker noch mit unvollkommenen und umstandlichen Methoden sich behalfen, war die Aufgabe bereits von dem amerikanischen Astronomen G. W. Hill gelost worden. Hill greift die Schwierigkeit ganz direkt an, indem er folgender- massen vorgeht : Sei vorgelegt die Differentialgleichung V P (sA 11 n"H JM - r ^\ x )-y V 11 /, in welcher P 2 (#)= 2 a k a; oje , x = e u (12). k=-<*> * h hat hier dieselbe Bedeutung, wie unter (9). t Sur lea invariants fondamentaux des 6qu. diff. du second ordre (1889), abgedr. Ann. de I'ecole normale, ser. in. t. 6. J Acta mathem., Bd. 15, p. 20, p. 29, On apart of the motion of the moon's perigee, Cambridge, U.S., 1877, insbes. p. 17 ff. ; wiederabgedr. Acta mathem., Bd. 8 (1886). DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 21 Soil diese Gleichung durch eine Reihe der Form iategrirt werden, so miissen die unendlich vielen Coefficienten den unendlich vielen linearen Gleichungen + 00 (14), geniige leisten. Das erfordet das Verschwinden der unendlichen Determinante dieses Gleichungssystems ; dieselbe 1st (15), ...[-2] r_ll a n n L *J 1 2 "3... . . . - a_ 3 ...-a_ 4 <7_ 2 ~ a -i [1] oti . . . - a_ 3 - a_ 2 - a_j [2] ... wenn zur Abktirzung (16), gesetzt wird. Der Exponent p in (13) muss also eine Wurzel p der Gleichung ........................... (17), sein ; er ist aber seiner Definition nach nur bis auf gerade ganze Zahlen bestimmt, und in der That andert sich D (p) nicht, wenn man p um eine solche Zahl vermehrt oder vermindert. Mit p' zugleich sind also auch p' 2, p'4>... Wurzeln von (17). Ausserdem ist in dem von Hill behandelten Falle allgemein afc=a_fc, was zur Folge hat, dass auch p', p'%, p'4s Wurzeln von (17) sind. Es hat also D (p) dieselben Nullstellen wie cos (/3?r) cos (pV) ; demnach muss eine Identitat der Form bestehen D (p) = E [cos (PTT) - cos (pV)] ........... (18), wo E eine nirgends verschwindende Function von p ist. Hill nimmt an, sie sei eine Constante und bestimmt sie folgender- massen : nimmt man von D (p) nur eine endliche Anzahl sym- metrisch um das Element [0] herum gelegener Elemente zu einer Determinante zusammen und entwickelt diese nach aufsteigenden 22 HEINRICH BTJBKHARDT. Potenzen von p, so ist 1 der Coefficient der hochsten vorkommenden Potenz ; dagegen in der bekannten Productentwicklung COB (,r) = (1 - V) (l - 4 ) (l - *| 2 ) ...... (19), ist er 4.-|.-^g- Multiplicirt man demnach allgemein alle Elemente derjenigen Zeile von D (p), in welcher das Element [j] vorkommt, mit 4 4 so entsteht eine neue unendliche Determinante V(p), welche identisch gleich cos (pir) cos (//TT) ist ; insbesondere hat man also die zur Rechnung und Controlle dienlichen Formeln cos (pV) = 1 - V (0)= -V (I) = - 1 - V (1) = ......... (20). Eine andere Umformung erhalt Hill, indem er davon ausgeht, dass das Produkt der " Diagonalelemente" in V (0) gleich ist ; durch Division jeder Zeile von V (0) mit ihrem Diagonal- element erhalt er eine neue Form n (0), deren Diagonalelemente alle = 1 sind. Ahnlicher Umformungen gibt er noch mehrere. Ist erst der Wert von p' ge fund en, so geschieht die Auflosung des Gleich ungssystems (14) einfach dadurch, dass alle a und g, deren Indices eine gewisse Grenze iiberschreiten, vernachlassigt werden. Dadurch reducirt sich das System auf ein endliches. Man sieht, dass durch Hill's Verfahren das Problem vollstandig und auf die direkteste Weise erledigt ist. Aber um die Begriin- dung desselben, um die Frage nach der Convergenz der mannig- fachen dabei auftretenden unendlichen Prozesse hat er sich wenig Sorgen gemacht. Insofern bedurfte sein Vorgehen der functionen- theoretischen Nachprufung. Diese ist ihr denn auch durch Poincare'* zu teil geworden; und ganz neuerdings hat H. von Koch-f- eine ausfuhrliche Darstellung der Theorie veroffentlicht, * Bulletin de la socUte math, de France, t. 14 (1886), p. 83 ff. PoincarS war bereits von anderer Seite her auf unendliche lineare Gleichungssysteme aufmerk- sam geworden (a. a. O. t. 13, p. 19). t Acta mathematica, Bd. 16 (1892), p. 217 ff.; vorlaufige Mitteilungen in den Farhandlingar der Stockholmer Akademie, 1890, und in Acta math., Bd. 15 (1891). DIFFERENT! ALGLEICHUNGEN IN DEB ASTBONOMIE. 23 welche auf dem von Poincare eroffneten Wege den allgemeinen Fall einer linearen Ditferentialgleichung beliebig hoher Ordnung mit Integralen der allgemeinen Form (1) in sorgfaltiger Durch- fiihrung aller Einzelheiten der Beweise erledigt. Wesentlich ist dabei vor allem eine bestimmte Definition dessen, was unter einer unendlichen Determinante verstanden werden soil ; Poincare und von Koch wahlen die folgende : Seien A^ (i, k = - oo . . . + oo ), eine doppelt unendliche Reihe gegebener Grb'ssen, und sei D m die aus den A ik unter der Einschrankung i, k = m, m + 1, . . . m 1, in gebildete Determinante;' wenn diese Grossen D m mit wachsen- dem Index m einem bestimmten Grenzwert D sich nahern, so heisst die aus alien A ik gebildete unendliche Determinante con- vergent und D ihr Wert. Die Definition bevorzugt die " Diagonal- elemente," d. h, diejenigen, deren beide Indices einander gleich sind, und unter diesen wieder A m ; es wird dann gezeigt, dass zwar die ersteren in der That eine besondere Rolle spielen, dass aber jedes von ihnen an die Stelle von A^ treten kann. Convergent sind insbesondere die Determinanten " von normaler Form," d. h. diejenigen, in welchen sowol das Produkt der Diagonalelemente, als die Summe aller iibrigen Elemente unbedingt convergiren; ferner auch diejenigen, welche dadurch auf normale Form gebracht werden konnen, dass man alle Elemente jeder Zeile mit einer bestimmten Grosse multiplicirt und alle Elemente der gleich- namigen Colonne je mit derselben Grosse dividirt*. Von solchen Determinanten zeigt von Koch, dass fur sie alle Satze der gewohn- lichen Determinantentheorie insoweit gelten, als die bevorzugte Stellung der Diagonalelemente gewahrt bleibt. Auf Grund dessen ist die Auflosung unendlicher linearer Gleichungssysteme ohne weitere Schwierigkeit zu erledigen ; wesentlich ist dabei, dass bei einer Determinante von normaler Form nicht alle Hauptunter- determinanten bis zu beliebig hoher Ordnung bin Null sein kb'nnen. Die Anwendung auf die Darstellung der irregularen Integrate * Fur Determinanten dieser Art hat Vivanti (Annali di matem., ser. n. t. 21, p. 28 (1893)) die Bezeichnung "normaloide" vorgeschlagen. 24 HEINRICH BURKHARDT. linearer Differentialgleichungen, die von Koch allgeraein gibt, mag hier zu leichterer Vergleichung sowol mit Hill, als mit den noch zu besprechenden Methoden fur den Fall der Gleichung* (21), > A= -oo skizzirt werden. Wird wieder ein Integral der Form + (22), 1= -00 gesucht, so lautet diesmal das zu behandelnde unendliche Glei- chungssystem + (p + m)(p+m-l)g m + 2 a m _>,_ 2 g i , = 0, m = - oo ... + oo ...(28), A=-oo + 00 oder S ^mA#A = 0, m = -oo... + oo ............ (24), A=-oo wo ijr = 1, dagegen fur X J m : Die Determinante dieses Gleichungssystems die Hill's entspricht bezeichnet von Koch mit fl(p)', aus ihr entsteht eine andere, Hill's V (p*) entsprechende, von v. Koch mit D (p) bezeich- nete, indem man die linke Seite jeder der Gleichungen (23) mit einem Factor h m multiplicirt, der wie folgt definirt ist: Seien p lt p 2 die Wurzeln der Gleichung p(p-l)-_ 2 = ..................... (25), (der bei Hill p 2 a = entspricht), so ist lit/ (26). Diese Determinante D (p) ist dann, wie aus dem Cauchy'schen Satze uber den Maximalbetrag der Coefficienten einer convergenten Potenzreihe gefolgert wird, fur alle Werte von p gleichmassig convergent und stellt also eine ganze transcendente Function von p vor-f. Andererseits ist * Man beachte, dass in (11) t, in (21) x unabhangige Variable ist. t Durch diesen Satz hat sich von Koch den Weg zur Beherrschung auch der mit Logarithmen behafteten Integrale gebahnt. DIFFERENTI ALGLEICHUNGEN IN DEB ASTRONOMIE. 25 D (P) = 2 sin (P ~ Pi) * sin (P - ps) w ft (p) (27), D (p) vfie H (p) sind periodische Functionen von p mit der Periode 1 ; 1 (p) wird ira Periodenstreifen zweimal unendlich und besitzt im unendlich fernen Punkte desselben den bestimraten Wert 1 ; es muss also auch zweimal, fiir p = p' und p = p", Null werden ; schliesslich erhalt man sin(p-p')7rsm(p-p")7r (28). Der Fall p = p" erfordert noch weitere Untersuchungen, die v. Koch sorgfaltig durchgefiihrt hat, die aber hier bei Seite gelassen werden konnen ; ist aber p < p", so ergibt sich sofort die Bestirn- mung der zu jedem dieser Werte gehb'rigen Coefficienten g^. Damit ist Hill's Verfahren vollstandig gerechtfertigt. III. Die Methode von Gylden. Eine andere Methode zur Behandlung der Differentialglei- chungen der Form (11) oder (21) hat Gy Iddn* vorgeschlagen. Sie beruht darauf, dass unter Voraussetzung, die hoheren Glieder in der Entwicklung von P 2 (#) seien von geringem Einfluss, die vorgelegte Differentialgleichung durch eine Lame'sche Differen- tialgleichung, und zwar durch den "ersten Hermite'schen Fall" einer solchen ersetzt wird-f*. Die GleichungJ -7^2 +[- 2& 2 sin 2 am u - k 2 sin 2 am v + 1 + k 2 ] y = . . .(29), * Kurze Mitteilung in der Vierteljahrsschrift der astronomischen Gesellschaft, Bd. 16; ausfuhrliche Darstellung der gesamten Storungstheorie Gyldens (un- dersokningar af theorien for himlakropparnas rorelser) im bihang till K. svenska vetenskaps akad. handlingar, Bd. 6, Nr. 8 und 16, Bd. 7, Nr. 2 (188182) [fiir unsere Frage kommen hauptsachlich Bd. 6, Nr. 8, p. 5058 in Betracht]; Kesum6 dieser Abhandlung in den Astron. Nachrichten, Bd. 100, p. 97 ; weitere allgemeine Auseinandersetzungen ebenda Bd. 103, p. 49. Dann die zahlreichen Abhandlungen Gylden's und seiner Schiiler, in welchen seine Methoden auf specielle Probleme angewendet werden. Uber deren astronomische Tendenzen und Kesultate orientirt ein zusammenhangender Bericht von C(allandreau), im Bulletin astronomique, t. 7 (1890), p. 470; die mathematischen Fragen sind dort bei Seite gelassen. t Hermit e, Sur qques. applications des fonctions elliptiques, Paris, 1885. Die Bezeichnungen sind die der Fundamenta Jacobi's. 26 HEINRICH BURKHARDT. hat namlich das allgemeine Integral* Diese Gleichung hat in der That die Gestalt von (11); es ist namlich, wenri gesetzt wird sin 2 am u = (1 - cos 2 am u) = (I - f Fj< 2 > cos 2ft)- . .(32). Die Coefficienten F hatte Gylde'n schon bei einer frliheren Ge- legenheit bestimmt*}- und insbesondere gefunden _JL ...(33). Die ersten beiden Glieder des Coefficienten von y in der Differen- tialgleichung rJf-2 ' I _"* " ( wo " vv I y ~ " ('J4 1 )' stimmen daher mit den entsprechenden Gliedern in (29) iiberein, wenn in diesen der Modul der elliptischen Functionen und die Hilfsgrosse v den Gleichungen gemass bestimmt wird T .^,2 A. * 2 T/'O *"\ /* Die Coefficienten in (32) nehmen rasch ab ; wenn auch die in (34) dieselbe Eigenschaft haben, kann (30) als erste Annaherung fur das Integral von (34) gelten. Um aus dieser ersten Annaherung eine zweite zu erhalten, ersetzt Gylde'n in den bei ihr vernachlassigten Gliedern die abhangige Veranderliche durch ihren ersten Naherungswert. Er erhalt so+ fur die Correction eine Lame'sche Differentialglei- * Den schon von Lam6 selbst erledigten Ausnahmefall, dass v einer Halbperiode gleich ist, konnen wir hier bei Seite lassen. Er spielt in andern noch zu nennen- den Untersuchungen Gyldens eine grosse Bolle. t Memoires de Vacad. de St Pgtersbourg, t. 16, nr. 10, p. 6 8. (1871). J Vgl. oben das Gleichungssystem (4). DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 27 chung "mit zweitem Glied," deren Integral aus dem der Gleichung "ohne zweites Glied" in bekannter Weise durch Quadratur abgeleitet werden kann. Insoweit fallt Gylden's Methode unter die citirten allgemeinen Entwicklungen von Fuchs; aber nun kommt eine charakteristische Modification : Gylden entfernt die durch die genannte Quadratur eingefiihrten Saecularglieder dadurch, dass er an dem durch (35) bestimmten Wert der Hilfsgrosse v nachtraglich eine Correctur anbringt. Gibt man namlich dem v ein Increment Av und berechnet das dadurch entstehende Increment von y unter Beiseitelassung hoherer Potenzen von At;, so erhalt man ausser periodischen Termen den folgenden saeculareu : . d? log v . *(-yi + yi) ^ At; (36), der bei geeigneter Bestimmung von Av gegen die durch jene Quadratur eingefuhrten Terme derselben Art sich weghebt. Auf demselben Wege kann man von der zweiten Annaherung zu einer dritten gelangen u. s. w.; dabei erhebt sich die Frage nach der Convergenz des Verfahrens. Zieht man die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen herbei, so hat es keine Schwierigkeit nachzuweisen, dass das Verfahren in der That ein Integral der Form (22) liefert, wie es aus jener Theorie sich ergibt ; daraus folgt die Convergenz fur alle diejenigen (hinlanglich kleinen) Werte der Parameter a 1} a 2 ---> fur welche p und die in (22) vorkommenden Coefficienten nach Potenzen dieser Parameter entwickelt werden konnen*. Aber diese Bedingungen fur die Convergenz aus dem Verfahren selbst ohne Bezugnahme auf die allgemeine Theorie zu entwickeln dlirfte sehr schwierig sein. Gylden hat die Convergeuz seiner Methoden, von welchen die Integration der Gleichungen der Form (34) ja nur einen Teil bildet, in wiederholten Ansatzen-f- nachzuweisen versucht, ohne selbst behaupten zu wollen, dass der Beweis in einer alle Moglich- keiten umfassenden Weise gegliickt sei. Es wird auch erforderlich sein, bei solchen Untersuchungen die einerseits von Matheraati- kern, andererseits von Astronomen mit dem Worte Convergenz * Vgl. Tisserand, Annales de la facnlte de Toulouse, t. n. D (1888). t Astron. Nachrichten, Bd. 106, p. 209 (1883) und Bd. 121, p. 81 (1889); Acta mathematica, Bd. 9, p. 185 (1887) u. Bd. 15 (1892). 28 HEINRICH BURKHARDT. verkniipften Vorstellungen * scharfer als dies Gylddn gethan hat auseinanderzu halten. In den eben erwahnten allgemeinen Untersuchungen Gylden's kommen ausser Differentialgleichungen der Form (34) auch solche der Form y V k /O*7\ '$p = 2 a k y K (61), sowie solche der allgemeineren, (34) wie (37) urnschliessenden //2/j/ GO GO (38). Den Methoden, welche Gylddn zur Integration dieser Differential- gleichungen vorschlagt, sind zwei wesentliche Gedanken von zweifelloser Tragweite gemeinsam. Der eine ist die Erkenntniss, dass das Auftreten von Saeculargliedern im Verlaufe der succes- siven Annaherungen in vielen Fallen bedingt ist durch die Abweichung der Periode der betrachteten Erscheinung-f* von dem aus der ersten Annaherung erhaltenen Werte derselben, samt der daraus entspringenden Methode, bei jedem Schritte des Annaherungsverfahrens die auftretenden Saecularglieder dadurch zu beseitigen, dass der bereits gewonnene Wert der Periode vveiter corrigirt wirdj. Der andere Grundgedanke Gylden's besteht in der Uberzeugung, dass Fortschritte in der Storungs- theorie uber die klassischen Methoden von Lagrange und Laplace hinaus nur erzielt werden kb'nnen, wenn man sich das gesamte Arsenal des von der modernen Functionentheorie bereitgestellten mathematischen Riistzeugs zur Verfugung halt. Die in der Aufstellung und Durchbildung dieser beiden Principien liegende Leistung GyldeVs wird niemand laugnen oder herabsetzen wollen. Wenn aber Gylden unter alien Ergebnissen der Fuuctionentheorie gerade die Integration der Lame'schen Differentialgleichung durch elliptische Function en herausgreift und jede auftretende Gleichung in diese Form zu presseri sucht, so kann der Mathe- * Vgl. hieriiber Poincar6, Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. n. (Paris, 1893), p. 1 ff. t Bezw. die Periode des einflussreichsten Terms. J Bei Gleichungen der Form (37) oder (38) erzielt Gylden die erforderliche Corrector der Periode durch Abanderung des Moduls der elliptischen Functioiien, von dem im Falle der Gleichung (34) die Periode unabhangig war (vgl. 31). DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 29 matiker darin nur einen Notbehelf sehen, dessen Anwendung gerechtfertigt war, solange die allgemeine functioneiitheoretische Behandlung der betreffenden Gleichungen noch nicht gelungen oder noch Dicht bekannt war, dem aber an sich keine tiefer- gehende Bedeutung zukommt*. IV* Die Methode von Lindstedt, In der That hat Lindstedt gezeigt, wie man unter Beibe- haltung der wesentlichen Gedanken GyldeVs sich von der unwesentlichen Benutzung der elliptischen Functionen freimachen kannf. Er behandelt den Fall, dass in der Gleichung (38) der Coefficient 10 die iibrigen uberwiegt und negativ ist, also den Fall einer Gleichung der Form (39), in der a eine gegeniiber n 2 kleine Grb'sse und eine Reihe bedeutet, die nach Potenzen von y mit positiven ganzen Expo- nenten und nach trigonometrischen Functionen der ganzen Viel- fachen von t fortschreitet. Die traditionelle Methode der Integration solcher Gleichungen durch successive Annaherung wu'rde mit der Integration der Gleichung f + n 2 2/o = ........................ (40), durch T/ O = cos nt beginnen. Statt dessen integrirt Lindstedt (in Benutzung des * Unter den Astronomen haben der gleichen Ansicbt Ausdruck gegeben Thiele (Astron. Nackrichten, Bd. 102, p. 65, 1882) und E. E(adau) (Bulletin astrono- mique, t. 5, p. 178, 1888). Die alteren Untersuchungen Gyldens, welche die Einfiihrung der elliptischen Functionen in das Problem der "speciellen" Storungen zum Gegenstand haben, werden von dieser Kritik nicht beriihrt, wie zur Vermei- dung jeden Missverstandnisses hier ausdrucklich bemerkt sein mag. Das sind Fragen, iiber die nicht der Mathematiker, sondern nur der rechnende Astronom entscheiden kann. t Memoires de Vacademie de St Petersbourg, t. 31, nr. 4 (1883) ; Astron. Nach- ricMen, Bd. 105, p. 97 (1883). Uber Gleichungen der Form (37) schon vorher in Astron. Nachrichten, Bd. 103, p. 211 u. p. 257 (1882). Ein in den letztgenannten Aufsatzen vorkommendes Missverstandniss in Bezug auf die Methode Gylden's hat dieser ebenda p. 321 aufgeklart. 30 HEINRICH BURKHABDT. ersten der oben genannten Principien GyldeVs), indem er eine noch zu bestimmende Correctionsgrosse v einfuhrt, zuerst die Gleichung / + n 2 (l- ai /) r/ = .................. (41), durch 2/0 = cos pt, p = n Vl av Dann setzt er y = y + ctTjn ........................ (43), in (39) ein, erhalt fur r} die Gleichung + a(y ,t) ......... (45). Von den Saeculargliedern, welche die Integration dieser Glei- chung im allgemeinen rait sich bringt, werden die von a freien dadurch beseitigt, dass v = Vl + av, + a?v 3 + ..................... (46) angenommen und ivgeeignet bestimmt wird; die iibrigen, welche a zum Factor haben, werden zunachst vernachlassigt und erst beim nachsten Schritte beriicksichtigt. Es wird namlich in gleicher Weise fortgefahren, i) = y^ + atji gesetzt, flir ^ die Gleichung* , t)} (47), erhalten, diese in dritter Annaherung durch > ++ ... (48), y=yo ersetzt und nun i/ 2 so bestimmt, dass das Integral dieser Gleichung keine von a. freien Saecularglieder enthalt u. s. f. Dabei werden zur Bestimmung der v 1} v 2 Gleichungen erhalten, in deren Coeffi- cienten v selbst vorkommt ; Lindstedt setzt in diesen einfach v = 0, indem er die Correctur der dadurch begangenen Vernach- lassigung ebenfalls jedesmal dem nachsten Annaherungsschritt * Mit \f/ ist die Gesamtheit derjenigen Glieder bezeichnet, die bei dem vorher- gehenden Annaherungsschritt dem eben betrachteten zugeschoben worden sind. DIFFERENTI ALGLEICHUNGEN IN DEB ASTRONOMIE. 31 zuschiebt. So erhalt er schliesslich y entwickelt in eine Reihe der Form (49), deren einzelne Coefficienten ihrerseits nach Potenzen von a ent- wickelt sind. Lindstedt betrachtet auch noch simultane Gleichungen der Form und entwickelt deren Losungen in Reihen der Form 2Ai m _ k cos(lp 1 + mp 2 + ... + k)t (51), damit erreicht er schliesslich den Anschluss an denjenigen allge- meinen Ansatz der Form der Integrale, von welchem Newcomb schon 1874 bei seinen Vorschlagen zu einer neuen Behandlung der Storungsprobleme ausgegangen war*f*. Die weitere Discussion der Lindstedt'schen Ansatze hat sich hauptsachlich in zwei Richtungen bewegt. Einmal hat die Frage nach der Convergenz der resultirenden Reihen die Aufmerksam- keit auf sich gezogen. Die Quadraturen namlich, welche jedesmal beim Ubergang von der Differentialgleichung " ohne zweites Glied " zu der " mit zweitem Glied " erfordert werden, fiihren Nenner der Form Ip + k (" Integrationsdivisoren ") ein, unter welch en beliebig kleine sich befinden, entsprechend denjenigen Werten von I : k, welche Naherungswerte des Kettenbruchs fur p sind. Poincare hat zunachst^; durch einen indirecten Schluss dargethan, dass die Losung des Dreikorperproblems nicht durch unbedingt convergente Reihen dieser Art dargestellt werden konne ; weiter hat er gezeigt, dass fur jede solche Reihe in * y, z ... ersckeinen hier als " Normalcoordinaten " im Sinne der englischen Physiker (vgl. z. B. Thomson and Tait, Treatise on natural philosophy, t. i., art. 337). t Smithsonian contributions to knowledge, vol. 21, art. in., 1876. J Acta mathematica, Bd. 13, p. 254 ff. (1889). Methodes nouvelles de la mecan. eel., t. n., p, 94 ff. (1893). 32 HEINRICH BURKHARDT. jedem Intervall unendlich dicht Werte von p liegen, fur welche sie nicht convergirt. Zu demselben Resultat war auch Bruns* bei sehr einfachen Reihen dieser Art auf einem andern Wege gelangt, bei welchera in Frage kommt, ob p eine " algebraische " oder " transcendente Zahl ist-f" (Ubrigens setzen diese letztge- nannten Untersuchungen voraus, dass die Coefficienten nur verraoge der Integrationsdivisoren von p abhangen, was nicht durchweg der Fall ist). Andererseits folgt aber aus den Unter- suchungen von Poincare, dass die Reihen, wenn man sie nach Potenzen von a ordnet, in vielen Fallen semiconvergent und also zu numerischer Rechrmng sehr wol brauchbar sind*!*. Ausserdem ist die Anwendung der Lindstedt'schen Methode auf Gleichungen der Form (34) weiter verfolgt worden, insbeson- dere auf die Gleichung + (a + ai cos)2/ = .................. (52), die in der mathematischen Physik als " Differentialgleichung der Functionen des elliptischen Cylinders" wohl bekannt ist J. Bruns hat zunachst diese Gleichung behandelt und fur dieselbe die Convergenz des Lindstedt'schen Verfahrens (auf einem einiger- massen muhsamen Wege) dargethan; Callandreau|| hat fur den allgemeinen Fall der Gleichung (34) den Ansatz des Inte- grals in der Form 2 A k cos(p + k)t ..................... (53), (vgl. 22) aus der allgemeinen Theorie der linearea Differential- gleichungen gerechtfertigt und damit fur diesen Fall die Con- vergenzfrage erledigt. Ausserdem war die Gleichung (52) von F. Lindemann^f in eigentumlicher Weise mit Hilfe ihrer Eigen- schaft integrirt worden, dass das Produkt von zwei particularen Integralen derselben eine ganze transcendente Function ist ; * Astron. Nachrichten, Bd. 109, p. 215 (1884). t Diese Untersuchungen Poincares fiillen das 1. Heft des n. Bdes. seiner me'thodes nouvelles. I Vgl. z. B. Heine, Handbuch der Kngelfunctionen, Bd. i. (Berl., 1878), p. 404. Astron. Nachrichten, Bd. 106, p. 193 ; Bd. 107, p. 129 (1883/4). || Ebenda Bd. 107, p. 33. IT Mathematische Annalen, Bd. 22, p. 117 (1883). DIFFERENT! ALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 33 Stieltjes* hat aus dieser Darstellung die Resultate von Bruns von neuem abgeleitet. In alien diesen Untersuchungen tritt zwischendurch immer das unendliche System linearer Gleichungen (23) auf ; aber indem dessen direkte Behandlung vermieden wird, werden Entwick- lungen erhalten, welche nicht wie die von Hill fur alle, sondern nur fur beschrankte Werte von a^ Giiltigkeit haben. Eine Vergleichung der von Gylde'n und von Lindstedt zur Integration der Gleichungen der Form (34) vorgeschlagenen Methoden hat Tisserand-f- durchgefuhrt. Es ergibt sich aus seinen Resultaten, dass in diesem Fall die elliptischen Functionen nichts leisten, was das Lindstedt'sche Integrationsverfahren nicht ebensogut leistete, und dassj die grosse Ubereinstimmung mit dem genauen Werte, welche Gylden in dem von ihm zuerst behandelten Falle der Bewegung des Mondperigaeurns schon in der ersten Annaherung erzielte, einein diesem Specialfalle eigen- tiimlichen Zusammentreffen mehrerer giinstiger Umstande zu danken ist. Fur Gleichungen der Formen (37) und (38) ist eine ahnliche Vergleichung noch nicht durchgefuhrt ; doch ist auch fur sie, von ganz besonderen Fallen abgesehen, ein analoges Resultat zu erwarten. Die bleibende Leistung von Gylden in der Theorie der "allgemeinen" Storungen wiirde demnach in den unter ill bereits erorterten Principien bestehen, welche ihn bei der Reduction des Problems auf Differentialgleichungen der genann- ten Formen leiten, sowie in dem System von Umformungen, durch welches er diese Reduction durchsetzt ; wahrend sein Integrationsverfahren weder eine tiefere Einsicht in die Natur der zu untersuchenden Functionen, noch wesentliche Vorteile fur die Ausfuhrung der Rechnung gewahrt. Fiir Gleichungen der Form (34) ist die theoretische Einsicht durch die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen vermittelt, die wirk- liche Bestimmung der Exponenten und Coefficienten in alien Fallen durch das Hill'sche Verfahren geleistet, das in geeigneten Fallen durch das Lindstedt'sche ersetzt werden kann. Fiir Glei- chungen der Form (37) hat Weierstrass die theoretischen * Astron. Nachrichten, Bd. 109, p. 145, p. 264 (1884). t Annales de lafaculte de Toulouse, t. n. D (1888). t a. a. 0. p. 11. Sitzungsberichte der Berl. Akademie, 1866, p. 97. C. P. 34 HEINRICH BURKHARDT. Grundlagen gelegt und einige Ansatze fiir die Ausfuhrung der Rechnungen gegeben. Es erscheint demnach als eine Aufgabe der nachsten Zukunft, die allgemeine Form (38) in gleicher Weise zuganglich zu machen. Aus der Theorie der elliptischen Func- tionen wird man dabei Fingerzeige dariiber zu entnehmen haben, welcherlei mannigfaltige Moglichkeiten zu erwarten sind ; die schliesslich fiir die Rechnung erforderlichen Entwicklungen in trigonometrische Reihen wird man lieber direkt als auf dem Umweg iiber elliptische Functionen aufstellen. Gottingen, Juli 1893. [Das eben erschienene 2. Heft des n. Bandes von Poincare"s Me'thodes nouvelles ist dem Verfasser erst nach Abschluss dieses Berichtes zugekommen.] QUELQUES FORMULES RELATIVES AUX OPERATIONS DE POLAIRE. PAR ALFREDO CAPELLI A NAPLES. LES for mules que j'ai 1'honneur de communiquer an Congres ont pour but de servir a ramener, autant que possible, 1'expression de 1'ope'ration H(x,y, ..., u) entre n series de variables : a des operations H renfermant un nombre plus petit de series. L'ope'ration H peut etre de'finie par 1'expression*: uu ... D zu D yu H(x, y,z, ..., u) = D D yz D m \ (1), Dpq designant I'ope'ration ele'mentaire de polaire : D Pour /i = n 1'ope'ration H revient a 1'operation ft de M. Cayley. On a en effet dans ce cas particulier : H (. y, ,,..., ) = (2 ^jw ... %) (2 /- ^ ^ . . . gf-) . . .(2). Au moyen des operations H (x}, H(x,y),... on peut construire d'abord les n operations : * Cfr. Ueber die Zurilckfiihrung der Cayley'schen Operation fl etc. (Mathe- matische Annalen, Band xxix). 32 36 ALFREDO CAPELL1. K(x, y, z, .... u\ = H(x} + H(y}+... + H (a} = '-' xx i -Uyy "T" T J-' K(x,y,z, ...,u). 2 =H(x,y) + H(x,z) + H(y,z) + ... K(x,y, z, ..., u) 3 =H(x, y, z) + H(x,y, t) + ... K(x, y, z, ..., u) n = H (x, y, z, ..., u\ ou K(x,y,z, ...,u){ est ddfinie comme somme de (7) operations correspondantes aux (") combinaisons des n lettres #, y, z, ...,u en groupes de i lettres. Je vais rappeler ici en peu de mots leurs proprietes plus importantes, dont la connaissance rie sera sans interet pour ce qui va suivre. (1) Une quelconque des n operations K(x,y,z, ..., w) est permutable avec toute operation de polaire renfermant les x,y,z, ...,u*. (2) Toute operation de polaire, entre les series x, y, z, ...,u, permutable avec toute autre operation de polaire renfermant les memes series, peut s'exprimer par un aggrtgat rationnel entier des n operations K(x, y, z, ..., u ),:{. (3) Entre les n operations K (x, y, z, ..., u)i ne peut subsister aucune syzygie. En d'autres mots, il ne saurait exister un aggregat rationnel entier des n operations K (x, y, ..., u\ dont le resultat soit nul identiquement. Pour le cas de /t*< n il y aurait cependant a faire des exceptions dont nous nous passerons icij. I. Pour p < n le resultat de ropdration H (x, y, . . ., u) etant nul identiquement, on doit supposer naturellement fi > n. Mais, pour H > n, il serait impossible, d'apres ce que je viens de rappeler, d'exprimer 1'operation H (ac, y, ..., u) au moyen des operations plus simples K (x, y, ..., u) 1} K (x, y, ..., u) 2 , ..., K(x,y, ..., u)n-i- * Cfr. Ricerca delle operazioni invariantive permutabili con ogni ultra operazione invariantiva (Atti della E. Accademia delle Scienze fisiclie e matematiche di Napoli, Serie 2, Vol. i. 1888). t Cfr. Sul sistema completo delle operazioni di polare permutabili etc. (Eendi- conti de la meme Acad. Febbrajo 1893). J DelV impossibilita di sizigie fra le operazioni fondamentali permutabili con ogni ultra operazione di polare fra le stexse serie di variabili (Kendiconti de la mme Acad. Giugno 1893). OPERATIONS DE POLAIRE. 37 Les formules que je vais communiquer ramenent d'abord 1'operation H (x, y, z, ..., u) a 1'operation H (y, z, ..., u\, en designant en general par H (x, y, z, ..., u) p le meme determinant (1) oil Ton ait substitue p + D xx , p + D m ,..., p + D uu , dans la diagonale, respectivement au lieu de D xx , D yy , ..., D uu . Pour mieux fixer les ide'es, j'ecrirais les formules dont il s'agit pour le cas de quatre series x, y, z, u ; 1'extension au cas d'un nombre quel- conque de series n'ayant besoin d'autres explications. On peut deVelopper H (x, y, z, t) suivant 1'une ou 1'autre des quatre formules: (a) H(x, y, z, t) = H(y, z, t\ D xx + A^D xy + A 2 D XZ + A 3 D xt (ft) H(x, y, z, t)=H(y, z, t) D xx -B,D yx -B,D zx -B 3 D tx +ZH(y, z, t) \ (a') H(x, y, z, t) = H(y, z, t\ D xx - D yx B, - D ZX B, - D tx B 3 ......... (4), ou: A! = D yx H^ H^D yx , B 1 = D xy H l H 1 D xy } -A, = D ZX H 1 -H 1 D ZX , -B,Dfi 1 - J H 1 D ...... (5), - A s = D tx H, - H,D tx , -B 3 = D xt H, - H.D^ } et D yz D xz D zy 2 + D yy D xy ......... (6). D^ D yx l+D xxt La comparaison de la formule (a) avec (a) et de la formule (/3) avec (S' nous donne les identites suivantes : H(y, z, t\ . (D^Dvy + D ZX D X = (D yx D xy + J) ZX D XZ + D tx D xt ) . H (y, z, H(y, z, t^.^D^ + D^D^ + DaD^ = (D xy D yx + D^D^ + D xt D tx ) . H (y, z, t) p pour p = l, identites que Ton pourrait aussi dtablir directement. II. II reste a eliminer de (4) et (5) 1'operation H (y, z, t\ ou, plus generalement, a exprimer H (y, z, t, ..., w)j au moyen de H (y, z, t, ..., u), H(z, t, ..., u) etc. II suffirait a cet objet d'appliquer la formule generate que j'ai donne'e ailleurs*: * DelV impossibilita di sizigie fra le operazioni fondamentali permiitabili con ogni altra operazione di polare fra le stesse serie di variabili (Rendiconti de la meme Acad. Giugno 1893). 102480 38 ALFREDO CAPELLI. H(x, y, ..., w) p+1 = (p + 1) (p + 2) ... (p + n) + (p + 1) (p + 2) ... (p + n - 2) . K(x, y, ..., u\ h .-.(8), oil n est le nombre des series x, y, ..., u, et les K (x, y, ..., u\ sont definies par les formules (3). On en de'duit en effet pour p = : i + H(x, y, ...,) ...... (9). et en particulier + H(y, t) + H(z, t} + H(y, z, t) ...... (9)'. Mais il est, peut-etre, preferable de proc^der comme il suit. En faisant dans (8) p = 2, on en deduit : H(x, y, ..., u) = H (x, y, . . ., u)^ + K (x, y, . . ., )_! . . .(10). Maintenant, si Ton change partout dans les formules (4), ainsi qu'il est permis, jD^, Dyy, D zz , D tt respectivement en D xx \, D yy \, D zz l, D u \, ces formules deviennent H(x, y, z, t)^=H(y, z, ^D^+A.'D^ + A,'D xz +A 3 'D xt - H(y, z, t) H(x, y, z, 0_i = H(x, y, z, 0_! = H(y, z, t)^D xx - B^D yx - B.;D ZX - B 3 ' H(x, y, z, t). l = H(y, z, t)D xx - D^B,' - D U BJ - 011: (11), , z, t)-H(y, z, t).D yx - A 2 ' = D zx . H(y, z, - H(y, z, t) . D^ ,(12). l,z, t)-H(y,z, 0A* ,,z,t)-H(y,z,t).D xz - B 3 ' = D xt . H(y, z, t) -H(y, z, t} . D xt La premiere des formules (11) substitute dans la (10), pour n =4, nous donne : H(x, y> z, t) = H(y, z, + H(x, y, a, z, t)+H(a;, y, z) ...... (13) OPERATIONS DE POLAIRE. 39 ou bien : H(as, y, z, t)=H(y, z y t).D xx - 2 (Dp*H(y, 2, ) - H(y, z, t)D px )D xp p=y,z,t + H(x, y,t) + H (a?, z, t) + H(x, y, z}. Dans le cas de n series x, y, z, ..., u on aurait analoguement : H(x,y, z, ..., u) = H(y, z, ..., u).(D xx -l)- 2 (D px H(y,z. ...,v) p=y,z,...,u -H(y, z, ..., u)D px )D xp +K(x, y, z, ..., u) n ^ (14), K (x, y, z, ..., w) w _! designant la meme operation definie par les (3). Naples, le 10 ao&t 1893. ON A CERTAIN SIMPLE GROUP. BY F. N. COLE OF ANN ARBOR. 1. DESPITE the great advances of the past fifty years, the Theory of Groups remains to-day in many respects in a very unfinished state. It is true that we possess an accurate system of general classification on the one hand and an elaborate knowledge of special types on the other. But between these two extremes lies a vast middle ground, the exploration of which is extremely slow and difficult. Thus groups in general have been divided since Galois into simple and compound, and, in case of substitution groups, into transitive and intransitive, primitive and non-primi- tive ; the groups belonging with algebraically solvable problems are known ; and the theory of the groups of linear transformations, including the congruence groups, are familiar; and we have an extensive series of theorems limiting the possibilities of substitu- tion groups. But the determination of all the groups of given order, or of given degree, or of all the primitive or all the simple groups, etc., is still an almost untouched problem. Much of this is due to the lack of positive criteria and the consequent necessity of employing processes of exclusion. Thus, a primitive or a simple group is one which is not non-primitive or compound, the im- portant type in each case receiving the negative definition. In an abstract and intricate theory like that of groups, too much must not be expected in the way of general development from the accumulation and study of individual examples. No amount of such experimentation could have led to our modern knowledge. Progress is from abstract to abstract. Nevertheless, in the absence of a general method, something may be accomplished by the tentative, step-by-step process, especially within moderate limits where the labor involved is not incommensurate with the value of the result. Thus, it is of some scientific interest to obtain all the ON A CERTAIN SIMPLE GROUP. 41 groups of lower degrees and orders, and the simple groups below any convenient order. The latter problem has been solved by Dr Otto Holder* and myself"f* as f ar as order 660. It appears that below this limit the only cases are the known simple groups of prime orders, and of orders 60, 168, 360, and 660, together with a type, apparently new, of order 504. The cases of order 60 and 360 are identical with the alternating groups of five and of six letters ; those of order 60, 168. and 660 are identical with the groups of the modular equations for the transformations of the 5th, 7th and llth orders of the elliptic modular functions. The two former orders are of the general type ^nl ; the three latter of the general type ^p(p z 1), where p is a prime. Beside these general formulae for the orders of classes of simple groups, Camille Jordan has given others : where p n =(= 2 2 or 3 2 , and 8 is the greatest common divisor of n and p-1. | (p* n - 1) p 8 "- 1 (j9**-s - I)p~ s ...(p*-\)p, (p>2) ...... (2). (2 2 - 1) 2 2 -' (2 2n ~- - 1) 2 2 "- 3 . . . (2 2 - 1) 2, (n > 2) ...... (3), (P tt -l)2-*...(P 8 -l)2 J (n>2) ............ (4), where P n = 2 2;M + 2 IM . The simple group of order 504 obviously does not come under any of these forms. 2. By Sylow's Theorem on the structure of groups, a simple group of order 504 might contain 4, 7, or 28 subgroups of order 9 ; 3, 7, 9, 21, or 63 subgroups of order 8, and 8 or 36 subgroups of order 7. In each case the highest number of subgroups is actually present in the simple group as found. It is not however easy to construct the group by this method, nor was this the method by which it was originally obtained. It - ; - Math. Ann. Bd. 40, p. 55. t American Jour, of Math. Vol. 14, p. 378, Vol. 15, p. 303. Traite des substitutions, pp. 106, 176, 177, 205. Math. Ann. Bd. 5, pp. T.84 94. 42 F. N. COLE. appeared as an accidental result in the determination of the transitive substitution groups of nine letters*. In fact, it contains 9 conjugate subgroups of order 56, which, when it is expressed as a group of nine letters, appear as the 9 subgroups which leave each one letter unaffected. These subgroups are certainly transi- tive in seven letters, and therefore, since there are exactly 9 of them, also in eight letters. Those of their substitutions which leave a single letter unchanged form a subgroup of order 7. The latter furnish 8'6 distinct operations of order 7, which with identity and 7 substitutions affecting 8 letters each make up the entire subgroup of order 56. The nine subgroups of this order furnish therefore 280 substitutions, leaving 224 which affect nine letters and which make up exactly 28 subgroups of order 9. The latter are cyclical and all their operations are distinct. The substitutions of the group are therefore 168 of order 9 and 56 of order 3 affecting 9 letters each, 63 of order 2 affecting 8 letters each, 216 of order 7 affecting 7 letters each, and identity. The group is triply transitive. That the group actually exists may be shown as follows. The substitution 0- = (2354786) transforms the group of order and degree 8 1, T 5 = (15) (26) (37) (48), (34) (56) (78), r B = (16) (25) (38) (47), (24) (57) (68), r 7 = (17) (28) (35) (46), (23) (58) (67), r 8 = (18) (27) (36) (45), into itself, and therefore with the latter generates a doubly transitive group H of degree 8 and order 56. If to H is added the substitution p = (193872456), it is readily shown ^ that for every a so that p and H generate a triply transitive group of order 504 and degree 9. That this group is simple appears from a method * Cf. Bulletin of the N. Y. Math. Society, Vol. 2, pp. 2534. t L. c. p. 254. ON A CERTAIN SIMPLE GROUP. 43 of consideration due to Klein*. If namely the group contained a self -conjugate subgroup, the latter must include all or none of the subgroups of any conjugate set. Accordingly, if a, fi, 7, B denote each either 1 or 0, the number 168 a + 56 + 63 7 + 216 8 + 1 must be a divisor of 504. The only possibilities here are and a = /3 = 7 = S=l, and the only self-conjugate subgroups are therefore identity and the entire group itself. ANN ARBOR, August, 1893. Cf. Ikoftaeder, p. 18. [Copies of this article were presented to the members of the congress for use in visiting the German University Exhibit. Editors.] EINLEITUNG ZU DEM FUR DEN MATHEMATI- SCHEN TEIL DER DEUTSCHEN UNIVERSI- TATSAUSSTELLUNG AUSGEGEBENEN SPECIALKATALOG. VON WALTHER DYCK IN MUNCHEK DIE Deutsche Universitatsausstellung in Chicago, auf Veranlass- img der Koniglich Preussischen Unterrichtsverwaltung ins Lebeu gerufen, bezweckt ein zusammenfassendes und moglichst anschau- liches Bild von dem Stand und der Bedeutung der Deutschen Universitaten nach ihren Aufgaben der Lehre und Forschung zu geben. Fallt die vornehmliche Aufgabe eines zusammenfassenden Berichtes von der historischen Entwickelung unserer Hoch- schulen, von deren Einfluss auf den Fortschritt der einzelnen Wissenschaften, von ihrer gegenwartigen Stellung im Leben der Nation, dem fur die Ausstellung vorbereiteten Sammelwerke "Die Deutschen Universitaten" zu, so ist fur die Ausgestal- tung der einzelnen Gruppen der Ausstellung selbst um so mehr der Spielraum gegeben, je nach richtigem Ermessen sei es die historische, sei es die padagogische, sei es die rein vvissenschaft- liche Seite des speciellen Faches zur Vorfuhrung zu bringen und durch diese Mannigfaltigkeit das Gesamtbild zu beleben. Die mathematische Ausstellung will von unserer modernen Forschung und von unseren gegenwartigen Methoden und Hiilfs- mitteln des hoheren mathematischen Unterrichtes Zeugnis geben, und fasst dabei, wie dies in unserem Fache den gemeinsamen Aufgaben entspricht, die Thatigkeit unserer Deutschen Universi- taten und Technischen Hochschulen zusammen. Die Mittelgruppe der Ausstellung fuhrt in der Kolossalbiiste von Gauss, in den Bildnissen von Jacobi, Dirichlet und Riemann die Manner vor Augen, deren fundamentale Werke die DEUTSCHE UNIVERSITATSAUSSTELLUNG. 45 Marksteine der mathematischen Arbeit unseres Jahrhunderts in Deutschland bezeichnen*. DieZusammenstellungneuererdeutscher mathematischer Literatur (vergl. Teil II des Specialkataloges der mathematischen Ausstellung) soil, ohne Anspruch auf Vollstandigkeit zu machen, die wesentlichsten Richtungen unserer heutigen mathematischen Forschung im Einzelrien zu verfolgen gestatten und so das von F. Klein in dem eben erwahnten Sammelwerke liber die Deutschen Universitaten gegebene Bild ihrer Entwicklung er- ganzen. Wir unterscheiden die Schriften der Akademieen, der Uni- versitaten, die mathematischen Zeitschriften und den eigentlichen buchhandlerischen Verlag. Die Akademieen haben, soweit wir von ihrem weiteren, die Gesamtheit der Natur- und Geisteswissenschaften einheitlich um- fassenden Wirkungskreis absehen, und auf den gesonderten des speciellen Faches eingehen, sich einmal die Aufgabe gestellt, die Werke der hervorragendsten Deutscheu Mathematiker herauszu- geben so die K. Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin die Werke von Dirichlet, Jacobi, Steiner und neuer- dings die von Kronecker ; die K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen Gauss' und Weber's Werke; die K. Sachs. Gesellschaft d. W. zu Leipzig die von Mb'bius und neuerdings die von Grassmann; die K. Bayer. Akademie der Wissenschaften zu Mil nc hen die Schriften von Fraunhofer und gegenwartig die von Hesse. Andererseits sollen die Sitzungsberichte und die Abhandlungen dieser Gesellschaften Gelegenheit bieten zu rascherer Publikation kiirzerer wissenschaftlicher Mitteilungen, wie zu der fur den Einzelnen zu kostspieligen Drucklegung umfangreicherer Denkschriften. Die Schriften der Akademieen und vornehmlich die mathe- matischen Zeitschriften enthalten wohl den wesentlichen Teil unserer neueren mathematischen Forschungen und sie haben sich dabei nicht auf Deutschland allein beschrankt. Heben wir hier * Eine gesonderte Gauss-Weber-Ausstellung giebt in historischen Dokumenten, Apparaten, Schriftstiicken und Photographieen des physikalischen Instituts, der Sternwarte und des Gaussischen Erdmagnetischen Observatoriums zu Gottingen ein Bild von der gemeinsamen Thatigkeit der beiden grossen Gelehrten. (Vergl. den allgem. Katalog der Universitats-Ausstellung pg. 48.) 46 WALTHER DYCK. zuvdrderst die alteste dieser Zeitschriften, das 1826 von Crelle gegriindete, jetzt bis zum 111. Bande gediehene "Journal fur die reine und angewandte Mathematik" hervor. Mit Recht konnten Kronecker und Weierstrass zur Einleitung des 100. Bandes (1887) sagen : " Die Geschichte der Entwickelung dieses Journales, welches noch von Gauss, Poisson, Poncelet Beitrage erhalten hat, welches die Mehrzahl der Werke Abel's, Jacobi's, Lejeune- Dirichlet's, Steiner's zuerst veroffentlicht hat, welches Haupt- arbeiten Riemann's und Abhandlungen von vielen der be- deutendsten unter den noch lebeuden alteren und jungeren Mathematikern und mathematischen Physikern aller Nationen enthalt, welches also vier mathematischen Generationen als Statte fur Publicationen gedient hat, stellt einen guten Teil der Geschichte der Entwickelung dar, welche die Mathematik selbst in den vergangenen sechzig Jahren genommen." Im Jahre 1846 entstand das " Archiv," 1856 die "Zeitschrift fur Mathematik und Physik," beide besonders die Bediirmisse der Lehrer an hoheren Unter- richtsanstalten, die letztere vorzugsweise auch die Geschichte der Wissenschaft betonend. 1868 rief R. A. Clebsch in Verbindung mit C. Neumann die "Mathematischen Annalen" ins Leben, die heute in einer Reihe von 42 Bariden zusammen mit den genannten Journalen von der Intensitat und der Vielseitigkeit mit der die mathematischen Wissenschaften in Deutschland betrieben werden, berichten. Neben die Aufgabe unserer Fachzeitschriften, jeweils den actuellen Stand der mathematischen Forschung zu umfassen, stellt sich noch eine zweite, welche das " Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik" in der Zusammenstellung und Berichterstattung iiber die gesamte moderne mathematische Literatur sich gestellt hat, eine Aufgabe, welche neuerdings die " Jahresberichte der deutschen Mathematiker-Vereinigung" durch zusammenhangende Darstellungen einzelner Gebiete der neueren Forschung zu erganzen suchen. Den deutschen mathematischen Verlag kennzeichnet das verbal tnismassige Zurucktreten der Lehrbiicher fiir den hoheren mathematischen Unterricht, ein Umstand der in der individu- ellen Ausgestaltung auch der einfiihrenden mathematischen Vorlesungen an unseren Hochschulen, wie sie die Vorbildung der Schiller, Neigungen der Docenten haben entstehen lassen, seine DEUTSCHE UNIVERS1TATSAUSSTELLUNG. 47 Begriindung findet. Um so mehr zeichnet sich dieser Buchverlag durch das Vorhandensein einer grossen Anzahl specieller, der eigentlichen Forschung angehorender Werke aus und so kommen auch in diesen Veroffentlichungen die Richtungen unserer neueren deutschen mathematischen Forschung zum Ausdruck. Waiter seien hier die Sammelwerke hervorgehoben, welche sich die Aufgabe stellen, die klassischen, fur den Fortschritt der Wissen- schaffc fundamentalen Werke in handlichen Ausgaben allgemein zuganglich zu machen. Mit der Vorfiihrung der bis zum Jahre 1850 zuriickreichenden Inauguraldissertationen zur Erlangung der Doctorwiirde, wie der venia legendi, welche durch das Entgegenkommen der Universitatsbibliothek zu Marburg ermoglicht wurde, leiten wir in das Gebiet des mathematischen Unterrichtes iiber. Wir glauben unsern Lesern einen Dienst zu erweisen, wenn wir im Kataloge die ausfuhrliche Liste der Dissertationen (Teil II, Abschnitt 5) geben. Spricht sich doch in den verschiedenen Richtungen und mannigfachen Arbeitsgebieten, welchen diese Abhandlungen entnommen sind, der individuelle Charakter der einzelnen Hochschulen, wie er nach den Forschungsgebieten der Lehrer auch im Unterrichte sich gestaltet, am klarsten aus, und kommt gerade hier die Wirksarnkeit der mathematischen Seminare zum vollen Ausdruck. Es mogen einige Bemerkungen liber Entstehung und Zweck dieser Seminare, wie sie jetzt an alien deutschen Hochschulen bestehen und wie sie aufs engste mit dem ganzen Unterrichtsplane derselben zusamrnenhangen, hier Platz finden. Uber die Vorgeschichte des in Konigsberg 1834- ins Leben getretenen ersten mathematischen Seminars schreibt Richelot in einem Berichte an das K. Preussische Unterrichts- ministerium (welcher im besonderen die Stellung der sog. allgemein bildenden Facher zu den speciellen Fachstudien bespricht*). " Die von unwissenschaftlichen Nichtkennern Einseitigkeit ge- riannte wissenschaftliche Vertiefung wurde von einem Manne (namlich Bess el) hierher verpflanzt, der in alien fiinf Weltteilen beriihmt war und bleiben wird, und dem es im Laufe von wenig * Die hier gegebene Mitteilung iiber das Konigsberger Seminar verdanke ich der Giite von Herrn F. Lindemann. 48 WALTHER DYCK. Jahren eben durch dies Mittel gelang, einer bis dahin in den exacten Wissenschaften vollig unbedeutenden Universitat gerade in dieser Richtung einen bedeutenden Namen zu verschaffen. Sein Unterricht wurde sehr bald der einzige, der von den hiesigen Mathematikern benutzt wurde, obgleich er seine Zuhb'rer meist nur in einem speciellen Teile des mathematischen Wissens, in der mathematischen Astronomie vertiefte. Als seit 1826 der gross- artige Geist Jacobi's hier zu wirken begann, wurden durch den erweiterten Umf'ang der hier gelehrten mathematischen Disciplinen die jungen Mathematiker noch mehr den ihrer Wissenschaft ferner liegenden Studien entzogen; . . . Beide grosse Mathematiker verschmahten es nicht, einen betrachtlichen Teil ihrer Zeit und Kraft der Ausbildung ihrer Schiller zu opfern, und es gelang ihnen bald, den Lehranstalteii der Provinz zunachst solche Lehrer zuzufuhren, die den mathematischen Unterricht auf eine in Deutschland nicht geahiite Hohe brachten . . . Nachdem Neu- mann's unvergleichliche Lehrwirksamkeit in der mathemati- schen Physik hier Wurzel gefasst und bald ihre fast einzige Pflanzstatte in Deutschland gefunden hatte, wurden namentlich durch die Grlindung des mathematisch-physikalischen Seminars die Studien der hiesigen Mathematiker auf reine Mathematik, mathematische Physik und theoretische Astronomie und Mechanik concentrirt." In der That war Jacobi der erste, der es unternahm, auch die neuesten und zur Zeit hochsten Probleme seiner Wissenschaft in seinen Vorlesungen den Studirenden darzulegen, wie es jetzt in den Specialvorlesungen und Seminaren allenthalben an unseren Hochschulen zu geschehen pflegt. Auch heute noch liegt der wesentlichste Teil des Seminarunterrichtes in der Anleitung zu eigener wissenschaftlicher Thatigkeit und in der Einflihrung in die mathematische Literatur. Mittelbar kommt diese Ausbildung auch dem praktischen Berufe des klinftigen Lehrers zu gute, insoferne Griindlichkeit und Klarheit durch sie gefordert wird. Der eigentlichen padagogischen Ausbildung aber dienen besondere, an den Mittelschulen errichtete Seminare. Von ihnen sei das durch mehr als dreissig Jahre unter Schellbach's Leitung stehende Berliner Seminar hervorgehoben, dem auch eine Reihe unserer heutigen Hochschuldocenten angehort hat. Was die besondere Gliederung des mathematischen Unter- DEUTSCHE UNI VERSIT ATS AUSSTELLUNG. 49 richtes in den einleitenden und allgemeinen wie den speciellen Vorlesungen und Seminaren betrifft, so sei auf die Ausfuhrungen des Sammelwerkes, wie auf die in der Ausstellung aufgelegten Jahresberichte und Studienplane der einzelnen Hochschulen verwiesen. Hier sei nur noch eine Seite der Entwickelung unseres modernen Unterrichtes hervorgehoben, deren Vorfiihrung unsere raathematische Ausstellung im Besonderen gewidmet ist: die Entstehung der Sammluugen mathematischer Modelle, Apparate und Instrumente. Das Interesse fur die raumliche Gestaltung geometrischer Gebilde geht, wenn wir von friiheren zumeist auf ebene Gebilde beztiglichen gestaltlichen Untersuchungen absehen, auf Monge und seine Schiller zuriick. Der systematische Ausbau der darstel- lenden Geometric, die Anwendungen der Differentialrechnung auf geometrische Fragen,. Anwendungen der Mathematik auf physi- kalische und technische Probleme, veranlassten eine Ftille von gestaltlichen Untersuchungen. Der von Monge umfassend ange- legte Unterrichtsplan der ecole polytechnique wies diesen Fachern einen breiten Baum zu ; hier erwiesen sich zweckentsprechende Modelle und Apparate als ein fruchtbares Hiilfsmittel des Ver- standnisses. So entstanden, von Schiilern von Monge gefdrdert, weiterhin durch die Thatigkeit des conservatoire des arts et metiers unterstiitzt, in Paris die bekannten Sammlungen von Modellen von Brocchi, Olivier, Bardin, Muret, de Saint Venant. Gleichzeitig traten auch in Deutschland mit den Schopfungen von Steiner, Mobius, Pllicker, Hesse rein geometrische Untersuch- ungen in den Vordergrund des Interesses, und so war es naturgemass, dass auch hier der Sinn ftir gestaltliche Fragen praktische Be- thatigung fand. Die von Fiedler und von Chr. Wiener ausge- fuhrten Modelle von Flachen dritter Ordnung, die den Formen- reichtum algebraischer Flachen zuerst veranschaulichenden Plticker'schen Complexflachen, die Modelle zur Theorie der Strahlensysteme, zur Krlimmungstheorie, zu Flachen vierter Ordnung von Kummer, mb'gen als die ersten hier genannt sein. Das grosste Interesse und eine Flille neuer Anregung bot dann die im Jahre 1876 zu London im South Kensington Museum veranstaltete Ausstellung wissenschaftlicher Apparate. Auf ihr gelangten neben den eben genannten noch insbesondere elegant ausgefuhrte Modelle von Fabre de Lagrange, die Steiner'sche C. P. 4 50 WALTHER DYCK. Flache, Ball's Cylindroid, Zeichmmgen Maxwell's zur Krllmmungs- theorie u. a. m. zur Vorfllhrung ; welter Rechenmaschinen und Integraphen (Thomson's harmonischer Analysator), sowie die mannigfachsten Instrumente und Apparate der ange wand ten Mathematik (wir erwahnen insbesonders die Apparate Reuleaux's zur Kinematik). Die gegenwartige Ausstellung zeigt die weitere Entwickelung unseres Gebietes in Deutschland. Sie enthalt in mb'glichster Vollstandigkeit all' die vielerlei Modelle und graphischen Darstel- lungen, wie sie zunachst im Anschluss an geometrische Unter- suchungen in den mathematischen Seminaren an unseren Universitaten und technischen Hochschulen entstanden sind und wie sie weiterhin nicht bios rein geometrische, sondern auch functionen-theoretische Fragen und solche der Mechanik und mathematischen Physik umfasst haben. Wir miissen betreffs der eingehenden Beschreibung der einzelnen Objecte auf den Special- katalog selbst verweisen. Hier aber sei noch ein wesentlicher Gesichtspunkt fur die Zusammenstellung hervorgehoben : Die Gesamtheit aller dieser verschiedenen raumlichen Darstellungen, all' dieser Gestalten aus Gips, aus Holz und Metall, will nicht den Eindruck erwecken, als bilde sie die unentbehrliche Rllstkammer des gegenwartigen mathematischen Unterrichtes, als erfordere ein modernes mathematisches Institut diesen ganzen umfangreichen Apparat und dem entsprechende Mittel. Neben eine Reihe von grundlegenden Formen, welche man heutzutage wol nicht mehr wird missen wollen, neben eine weitere Reihe von Darstellungen, welche den hoheren mathematischen Unterricht ganz wesentlich zu erleichtern im Stande sind, stellt sich noch eine Zahl von Modellen, welche in ihrer Entstehung, in der vom Verfertiger zu ihrer Herstellung aufgewendeten Arbeit, ihren nachsten Zweck und ihre Bedeutung haben. Hier soil die Notwendigkeit, eine im Seminare gestellte Aufgabe in alien ihren Teilen durchzudenken und durchzurechnen vor Allem zur Geltung gelangen. Desshalb ist kein Bedenken getragen, auch derartige primitive, mit moglichst geringen Mitteln hergestellte Modelle vorzufuhren. Gerade solche gelegentlich entstandene Modelle sind in ihrer Einfachheit geeignet, Veranlassung zu ahnlichen Versuchen fiir die Schiller zu geben ; und weiter: gerade solche Darstellungen, in ihrer Ursprlinglich- keit, in ihrem individuellen Charakter, werden nicht bios ein DEUTSCHE UNIVERSITATSAUSSTELLUNG. 51 belebendes Element des Unterrichtes bilden, sondern sie vermogen auch der Forschung selbst mannigfache Anregung zu bieten. Die Sammlung der Modelle ist noch erganzt durch eine Reihe mathematischer Instrumente, der modemen Hiilfsmittel von Rechnung (Rechenmaschinen, Planimeter, Integraphen) und Zeich- nung (Teilungszirkel, Pantographen). Hier haben lediglich solche Apparate Aufnahme gefunden, welche ein specielles mathematisches Interesse bieten, wahrend beispielsweise Pracisionsinstrumente als solche, bei denen die besondere technische Anordnung oder Vollendung das wesentliche Merkmal bildet, ausgeschlossen wurden*. Bei der Zusammenstellung der Modelle und Apparate war es dem Unterzeichneten von wesentlichem Nutzen, auf die Vorbereit- ungen einer im Vorjahre in Ntirnberg geplanten mathematischen Ausstellung (die jetzt in Mtinchen stattfinden wird) zurtickgreifen zu konnen. Insbesondere konnte auch ein grosser Teil der zur Erlauterung der einzelnen Modelle etc. dienenden Aufsatze und Noten direct dem flir jene Ausstellung verb'ffentlichten Katalogef" entnommen werden. Fiir eine Reihe neuer Beitrage, welche die Vorflihrimg der an unseren deutschen Hochschulen entstandenen Lehrmittel wesentlich vervollstandigt haben, ist der Unterzeichnete den einzelnen Institutsvorstanden zu besonderem Danke ver- pflichtet. Moge es gelungen sein, in der gegenwartigen Ausstellung in grossen Ziigen von der mathematischen Arbeit in Deutschland nach Forschung und Lehre berichtet zu haben soweit dies durch Schrift und Bild moglich ist. Moge die in Verbindung mit der Ausstellung geplante Mathematiker-Versammlung Gelegenheit geben, das Vorgeftihrte durch das lebendige Wort zu beleben ! MUNCHEN, im Mai 1893. * Hierhergehbrige Instrumente finden sich in der von der Deutschen Gesellschaft fur Mecbanik und Optik veranstalteten Ausstellung. t Katalog mathematischer und mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente. Im Auftrag des Vorstandes der deutschen Mathematiker-Ver- einigung herausgegeben v. W. Dyck, Miinchen 1892. 42 ON INTERPOLATION FORMULAE AND THEIR RELATION TO INFINITE SERIES. BY W. H. ECHOLS OF CHARLOTTESVILLE. I. General Forms. THE general problem of interpolation may be stated thus: Given n values of a function corresponding to n given values of the variable, it is required to design a function which shall coincide with the given function at the n known points, and which shall be such that it shall coincide as nearly as may be with the function at all intermediate points. 1. The formal design of the function is as follows : Let fa; be the function whose values are known at the points x , ^...a?,,, and let <,#, $!#...<# be n chosen known functions. Let $ be the symbol of operation of Substitutions, so that 8 operating on the variable by substitution, as shown in the change of subscript. The function fx, x ... (1) expresses the difference between the function fx and the function n 2 A r r x r=0 at any point x, and this difference vanishes at x , #!...#. Hence 'ZArfyrX is the required form of the function to be designed, since the coefficients A r are completely known and are independent of x, and the functions are known. INTERPOLATION FORMULAE. 53 Without changing the value of F s we may throw the member on the right of (1) into different form, as follows. If in any sequence of n + 1 terms we form n new sequences as follows. Subtract each term from the succeeding term, forming the new sequence From this form a new sequence in like manner, by beginning with the third term and subtracting each term from that which follows it, and so on, until the nth new sequence has been formed whose terms are a r G n a r _ x +...+( l) r Grr a . (r = 0. . .n). This sequence we call the complete-difference of the first sequence. We call f v d fn ^nij^ni T *P\ *) ^nnj^o the nth generalized-difference of the function fa at x , and symbolize it by K n fx . The relation between K and 8 may be symbolically expressed by and reciprocally gn f x __ /Jf _|_ \\nf x t In the member on the right of (1), begin with the second row in the numerator and the first row in the denominator and regard the elements of each column as being terms of a sequence. Form the complete-difference of these sequences and there results fa, "(2), which has the same value as (1), for F s = F K . Suppose the points x , x^..x n are related by the law ac r+l a; r =h, (r = 0...w 1). Then S is identical with E, the symbol of operation of the Calculus of Enlargement, and K is identical with A, the symbol of operation of the Calculus of Finite Differences, in which the scale 54 W. H. ECHOLS. unit is h. Therefore (1) and (2) become, respectively, J*f/ j *Po^ * * * T^tl Efx , E x ...E n x (3) and fx, fax . . . (f) n x .(4). And as before we have FE = ^A, which vanish when x = x r +rh. (r = 0...n). We do not alter the value of F if we divide the numerator and denominator of the ratio on the right by ht n(n+l) , distributed so that the row A r is divided by h r (r = l...w). Now let h con- verge to zero, and we have fx, fx Q , D'fx , D' x ...D' n x ...(5), wherein D = d/dx, the symbol of operation of the Differential Calculus. 2. We observe in (1) or (3), if x 1 ...x n converge to X Q , then .FS or F E takes the indeterminate form 0/0 through identity of rows, and if in order to evaluate the true value of this vanishing ratio we apply to the numerator and denominator the operator ( d }' \OX-iJ r x + F ..................... (6), r=0 fx = S B p O*fx t +F (7), p=Q wherein the operator is identical with 8, K, E, A or D accord- ing to the formula selected. In general, we provide an absolute term by making fax = 1. The functions are such that their law of formation with respect to r is supposed to be known, fax being unity we must have in (1) and (3). ^7) p=0 II. Quantitative Properties. 3. Nothing has been said about the character of the func- tions represented in these forms, the first four of which may be regarded as simple algebraical identities in which the functions are supposed finite ; the fifth requires that the functions shall be continuous with determinate derivatives. Nothing in the forma- tion of the formulae prohibits the argument x from being either real or complex. Let us assume that the functions fx and fax can be expanded in a converging series of integral powers of x x throughout a certain region. Let Rf and R$ r represent the remainders after the nth term of the expansion of these functions in Taylor's series. In (5) multiply the row of pth derivatives (p = l...ri) by (x x )P/pl, in the numerator and denominator of the ratio. This will not alter the value of the ratio. In the determinant in the numerator subtract each row below the first from the first. This will not alter the value of the determinant. Now remove the common factors from the rows in the numerator and denominator and we will have converted (5) into , 4- 11 - J #o? 56 W. H. ECHOLS. without changing its value. That is to say, we have fas-fx - 2 A r r x = R f - 2 ArR,,* ......... (8). r=l r=l Let R be the maximum modulus of JR0,,(r=l, 2, ...). If now 00 2 A r r=l is a convergent series, the member on the right of (8) n Rf R 2 AfRfa/R, r=l is zero when n = oo , and we have 00 fa**fot+ 2 A r $ r x ..................... (9) r=\ for all values of x in that region throughout which the functions / and are expansible in Taylor's series, regardless of whether x be real or complex. The series on the right of (9) has an unlimited number of derivatives formed by taking the sum of the derivatives of its terms, each of which is a converging series and equal to the corresponding derivative of fx for all values of x throughout the equality region of (8). By differentiating (5) m times we obtain in the same way as above f m x- 2 A r r m x = R f m - 2 A r R^ m , r=l r=l wherein Rf 1 and R^ r m are the remainders after n r terms in the expansions of / and (j> r by Taylor's series. But these remainders vanish when n = GO in the region for which Taylor's series holds good for the functions, and we have f m x= 2 A r $ r m x r=l under the same circumstances as before. In particular if (f> r ac be a rational integral function of degree r, (8) becomes r=l INTERPOLATION FORMULAE. 57 4. Specific forms may be given to the member on the right of (8) as follows. Let F D of (5) be represented by F f x, and let F^x be the same function when the function fx is replaced by some other function \lra; of similar character. Consider the function J# = F^x' F f x - F^x F f x, wherein x is some arbitrarily fixed value of x in the region for which /, A/T and <,. are expressible in Taylor's series. Differentiating n + 1 times, we have J n+l ae = F^of F f n+l x - F+ n+l x F f x. If a; is a complex variable, then since a holomorphic function must take any assigned value at least once, we may let x be that value u for which J n+l x vanishes, and if F n+1 u be not zero, we have T"* ....... ............ (10), since x' is any value of x in the region considered. If a; is a real variable, then Jx and its first n derivatives having the common zero # and Jx also having the zero x ' , the (w + l)th derivative of Jx must vanish for some value u of x between x and # 0) and we have as before ';" 1 " .................. <"> provided F^, n+l u is not zero. This form, when # is real, may be employed for testing the convergency of series when n is infinite because then u lies in a certain known interval x and a? . But when x is complex the position of u is in general unknown, and the expression is to be regarded merely as an equivalent form for the case of the real variable. In general, we take -fyx = MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. BY HENRY T. EDDY OF TERRE HAUTE. WE may find the germ and prototype of all our modern graphical developments, as it seems to me, in the fruitful methods of the ordinary Cartesian co-ordinates in analytical geometry; but the aspect and special point of view which have given vogue to graphical processes would be entirely missed by the mathematician and ordinary student of analysis were this statement to stand without further elucidation. It is my desire then, in the few minutes at my disposal, not so much to give a historical review of the progress of graphical development as to sketch in a somewhat hasty manner the nature of these developments, in order to commend this branch of mathe- matics to your favourable attention, a branch which has possibly been viewed by you with somewhat less interest and attention than some more ancient and commonly cultivated branches. Graphics has both its theoretical and its practical side. It is, so to speak, a theory and an art, and may well be compared to trigonometry in this particular. Want of recognition of the fact that there is a considerable and growing body of theoretical results upon which its special applications are founded has perhaps prevented those capable of adding largely to theory from entering upon this labour with the enthusiasm and interest it merits. Look first at the applied side of graphics: this has two distinct aspects. One is the pictorial representation of tabulated relations be- tween variables, such as the temperature during a given period; the fluctuations in the price of silver, wheat or other commodity. These graphical representations on paper ruled in squares for MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 59 ready estimation are becoming so common and popular as to be inserted in our daily papers. One noticeable characteristic of these graphical statements is that each represents a particular numerical example and does not express general relationships at all. By abstraction only can we present to the mind by its aid the general relations of which a given figure is a particular case. The same is true of any diagram in analytical geometry, though from the fact that it is not usually constructed to scale as graphical diagrams are, the mind is unconsciously occupied with the general truths connected with such diagrams. But dismissing further considerations of this kind of graphical tabulation as of slight theoretic interest, it is evident that the one thing which has given importance to graphics in recent times is its convenience as a means of calculation in various parts of civil, mechanical and electrical engineering and architecture. This has greatly stimulated interest and investigation in the theory of these processes which are so helpful and expeditious, and will, no doubt, have a far greater effect of this kind in the future as their importance becomes more appreciated. It will be convenient to mention four principal branches of this subject, and first the graphical treatment of space relations. The foundations of this branch of graphics may be said to have been laid by Monge more than a century ago in his development of descriptive geometry as a scientific process. This branch of the subject may not be at first recognized as distinctly graphical by some, but that it is essentially so is evident when we consider that all lines drawn are distinctly understood to represent on an assumed scale lines proportional to those drawn upon the paper. The constructions of descriptive geometry have met ever- widening applications in architecture, stereotomy, machinery, and civil construction of all kinds. In all these its use is indispensable, while the highest degree of theoretic interest has also been lent to it by monumental works like Poncelet's Traite des Proprietes Protective des Figures, Reye's Geometric der Lage, and Fiedler's Darstellende Geometric. As might be expected, the representation of space relations by space itself, as is done in descriptive geometry, must be so perfect and so like the thing represented as to give rise to a wider range of truth than any other branch of graphics. 60 HENRY T. EDDY. It is, however, a part of my subject comparatively well known and so I take the liberty of hastening on to the most fruitful and important branch of graphics, which is without doubt that of graphical statics, in which forces are drawn to scale as in the parallelogram of forces. Graphical statics, so far as it has practical application in the computation of engineering structures is the art of evaluating stresses and other quantities dependent upon stresses by geo- metrical or so-called mechanical methods instead of doing this by arithmetical means. Looked at as a branch of mathematics, it consists of a very large number of propositions of great interest and beauty, geometrical in their character and capable of highly refined and complex relationships. The manner in which these propositions have been established is of special interest to the mathematician. Some of the cultivators of this field have employed algebraic processes such as are employed in analytical geometry for this purpose, while others have preferred to use only pure geometry to demonstrate the necessary fundamental propositions, thus creating a branch of pure mathematics called geometrical statics. These last have frequently, but wrongly, assumed that they alone were the true cultivators of this art and have regarded those who used algebraic analysis for this purpose as interlopers and trespassers, who ought to leave the field to its rightful cultivators, the modern geometers. Among those who have written upon this subject in America may be mentioned the names of Greene, Du Bois, Eddy, Burr, Merriman and Church. Indeed, most of our recent text-books upon the theory of civil engineering construction have contained as much graphical statics as could be introduced in an elementary manner without leading the student too far from the problems immediately under consideration. In several of these works the authors have intentionally put graphical methods to the fore, and, as was to be expected, have done so on the basis of algebraic analysis rather than upon that of modern geometry. None of them, however, have exhaustively treated the entire field as it exists to-day with a view to all its methods and applications as has been done in the great work of Prof. Maurice Levy, entitled, " La Statique Graphique et ses Applications aux Constructions," MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 61 second edition, Paris, 1888, in four volumes or parts, of 1700 pages all told. Most of them have been content with a more or less complete exposition and application of two principal methods: to- wit, the method of the reciprocal frame and force diagrams, and that of the equilibrium polygon or catenary. The former of these methods is due to Maxwell, who published his first paper on the subject in 1864. It is based upon the parallelogram of forces discovered by Newton about 200 years ago, and consists in a systematized method of combining in one figure all the parallelograms representing the forces acting at the joints of a framework in such a manner as to exhibit its reciprocal relationship to the frame. This reciprocal relationship is one specially suited to modern geometrical thought, and so was taken up with enthusiasm by its cultivators. Its possibilities have been greatly developed by the genius of Cremona. The other method employs the catenary or equilibrium polygon, which is a figure having the shape which a perfectly flexible cord would assume if it should hold in equilibrium the system of forces under consideration. Its discovery is due to Varignon more than 200 years ago, who in his treatise on statics reckoned it as the seventh among simple machines. But its properties as a moment curve, and the importance of its use as a means of evaluation in practical designing, cannot be said to have been effectively brought to the attention of the engineering profession until Culmann published the first edition of his work entitled Graphische Statik in 1866. Culmann, through his publications and his pupils, put himself and his school at the head of a strong movement in favour of graphical methods. He regarded modern geometry as an essential prerequisite to all such work. Of the second edition of his book only the first volume has appeared. It was published in 1875, and is devoted to the theoretical part of the subject. The practical applications were to have been contained in a second volume. Without detracting in any way from the great merit of this learned treatise, it can be said that its publication in English is not a matter of great importance now. It is too learned for practical use by busy men. After Culmann's first publication in 1866, numerous important developments and applications of the equilibrium polygon were 62 HENRY T. EDDY. published, among which we may mention Mohr's prime discovery of the elastic curve as a so-called second equilibrium polygon, and his graphical solution of continuous girders; also the dis- covery by the present writer of the mutual relationship between the neutral axis of the elastic arch and the equilibrium polygon of its actual horizontal thrust and load. These and other discoveries led to graphical processes of great value from a practical stand- point. Besides the two general methods of which we have been speaking there are several others almost equally important. In particular we may mention the lines of influence proposed by Frankel in 1876, since developed by Winckler, and extensively cultivated abroad, but seemingly almost unknown in this country. What a line of influence is may be readily pictured in mind by supposing a weight to traverse a span of a girder framework, and as it does so, let a vertical ordinate be laid off at the weight and of a length proportionate to the effect the weight has in causing either bending moment or shear at a given point of the girder, or in causing tension in a given bar of the frame. There is then a different line of influence for each point of the girder and for each bar of the frame. The geometry of these lines can readily be developed by analysis or otherwise, and the method is one of great power and wide application. The present writer has published in the Trans. Am. Soc. C. E. still another method for treating problems of the same character as those whose solution is sought by lines of influence. It develops and applies the properties of the weight line or line of shears due to a train of wheel weights together with some associated lines called reaction polygons. These last two methods both have special reference to the question of maximum stresses due to trains of moving wheel weights. Let us now return to the consideration of Levy's great work before mentioned, in order to give a more detailed account of its scope and contents, for it now is and must necessarily, for a long time to come, remain the great compendium upon the art of graphical statics. This author is a savant who has risen by the force of his genius to a foremost position among the scientific men of France. It is a sufficient proof of this to mention to those cognizant of such matters that he is a member of the Institut, MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 63 Engineer-in-Chief of the Fonts et Chaussdes, professor at the College de France, and at the Ecole Centrale. Any of these distinctions would stamp his writings as those of a scientific authority. The present work is a second edition and contains more than three times as much matter as the first edition published in 1874. The subject is treated with a detail, precision and elegance such as especially distinguish the best French scientific treatises. It is divided into short sections of a page or two with accurate headings of the subject-matter of each, making it singularly easy for reference and use. In short, in its make up it is an ideal book for use. It is no mere compilation. Large portions of the book are entirely new creations, or ex- tensions by the author to new fields of methods already known. There is nothing however old to which the author has not added clearness, breadth and system. It is not too much to say that it is a work of such magnitude and acumen as to make it a monument of intellectual and mathematical power, comprising as it does some 1700 pages of text and 44 plates. And when we consider that it is written by an author whose interest in the theoretical questions involved is so intense, it is a marvel to see the numerous practical examples worked out in detail to illustrate the methods proposed. By careful attention to this part of the exposition the author has fully justified the entire title of the work, 'Graphical Statics and its Applications,' for he evidently considers the applications as the end in view in writing the book. It is due to the fact that the author has put his great mathe- matical and technical abilities unreservedly at the service of the practical constructor that he has made the work of indispensable importance to every educated engineer. Its actual contents cannot perhaps be more clearly summarised than is done for important portions of it in Levy's own preface, from which we venture to translate the following extracts, with a few unimportant alterations rendered necessary by the changes introduced into the work during its publication, after the preface, which is prefixed to the first volume, had appeared. Volume I., entitled, ' Principles and Applications of Pure Graphical Statics,' containing the subjects treated in the first edition (1874), except the following changes and additions: 64 HENRY T. EDDY. 1st. In the first edition we began by an exposition of the properties of equilibrium and reciprocal figures starting from a point of view wholly geometrical. This procedure still seems to us to-day the more satisfactory when we have regard merely to teaching; but as it is important to get to the applications as quickly as possible, we have thought that engineers would be glad to have us dispense with this preliminary study. We have, therefore, entirely omitted the geometrical part of the first edition and obtain the solution of problems relating to equilibrium polygons and to reciprocal figures from their mechanical defini- tions alone. 2nd. We have added a complete and detailed study of the important problem of the passage of a train over a simple girder on a framework supported upon two piers. We explain a very exact method due to Weyrauch for finding the dangerous portions as respects the moments of flexure. We give finally not only a solution of this problem of flexure, but also that of shearing tresses, which is new and complete and based in its first point upon an unpublished theorem of M. Ventre, captain of engineers. (In note 2, Vol. 4, is a new theorem due to Eddy, which completes in a manner entirely graphical the method deduced from Ventre's theorem.) 3rd. In Note 1 we have explained the new method of calculating dimensions of pieces used in construction according to the experiments of Wohler and of Spangenberg, and the principal formulas by the aid of which they have been summarized by Launhardt, Weyrauch, etc. 4th. Note 2 is devoted to Amsler's planimeter, to his integrator and to Deprez' integrameter, instruments not mentioned in our first edition. 5th. Note 3 treats of catenary curves, especially those of equal resistance, and in Note 3 bis we have reviewed the principal steps in constructing the parabolic arcs which occur so frequently in practice. 6th. In Note 4 we give, in the case of plane systems, the important theory of lines of the principal stresses (isostatic) and lines of maximum shear, and apply it to constructing these lines in a girder resting on two piers. 7th. As to arrangement, instead of printing all the figures as MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 65 plates separated from text, as was done in the first edition, we have made plates of only the larger ones and have, for the convenience of the reader, interspersed the others with the text. The remaining volumes formed no part of the first edition. Volume II. containing two sections and one note : Section L, entitled ' General Principles,' contains two chapters, one of which is devoted to a review of general formulas as to plane flexure. We give not only the expressions for elastic dis- placements but show how they can be obtained by applying the principles of kinematics relating to the composition of rotations, a form of proof certainly very expressive. We give the general formulas also a form which we think is new and which is more simple and as exact as the usual form, especially in the case where we neglect the shear without neglect- ing the compression of the mean fibre. In the second chapter we have attempted to give a summary of what can be said in general upon the lines of influence which are so convenient, not to say indispensable, in studying the positions of danger for a train upon a girder or arch which is statically indeterminate. As to these lines, introduced to science by Professor Frankel, we give an important theorem of Winckler for the case where they are polygonal, and we extend it to the case where the sides are formed of arcs of any curves whatever. Finally by the intro- duction of a fictitious train we give certain new tests which may be useful in practice. Section II. of this volume is devoted to straight girders. Omitting girders which are statically determinate, and which have been treated in the first volume, we give in great detail the graphical solutions dealing with the problems of the girder built in at one end and simply supported at the other, the girder built in at two ends, and continuous girders built in and not built in. We base each theory which has to do with girders of one span or more upon a single theorem, which we call fundamental, and which deserves the name, for it furnishes the solution of all the problems which can be proposed in the domain which it includes, a solution analytical or graphical according to the mode of development which we prefer to give it. For continuous c. P. 5 66 HENRY T. EDDY. girders the fundamental theorem is one to which we give the name of two moments; it is a generalization of one which we published in the Comptes Rendus of March 22nd, 1875. It furnishes Bresse's fixed points at once, which we have named foci, as well as the moments of flexure at these points. Our graphical solution is not the same as that given by Mohr, which is so justly celebrated; it is analogous to that of Fouret and Colligon. If the question be to determine the moments of flexure in a continuous girder for one determinate system of loads, that of Mohr would be a little more expeditious, but for deter- mining the maximum moments arising from various possible combinations of loads we believe the solution we propose to be preferable. But it has not seemed to us proper in a treatise so compre- hensive as this to pass by the beautiful work of Mohr in silence, a work which in some sort is the point of departure of the graphical treatment of the resistance of materials ; accordingly we present it in Note 1, at the end of this volume. An important question is the study of lines of influence in a girder of one or more spans not statically determinate, because* when these lines are known, the dangerous position of a train follows them. We discuss the forms of them in all the cases ; and as a result of the discussion we notice, as we believe it has not been done before, that in a girder of constant cross-section, what- ever be the number of spans the line of influence with respect to any cross-section whatever is always a catenary ; 1st, of a unit load situated at that cross-section ; 2nd, of a water pressure, that is to say, load extending across the entire span in which this cross-section is situated, and varying proportionally to the distance of its point of application to a fixed point. The lines of this pressure-load are straight and pass through one of the foci, when the cross-section considered coincides with the pier opposite to that focus. This theorem allows the line of influence to be drawn very speedily, whatever be the number of spans, by employing the very convenient and common properties of catenaries. Volume III. contains four sections, in which the subjects treated are : Section I. Metal arches : 1st, arches resting on hinges ; 2nd, MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 67 arches built in at both ends; 3rd, with one built in and one point hinged ; 4th, arches with intermediate hinges. Section II. Action of forces normal to the plane of the neutral axis, including torsion and flexure in general ; and the action of the wind against frame structures. Section III. Suspension bridges, with and without shrouding, with and without stiffening truss. Section IV. Shells symmetrically loaded including domes, boilers and rings, cylindrical, conical, spherical and plane. Note 1. Direct determination of arches of equal resistance. Note 2. Continuous arches and arches stiffened with con- tinuous girders, such as the bridge over the Douro. In his admirable study of the Douro bridge, Seyrig has admitted the fixity of certain points of the upper girder. This supposition simplifies the calculations by allowing the arch and girder to be treated separately, but it is perhaps useful to study the structure as a whole by taking account of the connections which actually exist between the arch and girder. We give the solution of this problem which is hardly more complex than that which rests upon the hypothesis of the fixity of the points of junction. The theory of every system of arches, like that of every system of girders, rests likewise upon a theorem which is unique and fun- damental, and which can be developed at will analytically or graphically. Among the graphical solutions of arches we have given pre- ference to that which Eddy has set forth in his New Construction in Graphical Statics. We give a rigorous demonstration of it, as has also been done by engineer Guide, and we apply it not only to simple arches but to continuous arches also, and to those with straight stiffening girders. We have also attempted to study the lines of influence in arches, and consequently the dangerous position of trains, and we have reached a solution that we believe is very satisfactory. Whatever be the arch, built in or not, of cross-sections and of elasticity constant or variable, we employ a line which we name the line of thrust which must not be confounded with Winckler's Kampferdrucklinie. Suppose that we lay off on the vertical of a moving weight P, measuring from the chord of an arch, an ordinate which on an 52 68 HENRY T. EDDY. assumed scale represents the arithmetical value of the quotient obtained by dividing the thrust by the weight P which causes it. The line so obtained we name the line of thrust. Now we show that this line coincides with one of the catenary curves, to wit : 1st, if the arch is of constant cross-sections it coincides with a catenary due to fictitious loads yds applied at each element ds of the neutral axis, y being the ordinate of this element of the neutral axis with reference to the chord ; 2nd, if the moment of inertia / of the cross-section of the arch is variable, the fictitious loads are quotient of yds divided by 7. The line of thrust can therefore be constructed as a catenary curve, or polygon approxi- mately, due to known loads. We have already constructed the lines of influence on straight girders by this same method and we discover that the segments of the ordinates comprised between the line of thrust (a line drawn once for all, whatever may be the cross-section with respect to which the line of influence is sought) and the lines of influence of the arch regarded as a simple straight girder, when we lay them off to a convenient scale and one varying from one cross- section to another, give the true ordinates of the lines of influence of the arch. Thus these last are found in their turn to be obtained by the construction of equilibrium polygons. The line of thrust by reason of the simplicity of its geometri- cal definition and construction may be regarded as the basis of a new and general graphical solution of the problem of arches requiring operations no more complex than Eddy's method. It consists in this : 1st, construct, first of all, the line of thrust which depends solely upon the geometrical form of the arch ; 2nd, this line being known, by the principles of superposition, it furnishes at once the thrust caused by any loading whatever, continuous or discontinuous; 3rd, combining this force with those directly applied, it is sufficient to treat the arch as if it was placed upon its supports in the manner of a straight girder, built in or not according as the arch itself is built in or not. In the last chapter of Section II. we have treated the im- portant problem of the action of the wind upon large frames. In calculations of this action it is generally taken for granted that the moment of flexure which the wind produced at the top of an arch is independent of its rise, so that it is sufficient in this way MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 69 of looking at it to regard the arch (or rather the entire structure, made up of the arches which constitute the bridge or viaduct) as a girder built in at its two ends. This rule is very convenient, but it is worth while to find out how far it is admissible. To this end we begin by giving the exact expressions for the elastic forces which the wind produces. It is then seen that the hypo- thesis of which we have just been speaking supposes: 1st, that we take as constant, not the moment of inertia / of the cross- section of the arch, but its product by the cosine of the inclina- tion of that section to the vertical ; 2nd, that we neglect the shearing and the compression of the neutral axis. We may, in general, begin by taking this hypothesis for granted under the head of a first approximation, subject to subsequent verification. But this verification requires that we have at our disposal the mathematically exact formulas which we give. Volume IV. treats three principal subjects in as many sections : Section I. Arches and domes of masonry. Section II. Pressure of earth and fluids, retaining walls, stability of chimneys. Section III. Framework with superfluous members or other conditions which render it statically indeterminate. In this it is shown how by modifying slightly the graphical process given for pieces of solid cross-section we obtain the solu- tion of corresponding problems for pieces of framework. Note 1, at the end of the volume, is the republication of an important original memoir upon the investigation of the tensions in systems of elastic members, and systems which for an equal volume of material offer the greatest possible resistance. We now leave graphical statics and pass to another great branch of graphics which centres in a practical way about the steam-engine, and covers such various matters as indicator dia- grams, diagrams for slide valve motions ; planimeters ; mechanical integrators of various kinds : self-recording instruments to measure power, velocity, etc. ; slide rules for logarithmic computation ; various constructions for the extraction of roots, for the solution of equations, for the description of curves and for the computation of various complex functions. Some of these are in daily use in the workshop and designing room. Methods without number yet to be discovered or perfected 70 HENRY T. EDDY. and put into the hands of the over-driven practitioner afford opportunity for the most varied mathematical genius to exercise its utmost skill. For a survey of the present status of graphics of this sort in the technical literature of England, I take pleasure in referring those interested to the Second Report (1892) of the Committee of the British Association for the Advancement of Science on the Development of Graphic Methods in Mechanical Science, by Professor H. S. Hele-Shaw of Liverpool, England, Secretary of the Committee and author of the little work on Mechanical Integrators, republished in this country. The first or preliminary report of this Committee was made three years before the one I am now describing and paid considerable attention to graphical statics; but this second report is devoted principally to graphical methods not statical. The report contains an appendix of 95 pages, giving a classi- fied list of references to technical papers published in thirty of the principal professional periodicals of Transactions and Proceed- ings of Engineering and Scientific Societies, in which graphical methods are employed. I estimate that these 95 pages contain more than 2000 references to graphical representations and pro- cesses of all kinds aside from graphical statics proper, a fact which shows how widespread is the professional use of graphics and how it has come into use as a common medium of expression in England, where conservatism in methods is more persistent than in any country where great constructions are common, except perhaps in Germany. I am informed by Professor Hele-Shaw that a third report of this Committee is to be made at the meeting of the British Association this fall in which he will attempt among other things to sketch the present status of graphics in educational and professional life generally. This renders it superfluous for me to attempt anything of the kind at the present time. The last branch of the subject which I shall mention is the graphical treatment of electrical currents, electromotive forces and harmonic motion generally. The most recent extensive applica- tion of graphics is to electricity, but it has already reached a point where its use may be regarded as indispensably necessary, as much so as the indicator diagram in dealing with the steam- MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 71 engine. Indeed, the commonly used characteristic curves of the dynamo and motor may, from their simplicity and usefulness, well be compared to indicator diagrams. But the geometrical con- structions by which the relation between the impressed and effective electromotive forces are computed in alternating circuits when the currents are affected by self-induction and mutual induction in connection with condensers concentrated or dis- tributed are of a far different order of complexity, and such constructions accomplish a work in solving problems of design like that effected by the constructions used in graphical statics. They enable the designer to take a short cut to important numerical results with certainty, and permit him to judge how a variation in any of the various factors under consideration affects his results in a manner so marvellous as almost to endow his brain with a new organ of vision and bring within its view things as intangible as mathematical functions. It enables him, as it were, to handle and manipulate them at will. The result is like that accomplished by Lord Kelvin's harmonic tidal machine, by which the tides of a given port can, on the basis of a few brief observations, be predicted with such rapidity that a very short space of time suffices to print in advance the tides of a whole year. So, too, the diagram of a proposed network of resistances, inductions and condensers, predicts in advance the distribution of currents resulting from the application of a given periodic electro- motive force with the relative lag and the intensity in its various branches as well as the power required in each. So much indeed has already been accomplished graphically in this new field of electro-technics and so promising is the outlook for further help that one of the subjects proposed in the world competition for the Elihu Thompson Prize this fall at Paris is a systematised graphical' treatment of electrical problems com- parable to that already developed for problems in statics. This occasion, however, affords no opportunity for an exhaus- tive survey of this field, whose many ramifications and numerous practical applications ensure its rapid enlargement. In conclusion permit me to say that this somewhat hasty sketch will have accomplished its object if it has given you a somewhat enlarged idea of the scope and importance of modern graphics in relation to theory as well as practice. DIE THEORIE DER AUTOMORPHEN FUNC- TIONEN UND DIE ARITHMETIK. VON ROBERT FRIOKE is BRAUNSCHWEIG. DIE nachfolgende Darstellung soil eineii summarischen Bericht iiber die Beziehungen geben, welche sich zwischen der modernen Theorie der automorphen Functionen und der iiberlieferten Zahlen- theorie bislang ergeben haben. Es kniipfen sich diese Beziehungen an die geometrischen und gruppentheoretischen Grundlagen, welche man der engeren Theorie der genannten Functionen vorauszusenden pflegt. Der einfache Ausgangspunkt ist die Lehre von den Substitutionen : und r _ l [ S-- wo eine complexe Variabele bedeutet und der zu conjugiert complexe Wert ist ; dabei muss man auch die zweite Substitution so verstehen, dass sie den Ubergang von zu % darstellen soil. Von rein geometrischer Seite her sind die durch Substitutionen (1) vermittelten conformen Abbildungen wohl am ausfuhrlichsten von Moebius* untersucht worden und als directe und indirecte Kreisverwandtschaften unterschieden worden, je nachdem eine Substitution von der ersten oder zweiten Art (1) vorliegt. Man gewinnt aber die gedachten Grundlagen der Theorie der auto- morphen Functionen, indem man die geometrische Lehre der Substitutionen (1) in Beziehung stellt mit dem modernen Gruppenbegriff und die dadurch entspringenden Consequenzen verfolgt. Es hat Interesse festzustellen, wo die zuletzt bezeichnete * Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung, Abhandl. der Konigl. Sachs. Gesellschaft der Wiss. Bd. 2, (1855). AUTOMORPHE FUNCTIONED UND ARITHMETIK. 73 Wendung in ihrem Keime zu finden ist : man hat als ersten und wichtigsten Ansatz zur gruppentheoretischen Behandlung der Substitutionen (1) das sogen. Princip der Symmetric anzusehen, welches Riemann* bei verschiedenen Gelegenheiten aufgestellt und zu functionentheoretischen Zwecken verwendet hat, und welches dann spaterhin von Schwarzf aufs neue in Benutzung gezogen wurde. Schwarz' Anknlipfungspunkte an Riemann liegen, das Symmetrieprincip anlangend, im Gebiete der Minimal - flachen und damit in den beiden ersten der gerade genannten Arbeiten Riemann's. Demgegeniiber soil hier auf die zu dritt genannte hb'chst merkwtirdige Notiz Riemann's besonders auf- merksam gemacht werden, die iibrigens aus hinterlassenen Papieren desselben durch den Herausgeber seiner Werke zu- sammengestellt wurde : es sind in dieser Notiz unter freilich sehr beschrankten Voraussetzungen fast alle wichtigen Gedanken angedeutet, welche in der spateren Theorie der automorphen Functionen Geltung gewonnen haben. Um auf die sachliche Einfuhrung des Symmetrieprincips noch ein wenig naher einzugehen, so knlipfe ich an die Sub- stitutionen (1) von der zweiten Art an, die eine Abbildung mit Umlegung der Winkel vermitteln. Die wichtigsten hierher gehb'rigen Substitutionen sind diejenigen von der Periode zwei, die also ein vertauschbares Entsprechen von Punkten , f darstellen. Diese Substitutionen zweiter Art haben die Eigen- schaft, die Punkte eines gewissen Kreises der -Ebene einzeln in sich selbst zu transfer mieren, wahrend die librigen Punkte der - Ebene durch die Transformation vermoge reciproker Radien an dem genannten Kreise umgelegt erscheinen. Ist dieser Kreis reell, so spricht man von einer Spiegelung oder symmetrischen Umformung an demselben, und eben hierauf griindet sich das genannte Symmetrieprincip. * Uber die Flache vom kleinsten Tnhalt bei gegebener Begrenzung, Ges. Werke, pag. 283; Beispiele von Flachen kleinsten Inhalts bei gegebener Begrenzung, Ges. Werke, pag. 417; Gleichgewicht der Electricitat auf Cylindern mit kreisformigem Querschnitt und parallelen Axen, Ges. Werke, pag. 413. t Uber einige Abbildungsaufgaben, Crelle's Journal, Bd. 70, pag. 105 (1869) ; Uber diejenigen Falle, in welchen die Gauss'sche hypergsometrische Eeihe eine algebraische Function ihres vierten Argumentes ist, Orelle's Journal, Bd. 75 (1872); weiter sehe man Schwarz' Abhandlungen zur Minimalflachentheorie. 74 ROBERT FRICKE. Man denke sich in der That einen Bereich B in der -Ebene gezeichnet, der nur von Kreisen oder Kreisbogen begrenzt ist, und wolle auf B die Transformation vermoge reciproker Radien an semen begrenzenden Kreisen anwenden. Der Erfolg ist, dass B rings von neuen Bereichen B lt B 2> ... umlagert ist, die wieder von Kreisen begrenzt sind, und auf welche man demnach aufs neue den bezeichneten Process der Spiegelung anwenden kann. Die Gruppentheorie gewinnt dann dadurch Eingang, dass man den Spiegelungsprocess ohne Ende fortsetzt und alle Substitutionen (1) sammelt, welche das schliesslich entspringende Bereichnetz in sich selbst transformieren* . Dieser an und fur sich an keine neue Bedingungen gebundene Ansatz verlangt indes einige Einschran- kungen betreffs der Gestalt des Ausgangsbereiches B , sobald man die Forderung stellt, dass das entspringende Bereichnetz die -Ebene nirgends mehrfach bedecken soil. Die bekannteste dieser Bedingungen ist die, dass in etwaigen Ecken des Bereiches B die Winkel aliquote Teile eines gestreckten Winkels sein miissen. In der dritten der oben genannten Arbeiten Riemann's ist der Spiegelungsprocess auf einen Bereich B angewandt, der nur von Vollkreisen begrenzt ist, und hier wird das schliesslich entsprin- gende Netz von Bereichen B explicite in Betracht gezogenf. In den Minimalflachenarbeiten Riemann's liegen Kreisbogenpolygone vor, die auf die -Kugel stereographisch projiciert von grossten Kugelkreisen begrenzt erscheinen. Auf das schliessliche Ergebnis des Spiegelungsprocesses wird hier nicht ausfuhrlich Bedacht genommen, wie denn iiberhaupt die durchgebildeten gruppen- theoretischen Momente Riemann fern liegen. Die beschrankte Gattung der bei Riemann zur Verwendung kommendeu Bereiche B hat bewirkt, dass eine beim Princip der symrnetrischen Vervielfaltigung auftretende Erscheinung, die in der Folge die allergrosste Bedeutung gewann, wie es scheint * Dyck verwendet in den " Gruppentheoretischen Studien" (Math. Ann., Bd. 20, 1881) das Symmetrieprincip und die Bereichnetze zu rein gruppentheoretischen Zwecken, bei denen die Bedeutung der Figuren nur eine schematische ist. t Dieser Fall ist in functionentheoretischem Gedankenzusammenhang aus- fuhrlich von Schottky untersucht worden; siehe dessen Abhandlung "Uber conforme Abbildung mehrfach zusammenhangender ebener Flactien," Crelle's Journal, Bd. 83 (1877), sowie die kurze Notiz in Bd. 20 der Mathem. Annalen, pag. 299. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 75 Riemann unbekannt blieb: ich meine den Umstand, dass bei gewissen Ausgangsbereichen B der Spiegelungsprocess naturliche Grenzen in der -Ebene antreffen kann, denen man zwar durch hinreichend weit fortgesefczte Spiegelung beliebig nahe kommt, die aber nie iiberschritten werden kb'nnen. In der That findet sich das Auftreten einer natlirlichen Grenze am Beispiele der Kreisbogendreiecke zum ersten Male in der zweiten der oben genannten Arbeiten von Schwarz erlautert, der iibrigens von analytischer Seite her bereits vorher auf das fragliche Vor- kommnis durch Weierstrass aufmerksam gemacht worden war. In letzterer Hinsicht haben wir aber sehr zu betonen, dass analytischerseits bereits in zwei alteren Arbeiten die in Rede stehenden natiirlichen Grenzen eine Rolle spielen. Einmal wurde Riemann bereits sehr friih (1852) auf die Untersuchung analytischer Functionen in der Nahe ihrer natlirlichen Grenzen gefuhrt ; ich meine hier das Fragment liber die Grenzfalle der elliptischen Modulfunctionen, das pag. 427 ff. der gesammelten Werke abgedruckt ist. Immerhin sind wir trotz der nahen Beziehung, welche zwischen den letzteren Functionen und Riemann's P-Function besteht, und trotz der wichtigen Rolle der letzteren in den Minimalflachenarbeiten doch nicht zu der Annahme berechtigt, dass Riemann eine deutliche Kenntnis vom Zustandekommen oder auch nur von der Existenz der natlirlichen Grenze bei automorphen Functionen besessen habe. Sehr geklart sind demgegeniiber die Anschauungen, welche Hank el* 1870 in der unten genannten Arbeit entwickelt hat. Am Schlusse derselben entwickelt Hankel die Moglichkeit analytischer Func- tionen, deren singulare Punkte ununterbrochene Linien flillen, und giebt in einer Note das Beispiel einer Function, die einen Kreis als natiirliche Grenze besitzt. Hankel hat diese Ideen unabhangig von Weierstrass entwickelt, welch letzterer freilich schon vor Mitte der sechziger Jahre in seinen Vorlesungen den in Rede stehenden Gegenstand beriihrte. Die obigen Bereiche B lie fern Gruppen, welche aus den beiden Arten der Substitutionen (1) bestehen, und welche liberdies aus einer Reihe von Substitutionen zweiter Art der Petiode zwei * Untersuchungen iiber die unendlich oft oscillierenden und unstctigen Func- tionen (Tubingen, 1870), abgedruckt in Bd. 20 der Mathem. Annalen. 76 ROBERT FRICKE. erzeugbar sind. In den Hauptarbeiten zur Theorie der auto- morphen Functionen, namlich denjenigen von Poincare'* und der unmittelbar vorher erschienenen Abhandlung von Klein*!* wird der Ansatz so gewahlt, dass zuvb'rderst nur Gruppen von Substitutionen (1) der ersten Art entspringen ; und es wiirde als- dann der Gegenstand einer weiteren Untersuchung sein, ob die einzelne " Gruppe erster Art " durch Zusatz von Operationen zweiter Art erweitert werden rnag. Gegeniiber der grosseren Allgemeinheit dieses Ansatzes hat der oben bezeichnete Gebrauch des Symmetrieprincips jedenfalls den Vorzug grosserer Anschau- lichkeit fur sich. Um sich liber die ausserst mannigfaltigen Gestaltungen der Grenzcurve zu unterrichten, bietet sogar schon der von Riemann in der Arbeit liber Elektricitatsverteiltmg betrachtete Fall vollauf Gelegenheit, wenn wir nur noch seine gleich zu bezeichnenden Ausartungen mit in Betracht ziehen. Diese letzteren sollen darin bestehen, dass die zuvorderst getrennt liegenden Vollkreise, vvelche die Grenzen des (natlirlich mehrfach zusammenhangenden) Bereiches ausmachen, in eine einfach oder mehrfach zusammengeschlossene Kette einander berlihrender Kreise libergehen sollen. Im anfanglichen Falle strebt der Spiegelungsprocess keiner zusammenhangenden Grenzlinie zu, sondern vielmehr unendlich vielen discret liegenden Punkten, welche ein Punktsystem von hochst wunderbarer Structur bilden. Hat man eine einfach zusammengeschlossene Kette einander berlih- render Kreise, so entspringt eine geschlossene Grenzcurve als natiirliche Grenze ; von ihr gilt der sehr merkwlirdige Satz, dass sie entweder ein Kreis ist oder aber eine hochst complicierte Curve, die sich durch eine analytische Oleichung zwischen den Coordinates uberhaupt nicht mehr darstellen ldsst+. Ist endlich der Zu- sammenschluss der Kette einander berlihrender Kreise ein mehr- facher, so entspringen unendlich viele Grenzcurven, die im * In erster Linie kommen in Betracht : Theorie. des yroupes fuclisiens, Acta mathem., Bd. 1 (1882), Memoire sur Us groupes kleineens, Acta mathem., Bd. 3 (1883). t Neue Beitrage zur Rieniann'scJien Functionentheorie, Mathemat. Annalen, Bd. 21 (1882). Die erste Mitteilung iiber diesen Gegenstand findet sich in einem Briefe Klein's an Poincare, der in den Comptes rendus von 1881, Bd. 1, pag. 1486 im Auszug abgedruckt ist. Vergl. hierzu die oben gen. Arbeit von Klein in Bd. 21 der Math. Annalen. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND AR1THMETIK. 77 besonderen sdmtlich Kreise sein mogen, im allgemeinen aber nicht- analytische Curven darstellen. Die fraglichen Bereichnetze sind tibrigens auch nach ihrer rein georaetrischen Seite bin nur erst sehr wenig ausfiihrlich untersucht. Es tritt hier moglicherweise die schon oben (pag.' 74) erwahnte Sachlage ein, dass das Netz der Bereiche B , JB 1 ,.,. bei fortgesetzter Spiegelung schliesslich mit sich selbst in Collision gerat; aber es sind die Bedingungen dafiir, dass dies nicht eintritt, im vollen Umfange noch nicht ausfiihrlich untersucht.. Doch muss es geniigen, hierauf hingewiesen zu haben ; und ich kann auch der Einfiihrung der automorphen Functionen, als- eindeutiger analytischer Functionen /(), welche in homologen Punkten der Bereiche B , B 1 ,... entweder gleiche oder conjugiert complexe Werte annehmen, nur im Vorbeigehen gedenken. Die voraufgehenden Auseinandersetzungen, welche ja dem Kenner der automorphen Functionen sehr gelaufig sind, mussten doch gemacht werden, um die Stelle aufweisen zu konnen, wo die Arithmetik mit der Theorie der automorphen Functionen zu- sammenhangt. Die genannten, durch die Bereiche B , -Si,... gebildeten Einteilungen der -Ebene oder eines Teiles derselben und damit zugleich die zugehorigen Gruppen mit ihrer Structur und specifischen Darstellungsform sind in der That nur erst dadurch einer in ihr Wesen dringenden Untersuchung zuganglich, dass man sich arithmetischer Hilfsmittel und Begriffsbestim- mungen bedient. Versucht man allein mit der unmittelbaren Anschauung sich den Verlauf einer Grenzcurve klar zu machen, so erkennt man, sofern dieselbe eine nicht-analytische Curve ist, alsbald die vollige Unmoglichkeit zum Ziele zu kommen. Gleich- wohl ist naturlich in jedem Falle die Grenzcurve wohlbestimmt, und es muss moglich sein, dieselbe durch Angabe der numerischen Werte der Coordinaten ihrer Punkte arithmetisch zu begreifen. Es liegen hier tibrigens Curven vor, wie sie allgemein und in abstracterer Form durch Hankel*, P. du Bois-Reymondf und viele neuere Autoren in Betracht gezogen wurden. Auf der andern Seite liefern unsere Figuren die mannigfaltigsten Beispiele unendlicher Punktsysteme, wie sie gleichfalls unter allgemei- * In den oben (pag. 75) ausfiihrlich genannten Abhandlung. t Siehe dessen Werk "Die allgemeine Functionentheorie," Tiibingen 1882. 78 ROBERT FRICKE. nerem Ansatze durch G. Cantor* in seiner Mannigfaltigkeits- lehre betrachtet werden. Man denke hier einmal an jene unendlich vielen discret liegenden Punkte, welche in dem mehrfach genannten Riemann'schen Falle die Grenzpunkte des Spiegehmgsprocesses sind ; aber auch in den iibrigen Fallen hat man die allgemeinen Cantor'schen Ansatze haufig zur Verwendung zu bringen. Der gewiesene Weg, die Kenntnis der Figuren nach der bezeich- neten arithmetischen Seite zu vertiefen, besteht darin, dass man das arithmetische Bildungsgesetz der Substitutionscoefficienten a, y8, 7, 8 aufzuweisen sucht, welche im Einzelfalle bei einer Gruppe auftreten. Die Losung dieses im Centrum stehenden Problems wlirde einmal das Zustandekommen der Gruppe aus der Gesetz- massigkeit der Coefficienten unmittelbar verstandlich machen ; andrerseits wiirden sich alle eben angeregten Fragestellungen dann einfach dadurch erledigen, dass man die bei den einzelnen Substitutionen festbleibenden Punkte der -Ebene berechnet. Als Prototyp fur die Behandlung der vorliegenden Fragestel- lungen kann man etwa die Theorie der Modulgruppe ansehen-f*. Das Zustandekommen dieser Gruppe ist aus der ganzzahligen Natur der Substitutionscoefficienten unmittelbar klar; die natiirliche Grenze ist zwar in einfachster Weise die reelle -Axe, aber man hat doch noch eine Reihe besonderer Punktsysteme auf der reellen Axe zu betrachten, wie die Systeme aller Fixpunkte gewisser besonderer Classen von Substitutionen innerhalb der fraglichen Gruppe. Zur Auflosung des aufgestellten Problems bietet sich nun zuvbrderst ein inductiver Weg dar. Man kann aus dem gegebenen Bereiche B die erzeugenden Substitutionen der Gruppe berechnen und mag durch Combination derselben weitere Substitutionen der Gruppe, soviel man will, herstellen. Es wlirde dann die Aufgabe entspringen, aus einer endlichen Anzahl dieser Operationen auf * Man vergl. die zahlreichen kleineren Aufsatze G. Cantor's iiber unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten in den Banden 15 bis 21 der Mathem. Annalen, sowie eine Keihe weiterer beziiglicher Artikel in den Banden 2, 4 und 7 der Acta mathematica. t Man vergl. die vom Verfasser des vorliegenden Aufsatzes gelieferte Dar- stellung der fraglichen Theorie in dem Werke " F. Klein, Vorlesungen iiber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen," 2 Bande, Leipzig 1890 und 92. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 79 das gemeinsame arithmetische Gesetz zu schliessen, von dera die gesamten Operationen der vorliegenden Gruppe beherrscht sind*. Es ware das eine Art inductiver Forschung, wie sie in der Arithmetik haufig, zumal auch von Gauss in Anwendung gebracht wurde und zur Erkenntnis neuer Gesetze hinfuhrte. Aber wie es scheinen will, ist auch der Scharfsinn eines Gauss dazu erfbrderlich, urn auf dem bezeichneten inductiven Wege die Gesetzmassigkeiten erkennen zu wollen, welche gegeniiber der Combination der Substitutionen den Charakter der Invarianz besitzen. Und zudem sind, von den einfachsten Fallen abgesehen, die Rechnungen bei Combination der erzeugenden Substitutionen alsbald so schwierig und umstandlich, dass die bezeichnete Methode wenig aussichtsreich erscheinen muss. Bei dieser Sachlage kb'nnte man versucht sein, von den Substitutionsgruppen selbst auszugehen ; und hier bietet sich sofort die Moglichkeit, beliebig viele Gruppen aus Substitutionen (1) arithmetisch zu definieren. Schreiben wir in der That vor, dass die Substitutionscoefficienten a, /8, 7, S einem bestimmten Rationaiitatsbereiche angehoren, so ist sofort evident, dass damit etwas gegeniiber der Combination der Substitutionen Invariantes gewonnen ist. Aber es reicht diese Festsetzung allein im allgemeinen keineswegs aus, um Gruppen zu gewinnen, wie man sie in der Theorie der eindeutigen automorphen Functionen braucht, und wie sie umgekehrt von den oben betrachteten Bereichnetzen geliefert werden. Es treten hier jene wichtigen Einteilungsprincipien unserer Gruppen in continuirliche^, un- eigentlich discontinuirliche und endlich eigentlich discontinuirliche^ in Geltung, welche nicht nur die Structur, sondern auch die specielle Darstellungsform betreffen. Es sind die "in der f- Ebene" eigentlich discontinuirlichen Gruppen, welche von den * Fiir eine sehr specielle Classe von Gruppen hat Rausenberger vor langerer .Zeit ohne entschiedene Kesultate den bezeichneten Forschungsweg betreten ; siehe z. B. dessen Abhandlung " Uber eindeutige periodische Functionen" Math. Ann., Bd. 20, pag. 187 (1882). t Deren Theorie von S. Lie und seinen Schulern ausgebildet wird; siehe z. B. das mehrbandige Werk Lie-Engel, Theorie der Transformationsgruppen, Leipzig (Teubner). $ Man vergl. hierzu speciell die zweite der oben citierten Abhandlungen Poincare's; doch ist daselbst der Begriff der continuirlichen Gruppen weniger streng gefasst. 80 ROBERT FRICKE. Bereichnetzen geliefert werden, wahrend man auf dem eben zuletzt erwahnten Wege zwar discontinuirliche, aber im allge- meinen doch nur erst uneigentlich discontinuirliche Gruppen gewinnt. Der Anstoss zur Entdeckung neuer eigentlich discontinuirlicher Gruppen iiber die Modulgruppe hinaus kam von einem nicht direct zur Sache gehorigen Gebiete, namlich aus der arithme- tischen Theorie der indefiniten ganzzahligen quadratischen Formen ; in der That lieferte diese Theorie arithmetisch defmierte Gruppen von Substitutionen (1), von denen man von vornherein wusste, dass sie eigentlich discontinuirlich sein miissen. Aber freilich hat auch dieser Ansatz (auf den wir gleich noch ausfuhrlicher zu sprechen kommen) nur eine sehr geringe Ergiebigkeit besessen ; in der That lassen sich auf diesem Wege nur solche Gruppen gewinnen, bei denen die naturliche Grenze ein Kreis ist. Von der Literatur der indefiniten quadratischen Formen kommen fur uns in erster Linie die Arbeiten von Hermite* und Selling^" in Frage. Insbesondere ist es die eben zuletzt citierte Arbeit Sellings, welche in einer merkwtirdig weit durchgebildeten Gestalt genau die fur uns in Betracht kommenden Frage- stellungen behandelt. Nur ist es nattirlich, dass Selling in seiner vielseitigen, auch nach mancher anderen Richtung hin wichtigen Arbeit nicht eben jene Gesichtspunkte voranstellt, welche vom Standpunkte der Gruppentheorie der Substitutionen (1) die wichtigsten sind. Auch ist es gar nicht wunderbar, dass Selling bei der geometrischen Betrachtung der Bereichnetze B , B l} ... die letzteren nicht gerade in der einfachsten Gestalt gewinnt, welche uns heute zuganglich ist. Es hat daun aber spaterhin Poincar^J einen Teil der Selling'schen Ansatze in moderner Fassung bearbeitet und den Conriex mit seiner eigenen Theorie der automorphen Functionen explicite hergestellt. * Man sehe namentlich die Abhandlungeiifolge in Bd. 47 von Crelle's Journal, pag. 307 ff. (1853). t Uber binare und temare quadratische Formen, Crelle's Journ., Bd. 77 (1874). J Poincard ist wiederholt auf diesen Gegenstand zuruckgekommen und hat decselben bereits in seinen ersten Notizen iiber "Fuchs'sche Gruppen" erwahnt; man sehe z. B. die Comptes rendus von 1881, Bd. 1, pag. 335, sowie vor allem die ausfiihrliche Arbeit "Les /auctions fuchsiennes et I'arithmetique," Journal de Mathe"matiques, 4 te Folge, Bd. 3, pag. 405 (1887). AUTOMORPHE FUNCTIONED UND ARITHMETIK. 81 Um den in Rede stehenden Gegenstand ein wenig naher zu behandeln, sei unter : (2), eine indefinite ganzzahlige terndre Form verstanden, die ir- reducibel sein soil und also, geometrisch genommen, einen nicht- zerfallenden Kegelschnitt von reellem Curvenzuge darstellt. Dieser Kegelschnitt gestattet oo 3 Collineationen : x 'i &iii + a{ 2 # 2 + &i3 x 3 ..................... (3), in sich, welche eine continuirliche Gruppe bilden. Sondern wir nun aus dieser Gruppe alle ganzzahligen Substitutionen der Determinante |ait| = 1 aus, so haben wir die gewunschte Gruppe. Diese Gruppe ist eigentlich discontinuirlich, well sie keine infinitesimale Substitutionen aufweist*. Es entspricht ihr eine Einteilung des Innern des Kegelschnitts f xx = in Bereiche B , B 1 ,..., d. h. desjenigen Teiles der Coordinatenebene, von dem aus keine reelle Tangenten an den Kegelschnitt gezogen werden konnen. Die hiermit gewonnene Figur subsumiert sich freilich noch nicht direct unter die oben allgemein in Ansatz gebrachten Netze von Bereichen ; doch brauchen wir nur ein gewisses sehr einfaches Projections verfahren-j- in Anwendung zu bringen, urn die zuletzt gemeinte Gattung von Bereichen der f-Ebene zu gewinnen. Sollen wir analytisch den Zusammenhang zwischen der Coordinatenebene der x t und der -Ebene angeben, so wiirde dies geschehen durch die Formel : v + ijuw v 2 in welcher u = und w = zwei Tangenten des Kegelschnitts darstellen und v = die Verbindungslinie ihrer Beriihrungspunkte, wahrend identisch f xx = uw v 2 bestehen muss. Bei der Ableitung dieser Formel konnen wir uns nicht aufhalten und bemerken nur noch, dass das Kegelschnittinnere auf die " positive " -Halbebene bezogen ist, sofern wir das Vorzeichen der Quadratwurzel in (4) mit dem von u tibereinstimmend wahlen. * Man vergl. hierzu die zweite der pag. 76 genannten Abhandlungen von Poincare. t Eine ausfiihrliche Behandlung dieses Gegenstandes findet man im Bde 1 der Vorlesungen iiber Modulfunctionen, pag. 240. c. P. 6 82 ROBERT FR1CKE. Es sind hier gleich die ternaren Formen gebraucht worden, weil sie am unmittelbarsten zu Gruppen unserer Art hinfiihren ; iiber den analogen Gebrauch der binaren, quaternaren n.s.w. Formen sollen weiter unten noch einige Bemerkungen angefugt werden. Vorab ist indessen iiber die thatsachliche Berechnung der Substitutionen (3) bei vorgegebener Form f xx zu berichten. Hermite* entwickelt zur Auflosung dieses Problems einen allgemeinen Ansatz, bei dessen Durchfuhrung er indessen eine gewissermassen partikulare Wendung eintreten lasst. Um das Sachverhaltnis geometrisch auszudriicken, so stelle man neben den Kegelschnitt f xx = eine durch eine ganzzahlige Gleichung gegebene Gerade der Coordinatenebene. Die Arigabe aller ganz- zahligen Substitutionen (3), welche Kegelschnitt und Gerade zugleich in sich iiberfuhren, wird alsdann mit Hilfe der gewohn- lichen Pell'schen Gleichung geleistet. Unter den beziiglichen Arbeiten Cay ley's kommt in erster Linie eine im 50. Bande von Crelle's Journal pag. 288 ff.-f- abgedruckte in Betracht. In derselben wird zuvorderst im Anschluss an Hermite ein ganz. allgemeiner Ansatz, quadratische Formen von n Veranderlichen in sich zu transform ieren, entwickelt, und Cayley giebt sodann besondere Ausfuhrungen u. a. fur n 3, welch letztere sich auf die Gleichungsform x l x s a;/ = beziehen ; inzwischen wird dabei kein Nachdruck auf die Aussonderung ganzzahliger Substitutionen gelegt. Das Partikulare an der Hermite'schen Durchfuhrung unserer Aufgabe besteht darin, dass man keineswegs zur Gesamtgruppe der ganzzahligen Collineationen direct gefuhrt wird, sondern immer nur specielle cyclische Untergruppen derselben gewinnt,, die durch die Auswahl der Geraden im eiuzelnen Falle fixiert sind. Im Vergleich hiermit erscheint nun die von Selling* gegebene Auflosung der Aufgabe, bei vorgegebener Form f yx alle ganzzahligen Substitutionen (3) zu bestimmen, ungleich prin- cipieller, insofern Selling's Methode dazu fiihrt, sogleich die erzeugenden Substitutionen der Gesamtgruppe zu berechnen. Zu diesem Ziele gelangt Selling durch eine erschopfende Theorie der * A. a. 0. Crelle's Journal, Bd. 47, pag. 309. t Sur la transformation d'une fonction quadratique en elle-meme par des substi- tutions lineaires. J A. a. 0. Crelle's Journal, Bd. 77. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 83 ternaren Formen liberhaupt, die er 1. c. seiner Behandlung der binaren Formen atireiht. Leider ist es jedenfalls unmbglich, in Kiirze mit hinreichender Deutlichkeit die ebenso wichtigen wie allgemeinen Gesichtspunkte der Selling'schen Entwicklung dar- zulegen. Nur muss erwahnt werden, dass die von Selling gebrauchte geometrische Interpretation der definiten Formen durch Punktgitter eben jene Vorstellungsweise ist, die von Gauss* eingefuhrt wurde, wahrend Selling's Zuordnung un- endlich vieler definiter Formen zu der einzelnen indefiniten gerade diejenige Massnahme ist, die zuerst durch Hermite'f in analytischer Form angesetzt und zu mannigfachen Zwecken verwendet wurde. Der hier in Frage kommende Gegenstand kann, fur bindre Formen gedacht, als eine in geometrischer Gestalt durchgefuhrte Theorie der PelVschen Gleichung bezeichnet werden Die geometrischen Entwicklungen, welche zu diesem Ende an der eben citierten Stelle der " Vorlesungen liber Modulfunctiouen" Vervvendung finden, sind nicht principiell verschieden von den Vorstellungsweisen ira ersten Teile der b'fter genannten Selling'schen Arbeit. Um so interessanter ist es, dass die Untersuchungen von Stephen Smith, welche der Behand- lung der indefiniten binareu Formen in den gen. Vorlesungen zu Grunde liegen, aus dem gleichen Jahre stammen, wie die Selling'sche Arbeit. Zu weiteren, fur die Theorie der automorphen Functionen bedeutungsvollen Ergebnissen gelangt man dadurch, dass man die quaterndren ganzzahligen quadratischen Formen in gleicher Weise in Ansatz bringt, wie vorhin die ternaren. In dieser Hinsicht sei vorab erwahnt, dass die Untersuchungen von Selling in das quaternare Gebiet hinein durch Charvejl fortgesetzt * In den Gottingischen gelehrten Anzeigen vom 9. Juli 1831, bei Gelegenheit der Anzeige der Seeber'schen Untersuchungen iiber ternare positive Formen ; siehe auch Bd. 2 der gesammelten Werke, pag. 188 ff. t Ausser den schon citierten Stellen sehe man etwa noch Hermite's Abhand- lung " Sur V introduction des variables continues dans la theorie des nombres," Crelle's Journal, Bd. 41. J Siehe die " Vorlesungen iiber Modulfunctionen," Bd. 1, pag. 250 ff. Die betreffende Arbeit " Sur les equations modulaires " ist 1874 geschrieben, wenn auch erst 1877 in den Atti dell' Accademia Beale dei Lincei (Bd. 1) gedruckt. || De la reduction des formes quadratiques quoternaires positives, Annales de l'6cole Normale, Folge n. Bd. 11 (1882) ; cf. auch Comptes rendus 1883, pag. 773. 62 84 ROBERT FRICKE. wurden. Doch konnen wir hier vor alien Dingen die inhaltreichen modernen Untersuchungen von Bianchi iiber Polyedergruppen einordnen. Es nehmen freilich diese Untersuchungen erst in neuester Zeit die Wendung zu den quaternaren Formen*, wahrend Bianchi in den ersten beziiglichen Arbeiten an das directe Bildungsgesetz der -Substitutionen ankniipft'f; doch kann man alle diese Gruppen von den quaternaren Formen aus gewinnen. Zur naheren Erlauterung des eben genannten Ansatzes nehmen wir an, es liege in f xx eine ganzzahlige quaternare quadratische Form vor, die, gleich Null gesetzt, unter geeigneter Auswahl des Coordinatensystems ein Ellipsoid darstelle. Dem oben betrachteten Ubergange vom Kegelschnittinnern zur f- Halbebene entspricht alsdann hier der Ubergang vom Innern des Ellipsoids zum %-Halbraum, d. h. demjenigen Teile des gewohnlichen dreidimensionalen Raumes, der oberhalb der Ebene der complexen Veranderlichen liegt. Der ganzzahligen quater- naren Substitutionsgruppe der Formf xx in sich entspricht nunmehr eine ebenftdchige Polyedereinteilung im Innern der Fldche f xx = 0, und bei dem schon genannten Ubergange zum f-Halbraume gewinnen wir eine der Gruppe entsprechende Einteilung des letzteren in Kugelschalenpolyeder von der Art, wie sie Poincare| in seiner Theorie der Klein'schen Gruppen zu Grunde legt. Die von Bianchi betrachteten Beispiele hierher gehoriger Gruppen sind in der That noch nicht in der -Ebene, wohl aber im Halb- raum " eigentlich " discontinuirlich. Ubrigens sollen betreffs des directen Bildungsgesetzes der in den Bianchi'schen Gruppen enthaltenen -Substitutionen weiter unten noch einige Bemer- kungen angefugt werden. Die eben besprochenen Gruppen, die man als " Polyeder- gruppen" bezeichnet, sind in der Theorie der automorphen Functionen einer Veranderlichen nicht unmittelbar brauchbar ; hier kommen ja nur die als " Polygongruppen " zu benennenden Gruppen der oben besprochenen Art in Frage. Es giebt aber * Sui gruppi di sostituzioni lineari, Math. Ann., Bd. 42, pag. 30 (18,12). t Lineare Substitutionen mit ganzzahligen complexen Coefficienten, zwei Abhand- lungen in den Mathemat. Annalen, Bd. 38, pag. 313 und Bd. 40, pag. 332 (1890 und 91). J Man sehe die zweite unter den oben (pag. 76) genannten Abhandlungen Poincar6's. ATJTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 85 eine sehr interessante Wendung in der Theorie der Polyeder- gruppen, welche uns Polygongruppen als Untergruppen in denselben kennen lehrt. Indem man den oben schon beriihrten Gedanken generalisiert, innerhalb der Collineationsgruppe eines Kegelschnitts in sich diejenige cyclische Untergruppe zu be- trachten, welche eine vorgegebene Gerade in sich tiberfiihrt, werden wir die Aufgabe im quaternaren Gebiet entsprechend so formulieren: Man schneide die Flache zweiten Grades fxx = vermoge einer durch eine ganzzahlige Gleichung gegebenen Ebene ; diejenigen quaternaren Substitutionen der Gruppe, welche diese Ebene in sich selbst iiberfuhren, liefern eine Untergruppe vom Typus der Polygongruppen. Dabei fiihrt die geometrische Untersuchung des Schnittes der Ebene init der Polyederteilung direct zur Polygoneinteilung dieser Untergruppe vermoge einer Theorie, die das genaue Analogon der oben citierten geometrischen Theorie der PelFschen Gleichung ist, und die sich den Selling'schen Betrachtungen im ternaren Gebiete an die Seite stellt*. Der hiermit besprochene Ansatz, sowie auch seine nahe liegende Verallgemeinerung auf Formen mit einer noch grosseren Variabelenzahl, fiihrt indessen zu keinen neuen Resultaten ; man wird vielmehr immer wieder zu jenen Polygongruppen zuriick- gefuhrt, welche auch schon durch die Selling'sche Theorie geliefert wurden. Nebenher sei auch noch auf die folgende Moglichkeit hingewiesen, den an die ternaren Formen ankniipfenden gruppen- theoretischen Ansatz zu verallgemeinern. In der Curventheorie gilt ein Kegelschnitt als Normalcurve des Geschlechtes p = in der Ebene, d. i. im Raume JK 2 v n zwei Dimensionen. Es reiht sich im R 3 als Normalcurve p = die Raumcurve dritter Ordnung C s an, allgemein aber im R n die Curve C n , die nicht schon in einem linearen Raume .#_! gelegen ist. Die " ganzzahligen " Kegel- schnitte werden wir in solche rationale Curven C n verallgemeinern, welche durch ganzzahlige Gleichungen darstellbar sind. Es ist nun schon vor langerer Zeit von F. Klein das Problem gestellt, gerade so wie bei der C 2 auch bei der C n die Gruppe der ganzzahligen Raumcollineationeu des R n aufzustellen, welche die * Man sehe das Nahere in der vorhin genannten Arbeit von Bianchiin Bd. 38 der Mathem. Annalen, pag. 331 ff. 86 ROBERT FRICKE. C n in sich iiberfuhren. Sie werden eine eigentlich discontinuir- liche Untergruppe in der Gesamtgruppe der oo 3 Collineationen der C n in sich bilden und werden insbesondere fur den "Parameter" der rationalen C n eine Polygongruppe zur Folge haben. EsSst kaum zweifelhaft, dass dieser Ansatz iiber den Bereich der Selling'schen Gruppen hinausfuhrt ; indessen ist die nahere Untersuchung noch nicht ausgefiihrt. Es ist numnehr Bericht zu erstatten liber eine Reihe von Arbeiten, deren geraeinsamer Charakter dahin formuliert werden kann, dass sie von einem directen Bildungsgesetz arithmetischer Art fur die ^-Substitutionscoefficienten a, /8, 7, 8 ausgingen. Der hier am nachsten liegende Gedanke wtirde der sein, dass man nach der bezeichneten Richtung bin die ternaren Gruppen Selling's und Poincar^'s in ihrer Gestalt als f-Gruppen in Betracht zieht. Doch sei es gestattet, vorab iiber zwei andere Reihen von Untersu- chungen zu berichten, welche hierher gehoren. Zusammenfassend mb'ge vorher noch betont werden, dass auch die weiterhin zur Besprechung kommenden Gruppen, soweit sie Polygongruppen sind, stets nur wieder einen Kreis als natlirliche Grenze ihres Polygonnetzes darbieten. In der That hat sich die Aufgabe, auch Polygongruppen in it nicht-analytischen Grenzcurven arithmetisch zuganglich zu machen, bisher noch stets als zu schwierig erwiesen. Hier ist nun erstlich der Ort, iiber die gruppentheoretischen Arbeiten von X. Stouff* zu berichten. Dieselben kommen einem Teile nach auf diejenigen Gruppen zuriick, welche von Selling und Poincare' aufgestellt sind. Indessen geht Stouff in der ersten der genannten Arbeiten hieriiber hinaus, indem er eine allgemeine Classe eigentlich discontinuirlicher Gruppen arithmetisch mit Hilfe gewisser Zahlkorperf hoheren Grades definiert. Es ist ja ein Princip, welches sich hier gleich auf- drangt, dass man die Substitutionscoefficienten mit ganzen algebraischen Zahlen eines gewissen Korpers identificiert. Stouff benutzt nun decjenigen reellen Korper des Grades ^(p 1), der in der Kreisteilung vom Primzahlgrade p auftritt. Die For- * Sur certains groupes fuchsiens, Sur des fonctions voisines des fonctions modu- laires, Sur la composition des formes quadratiques quaternaires, in den Jahrgangen 1891 und 92 der Annales de la faculte des sciences de Toulouse. t Wegen der hier benutzten Terminologie sehe man Dirichlet-Dedekind, Vorlesungen iiber Zahlentheorie, Supplement xi. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 87 derung, dass die Substitutionsdeterminante 1 sei, ist fur die eigentliche Discontinuitat noch nicht ausreichend; es gilt viel- mehr, neue Einschrankungen zu treffen, uud der von Stouff ausgefuhrte Gedanke ist der folgende : Sind e und e' zwei bestimmte primitive p te Einheitswurzeln, und sei S e eine f- Substitution der gedachten Art, die bei Ersatz von e durch e in S e ' iibergeht ; es soil alsdann, unter T eine fest definierte Substitution verstanden, die Relation : T->S t T = S t . bestehen. Dass alle, diese Relation befriedigenden, Substitutionen 8 f eine Gruppe bilden, ist evident; Stouff zeigt, dass dieselbe eigentlich discontinuirlich ist, und betrachtet eine Reihe von Beispielen, ohne indes die geometrische Seite des Gegenstandes hinreichend zu verfolgen. Des ferneren mtissen wir hier nochmals auf die schon genannten Arbeiten von Bianchi zurlickkommen. Sein ur- spriinglicher Ansatz lasst sich jetzt kurz dahin charakterisieren, dass er die Substitutionscoefficienten a, y8, 7, 8 mit ganzen complexen Zahlen der Gestalt (a + ib) identificiert und iibrigens die Determinante a.8 /3y = l verlangt*. Der so entspringenden Gruppe entsprach dann eine Einteilung des -Halbraums in Kugelschalenpentaeder von leicht angebbarer Gestalt, und man konnte die ganze Einteilung aus einem ersten Pentaeder nach dem Princip der Symmetrie entstanden denken^. Bianchi hat dann weiter statt des quadratischen Zahlkorpers von der Basis [1, i] auch die librigen imaginaren quadratischen Korper in entsprechender Weise zur Gruppenbildung herangezogen. Stets sind diese Gruppen im -Halbraum eigentlich discontinuirlich, und Bianchi betrachtet in mannigfachen Beispielen die fertige Gestalt der zugehorigen Polyederteilungen. Wir kommen nun auf die schon oben angedeutete Aufgabe zurlick, die ternaren Gruppen von Selling und Poincare in die Gestalt von ^-Gruppen umzusetzen. Es ist dies fur die besonders einfache Gestalt /^ = qxi 2 xf x./ der ternaren Form vom Ver- * Man sehe ausser den scbon oben genannten Annalenarbeiten Biancbi's beziiglicbe Noten in den Atti dell' Accademia dei Lincei, zumal die erste vom 20. April 1890, " Sui gruppi di sostituzioni lineari a coejficienti interi complessi." t Schon friiher wurden zu dieser Raumeinteilung von anderer Seite gefiihrt Hurwitz (in Bd. 11 der Acta math.) und Picard (siehe dessen Notiz in Bd. 38 der Math. Annalen). 88 ROBERT FRICKE. fasser des vorliegenden Aufsatzes* durchgefuhrt. Als bemerkens- werter Typus von -Substitutionen ergab sich hierbei : Y' (5) -c + d^q., a-b^q ~2~~ ~2~ wobei a, b, c, d rationale ganze Zahlen bedeuten und die Determinante der Substitution gleich 1 sein muss. Der Vorteil dieses Resultats war darin begriindet, dass die gruppenbildende Eigenschaft der Substitutionscoefficienten unmittelbar evident war ; und ich habe dieserhalb den Typus (5) von -Substitutionen in einigen weiteren Untersuchungen-f- zum Ausgangspunkt ge- macht. Der Selling'sche Ansatz lieferte solchergestalt -Substitutionen, welche mit Hilfe quadratischer Irrationalitdten aufgebaut wareri ; und es entsprang nun die Frage, wie man die hiermit gezogenen Grenzen iiberschreiten konne. Dabei ergab die Untersuchung der zu den s-Functionen : /I 1 1 >* of _ *'' ; gehbrenden Gruppen die Richtung an, welche dann spater zur Aufstellung eines ziemlich allgemeinen Princips fiihrte, mit Hilfe von Zahlkb'rpern n ten Grades eigentlich discontinuirliche ^-Gruppen aufzubauen^:. An Stelle allgemeiner Angaben ist es vielleicht zweckmassig, durch Mitteilung eines besonderen Beispiels den Charakter der hier in Betracht kommenden Gruppen darzuthun. Durch die algebraische Gleichung : wird ein reeller Zahlenkbrper funften Grades definiert, der in der Kreisteilung elften Grades auftritt, und der iibrigens ein soge- nannter Normalkorper oder Galois'scher Korper ist. Ganze * fiber eine besondere Classe discontinuirlicher Gruppen reeller linearer Substi- tutionen, Math. Annalen, Bd. 38, pag. 50 (1890). t Uber eine besondere Classe discontinuirlicher Gruppen ect., zweite Abhand- lung, Math. Annalen, Bd. 38, pag. 461 (1891), Specielle automorphe Gruppen und quadratische Formen, Math. Ann., Bd. 39, pag. 62 (1891). J Arithmetische Theorie der Dreiecksfunctionen (2, 3, 7) und (2, 4, 7), Math. Annalen, Bd. 41 (1892) ; Zur gruppentheoretischen Grundlegung der automorphen Functionen, Math. Annalen, Bd. 42 (1892). AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 89 Zahlen dieses Korpers bezeichnen wir allgemein durch A, B, C, D, und wir verstehen weiterhin im speciellen unter j die grosste positive Wurzel von (6). Dann bilde man alle Substitutionen : ., * r= -C+D\/j-l A-B^/j-l 2 ' 2 der Determinante 1, bei denen die ganzen algebraischen Zahlen A, B, C, D den beiden Congruenzen geniigen : Alle diese Substitutionen bilden eine Gruppe, und dabei ist es die Wirkungsweise der Congruenzen (8), dass sich der bei der Combination zweier Substitutionen zunachst einstellende Nenner 4 auf 2 zuriickhebt. Die vorliegende Gruppe lasst sich func- tionentheoretisch als diejenige der Function, (*)=(*, i.i 1 *;*) ........ ............. (9), definieren. Man kann demnach, wenn es Interesse hat, das ausgesprochene Resultat auch in die folgende Gestalt kleiden : Die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung : d*y dy 1 ' y habe y l und y 2 als Fundamentalsystem von Integralen, und man setze f (z) gleich dem Quotienten von T/J und y. 2 . Hat man diese Integrate zweckmassig ausgewahlt, so wird %(z) eine un- endlich vieldeutige analytische Function von z, deren samtliche Zweige f' ' (z) sich in einem Ausgangszweige ^(z) gerade in der Gestalt (7) darstellen. Die bisher genannten Arbeiten waren von der gemeinsamen Tendenz beherrscht, mit arithmetischen Hilfsmitteln in der Theorie der automorphen Functionen Boden zu gewinnen. Zum Schluss sollen wenigstens noch kurz einige Untersuchungen namhaft gemacht werden, welche das Umgekehrte zum Ziele haben, namlich die geometrisch-gruppentheoretischen Principien der Theorie der automorphen Functionen auf iiberkommene Entwicklungen und Fragestellungen der Zahlentheorie in An- wendung zu bringen. Diese letzteren betreffen die arithmetische 90 ROBERT FRICKE. Theorie der bindren quadratischen Formen, welche ja schon oben wiederholt bertihrt wurde. Die Anwendung der Modulgruppe auf die Theorie der ge- wohnlichen ganzzahligen binaren quadratischen Formen wurde dem elementaren Teile nach durch Dedekind* und Stephen Smith^ geleistet, und zwar kommen bei ersterem die definiten, bei letzterem die indefiniten Formen zur Geltung. Uber beides ist im ersten Bande der Vorlesungen iiber Modulfunctionen pag. ^43 ff. berichtet. Eine Reihe tiefer gehender Untersuchungen, welche insbesondere das Problem der Classenanzahlbestimmung bei gegebener Determinante betreffen, wurden mit den geo- metrisch-gruppentheoretischen Hilfsmitteln der Modulfunctionen zum ersten Male im zweiten Bande der genannten Vorlesungen durchgefiihrtf. Es stehen diese Entwicklungen in engster Beziehung zur Transformation hoherer Ordnung der elliptischen Functionen, und sie finden, soweit die definiten Formen in Frage kommen, ihr analytisches Gegenbild und ihre weitere Ausfuhrung in der bekannten Theorie der singuldren Moduln und der Classen- zahlrelationen, liber welche hier indessen nicht weiter berichtet werden kann. Dieses bei der Modulgruppe angetroffene Sachverhaltnis iibertragt sich nun in alien wesentlichen Punkten iiberhaupt auf jede eigentlich discontinuirliche Polygongruppe. Filr jede solche Oruppe konnen wir eine arithmetische Theorie gewisser zugehoriger bindrer quadratischer Formen auf stolen, wobei sich die Problem e der Aequivalenz, der Reduction, der Classenanzahlen ect. gerade in derselben Weise erledigen lassen, wie im Falle der Modul- gruppe und der gewohnlicheu ganzzahligen quadratischen For- men ||. Die zu einer Gruppe gehorenden Formen wird man aber aus deren Substitutionen einfach in der Gestalt : yx z + (8-<*)xy-@y n - (11), gewinnen konnen. Doch muss der Vollstandigkeit halber * Man sehe den Brief Dedekind's an Borchardt iiber die Theorie der ellip- tischen Modulfunctionen in Bd. 83 von Crelle's Journal (1877). f In der oben (pag. 83) genannten Arbeit "Sur les equations niodttlaires." Man sehe z. B. pag. 161 ff. pag. 170 ff. sowie namentlich pag. 189. Die Literatur dieser Gegenstande, welche sich in erster Linie aus Arbeiten von Kronecker, Gierster und Hurwitz zusammensetzt, fiudet man des niiheren im zweiten Bande der Modulfunctionen nachgewiesen. || Fur die "Selling'schen" Gruppen ist dies durch den Verfasser in Bd. 39 der Annalen pag. 73 ff. zur naheren Durchfiihrung gebracht. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 91 gesagt werden, dass der Ansatz (11) nach Seite der definiten Formen noch zu eng ist ; es ist im Einzelfall in der Regel nicht schwer, die in (11) vorliegende specifische Bauart der Coeffi- cienten in richtiger Allgemeinheit aufzufassen*. Zu besonders klaren Verhaltnissen wird man bei den oben besprochenen Gruppen mit ganzen algebraischen Coefficienten gefiihrt. Auch die Polyedergruppen sind einer analogen Anwendung auf die Zahlentheorie fahig; es koinmt hier die arithmetisejie Theorie der zuerst von Hermite^ betrachteten quadratischen Formen, axx + bxy + bxy + cyy (12), in Betracht, wobei a und c reell, b und b, x und x, y und y aber conjugiert complex sein sollen. Es seien bei dieser Gelegenheit auch noch die mannigfachen Arbeiten Picard'sJ iiber derartige Formen mit conjugiert complexen Coefficienten bez. Variabelen erwahnt. Es ist besonders interessant, dass Picard bei der Behandlung der binaren Forraen (12) genau mit den Selling'schen Gesichtspunkten arbeitet, und dass er daher von dieser Seite aus bei den indefmiten Formen zu Gruppen gelangt, welche nichts anderes als besondere Beispiele der oben ausfuhrlich betrachteten Selling'schen Gruppen sind. Zu grosser Eleganz konnte dann spaterhin Bianchi diese Theorie der Hermite'schen Formen dadurch ausbilden, dass er sie auf die oben (pag. 87) besprochene Pentaederteilung des -Halbraums basierte. Die einzelne in- definite Form (12) wurde dabei geometrisch durch eine die -Ebene orthogonal treffende Halbkugel reprasentiert, und der Schnitt dieser Halbkugel mit der Polyederteilung ergab direct, wie wir sagen konnen, die " Pell'sche Theorie " der einzelnen Form (12). Entsprechende Betrachtungen fur andere Polyedergruppen hat Bianchi in seinen spateren Arbeiten durchgefuhrt. GOTTINGEN, den 20. Juli 1893. * Ubrigens hat diesen Weg, die Theorie der gewohnlichen ganzzahligen quadra- tischen Formen auf Formen mit irrationalen oder complexen Coefficienten auszu- dehnen, wohl zuerst Dirichlet beschritten; siehe dessen Abhandlung " Recherches sur les formes quadratiques a coefficients et a indeterminees complexes" Crelle's Journal, Bd. 24. t Siehe die schon oben genannten Arbeiten in Bd. 47 des Crelle'schen Journals. J Siehe z. B. die Comptes rendus Bd. 96, pag. 1567 und 1779, und Bd. 97, pag. 745 und 845. Siehe Bd. 38 der Mathem. Annalen, pag. 329 ff. SOME SALIENT POINTS IN THE HISTORY OF NON-EUCLIDEAN AND HYPER-SPACES. BY GEORGE BRUCE HALSTED OF AUSTIN. IN 1793, just a century ago this very year, there was born in Russia one destined to take rank with the few foremost minds of all time. This hero of pure science, Lobatcheffsky, is inseparably connected with an advance so fundamental as actually to change the accepted conception of the universe. His father, an architect, died in 1797, leaving his wife and two young sons in straitened circumstances. Lobatcheffsky's mother, soon after her husband's death, settled at Kasan, where she succeeded in getting her boys admitted as free pupils to the gymnasium. The gymnasium course was then four years. In February, 1807, Lobatcheffsky passed his entrance exami- nation and was admitted to the University as a free student. Soon the Inspector attests his preeminence above his fellows in all the sciences. But his disobedience and contempt for orders often drew down upon him the displeasure of the rulers in the University. He was a born leader in thought, not to be overawed by authority. In fact Lobatcheffsky was threatened with exclusion from the University, and it was only the protection of the Professor of Mathematics which enabled him to complete his course. Toward this man Lobatcheffsky showed throughout life feelings of the highest esteem and gratitude. In 1810 Lobatcheffsky took his Bachelor's degree, and shortly after was admitted to the grade of licentiate. The licentiates were then the assistants of the professors. During the sickness or absence of the professors they carried on the courses. They also aided the professors in the matter of the students' practical exercises, and explained to the students difficulties met with in the professors' lectures. But their highest duty was to perfect themselves in their chosen sciences. NON-EUCLIDEAN AND HYPER-SPACES. 93 The relation of a licentiate to his professor was a very intimate one. In 1814 Lobatcheffsky himself became professor. At present the world has no account of his mental development in elaborating his extraordinary discovery up to the reading in 1826 of a discourse in which it appears already complete. In 1829 he published in the ' Kasan Messenger' a paper in Russian, entitled "On the Principles of Geometry," and this was the first printed exposition of the new doctrine now recognized as the most impor- tant and fundamental development of mathematics in our century. Though this first publication attracted at the time no attention whatever, yet the author had the perception given to genius of the importance of its own work, and beginning with 1835 he published in Russian an extended treatise under the title " New Principles of Geometry with the Theory of Parallels." This is his great work. It is preceded by a careful critique of the so-called demonstrations of the Postulatum of Euclid and is wholly syn- thetic. Transcendently important and interesting as is this great treatise, no part of it has ever yet appeared in any language but Russian. It is therefore wholly inaccessible to the rest of Europe and America. I may mention that I intend soon to issue an English translation of this great monument of genius, encouraged to complete the undertaking by the exceptional success of my translation of his later and smaller work, " Geometrical Researches on the Theory of Parallels," which translation has passed through four editions and been reprinted in Japan at the Imperial Uni- versity of Tokio. Lobatcheffsky had now fairly presented his results to his countrymen, but the only notice they gave was to ridicule him. Among these ironical contemporary authorities Ostrogradsky is particularly mentioned. Without blaming his countrymen, with- out the slightest bitterness, our hero turned his hopes and endeavours toward a foreign audience. In 1837 he published a paper in French in Crelles Journal, and in 1840 a little book in German in Berlin. Finally he became blind, but lost none of his unconquerable hope and heroism. Though blind, he dictated a completely new exposition of his whole system and published it in 1855 in French and in Russian under the title ' Pangeometry,' which title Felix Klein now 94 GEORGE BRUCE HALSTED. recommends as the best and most suggestive for the whole wide subject. But all efforts to enlighten the world seemed vain. Lobat- cheffsky died in February 1856 without having produced the least visible result on the world of thought by his extraordinary achievements and lifelong endeavour to make them known. The Russian editors of the great edition of his works issued by the University of Kasan 1886 say : " For the contemporaries of Lobatcheffsky his theory was incomprehensible and appeared to contradict an axiom, of which the inevitability is indeed only founded on a prejudice, but on a prejudice consecrated by thousands of years. The force of the conviction of the necessity of this axiom was so great that Gauss himself expressed his assent to the views of Lobatcheffsky only in a private correspondence." Gauss expressed himself as fearing to publish anything on this subject because he dreaded " the outcry of the Boeotians." I think this a lasting reproach to Gauss's character as a man and a scientist, and another link in the chain of evidence that Gauss's ideas on this subject were not fundamentally his own but were due to his old friend of his student period, the Hungarian, Wolfgang Bolyai. But a word of exposition before taking up the Bolyai's. Whatever elementary geometry it was your fortune to study, be assured it was only a more or less exact reproduction of that imperishable model, already in dim antiquity a classic, regarded as absolutely perfect, valid without restriction, the immortal Elements of Euclid. And this very acceptance of the infallible necessity of Euclid's system may account for the form in which appeared the first precursor of our non-Euclidean systems. A priest, Saccheri, who died October 5, 1733, published in the year of his death at Milan a book which contains an extended and systematic statement of propositions in Lobatcheffsky's non- Euclidean geometry with their synthetic proof in pure geometric style. Saccheri's book bears the approbation of the Provincial of the Company of Jesus, dated August 16, 1733, and that of the Inquisitor-General and Senate of Milan, July 3, 1733. NON-EUCLIDEAN AND HYPER-SPACES. 95 We quote a few of its propositions. I. In a quadrilateral A BCD, right-angled at A and at B and with opposite sides AC, BD equal, the angles at C and D are equal. We have then three distinct geometries, according as we take the hypothesis that the angle C is right, is obtuse, is acute. If two straights having crossed never recur, then these geo- metries are reduced to two, the right Euclid's, and the acute, now called Lobatcheffsky's. VIII. XVI. According as the sum of the three angles of a triangle is equal to, greater than, or less than a straight angle, we have the hypothesis of the right, obtuse, or acute. XVII. In the hypothesis of the acute angle, we can find a per- pendicular and an oblique to the same straight which never meet. [Two procedures given.] Methods for testing which geometry rules the space of our experience. 1. Try if in our original quadrilateral any third perpendicular equals the two equal sides. 2. Try if the angle inscribed in a semicircle is right. 3. Try to inscribe in a semi-circumference a half-hexagon with sides equal to the radius. A historical discussion is given particularly of Proclus, Borelli, Nassareddin and Wallis. Wallis to prove Euclid's parallel postulate would not have needed two unequal similar figures. Two unequal triangles of the same angle-sum would suffice. This work was noticed in the Acta Eruditorum, 1736. It is marked with an asterisk in the Biblotheca Mathematica of Murhard and spoken of on p. 43 of Vol. iv. It has lately been discovered that Lambert developed and wrote upon the non-Euclidean Geometry. Philip Kelland in 1846 began to give exercises to his classes which were virtually propositions in the non-Euclidean geometry, and continued to teach it for more than 17 years. Without any knowledge of his many predecessors, Young of Canada rediscovered and published the non-Euclidean geometry in 1860. Thus we see it arise in Italy, Russia, Hungary, Germany, Scotland, Canada. All paths lead to it. DIE NEUEREN FORTSCHRITTE IN DER THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN. VON L. HEFFTER IN GIESSEK DIE moderue Theorie der linearen Differentialgleichungen ver- dankt ihren Ursprung den beiden Abhandlungen von Fuchs im 66. und 68. Band von Crelles Journal. Die formale Eleganz ihrer Entwicklungen und Resultate und das dadurch ermoglichte tiefere Eindringen in die Natur der durch solche Differential- gleichungen definierten Functionen diirften den Grund bilden, der seitdem zahlreiche Mathematiker aller Lander zur eifrigen Arbeit an der weiteren Aus- und Fortbildung dieser Theorie veranlasst hat. Die so entstandene Literatur ist eine derartig umfangreiche und mannigfaltige, dass, wenn es hier auch nur den Anteil Deutschlands an dieser Arbeit in den letzten Jahren zu skizzieren gilt, das folgende Referat bei der vorgeschriebenen Ktirze weder in Hinsicht der Aufzahlung aller in Frage komraenden Richtungen und ihrer Vertreter, noch auch in der Charakterisierung der einzelnen Probleme und dabei angewandten Methoden auf er- schopfende Vollstandigkeit Anspruch erheben kann und will. Es muss sich vielmehr eine gedrangte Ubersicht iiber die neueren Bestrebungen auf dem Gebiete der linearen Differentialglei- chungen zum Ziel setzen. Zeitlich diirfen wir uns dabei auf die Ergebnisse der aller- letzten Jahre beschranken, da im Jahre 1889 viele fur die Theorie der linearen Differentialgleichungen grundlegende Abhandlungen nebst zahlreichen auf Spezialfalle gerichteten Untersuchungen in dem Lehrbuch von Th. Craig, A treatise on linear differential equations, Vol. I. : Equations with uniform coefficients, ihrem Hauptinhalt nach zusammengefasst wurden und damit als in weiteren Kreisen bekannt vorausgesetzt werden konnen. DIE LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 97 Bezeichnen wir als die urspriingliche, grundlegende allgemeine Theorie die der linearen homog&nen Differentialgleichungen mit eindeutigen Coefficienten, so lasst sich das gesamte Wachstum, welches auf diesem geraeinsamen Stamm in dem gedachten Zeitraum entsprosst ist, etwa in die Gruppen sondern: Ausbildung der ursprunglichen allgemeinen Theorie, Behandlung spezieller Probleme, Anwendungen der Theorie, Ausdehnung der ursprung- lichen allgemeinen Theorie. Als fur DIE AUSBILDUNG DER ALLGEMEINEN THEORIE beson- ders verdienstvoll miissen bei der Wichtigkeit der Fundamental- gleichung fur die Untersuchung der Integrale bei den singularen Stellen und ihrer Unentbehrlichkeit, falls sich nicht samtliche In- tegrale bestimmt verhalten, Methoden bezeichnet werden, die eine Berechnung der von den Parametern der Differentialgleichung transcendent abhangigen Coefficienten der Fundamentalgleichung gestatten unter Vermeidung des praktisch umstandlichen Kreis- fortsetzungsverfahrens. Dies Ziel verfolgen Arbeiten von Ham- burger und insbesondere des der Wissenschaft allzu friih entris- senen Paul Giinther, der solche Methoden durch Benutzung der von Fuchs herriihrenden Darstellungsart der Integrale linearer Differentialgleichungen durch iterierte Integration fand. Auf einem ganz anderen Wege gelangte Fuchs selbst zu einem neuen Aufschluss liber die Coefficienten der Fundamental- substitutionen, aus denen ja die Fundamentalgleichung entsteht. In einer alteren Arbeit hatte er Relationen fur die zwischen je zwei singularen Punkten erstreckten Integrale der Losungen linearer Differentialgleichungen abgeleitet, welche eine Verall- gemeinerung der Legendre'schen Gleichung zwischen den Perio- dicitatsmoduln der Integrale erster und zweiter Gattung dar- stellen. Mit dieser Untersuchung wird nun eine erfolgreiche Anwendung des schon von Riemann herriihrenden Begriffs der Klasse von linearen Differentialgleichungen verkniipft, eines Be- griffs, der in gewissem Sinne eine tjbertragung des Kronecker'- schen Gattungsbegriffs algebraischer Functionen auf die Integrale linearer Differentialgleichungen bildet. Da namlich die eine Seite jener Relationen nur von den Coefficienten der Funda- mentalsubstitutionen abhangt, diese aber fur die Differential- gleichungen derselben Klasse invariant sind, ergiebt sich zunachst, dass man an Stelle der vorgelegten Differentialgleichung eine c. P. 7 98 L. HEFFTER. andere derselben Klasse setzen kann, fur welche gewisse bei jener eventuell noch nicht besteheude Bedingungen erfullt sind, die die Aufstellung jener Relationen gestatten. Die letzteren lehren aber weiter, dass die Coefficienten der Fundamentalsubstitutionen algebraisch von den Parametern der Differentialgleichung und jenen bestimmten Integralen abhangen, die man wohl "die zu der Differentialgleichung gehorigen Periodicitatsmoduln" nen- nen konnte, wie man von den zu einer algebraischen Gleichung oder Irrationalitat gehorigen Periodicitatsmoduln spricht. Den hier beriihrten Analogieen mit der Theorie der alge- braischen Gleichungen reiht sich insbesondere der von Frobenius begrtindete und neuerdings vielfach benutzte Begriff der Redukti- bilitdt einer linearen Differentialgleichung an, der einer solchen zukommt, wenn sie mit einer anderen von niedrigerer Ordnung und gleicher Coefficientenbeschaffenheit Integrate gemein hat. Es sind hier die Namen Fuchs, Konigsberger, Hamburger zu nennen, welch letzterer einen wichtigen Satz von Frobenius auf direktem Wege bewies und gleichzeitig die Differential- gleichungen niedrigerer Ordnung herstellte, mit welchen die re- duktible Integrale gemein hat. Fur die Darstellung der Integrale sind bekanntlich die von Poincare' so bezeichneten Fuchs' schen Fitnctionen von erheblicher Bedeutung. Als eine Bereicherung der allgemeinen Theorie der linearen Differentialgleichungen ist daher auch eine von Lu. Schlesinger auf von den sonst gegebenen verschiedener Grund- lage entwickelte Theorie jener Functionen zu bezeichnen. Eine Reihe von Untersuchungen bezieht sich auf die Form der Integrale bei den singuldren Stellen, insbesondere bei denen, wo sich samtliche Integrale bestimmt verhalten, und stellt die Bedin- gungen dafiir auf, dass einzelne oder alle der im Allgemeinen vorhandenen Logarithmen ausfallen. Diese Frage hangt aufs Innigste mit der Zerlegung der Integralgruppen in Untergruppen zusammen. Den friiheren Behandlungen dieses Gegenstandes (Fuchs, Frobenius, Thome 1 u. a.) folgen die neueren von Heun und Heffter. Weiter ist hier neben der franzosischerseits vielfach gepfleg- ten Theorie der Differentialinvarianten der linearen Differen- tialgleichungen (Dietrichkeit, Stackel) eine Behandlung dieser Differentialgleichungen zu nennen, welche durch die von F. Klein DIE LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 99 angeregte Einfuhrung homogener Variabeln fur die unabhangige Veranderliche die Integrale als bindre Formen im Sinne der Invariantentheorie der linearen Transformationen auffasst (Pick, Hirsch, Schellenberg). Gleichzeitig sei der mit geometrischen Hulfsmitteln arbeitenden eleganten Methoden (Kreisbogendreiecke u. s. w.) von F. Klein gedacht. Endlich sei erwahnt, dass die namentlich in England beliebten symbolischen Methoden neuerdings auch eine deutsche Behandlung und strenge Begrlindung erfahren haben (Tschopp) neben alteren Arbeiten von Frobenius, Thorns', Griinfeld. Unter den SPEZIELLEN PROBLEMEN, welche die Theorie der line- aren Differentialgleichungen in Angriff nahm, figuriert schon friihzeitig die von Fuchs zuerst unter Benutzung gewisser Primformen behandelte Frage nach Kriterien dafiir, dass die Integrale algebraisch sind. Diese Untersuchung hat ktirzlich durch Lu. Schlesinger eine Ausdehnung auf solche Differential- gleichungen zweiter Ordnung gefunden, die eine discontinuierliche Gruppe besitzen, wobei namentlich eine interessante Ubertragung der Theorie jener Primformen moglich war. Die Analogic mit den algebraisch integrierbaren Differentialgleichungen tritt be- sonders deutlich bei denjenigen Differentialgleichungen mit dis- continuieiiicher Gruppe hervor, bei welchen die unabhangige Variable als Function des Integralquotienten aufgefasst von endlicher Vieldeutigkeit ist. Verwandt mit dem vorerwahnten Ausgangsproblem ist das- jenige, welches nach der Natur der Integrale fragt, wenn die Elemente eines Fundamentalsystems homogene Relationen er- fiillen, indem hieraus im Allgemeinen die algebraische Inte- grierbarkeit folgte, wahrend umgekehrt bei algebraisch inte- grierbaren Differentialgleichungen stets solche Relationen be- stehen. An altere Arbeiten des auch hier vorangehenden Fuchs, der denselben kiirzlich noch eine neue Methode hinzufugte, schliessen sich Untersuchungen von Lu. Schlesinger, Rosen- kranz, Wallenberg, Li. Schlesinger. Eine grosse Rolle spielt dieses Problem und noch allgemeinere in den Forschungen von Konigsberger. S. Lie fiihrte die Frage auf die Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung zurtick, die eine bekannte Transformationsgruppe gestattet. Fiir eine grosse Zahl von Spezialuntersuchungen war Vorbild 72 100 L. HEFFTER. die Differentialgleichung der Gauss'schen Reihe, der ja mannig- fache ausgezeichnete Eigenschaften zukommen, und deren Bedeu- tung sich schon dadurch charakterisiert, dass die Riemann'sche Abhandlung liber die ihr geniigenden Functionen seinerzeit fiir Fuchs die Anregung zur Entwicklung seiner Theorie gab. Man suchte Eigenschaften dieser Differentialgleichung wiederzufinden, indeni man zu Verallgemeinerungen schritt, teils die Ordnung der Differentialgleichung, teils die Zahl der singularen Punkte erhohte (letztere auch erniedrigte) oder beides zugleich that oder indem man auf die Forderung verzichtete, dass sich die Integrale allent- halben bestimmt verhalten. Solche Differentialgleichungen fiihrten Pochhammer zu den hypergeometrischen Reihen von hoherer Ordnung, welche mehr Parameter enthalten als die Gauss'sche. Es bleibt bei diesen Differentialgleichungen die Eigenschaft bestehen, dass aus einem Integral in Reihenform die samtlichen andern solchen durch einfache Veranderung der Parameter hervor- gehen und dass den Losungen auch die Form bestimmter Integrale gegeben werden kann. Die letztere Gestalt erhalt durch die Wahl des Integrationsweges noch eine besondere Bedeutung. Ferner sind hier zu nennen Arbeitenvon Heun, Schafheitlin, Schrent- zel, Heffter, u. a. Unmittelbar an die Differentialgleichung der Gauss'schen Reihe selbst kniipft eine Untersuchung von F. Klein an, welche nach den reellen Nullstellen der hypergeometrischen Reihe fragt, eine Fragestellung, die abgesehen von den interessanten geometri- schen Hlilfsmitteln, deren sich die Lbsung bedient, auch fur die angewandte Wissenschaft von Bedeutung ist. Das gleiche Pro- blem erfuhr eine andere Behandlung durch Hurwitz, wahrend ganz neuerdings Kneser dasselbe fur ganze Klassen von linearen Differentialgleichungen durchfuhrte. Endlich sei noch auf die Differentialgleichungen mit doppelt- periodischen Coefficienten hingewiesen und auf die an die grosse Literatur liber Lame"sche und ahnliche Differentialgleichungen sich anreihenden neueren Arbeiten von F. Klein, Siemon, Bremer, Bocher, bei welchem letzteren das von F. Klein so bezeichnete Oscillationstheorem eine fruchtbare Verwendung fur die Untersuchung der Lam^'schen Differentialgleichung findet. Die Theorie der linearen Differentialgleichungen hat ihre Fruchtbarkeit aber nicht nur durch schone Resultate innerhalb DIE LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 101 ihrer eigenen Grenzen erhartet sondern auch dadurch, dass sie zu mannigfachen ANWENDUNGEN IN ANDEREN DISCIPLINEN geeignet war. So konnte Gundelfinger die Lehre von den Uberschiebungen zweier bindren Fornien auf ganz elementare Betrachtungen aus unserer Theorie stiitzen, eine Methode, die noch weiterer Ausbeu- tung fahig sein diirfte. Die Differentialgleichung, an die jene Untersuchung ankniipft, besitzt dabei die Eigenschaft, dass ihre Integrate sich iiberall bestimmt verhalten, und andere bemerkens- werte Eigentlimlichkeiten. Auch die Untersuchung algebraischer Functionen, die voll- standige Darstellung ihrer Zweige in der Umgebung der Verzwei- gungspunkte, die Fortsetzungsweise der Zweige und die Bestim- mung des Geschlechts ist nach Thome mit Htilfe einer aus der algebraischen Gleichung herstellbaren linearen Differentialgleichung moglich, deren Ordnung mit der Anzahl der linear unabhangigen Zweige der algebraischen Function ubereinstimmt. Das eigentliche Gebiet fur die Anwendungen der Theorie ist jedoch naturgeinass dasjenige der transcendenten Functionen. Wir nennen hier zuerst das von Fuchs angeregte und frliher behandelte Problem, welches eine Verallgemeinerung des Problems der Abel'schen Functionen darstellt, namlich die Untersuchung derjenigen Functionen, die durch Umkehrung der Integrate von Losungen linearer Differentialgleichungen entstehen, und haben als neueren Bearbeiter desselben R. Lohnsteinzu erwahnen. Im Anschluss an das soeben bertihrte Problem ist einer Abhandlung von Burkhardt zu gedenken. Gestiitzt auf die Eigenschaft der Periodicitatsmoduln von Abel'schen Integralen erster Gattung, einer linearen homogenen Differentialgleichung zu gentigen, gelangt derselbe bei den einfachsten Fallen binomischer Integrate zu dem Resultat, dass die zugehorigen Thetareihen analytische Ausdrucke fur gewisse Form en liefern, die von H alp hen aus den an Stelle der unabhangigen Variabeln der Differentialgleichung eingefiihrten homogenen Veranderlichen gebildet wurden. Wenn wir sodann an dieser Stelle um der Anwendungen willen, zu denen dieselben schliesslich fiihren, einer Reihe unter einander zusammenhangender Arbeiten von Fuchs gedenken, so ist jedoch von vornherein zu bemerken, dass die Bedeutung derselben in Hinsicht der Resultate und der benutzten Hiilfs- 102 L. HEFFTER mittel weit liber jene speziellen Anwendungen hinausreicht. Dieser Hlilfsmittel sind im Wesentlichen drei : die Lehre von der Reduktibilitat, der Begriff von Differentialgleichungen, die in dieselbe Klasse gehoren, und die Eigenschaften linearer Differen- tialgleichungen, deren Coefficienten von einem Parameter abhan- gen, wahrend die Fundamentalsubstitutionen oder die Gruppe von diesem unabhangig sind. Das Hauptergebnis aber des allgemeinen Teils der Untersuchung kann man etwa folgender- massen aussprechen : Wenn die Coeffitienten einer linearen Diffe- r&ntialgleichung von gerader Ordnungszahl von einem Parameter abhdngen, die Fundamentalsubstitutionen aber von diesem unabhan- gig sind, so wird eine Differ entialgleichung, der gewisse aus den Elementen eines Fundamentals y stems und ihren Ableitungen gebil- dete Determinanten genilgen, reduktibel. Die Anwendung dieses Satzes auf die von Fuchs schon friiher aufgestellten Differential- gleichungen fur die Periodicitatsmoduln der hyperelliptischen Integrate als Functionen eines Parameters ergiebt als unmittelbare Folge jener Reduktibilitat die zwischen den Periodicitatsmoduln bestehenden Selationen. Diese fliessen also hier aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen, wahrend sie zuerst Weier- s trass aus dem Satz von der Vertauschung von Parameter und Argument abgeleitet hatte. Weiter stellt sich hier in der Theorie der hyperelliptischen Integrale vom Rang 2 ein hochst interessantes Analogon zu der bekannten functionalen Beziehung zwischen dem Modul K und dem Quotienten der Periodicitatsmoduln der elliptischen Integrale erster Gattung heraus. Man gelangt zur Betrachtung einer functionalen Beziehung zwischen drei unbestimmt bleibenden Nullstellen des Radicanden der hyperelliptischen Irrationalitat einerseits und drei Determinanten-Quotienten andererseits, welche aus Fundamentalsystemen der beiden derselben Klasse ange- horigen Differentialgleichungen gebildet sind, denen die Periodici- tatsmoduln der zwei verschiedenen Integrale erster Gattung geniigen. Die Untersuchung der drei letzteren Variabeln als Functionen der unbeschrankten ersteren ergiebt eine Begrenzung des Wertvorrates, welche derjenigen in dem Vorbild, dass der Periodenquotient mit seinen Werten nur die eine Halbebene aniullt, entspricht. Die inversen Functionen existiei'en also nur innerhalb des so begrenzten Bereichs, erweisen sich aber daselbst als EINDEUTIGE Functionen ihrer drei Variabeln. DIE LINEAREN DIFFEBENTIALGLEICHUNGEN. 103 Aus der Art jener Wertbeschrankung der drei Quotienten ergiebt sich noch, davss der reale Teil der in den Exponenten der 0- Reihe mit zwei Variabeln auftretenden quadratischen Form eine definite Form mit negativem Wert ist. Wiederum also eine sehr bemerkenswerte Anwendung der Theorie der linearen Differential- gleichungen. Eine weitere Arbeit von Fuchs, welche sich an die vorstehend erwahnten noch anreiht, mag uns zu dem letzten Teile dieses Referates, zu den AUSDEHNUNGEN DER URSPRUNGLICHEN THEORIE hinuberfiihren. Es hatte sich gezeigt, dass die oben beriihrte Eigenschaffc gewohnlicher linearer DifFerentialgleichungen, deren Coefficienten von einem Parameter abhangen, wahrend die Funda- mentalsubstitutionen von diesem unabhangig sind, mit der Be- friedigung gewisser partieller linearer Differentialgleichungen durch die Integrale der ersteren zusammenfallt. Dies gab die Anregung zu dem Problem, umgekehrt solche Systeme partieller linearer homogener Differentialgleichungen zu kennzeichnen, deren Untersuchung auf diejenige gewohnlicher linearer Differential- gleichungen zuriickgefuhrt werden kann. Dies gelingt fur gewisse partielle Differentialgleichungen, deren Coefficienten eindeutige Functionen einer Reihe von unabhangigen Veranderlichen und einer zweiten mit jener algebraisch verknlipften Reihe von Veranderlichen sind. Hierzu war es nb'tig, den Begriff der Klasse von Differentialgleichungen und den Satz von der Unab- hangigkeit der Gruppe der Differentialgleichung von einem in den Coefficienten enthaltenen Parameter auf gewohnliche Differential- gleichungen auszudehnen, deren Coefficienten eindeutige Functio- nen zweier algebraisch mit einander verknlipften Reihen von Variabeln sind ; eine von diesen Veranderlichen spielt die Rolle der unabhangigen Variabeln der Differentialgleichung, alle anderen derselben Reihe die von Parametern. Die partiellen Differential- gleichungen, welche eine derartige Behandlung gestatten, erhalten noch ein besonderes Interesse dadurch, dass zu ihnen als Spezial- falle Differentialgleichungen gehoren, auf welche Appell und Pi card bei Verallgemeinerung der Gauss'schen Reihe auf zwei Variabeln gefuhrt wurden, und die auch von Horn untersucht worden sind. Dem zuletzt genannten Autor gebiihrt namlich das Verdienst, neben der Ubertragung der Fuchsschen Theorie auf Systeme 104 L. HEFFTER. gewohnlicher linearer Differentialgleichungen (Kbnigsberger, Griinfeld) dieselbe auf partielle lineare Differentialgleichungen ausgedehnt zu haben. Es liegt in der Natur der Sache, dass hierbei die Feststellung der Singularitaten und des Verhaltens der Integrale daselbst die Hauptschwierigkeit bietet. Unter deu Ausdehnungen der Theorie erwahnen wir schliess- lich noch die speziellere Untersuchung nicht homogener linearer Differentialgleichungen, wie sie unter verschiedenen Gesichts- punkten von Konigsberger, Kohler, Thorns', Heymann ange- stellt worden ist. Das vorliegende Referat soil nicht geschlossen werden, ohne auf die bisber nur fllichtig gestreifte Theorie der Transformations- gruppen von S. Lie und seiner Schiller und ihre Anwendung in der Theorie der Differentialgleichungen im Allgemeinen und der linearen im Besonderen wenigstens hingewiesen zu haben. Die Fruchtbarkeit derselben fur die hier in Rede stehende Theorie tritt namentlich in einer neueren franzosischen Arbeit von Vessiot zu Tage. GIESSEN, den 18. Juni 1893. SUR QUELQUES PROPOSITIONS FONDAMEN TALES DE LA THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. PAR CH. HERMITE A PARIS. SOIT en general, R (x) = Ax* + Bo? + Cx 2 + Da; + E, et = tf> (x), la fonction de*fmie par 1'egalite", f J ou je laisse la limite infe"rieure entierernent arbitraire. Je me propose de montrer comment on peut obtenir le theoreme de 1'addition des arguments dans cette fonction, sous une forme simple, ou n'apparaissent pas explicitement les coefficients du polynome R (x), et qui conduit aisement aux formules concernant sn x, en x, dn x et p {x). En de"signant par a une constante quelconque, je pose a = (a), et je considere 1'expression, que je diffe'rentie deux fois par rapport a x. II vient ainsi : da? 2 (|- a) 2 et Ton aurait pareillement da? ~ 2 ( - a) a Retranchons membre a membre, on obtient d?y d>y (g - g) [R (|) + R (a)] - 2 \R (g) - JZ ()] cfe 2 da 8 106 CH. HERMITE. d'ou apres une reduction facile liquation suivante, dont je vais crire 1'integrale. Soit a cet effet, on aura cette expression, ou f(x) et /i (x) sont deux fonctions arbitraires : rx fa y f( x a ) +/i (*+<*)+ I ^() on forme aisement 1'egalite /,a)-<&(x y,a) = F(x + y a')- F(x y a) dont le second membre se trouve d'apres cette remarque syme- trique en x et a ; il en resulte que nous pouvons e'crire : 4> (x + y, a) 4> (x y, a) = < (a + y, x) <3> (a y, x). Changeons maintenant dans la relation, < (x, a) = F(x - a) - F l (x + a) - ty (a), a en a + y, puis en a y, et ajoutons membre a membre, on trouve ainsi: FONCT1ONS ELLIPTIQUES. 107 (x, a + y) + 4> (x, a - y) = F (x - y - a) - F l (x + y + a) + F(x + y-a)-F l (a;-y + a) Nous aurons encore en remplaqant x successivement par x + y et a; y, et ajoutant : F(x -y-a)-F l (x-y + a) Ces deux e'galite's conduisent a une troisieme ou n'entrent plus les fonctions F et F lt a savoir : (x 4- y, a) C'est un theoreme sur 1'addition des arguments dans 1'integrale de seconde espece qui est represented par la fonction A|T (y). ^lli- minons cette quantit^, en supposant x = a, et retranchant les deux egalite's membre a merabre, nous obtenons ainsi (x + y, a) + O (x - y, a) = 4> (x, a + y) + (x, a - y) -<&(a,a + y)-(a,a- y). Ayant done deja 1'expression de la difference $>(x + y, a)-3>(x-y, a), nous en concluons la relation que nous nous sommes propos6 d'etablir, a savoir: 2^> (x + y, a) = (x, a 4- y} + < (x, a y) + (a + y, x) - < (a y, x) + <&(a-y, a) -(a, a-y), et sous une forme entierement explicite, f (a - y) + # (a) C'est 1'expression nouvelle que j'ai annoncee du theoreme 108 CH. HERMITE. pour 1'addition des arguments dans la fonction (x) qui est 1'inverse de 1'integrale elliptique la plus g6neYale; j'en ferai en premier lieu 1'application aux quantites sn x, en x, dn x. Remarquons a cet effet qu'en admettant la condition et prenant a = 0, les deux premiers termes se detruisent, il vient done = 2 On a encore la formule suivante, = } g (y) ) - * (y) < (*) mais sans m'y arreter, je vais supposer successivement , , . sn # sn a; (a;) = sn x, - , - - en a; dn a; quantites pour lesquelles on a les relations, Cela etant, un calcul facile nous donne sn 2 x sn 2 y sn (x + ?/) = - - , , sn a; en y dn y sn y en # dn x sn (a; + y) _ sn 2 a; sn 2 y en (# + y) sn # en x dn y sn y en y dn # ' dn (x + y) sn a? dn x en y sn y dn y en x ' et Ton en d^duit immediatement , sn a; en x dn ?/ sn y en y dn x en (# + ?/)=- - , sn # en y dn y sn y en x dn a; v sn x dn # en i/ sn y dn v en x dn (# + y) = - , y ^^~ sn a; en y dn y sn y en x an # FONCTIONS ELLIPTIQUES. 109 Qu'on multiplie ensuite les deux termes de chaque fraction par sn x en y dn y + sn y en x dn x, on obtiendra les expressions habituelles apres avoir supprim6 dans les numerateurs et le denominateur commun, le facteur sn 2 x sn 2 y. En passant maintenant a la fonction p (x) de M. Weierstrass, je supposerai le constante a non plus nulle, mais infiniment petite, et je developperai les divers termes qui entrent dans le th^oreme general d'addition, suivant les puissances croissantes de cette quantite en negligeant les infiniment petits du second ordre. A cet effet j 'observe qu'on pent ecrire sous la forme suivante, 3> (x, a) = -D a log [ p (a) - p (x)}, et Ton obtient de meme = -D y log [p (a)-p(a Cela etant, nous savons qu'en negligeant le carre et les puis- sances superieures de a, on a p (a) = , il vient par consequent, Cv . , 1 a?x \JU Prenons seulement le premier terme du developpement en sdrie du logarithme et Ton trouve : 2 (x, a) = - + 2ap (x). CL J'emploierai dans les deux equations suivantes le developpe- ment borne a ses deux premiers termes de log[p(x)-p(a+y)], j'aurai ainsi : < (a + y, x) = - D x log [ p (x} - p (y)} -aDl v \og[p(x)-p(y)], 110 CH. HERMITE. 4> (x, a + y) = - D y log [p (x) -p(y)] -aD 2 y log[p J'6cris pour la troisieme, D\o\- et Ton voit qu'en ne"gligeant a 2 , on obtient 3> (a, a + y} = 0. Nous avons enfin p' (a) 2 = - Chaugeons inaintenant y en y, et observant que _p (y) est une fonction paire de la variable, on trouve immediatement 4> (a - y, x) = - D x log [p (x)-p (y)} <$>(x,a-y} = + D y log [p (x)- -aDl\og[p(x)-p(y)], 4> (a, a + y} = 0, 2 Le theoreme d'addition nous donne au moyen de ces re'sultats, I'^galite suivante, 4 - + 4>ap (x + y) = - 2aDJ log [p (x) -p (y)] d'ou nous tirons : p(x + y)=- \D\ log [p (x) -p (y)] - Dl,, log [p(x) -p (y)]+p(y\ puis en pel-mutant x et y, ^ (x + y) = - D| log |>(a?) -. FONCTIONS ELLIPTIQUES. Ill Ajoutons membre a membre et divisons par 2, on aura la relation, p(x + y) = - D 2 X log [p (x) -p (y)] - ID^ log [p (x)-p(y}] -m, lo g [p 0) - p (y}] + bp(x) + $p (y), qu'on peut mettre sous cette forme symbolique : p(x + y) = - i(D x + Dyf log [p (x} - p (y)] + %p(x) + $p (y). Elle se ramene comme il suit a 1'expression qu'a obtenue M. Weierstrass. Nous avons en differentiant, Dl log [p (x} -p (y)] + Dl log [p (x) -p(y)] _ [p" (x) - p" (y)] [p(as)-p (y)] - p"> (x} - p"> (y) [p(x)-p(y)J on tire ensuite de liquation differentielle, p' 2 (x) = 4p 3 (x) - g,p (x} - g 3 la relation, P" ( x } ~ P" (y) ^ [p 2 (x) p 2 (y)] ; il vient par consequent Dl log [p (x) - p (y)] + Dl log [p (x} - p (y)} En ajoutant membre a membre avec I'egalit6 : nous trouvons Dl log [p (*)-p(y)]+ 2Dyog [p (x) - p (y)] + Dl log [p (x) -p(y)] _ et c'est de la que resulte immediatement la formule, qu'il s'agissait d'etablir. Aux resultats qui precedent j'ajouterai encore le theoreme sur 1'addition des arguments dans 1'integrale de troisieme espece que 112 CH. HERMITE. Jacobi a ddfinie dans les Fundamenta, en posant f* A; 2 sn a en a dn a sn 2 x o j. k* sn 2 a sn 2 # =/' Jo On y parvient comme consequence de la relation etablie plus haut, - < (a) ou je supposerai (a;) = sn a;. Nous avons ainsi en a dn a en a dn a , sn x sn (a y) sn(x + y) sna sn (x y) sn a sn a; sn (a -f y) ' et nous en tirons en remplacant x par x + iK' k en a dn a sn (x + y) kcnadna sn (a; y) lksnasn(x + y) 1 ksnasn(x y) ^ , 1 k sn x sn (a y) = D x log . ; y ( . 1 k sn x sn (a + y) Changeons a en a, on aura par suite k en a dn a sn (x + y) kcnadnasn(x y) 1 + k sn a sn (x + y) l + ksnasn(x y) r. . 1 + k sn x sn (a + y) = Jj x log ' 8 1 + k sn x sn (a y) ' j'ajoute membre a membre ces deux e"galit6s, et Ton trouvera apres avoir divise par 2, 1& sn a en a dn a sn 2 (x +y) & 2 sn a en a dn a sn 2 (a; y) 1 - k 2 sn 2 a sn 2 (a; + y) 1 - & 2 sn 2 a sn 2 (# - y) Cela etant, 1'int^gration nous donne k 2 sn a en a dn a sn 2 (x + y) . y> Jo .. o 1 k- sn 2 a sn 2 (x + y) puis si Ton observe que FONCTIONS ELLIPTIQUES. 113 n(-y, a) = -n(t/,a), [ X k?snacnasn 2 (x-y) , I , ,, -^ aa? = II (a? y, a) + II (y, a). Jo l-& a sn 2 asn 2 (#-y) Nous avons done la relation, \ TT / x 11 2 x sn 2 (a y) II (x + y, a) - II (x - y. a) - 211 (y, a) = \ log^ - j ; - & ; W l-& 2 sn 2 a?sn 2 (a+i/)' en permutant x et y, on en tire . TT / C.T-T / N 11 1 A; 2 sn 2 v sn 2 (a x) II (# + y, a) + II (a; - y, a) - 211 (, a) = A log - - ^ ^ ) -- ( , & 1 - & 2 sn 2 y sn 2 (a + #) et il suffit d'ajouter membre a membre pour obtenir, apres avoir divis6 par 2, 1'egalit^ cherchde IT (x + y, a) Q (x, a) IT (y, a) , [1 - fc 2 sn 2 ;r sn 2 (a - y)] [1 jfc" sn 2 y sn 2 (a - #)] ""* g [1 - A; 2 sn 2 x sn 2 (a + y)] [1 - A^ sn 2 y sn 2 (a + a?)] ' On remarquera que le second membre se presente sous une forme bien differente de 1'expression donnee par Legendre, a savoir, . , 1 4- k 2 sn a sn x sn y sn (x + y + a) 1 k' 2 sn a sn a; sn y sn (x + y a) ' et de celles qu'a ensuite obtenues Jacobi, dans le 55 des Funda- menta, et [1 - fc 8 sn 2 (a; - a) sn 2 (y - a)] [1 - jfc* sn 2 a sn 2 (a; + y + a)] * g - 22 2 ] [1 - A; 2 sn 2 a sn 2 (a; + y- a)] Sans m'arreter a leur comparaison je reviens a 1'egalite, pour en indiquer encore une consequence. Supposons comme tout-a-1'heure (x) = sn x, et prenons F* ilr (x) \ k 2 sn 2 xdx, Jo on en conclura, apres avoir mis x + iK' an lieu de x, c. P. 114 CH. HERMITE. k en a dn a sn x 7T . puis en changeant a en a, &cnadnasn# _, .,. ,, . = F(x + a + iK ') - .Pj (x - a + iK ') - ^ (a). 1 4- fc sn a sn x Retranchons ces deux egalites membre a membre, et posons pour un moment ^ (a;) = F(x + iK') + F 1 (x + iK'\ on aura cette relation, 2& 2 sn a en a dn a sn 2 a; , ou il est aise de determiner la fonction F (#). La supposition de x = 0, nous donne en effet, on trouve ensuite en prenant la d^riv^e par rapport a # et fatsant encore x = 0, la condition, Nous avons done F (- a) = C-F (a), C d^signant une constante, et par consequent, F (a) = ^G-^ (a), ce qui conduit a 1'egalite, 2A^ sn a en a dn a sn 2 a; l-^sn 2 asn^ =^(* + ) - + (*-a)-2+ (a) ; on en conclut en permutant x et a, si Ton observe que change de signe avec x, 2& 2 sn x en x dn x sn 2 a puis en ajoutant membre a membre, et divisant par 2, en a dn a sn a; + sn a en # dn x 2& 2 sn a sn x . 1 k 2 sn 2 a sn 2 # = ty (x + a) ty (x) -fy (a). FONCTIONS ELLIPTIQUES. 115 C'est le theorems pour 1'addition des arguments dans la fonction de seconde espece, qn'on peut ecrire plus simplement sous cette forme, A^ sn a sn x sn (x + a) = i|r (# + a) ty (x) *fr (a). Enfin je remarque que la reduction a des fonctions d'un seul argument de 1'intdgrale de 3 me espece, est imme'diatement mise en Evidence. Qu'on integre en efFet par rapport a x, depuis la limite x = 0, les deux membres de la relation 2^ sn a en a dn a sn 2 x on trouvera en posant t* X(x)= ^ (x) dx, Jo U (x, a) = fa ( x + a ) ~ ix ( x ~ a ) ~ 82 UEBER DIE THEORIE DER ALGEBRAISCHEN INVARIANTEN. VON DAVID HILBERT IN KONIGSBERG IN PR. UNTER den algebraischen Functionen von mehreren Verander- lichen nehmen die sogenannten algebraischen Invarianten wegen ihrer merkwlirdigen Eigenschaffcen eine ausgezeichnete Stellung ein. Die Theorie dieser Gebilde erhob sich, von speciellen Auf- gaben ausgehend, rasch zu grosser Allgemeinheit* dank vor Allem dem Umstande, dass es gelang, eine Reihe von besonderen der Invariantentheorie eigenthiimlichen Prozessen zu entdecken, deren Anwendung die Aufstellung und Behandlung invarianter Bildungen betrachtlich erleichterte. Seit dieser Entdeckung ist die mathematische Litteratur reich an Abhandlungen, welche vorzugsweise die technische Vervollkommnung dieser Prozesse und der auf denselben begrtindeten sogenannten symbolischen Metho- den bezwecken. Ich habe nun in einer Reihe von Abhandlungen "f* die Invariantentheorie nach neuen, von den genannten Methoden wesentlich verschie.denen Principien entwickelt. Das Nach- folgende enthalt eine kurze Uebersicht iiber die hauptsachlichsten Resultate, zu welchen ich mit Hilfe dieser neuen Principien' gelangt bin. * Vergl. den umfassenden von Franz Meyer im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (Berlin, 1893) veroffentlichten Bericht "Ueber den gegen- wartigen Stand der Invariantentheorie." t Vergl. die beiden zusammenfassenden Arbeiten des Verfassers " Ueber die Theorie der algebraischen Formen," Mathematische Annalen, Bd. 36 und " Ueber die vollen Invariantensysteme," Bd. 42, sowie die kiirzeren Mittheilungen " Zur Theorie der algebraischen Gebilde, "Nachrichten der kgl. Ges. d. Wiss. zu Giittinyen, 1888 (erste Note) und 1889 (zweite und dritte Note), und "Ueber die Theorie der algebraischen Invarianten," dieselben Nachrichten, 1891 (erste Note), und 1892 (zweite und dritte Note). ALGEBRAISCHE INVARIENTENTHEORIE. 117 Obwohl die mitzutheilenden Principien fur Grundformen und Grundformensysteme mit beliebig vielen Veranderlichen und Veranderlichenreihen ausreichen, so werde ich doch der Kiirze und des leichteren Verstandnisses wegen zunachst nur eine einzige binare Grundform f von der wten Ordnung mit den Veranderlichen x lt x. z und mit den Coefficienten a zu Grunde legen. In dieser Grundform werde #2 = 821 yi + 022^2 (8 = a 11 a 22 ai2 a 2i) eingesetzt ; die Coefficienten 6 der transformirten Form g sind dann ganze rationale Functionen vom ersten Grade in den a und vom nten Grade in den a u , a 12 , a 2J , a^. Unter "Invariante" ohne weiteren Zusatz verstehen wir stets eine solche ganze rationale homogene Function der Coefficienten a der Grundform f, welche sich nur mit einer Potenz der Substitutionsdeterminante 8 multi- plicirt, wenn man die Coefficienten a durch die entsprechenden Coefficienten b der transformirten Grundform g ersetzt. Die wichtigsten bekannten Eigenschaften der Invarianten sind : 1. Die Invarianten lassen die linearen Transformationen einer gewissen continuirlichen Gruppe zu. 2. Die Invarianten gentigen gewissen partiellen linearen Differentialgleichungen. 3. Jede algebraische und insbesondere jede rationale Function von beliebig vielen Invarianten, welche in den Coefficienten a der Grundformen ganz, rational und homogen wird, ist wiederum eine Invariante. Das System aller Invarianten bildet diesem Satze zufolge einen in sich abgeschlossenen Bereich von ganzen Functionen, welcher durch algebraische Bildungen nicht mehr erweitert werden kann. 4. Wenn das Product zweier ganzen rationalen Functionen der Coefficienten a eine Invariante ist, so ist jeder der beiden Factoren eine Invariante. Dieser Satz sagt aus, dass im Bereiche der Invarianten die gewb'hnlichen Theilbarkeitsgesetze gultig sind, d. h. jede Invari- ante lasst sich auf eine und nur auf eine Weise als Product von unzerlegbaren Invarianten darstellen. 118 DAVID HILBERT, 5. Wenn man auf irgend eine ganze rationale Function der Coefficienten 6 der transformirten Grundform g den Differen- tiationsprozess so oft anwendet, bis sich ein von den Substitutionscoefficienten a freier Ausdruck ergiebt, so 1st der so entstehende Ausdruck eine Invariante. Von tieferer Bedeutung als diese elementaren Satze ist der Satz iiber die Endlichkeit* des Invariantensystems ; derselbe lautet : 6. Es giebt eine endliche Anzahl von Invarianten i 1} i 2 ,..., i m , durch welche sich jede andere Invariante in ganzer rationaler Weise ausdrucken Idsst. Zum Beweise dieses Satzes bedarf es des folgenden Hilfs- theoremsf: Ist irgend eine nicht abbrechende Reihe von Formen der N Veranderlichen a lt a 2 ,..., a^ vorgelegt, etwa F?, F 2 , F s ,..., so giebt es stets eine Zahl m von der Art, dass eine jede Form jener Reihe sich in die Gestalt bringen lasst, wo A lt A 2 ,...A m geeignete Formen der namlichen N Veranderlichen sind. Wenden wir dieses Hilfstheorem auf das System aller Invari- anten der Grundform / an, so folgt unmittelbar die Existenz einer endlichen Anzahl in von Invarianten i lt i,..., i m von der Beschaf- fenheit, dass eine jede andere Invariante i der Grundform /"in der Gestalt A 2 i z + . . . + A m i m * Fur binare Grundformen mit einer Veranderlichenreihe ist dieser Endlich- keitssatz zuerst von P. Gordau mit Hilfe der symbolischen Methode bewiesen worden, vergl. Vorlesungen iiber Invariantentheorie, Bd. 2, S. 231. Weitere Beweise vergl. F. Mertens, Crelles Journal, Bd. 100, S. 223, und die Note des Verfassers, Mathematische Annalen, Bd. 33, S. 224. Der oben skizzirte Beweis des Verfassers ist von allgemeinster Giiltigkeit, vergl. Mathematische Annalen, Bd. 36, S. 521 und Nachrichten d. kgl. G. d. W. zu Gottingen, Nov. 1888 und 1892. t Neuerdings hat P. Gordan dieses Hilfstheorem einer weiteren Behandlung unterworfen, vergl. Mathematische Annalen, Bd. 42, S. 132. ALGEBRAISCHE TNVARIENTENTHEORIE. 119 ausgedrlickt werderi kann, wo A lt A 2 ,..., A m ganze homogene Functionen der Coefficienten a der Grundform f sind. Der zweite Schritt des Beweises besteht nun darin, zu zeigen, dass in dem Ausdrucke rechter Hand die Functionen A lt A^,..., A m stets durch Invarianten t/, 4',..., i m ' ersetzt werden konnen, ohne dass sich dabei der Werth i jenes Ausdrucks andert. Dieser Nachweis wird gefuhrt, indem man in jene Relation an Stelle der Coefficien- ten a die Coefficienten b der transformirten Grundform eintragt und dann den Satz 5 anwendet*. An den Endlichkeitssatz 6 schliessen sich zunachst zwei weitere Endlichkeitssatze an, deren Beweise ebenfalls auf der Anwendung des obigen Hilfstheorems beruhen. Verstehen wir in der iiblichen Ausdruckweise unter einer irreduciblen Syzygie eine solche Relation zwischen den Invarianten i lt t' 2 ,...t m , deren linke Seite nicht durch lineare Combination von Syzygien niederer Grade erhalten werden kaun, so gilt der Satz : 7. Es giebt nur eine endliche Anzahl von irreduciblen Sy- zygien. Als Beispiel diene das voile Invariantensystem von 3 binaren quadratischen Grundformen, welches bekanntlich aus 7 Invarian- ten und 6 Covarianten besteht. Es lasst sich zeigen, dass es fur dieses Invariantensystem 14 irreducible Syzygien giebt, aus denen jede andere Syzygie durch lineare Combination erhalten werden kann. Zwischen den Syzygien ihrerseits bestehen gleichfalls im Allge- meinen lineare Relationen, sogenannte Syzygien zweiter Art, deren Coefficienten Invarianten sind und welche wiederum selber durch lineare Relationen, sogenannte Syzygien dritter Art, ver- bunden sind. Von dem hierdurch eingeleiteten Verfahren gilt der Satz: 8. Die Systeme der irreduciblen Syzygien erster Art, zweiter Art, u. s.f. bilden eine Kette, welche stets im Endlichen abbricht und zwar giebt es keinenfalls Syzygien von hoherer als der m + Iten Art, wenn m die Zahl der Invarianten bezeichnet. * Story hat in den Mathematischen Annalen Bd. 41, S. 469 einen Differentiations- prozess [ ] angegeben, welcher den Prozess zu ersetzen im Stande ist ; derselbe entsteht durch Verallgemeinerung des in meiner Inauguraldissertation fur binare Formen aufgestellten Prozesses [ ], vergl. Hathematische Annalen Bd. 30, S. 20. 120 DAVID HILBEBT. Der Endlichkeitssatz 6 bildet den Ausgangspunkt und die Grundlage fur die weiteren Entwicklungen. Die Invarianten *i> *2.--- im heissen das voile Invariantensystem. Zunachst erkennt man ohne besondere Schwierigkeit die folgenden Thatsachen : 9. Man kann stets eine gewisse Zahl K von Invarianten /!,..., I K bestimmen, zwischen denen keine algebraische Relation stattfindet und durch welche jede andere Invariante i ganz und algebraisch ausgedruckt werden kann, d. h. so dass i einer Glei- chung von der Oestalt &+G l #- 1 +... + G t = genugt, wo G 1} ..., Gk ganze und rationale Functionen vonl l ,... ) I K sind. Man kann ferner zu diesen Invarianten /i,..., I K stets eine Invariante I hinzufugen, derart, dass eine jede andere Invariante i der Grundform f sich rational durch die Invarianten I, /!,..., I K ausdriicken Idsst. Will man umgekehrt aus den Invarianten /, /),..., I K wieder das voile Invariantensystem i l} ..., i m zuriick gewinnen, so hat man nur nothig, alle Functionen aufzustellen, welche rational durch /,/!,..., I K und ganz und algebraisch durch I I ,..., I K ausdriickbar sind, und dies ist eine bekannte elementare Aufgabe aus der arithmetischen Theorie der algebraischen Functionen. Fur den vorliegenden Fall einer einzigen binaren Grundform hat die Zahl K den Werth n 2. In Uebereinstimmung mit dem Gesagten besteht das voile Invariantensystem einer binaren Form oter Ordnung aus den 3 geraden Invarianten A, B, von den Graden beziiglich 4, 8, 12 und der schiefen Invariante R, und da J^ 2 eine ganze rationale Function von A, B, C ist, so sind alle Invarianten der Grundform ganz und algebraisch durch A, B, C ausdriickbar. In gleicher Weise erkennt man, dass alle Invarianten einer binaren Form 6ter Ordnung durch die 4 geraden Invarianten A, B, C, D von den Graden beziiglich 2, 4, 6, 10 ganz und algebraisch ausdriickbar sind. Die Zahl k, welche den Grad der Gleichung fur eine beliebige Invariante i angiebt, lasst sich fur den vorliegenden Fall einer binaren Form nter Ordnung allgemein bestimmen. Es ist nam- lich, wenn man mit N das Product der Grade der K = n 2 Invari- anten /... I K bezeichnet ALGEBRAISCHE INVARIENTENTHEORIE. 121 If 1 /n\ f , 0, 1 bez. erhalten. Es bedeute ferner T diejenige Drehung der Ebene um den Mittelpunkt des Kreises K, bei welcher der Punkt in 1, 1 in x , oo in iibergeht, T- diejenige Drehung, bei welcher in GO , GO in 1, 1 in iibergeht. Bezeichnen dann X 1} X 2 , X 3 entsprechend gelegene Punkte auf den drei Theilbogen NL, LM, MN, so geht bei der Drehung T \ in Xa, Xa in X 3 , Xs in Xj iiber. Da bei der Drehung T das Doppel- verhaltniss von vier Punkten des Kreises sich nicht andert, so findet man leicht, dass 1 >-l l (2\ A^ ^ , A 3 1 \A) i. ~~ Aj A/i ist. In der Folge werden nun in's besondere die Punkte mit rationalen Parametern eine wichtige Rolle spielen. Auf diese Punkte beziehen sich die nachstehenden Satze und Definitionen. Eine Sehne s =pq des Kreises K heisse eine Elementarsehne, BINARE QUADRAT1SCHE FORMEN. 127 a g wenn p = - , q=- rationale Zahlen sind, fur welche die Glei- a 7 chung a8 - fty = 1 gilt. Auf Grund der Gleichungen (2) beweist man leicht, dass eine Elementarsehne durch die Drehung T (und ebenso durch die Drehung T 2 ) wieder in eine Elementarsehne libergeht. Von hervorragender Wichtigkeit ist aber der folgende Satz : (I) Die Endpunkte p und q einer Elementarsehne s liegen stets auf demselben Theilbogen. Ich zeige, dass die Annahme, p und q lagen auf verschiedenen Theilbogen, auf einen Widerspruch fiihrt. Wenn man diese Annahme macht, so sind eigentlich den drei Combinationen der Theilbogen zu je zweien entsprechend drei Falle zu unter- scheiden. Man darf sich indessen auf den Fall beschranken, in welchem man p auf dem Bogen MN, also die Zahl p < 0, und q auf dem Bogen LM, also die Zahl q = l, annimmt. Denn jeder der beiden anderen Falle lasst sich durch eine der Drehungen T und T 2 auf jenen Fall zurtickflihren. Ist nun p ^ 0, q = 1, so folgt 1 = q p < oo . Die einzige Combination p = 0, q = 1, fur welche q p 1 wird, ist aber auszuschliessen, well fur dieselbe p und q auf demselben Theilbogen, namlich auf dem Bogen LN, liegen. Ebenso wenig kann q p=ao, d. h. eine der beiden Zahlen p und q gleich GO sein, weil sonst p und q beide auf dem Bogen ML oder beide auf dem Bogen MN liegen wiirden. Folglich liegt q p = H -- zivischen 1 und oo , also ay zwischen und 1. Dies ~ ay ist aber widersinnig, da a und 7 game Zahlen sind. Ich werde nun ferner ein dem Kreise K einbeschriebenes Dreieck, dessen Seiten Elementarsehnen sind, ein " Elementar- dreieck" nennen. Nach dieser Definition ist beispielsweise das Dreieck 01 oc ein Elementardreieck. Jede Elementarsehne s = pq ist Seite von zwei Elementardreiecken. OS f Denn sei = - , a = - und r = - irgend eine dritte rationale ay e Zahl. Bestimmt man dann # und y aus den Gleichungen e = xa+ 2/7 j ' so erkennt man, dass p, q, r dann und nur dann ein Elemental 1 - 128 A. HURWITZ. dreieck bilden, wenn a? = + 1, y= 1 wird. Die Sehne s 1st also Seite der beiden Elementardreiecke {3 + 8 , 0-B p, q,r= - - , und p, q, r = a-7 Da die Punkte p, q durch die Punkte r, r' harmonisch getrennt werden, so kann man das Dreieck pqr' durch eine sehr einfache Construction erhalten, wenn das Dreieck pqr gezeichnet vorliegt*. Uberdies geht aus derselben Thatsache hervor, dass die beiden Elementardreiecke, welche sich iiber einer Elementarsehne s=pq construiren lassen, auf verschiedenen Seiten dieser Sehne s liegen. Nach dem Satze (I) befinden sich die Ecken eines von dem Dreieck Oloo verschiedenen Elementardreiecks nothwendig auf demselben Theilbogen. Daherkann das Dreieck Oloo mit keinem anderen Elernentardreieck ein Stiick gemein haben. Es besteht also der Satz : (II) Kein Punkt, der im Innern des Dreiecks 01 oo liegt, liegt zugleich im Innern eines anderen Elementardreiecks. 2. Es moge nun jeder quadratischen Form /= an? + *2buv + cv 2 ...................... (3) derjenige Punkt zugeordnet werden, dessen Coordinaten x : y : z = a : b : c ........................ (4) Figur 2. sind. Einer Form/entspricht dann ein Punkt im Innern, auf der * Vergleiche Figur 2. BINARE QUADRATISCHE FORMEN. 129 Peripherie oder ausserhalb des Kreises K, je nachdem D = b*-ac = ....................... (5) ist. Umgekehrt entsprechen jedem Punkte a : b : c unendlich viele Formen f, namlich die Formen / = p (aw 2 + Ibuv 4- cv 2 ) ..................... (6), wo p jeden reellen Werth erhalten kann. Um nun die Beziehung zwischen den Punkten der Ebene und den Formen f zu einer eindeutigen zu machen, werde ich zwei Formen, deren Coefficienten zu einander proportional sind, als nicht verschieden ansehen. Man bemerke noch, dass dem Punkte X des Kreises K die Form f=p(u* + 2\uv + W) = p(u + \v)'> ............ (7) entspricht. Ich betrachte jetzt irgend eine ganzzahlige lineare Transforma- tion / , * > - ............... (8). V = yu + OV,\ Durch dieselbe geht die Form (6) iiber in f = p (a'u* + 2bW + cV 2 ) ..... ............. (9), wo a' = aa? (10). Der Transformation S entspricht also eine (durch die Formeln (10) definirte) Collineation der Ebene, die ebenfalls mit S be- zeichnet werde. Der Kreis K geht bei der Collineation 8 in sich liber. Denn dem Punkte X des Kreises K entspricht die Form (7), welche bei (5^-v j /j \ 2 u'+ , - v'\ tibergeht, so 7\ + ct / dass der Punkt X durch die Collineation S in den Punkt (11) libergefiihrt wird. Da hiernach die Punkte 0, oo, 1 resp. in p =- , q = -, r = - tibergehen, so entsprechen den Punkten, die im Innern des Dreiecks 01 oo liegen, die Punkte im Innern des Elementardreiecks pqr. Nennt man also eine Form f von nega- c. P. 9 130 A. HURWITZ. tiver Determinante " reducirt," wenn der ihr entsprechende Punkt im Innern des Dreiecks 01 oo liegt, so folgt aus dem Satze II. in No. 1: "Eine reducirte Form kann durch die Transformation 8 nur dann wieder in eine reducirte Form iibergehen, wenn die Punkte 0, 1, oo durch die entsprechende Collineation S (oder durch die Transformation (11)) sich nur untereinander vertauschen." Offenbar giebt es, abgesehen von der identischen, zwei solche Transformationen S, namlich diejenigen, deren entsprechende Col- lineationen die Drehungen T und T 2 sind. Man hat also den Satz: Zwei reducirte Formen, den en die Punkte P und Q entsprechen, sind dann und nur dann aequivalent, wenn der Punkt P durch eine der Drehungen T und T 2 in den Punkt Q ubergeht. Abgesehen vom Mittelpunkt des Kreises K, gruppiren sich die Punkte des Dreiecks 01 oo, und dem entsprechend die reducirten Formen, vermb'ge der Drehungen T und T 2 zu je dreien, so dass die drei Formen einer Gruppe zu einander aequivalent, dagegen je zwei Formeu aus verschiedenen Gruppen inaequivalent sind. Stellt man die Bedingungen dafiir auf, dass der Punkt a : b : c im Innern des Dreiecks 01 oo liegt, so erkennt man, dass die Form reducirt ist, wenn die Ungleichungen 6>0, a-b>0, c-b>0 erfullt sind*. Was die Formen angeht, die durch Punkte auf den Seiten des Dreiecks 01 oo reprasentirt werden, so sollen dieselben fortan ebenfalls zu den reducirten gezahlt werden. Man zeigt leicht, dass diese Formen sich in Gruppen von je sechs anordnen, so dass jede Form den Formen derselben Gruppe aber keiner andern reducirten Form aequivalent ist. * Die Definition der reducirten Formen, zu welcher die Untersuchung gefiihrt hat, stimmt hiernach mit der von E. Selling (Crelle's Journal, Bd. 77) gegebenen iiberein. BINARE QUADRATISCHE FORMEN. 131 3. Ich bringe jetzt die Theorie der Reduction quadratischer Formen mit negativer Determinante zum Abschluss, indem ich zeige, dass jede Form von negativer Determinante einer reducirten Form aequivalent ist, oder was offenbar dasselbe ist dass jeder beliebig im Innern des Kreises K angenommene Punkt P auf einer Seite oder im Innern eines Elementardreiecks liegt. Dabei werde ich zur Abklirzung von einem Punkte P sagen " er liege liber der Seite pq des Dreiecks pqr," wenn die Punkte P und r auf verschiedenen Seiten von pq liegen. Es sei jetzt s diejenige Seite des Dreiecks A = 01 oc , iiber welcher P liegt. Man con- struire dann iiber s das von A verschiedene Elementardreieck Aj. Liegt nun P ausserhalb des Dreiecks A 1} so sei Sj diejenige Seite von A 1} iiber welcher P liegt. Man construire dann iiber Sj das von A! verschiedene Elementardreieck A 2 u. s. f. Diese Construction muss nothwendig zu einem Abschluss fiihren, d. h. man gelangt schliesslich nothwendig zu einem Elementardreieck A n , auf dessen Begrenzung oder in dessen Innerem der Punkt P liegt. Denn andernfalls wiirde den Endpunkten der Seiten SQ, !,... s n ,... eine unbegrenzte Reihe von rationalen Werthen TO, r o'> r i> r i>-- r n, fn,-" entsprechen (so dass die Seite s n die Verbindungslinie r n r n ' ist). R ?) 1 Ist nun etwa r n ~, r n ' = - , so wird r n ' r n = und diese a y ay Differenz sinkt mit wachsendem n unter alle Grenzen, da die Nenner der Zahlen r , r ', r ly r/,... bestandig zunehmen. Die Lange der Sehne s n = r n r n ' wiirde also mit wachsendem n unter alle Grenzen sinken, was unmoglich ist, da der Punkt P immer zwischen s n und dem Kreise K liegt und von dem Kreise eine endliche Entfernung besitzt. 4. An die vorstehenden Betrachtungen kniipfe ich noch einige Bemerkungen. Da jeder Punkt, der im Kreise K liegt, in's Innere oder auf eine Seite eines Elementardreiecks fallt und da kein Elementardreieck mit dem Dreieck 01 oo und folglich auch keine 92 132 A. HURWITZ. zwei Elementardreiecke mit einander ein Stuck gemein haben, so folgt : " Die Elementardreiecke erfullen in ihrer Gesammtheit gerade das Innere des Kreises K, welches sie einfach und liickenlos bedecken." Denkt man sich alle Elementardreiecke construirt, so hat man dieselbe Figur vor sich, welche Herr Klein gelegentlich aus der bekannten Eintheilung der complexen Zahlenebene, die der Theorie der Modulfunctionen zu Grunde liegt, hergeleitet hat*. Aus den oben entwickelten Resultaten lassen sich offenbar umgekehrt die wesentlichen Eigenschaften jener Eintheilung der complexen Zahlenebene ableiten. Was die Reduktion der Formen von positiver Determinante angeht, so lasst sich dieselbe nach einer von Herrn Hermite herriihrenden Idee auf die der Formen mit negativer Determinante zuriickfiihren. Man gelangt dabei zu dieser Definition : " Eine Form mit positiver Determinante heisst reducirt, wenn die Polare des der Form entsprechenden Punktes in das Innere des Dreiecks 01 oo eintritt." Im Anschluss an diese Definition kann man dann, wie ich hier jedoch nicht weiter ausfuhren will, die Theorie der Formen mit positiver Determinante (Pell'sche Gleichung etc.) vollstandig entwickeln. Dabei tritt dann auch die grundlegende Bedeutung der Farey'schen Reihen hervor, von deren Betrachtung ich bei dieser ganzen Untersuchung urspriinglich ausgegangen bin. * Klein-Fricke, "Vorlesungen iiber die Theorie der elliptischen Modulfunc- tionen" (Leipzig, 1890) Bd. 1, pag. 239-242. ZURICH, im Mai 1893. THE PRESENT STATE OF MATHEMATICS*. BY FELIX KLEIN OF GOTTINGEK THE German Government has commissioned me to communicate to this Congress the assurances of its good will, and to participate in your transactions. In this official capacity, allow me to repeat here the invitation given already in the general session, to visit at some convenient time the German University exhibit in the Liberal Arts Building. I have also the honour to lay before you a considerable number of mathematical papers, which give collectively a fairly complete account of contemporaneous mathematical activity in Germany. Reserving for the mathematical section a detailed summary of these papers, I mention here only certain points of more general interest. When we contemplate the development of mathematics in this nineteenth century, we find something similar to what has taken place in other sciences. The famous investigators of the preceding period, Lagrange, Laplace, Gauss, were each great enough to embrace all branches of mathematics and its applications. In particular, astronomy and mathematics were in their time regarded as inseparable. With the succeeding generation, however, the tendency to specialisation manifests itself. Not unworthy are the names of its early representatives : Abel, Jacobi, Galois and the great geometers from Poncelet on, and not inconsiderable are their individual achievements. But the developing science departs at the same time more and more from its original scope and purpose and threatens to sacrifice its earlier unity and to split into diverse branches. In the same proportion the attention bestowed upon it by the general scientific public diminishes. It became almost the custom to regard modern mathematical speculation as something * Remarks made at the opening of the Congress on Mathematics and Astronomy. 134 FELIX KLEIN. having no general interest or importance, and the proposal has often been made that, at least for purpose of instruction, all results be formulated from the same standpoints as in the earlier period. Such conditions were unquestionably to be regretted. This is a picture of the past. I wish on the present occasion to state and to emphasise that in the last two decades a marked improvement from within has asserted itself in our science, with constantly increasing success. The matter has been found simpler than was at first believed. It appears indeed that the different branches of mathematics have actually developed not in opposite, but in parallel directions, that it is possible to combine their results into certain general concep- tions. Such a general conception is that of the function, in par- ticular that of the analytical function of the complex variable. Another conception of perhaps the same range is that of the Group, which just now stands in the foreground of mathematical progress. Proceeding from this idea of groups, we learn more and more to coordinate different mathematical sciences. So, for ex- ample, geometry and the theory of numbers, which long seemed to represent antagonistic tendencies, no longer form an antithesis, but have come in many ways to appear as different aspects of one and the same theory. This unifying tendency, originally purely theoretical, comes inevitably to extend to the applications of mathematics in other sciences, and on the other hand is sustained and reinforced in the development and extension of these latter. I assume that detailed examples of this interchange of influence maybe not without various interest for the members of this general session, and on this account have selected for brief preliminary mention two of the papers which I have later to present to the mathematical section. The first of these papers (from Dr. Schonflies) presents a review of the progress of mathematical crystallography. Sohncke, about 1877, treated crystals as aggregates of congruent molecules of any shape whatever, regularly arranged in space. In 1884 Fedorow made further progress by admitting the hypothesis that the molecules might be in part inversely instead of directly congruent. In the light of our modern mathematical developments this pro- blem is one of the theory of groups, and we have thus a convenient starting-point for the solution of the entire question. It is simply PRESENT STATE OF MATHEMATICS. 135 necessary to enumerate all discontinuous groups which are con- tained in the so-called chief group of space-transformations. Dr. Schb'nflies has thus treated the subject in a text-book (1891) while in the present paper he discusses the details of the historical development. In the second place, I will mention a paper which has more immediate interest for astronomers, namely, a resumi by Dr. Burkhardt of "The Relations between Astronomical Problems and the Theory of Linear Differential Equations." This deals with those new methods of computing perturbations, which were brought out first in your country by Newcomb and Hill ; in Europe, by Gylden and others. Here the mathematician can be of use, since he is already familiar with linear differential equations and is trained in the deduction of strict proofs ; but even the professional mathematician finds here much to be learned. Hill's researches involve indeed, a fact not yet sufficiently recognised, a distinct advance upon the current theory of linear differential equations. To be more precise, the interest centres in the repre- sentation of the integrals of a differential equation in the vicinity of an essentially singular point. Hill furnishes a practical solution of this problem by the aid of an instrument new to mathematical analysis, the admissibility of which is, however, confirmed by subsequent writers, the infinitely extended, but still convergent, determinant. Speaking, as I do, under the influence of our Gb'ttingen tradi- tions, and dominated somewhat, perhaps, by the great name of Gauss, I may be pardoned if I characterise the tendency that has been outlined in these remarks as a return to the general Gaussian programme. A distinction between the present and the earlier period lies evidently in this : that what was formerly begun by a single master-mind, we now must seek to accomplish by united efforts and cooperation. A movement in this direction was started in France some time since by the powerful influence of Poincare'. For similar purposes we three years ago founded in Germany a mathematical society, and I greet the young society in New York and its Bulletin as being in harmony with our aspirations. But our mathematicians must go further still. They must form international unions, and I trust that this present World's Con- gress at Chicago will be a step in that direction. UBER DIE ENTWICKLUNG DER GRUPPEN- THEORIE WAHREND DER LETZTEN ZWANZIG JAHRE. VON FELIX KLEIN IN GOTTINGEN. Referat. REDNER gab in der Hauptsache ein Referat iiber die von ihm im vergangenen Sommer in Gb'ttingen gehaltene Vorlesung ; diese Vorlesung wird in derselben Weise, wie in frliheren Fallen geschehen, in autographirter Form publicirt werden. Des Fer- neren schilderte derselbe mit einigen Worten das in Gottingen angenommene System des mathematischen Unterrichts. Soweit die Ausbildung der kiinftigen Lehrer in Betracht kommt, wird aller Nachdruck auf die physikalischen und astronomischen Anwendungen der Mathematik gelegt. Es besteht die Absicht, im gleichen Sinne spaterhin auch noch die technischen Anwend- ungen heranzuziehen. Aus allgemeinen Griinden wiirde Redner eine Vereinigung der Polytechnika mit den Universitaten wiin- schen. Da aber die Durchfiihrung einer solchen Massregel wegen praktischer Schwierigkeiten kaum zu erhoffen ist, so sollte man zum Mindesten Einrichtungen treffen, vermoge deren der gelernte Techniker seine mathematisch-physikalische Bildung vervoll- standigen kann, wahrend gleichzeitig der Mathematiker oder Physiker Anleitung erhalt, in die technischen Probleme einzu- dringen. Denn es ist keine Frage, dass bei der fortschreitenden Entwicklung unserer Cultur immer mehr solche Manner gebraucht werden, welche gleichzeitig nach technischer Seite wie nach mathematisch-physikalischer Seite im Vollbesitz der wissen- schaftlichen Pramissen sind. ZUR TRANSFORMATION FUNFTEN GRADES DER HYPERELLIPTISCHEN FUNCTIONEN ERSTER ORDNUNG. VON M. KRAUSE IN DRESDEN. DAS Problem Transformationsgleichungen aufzustellen hat im Falle der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung bisher nur in wenigen Fallen gelb'st werden kb'nnen. Im folgenden soil gezeigt werden, wie auf Grund von Additionstheoremen von der Art, wie sie in 50 meines Lehrbuchs liber die Transformation der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung (Leipzig, 1886) sich finden, mit leichter Mlihe Transformationsgleichungen in irrationaler Form aufgestellt werden konnen und zwar beschran- ken wir uns hierbei auf den Fall des Grades n = 5. Setzt man : 9* r *> nr u , nr l2 , nr a wtvflriTjr+ftiv - o W = e n . r-1,2 so ergiebt die Verbindung von Gleichung (5) pag. 233 und Gleichung (14) pag. 235 im citierten Werke das Theorem : r' e )~l g . L Z J ... (1), wobei die Beziehungen stattfinden : 2w r w = a el . v r v + a e2 . v r (2} + . . . a em . v r + o el . a^ 1 ' + ...a tm . OT, g r w = a fl . mi . S r (1) + a e2 . m 2 . S r +...a tm .m m . S r (n} mod 2n. Die Grossen /S sind willktirliche ganze Zahlen, die Grossen a konnen die Werte und 1 annehmen, die Grossen a sind ganze Zahlen, die den Gleichungen Geniige leisten : 138 M. KRAUSE. m l . a el + m 2 . a t . 2 + . . . m m . a em = n t , m l . a el . a Kl + m. 2 . a e2 . a + . . . m m . a tm .a Km = 0, e ^ K. = 1, 2, ... m, K = 1, 2, ... m. Es gentigt hiernach zur Aufstellung des Additionstheoremes die Kenntnis der Grossen m e , n e und der Zahlen a. In der Bestimmung der letzteren Hegt die Schwierigkeit des Problems. Konnen wir dieselben so bestimmen, dass die Grossen m f und n e entweder gleich 1 oder gleich n sind, so erhalten wir durch Nullsetzen der Argumente unmittelbar Transformationsgleichun- gen. Wir konnen aber noch weiter gehen. Die Transformation 2ten, 4ten allgemein 2 p ten Grades kann im wesentlichen als gelost angenommen werden, da hier ein bekannter Algorithmus zum Ziele fiihrt. Unter solchen Umstanden werden wir auch dann durch Nullsetzen der Argumente zu Transformationsglei- chungen gelangen, wenn die Grossen m e und n e die Werte 2? und 2'n besitzen. Gerade hierfiir sollen einige Beispiele angegeben wer- den und zwar beschranken wir uns auf Modulargleichungen. Die Formen, welche diese Gleichungen annehmen, sind, vollig ausgefuhrt, teilweise umstandlicher Natur. Es lassen sich aus ihnen, vor allem mit Hiilfe von Substitution halber Perioden, elegantere Darstellungen von Modulargleichungen fiuden. Es soil das an anderem Orte durchgefiihrt werden, nur an einem Beispiel soil gezeigt werden, wie die Untersuchung anzustellen ist. Die Theoreme lauten nun : wobei die Grossen m und n die Werte besitzen : m 1 = 1, m 2 = 2, w 3 = 5 ; n x = 2, n 2 = 4, n 3 = 20, und die Grossen w und g aus dem Schema der Grossen a bestimmt sind : 111 31-1 5-5 1. ,w e r)) ...... (3), = !, m 2 = 5, m 3 = 10 ; n x = 4, n 2 = 10, n 3 = 20. HYPERELLIPTISCHE FUNCTIONED 139 Das Schema der Grbssen a lautet : 111 5 1-1 5 -3 1. j = 1, 7n 2 = 2, w 3 = 5, m 4 = 10 ; Wi = 2, r? 2 = 4, n 3 = 10, n 4 = 20. Das Schema der Grossen a lautet : 1110 2-1 0-1 5 0-1 1 0-5 2 1. ((W.,.T)) ...... (5), m 1 = m 2 m 3 = m 4 = 1, m 5 = ra 6 = 1 ; n =n =2 n =n = 4, n 5 = w 6 = 20. Das Schema der Grossen a lautet : 011110 -101-101 0311-10 3 1-1 0-1 5-5-5 1 5 0-5 5 1. Mit diesem Additionstheorern hangt aufs engste das folgende zusammen : 4 6 . n^ 5 ((v (f} , m f rj) = 2IIS- 5 -=r- ((w (e) , n e r L 2 J wij = m z = m 3 = m 4 = 5, m s = m 6 = 1, 7^ = 712 = 10, w 3 = n t = 20, n s = w 6 = 4. Das Schema der Grossen a lautet : 1 1 1 5 1 1 -1 5 3 1 1 -5 3 1 -1 -5 1 -1 -1 1 1 -1 1 1. 140 M. KRAUSE. , m e r)) = 2I1* 6 ((,<>, n,r)) ...... (7), m l = m 2 = m 3 = ra 4 = 1, w 5 = m 9 = m 7 = m s = 5, H! = n 2 2, n s = w 4 = 4, rc 5 = n a = 10, n 7 = n s = 20. Die Zahlen a sind aus dera Schema bekannt : 1 1 1 1 1 1 -1 1 2 -1 -1 -1 -1 2 -1 1 1 -1 5 1 -1 1 .0 5 -1 1 1 -5 -5 2 1 1 5 5 2 -1 1. So kb'nnten wir welter gehen, indessen mogen diese Beispiele genligen, um die Fruchtbarkeit der Methode klar zu legen. Setzen wir in den Theoremen die Argumente gleich Null, so erhalten wir Modulargleichungen, aus denen nach bekannten Prinzipien neue Gleichungen abgeleitet werden konnen. Es soil nun an dem ersten Additionstheorem gezeigt werden, wie mit Hiilfe der Substitution halber Perioden wesentlich einfachere Formen erhalten werden konnen. In der That ausfuhrlicher geschrieben lautet das Additions- theorem : 2 . 11^ ((vw, TO.T)) = mi =1, m 2 = 2, m s = 5 ; ^ = 2, n a 4, n 3 = 20, 2w r < 2 > = 3w r w + v r (2) - -y r < 3 > + 3a r < 2w r < 3 > = 5v r (1 > - 5u r < 2 ) +*v (3) + 5a r (1 - 5a r < 2 > +a r (3) , 2w r < 3 > = 5t> r - 5fl r < 2 > + v r < 3 > + 5a r < J > - 5a r < 2 > + c^* 3 *, ^ r < ] ) = r c) + 2s r ' 2 > + 5s r < 3 > mod 4, ^ r ( 2 = 3s r -I- 2s r < 2 ' - 5 r < 3 > mod 8, # r < 3 > = 5s r < a > - 10s r < 2 > + 55 r < 3 ' mod 40. Aus den letzten Congruenzen folgt : a < 3 > 3tf < 3 > ^r r w = - mod 4, # r < 2 > = - mod 6, g r = mod 5. HYPERELLIPTISCHE FUNCTIONEN. 141 Setzen wir an Stelle von : Vl w } Vl (3) resp. Vi (1) + , V'-i- so erhalten wir : Genau so wird : Setzen wir daher : /, = * 5 ((w< 2 >, 2r)) 2* (( , r)) X ((v, 5r)), a = 5, 12, 34, 0, a so wird : (8), wobei die Grossen a < 3 > ^w = %- mod 2, g r < 2 > + ^- = mod 4, g r < 3 > = mod 5. o o Diese Form ist schon bedeutend einfacher, wie die urspriing- liche, wir kb'nnen aber noch einen Schritt weiter gehen. Wir setzen an Stelle von : Vi (1) , *>i (2) , Vi (3) , v 2 (1) , *V 2 >, w 2 < 3 ' resp. V W + li. 1 7) (2) 4- T 7. (3) + ZS 7, W 4- W < 2 > 4- T, W (3) 4- ? "l T^ O > "l T ll > U l O ) "2 r f\ i V 2 T^ '12 > U 2 I o ' so andern sich w x (1) , w 2 (1) resp. um 2r n , 2r 12 . Unter solchen Umstanden erhalten wir : 2^ ./ 2 = 2,-^+- w +- w ro 5 [ fl w] ((,<>, n.T)) ...... (9), wobei gesetzt ist : /, = * ((^ (2) , 2r)) 2 ^ ((, r)) % ((, 5r)), a x = 01, 02, 2, 1, und das negative Zeichen fur j = 02, 1, das positive fur c^ = 01, 2 zu wahlen ist. 142 M. KRAUSE. Genau so wird : 2^/ 3 = S ( _^ (1) ^ (3) ^ (3) II*.[fl]((wM,,T)) ... (10), wobei gesetzt ist : /. = *4 ((v, 2r)) 2 * ((, r)) V ((z;< 3 >, 5r)), a, = 4, 03, 3, 04, und das negative Zeichen fur a 2 = 3, 04, das positive fur o^ = 4, 03 zu setzen ist. Ebenso folgt : 2*./ 4 = 2 ( _ 1) -. 0) +i w +i w +. a) +-. (2) +. w> n^ 5 [0M] ((ww, W.T)) ... (11), wobei gesetzt ist : / = ^23 ((^ (2) , 2r)) 2 ^ (( (1) , T)) ^ ((< 3 , or)), a 3 = 23, 13, 24, 14, und das negative Zeichen fiir a s =13, 24, das positive fur a s = 23, 14 zu nehmen ist. Aus den erhaltenen Gleichungen folgt : 4 (/i -/, -/ +/) = 2'n^ 5 bfW] ((,, ,T)) ...... (12), wobei der Strich an der Summe bedeutet, dass nur liber diejeni- gen a zu summieren ist, fiir welche sowohl : a^'+a als auch : ungerade Zahlen sind. Es ist dieses die Schlussform, die wir erhalten wollten. Setzen wir die Argumente gleich Null, so erhalten wir eine Modulargleichung, welche das Analogon zu der bekannten Modulargleichung der elliptischen Functionen ist : DRESDEN, Juli, 1893. CONSIDERATIONS GENERALES SUR LA MESURE DE LA SIMPLICITE DANS LES SCIENCES MATHEMATIQUES ET APPLICATION A L'EVALUATION THEORIQUE DE LA SIMPLICITE DES TRACES GEOMETRIQUES, OU GEOMETROGRAPHIE. PAR EMILE LEMOINE A PARIS. I. UNE verite mathematique n'est ni simple ni compliquee en soi, elle est. Ce qui nous fait la regarder comme simple ou comme compliquee, c'est le chemin court ou long que notre esprit, en partant de verites experimentales, de notions e'lementaires ou d'axiomes admis denominations qui, au fond, a mon avis, repre- sentent exactement la meme chose a dii parcourir pour y arriver. II me semble qu'il serait fort interessant d'etudier ces voies et d'6valuer la longueur de celle qui est necessaire, a un moment du developpement scientifique de 1'esprit humain, pour arriver a la connaissance d'une verite mathematique quelconque. Le moyen que nous allons indiquer pour cela, est facile a employer, mais Fceuvre exigerait un travail considerable, si Ton voulait qu'elle soit achevee ; nous nous proposons, dans ce travail, d'appliquer 1'idee theorique qui nous guide a un petit domaine de la con- naissance : I' etude des traces geometriques et de montrer 1'importance et I'inattendu des resultats pratiques qui sortiront d'une etude toute speculative. Avant d'aborder notre sujet nous voulons cependant exposer brievement quelques considerations gdnerales. Soient A, B, C, etc. les verites experimentales ou notions ele'men- taires admises comme base d'une science mathe'matique de'terminee, laquelle doit s'en deduire ensuite par raisonnements. Tous les theoremes qui constituent cette science se deduiront de A,B,C, ... par voie syllogistique, voie qui, debarrassee de 1'appareil de la logique scolastique du moyen age, est la seule admise dans une science mathematique. 144 EMILE LEMOINE. Les th^oremes qui dependent imme'diatement de A, B, C ... seront dits du premier ordre ; ceux qui ne dependent que de A, B y G ... et de ceux du premier ordre seront dits du second ordre etc. Ceux qui ne dependent que de A, B, C ... et de ceux d'ordre n et d'ordre plus petit que n, seront dits du (n + l) me ordre. Dans le tableau general d'une science matMmatique, nous dirons que la simplicite absolue d'une proposition ne depend que de son ordre, et que la simplicite relative ne depend, quel que soit son ordre, que du nombre d'e'le'ments syllogistiques elements que nous definirons plus loin qu'il a fallu pour I'e'tablir, en comptant alors tout thdoreme pre'cedemment de'montre' comme s'il etait une notion elementaire. II est Evident que Ton peut de'duire de la un moyen d'apprecier la valeur didactique des me'thodes employees pour 1'exposition d'une science mathematique et, jusqu'a un cer- tain point, une sorte d'echelle d'avancernent de cette science. Tout cela est, comme Ton voit, fort simple en theorie, mais se complique singulierement des qu'on veut 1'appliquer. II faut d'abord re'duire la demonstration de chaque theoreme a une deduction n'employant que des syllogismes simples, des sorites, des poly syllogismes et ce n'est pas ainsi, du moms dans la forme, que precede le langage mathematique. Prenons pour exemple le premier theoreme de la Geom6trie, (ordre d'exposition adopte" par Legendre). Voici la demonstration textuelle que nous trouvons dans le Traite de gdometrie Elementaire de MM. Rouch^ et de Combe - rousse (6 me edition, 1891, page 7), trait^ tres universellement suivi en France. "Par un point A, pris sur une droite DC, on peut toujours Clever une perpendiculaire AB sur cette droite et on ne peut en Clever qu'une. \ A Fig. 1. En effet supposons qu'une droite AE fig. (1) d'abord appliquee sur AC, tourne autour du point A dans le sens de la fleche. GEOMETROGRAPH1E. 145 L'arigle EAC, nul au debut, croitra constamment, tandis que Tangle adjacent EAD diminuera sans cesse et finira par s'annuler lorsque la droite viendra s'appliquer sur AD. Done Tangle EAC, d'abord inferieur a Tangle EAD, differera de moins en moins de cet angle, lui deviendra egal, puis le surpassera de plus en plus. D'apres cela, parmi les positions successives de la droite AE, il y en aura une, et une seule, AB, pour laquelle les angles adja- cents BAG, BAD seront dgaux, c'est-a-dire pour laquelle cette droite sera perpendiculaire sur DC" Voici maintenant cette demonstration raise sous forrne syllogis- tique. J'imagine une droite AE d'abord appliqude sur AC et je suppose que cette droite tourne autour du point A dans le sens de la fleche; je considere a chaque instant du mouvement les deux angles EAC, EAD. l re PREMISSE. Lorsque deux quantites ou grandeurs qui varient en meme temps d'unefapon continue, sont telles que la premiere, partant de zero, croit constamment, tandis que la seconde de'croit constam- ment et arrive a zero, il y a toujours une valeur et une seule pour laquelle les deux quantite's sont egales. 2 me PREMISSE. Les angles EAC, EAD sont deux grandeurs remplissant ces conditions. CONCLUSION. Done: II y a toujours une position AB de AE pour laquelle les deux angles sont egaux et cette position est unique. C. q. f. d. La demonstration pre'cedente comprend, comme toutes les demonstrations ge'ometriques raises sous la forme syllogistique, deux parties bien distinctes, que j'appelle P et P'. Dans P, on constate ou Ton verifie que les donnees se trouvent dans certaines conditions, apres avoir fait certaines hypotheses ou certaines constructions auxiliaires. Dans P', ces conditions constatees, Ton se sert de premisses desquelles on conclut le theoreme cherche, soit par un syllogisme simple, soit par une suite de syllogismes. En ramenant ainsi les demonstrations a la forme syllogis- C.P. 10 146 EMILE LEMOINE. tique, on voit d'une fa9on tres claire quels sont les objets mathe'- matiques dont il faut avoir les definitions et quelles sont les notions dUmentaires que Ton admet, definitions et notions qui forment la base de la science. Dans 1'exemple que nous venons de traiter, la partie P montre que Ton admet une definition du point, de la ligne droite, de I'angle et que Ton accepte comme notion elementaire 1'idde de mouvement et celle de continuity. La partie P' est un simple syllogisme dont le premier terme est la notion elementaire : " Lorsque deux quantites ou grandeurs etc." La simplicite absolue ou I'ordre de la proposition de'montree est evidemment 1 ; cherchons sa simplicite' relative. Nous avons dit que la simplicite relative d'une proposition depend du nombre d' elements syllogistiques qu'il a fallu pour 1'etablir, mais nous n'avons pas defini ce que nous appelons un element syllogistique. J'appelle element syllogistique une quelconque des parties con- stitutives d'un syllogisme simple ou compose et aussi chaque constatation necessaire pour ramener les donnees a entrer dans le syllogisme. Dans 1'exemple que nous venons de donner la partie P \ "J'imagine une droite AE d'abord appliquee etc." comptera pour un element syllogistique puisque c'est une simple constatation. La partie P', qui est un syllogisme simple, comptera pour 3, puisque le syllogisme simple comprend trois elements savoir: deux premisses et une conclusion. La simplicite relative de la proposition de'montree est done 4. Ce qui precede est fort simple mais, quoique le deVeloppemeut de 1'idee que nous avons emise complique rapidement les choses, cela suflfit pour montrer clairement la marche a suivre et c'est tout ce que nous voulons faire ici. GEOME"TROGRAPHIE ou ART DES CONSTRUCTIONS GEOME"TRIQUES. II. Une idee analogue a celle que nous venons de resumer pour I'e'tude des raisonnements dans les sciences mathe'matiques, donne lieu a un moyen tres simple de comparer entre eux, a un point de vue spe'culatif, les trace's geome'triques, et conduit a une GEOMETROGRAPHIE. 147 sorte devaluation de leur simplicite et de la probabilite de leur exactitude dont la pratique peut profiter d'une fa9on certainement inattendue, puisque nous allons montrer par son intermediate que les trace's donne's seculairement dans toutes les geometries elemen- taires depuis les Grecs, sont trop compliques et que nous en donnerons de plus simples, meme pour mener par un point une parallele a une droite. Pour etablir notre theorie nous nous pla9ons a un point de vue tout a fait speculatif; nous n'avons nullement la pensde que nous croyons du reste impossible a realiser de suivre la pratique manuelle du trace, nous faisons des conventions particulieres, nous admettons des hypotheses avec lesquelles nous ^difions la Geome- trographie. De meme que des conventions et des hypotheses ont permis de creer la Mecanique rationnelle qui, quoique toute specu- lative par rapport a 1'art de 1'ingenieur, vient cependant souvent guider le praticien, de meme si parva licet componere magnis la Geometrographie speculative guidera utilement celui qui trace une epure. Jusqu'ici en Geometric on ne s'est occupe que de la simplicite de I'enonce d'une construction ; au point de vue de 1'exposition de la Geome'trie c'est ce qu'il faut evidemment continuer a faire; nous n'avons point d'autre ideal a proposer, et si par exemple, etant donne une figure dans laquelle il existe deux points A et B (determines thdoriquement quand la figure a laquelle ils appar- tiennent est donnde, mais qui soient compliques a fixer le compas a la main), Ton cherche un certain point inconnu N nous dirons bien que la solution est simple didactiquement si le g^ometre nous demontre que N est au milieu de AB, mais la fixation de ce point N en partant des donnees, peut etre fort compliquee s'il faut d'abord laborieusement placer les points A et B considered comme donnes parce que Ton sait qu'il est possible de les determiner. L'on s'est toujours occupe de ce genre de simplicite, jamais de celle du trace reel et c'est elle que nous envisageons exclusivement ici. Nous la conside'rons, d'ailleurs, avons-nous dit, a un point de vue tout speculatif puisque nous supposons tous les traces de droites et de cercles egalement faciles, c'est notre hypothese fondamentale et elle implique que les instruments sont aussi petits ou aussi grands qu'il est necessaire, que la feuille d 'epure a aussi toujours les dimensions qui sont utiles, que les points 102 148 EMILE LEMOINE. determines par 1'intersection de deux lignes sont aussi bien d^termin^s lorsque Tangle de ces deux lignes est tres aigu que lorsqu'il est droit ; nous ne compterons pas diffe'remment une tres petite portion traced de droite ou une tres grande, un petit arc ou le cercle tout entier. Donnons maintenant le tres court expose de notre thdorie. Avec une regie, au point de vue du trace, on ne peut faire que deux operations elementaires: 1 Faire passer le bord de la regie par un point ; c'est une operation que je de"signerai par j^; faire passer le bord de la regie par deux points donnes sera alors: 2R l . 2 Tracer la droite, ce sera 1'operation : R. 2 . De meme avec un compas on ne peut faire que trois operations elementaires : 1 Mettre une pointe en un point donne, operation que nous appelons C l . 2 Mettre une pointe en un point indetermine' d'une ligne tracee, operation : C 2 . 3 Tracer le cercle, operation : C z , II suit de la que toute construction de la Geometric canonique des Grecs, c'est-a-dire de la droite et du cercle ou de la regie et du compas se re'sumera par le symbole : op. (Jifij + 1 2 R 2 + 1& + l C/j, (7 2 . L, 1 5 seront respectivement le nombre de droites et le nombre de cercles traces. II serait pent etre plus logique de dire que ^ + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 et Ii+l 3 + l 4 sont les coefficients de complication et d' inexactitude: mais comme il ne s'agit que de mots, que d'ailleurs les re'sultats cherches sont la simplicite et 1'exactitude, nous avons pre'fe're le rappeler par les denominations. Pour appliquer facilement et rapidement ces considerations a 1'analyse d'une construction, on etudie, une fois pour toutes, les qiielques constructions fondamentales de la Geometric qui se repetent constamment dans les constructions, et Ton determine leur symbole. Ce sont ces symboles, simplifies frequemment par 1'emploi de lignes deja tracees sur 1'epure, qui servent a determiner le symbole total d'une construction donnee. La pratique de la Geometrographie m'a fait reconnaitre avec la plus grande surprise que les constructions fondamentales univer- sellement adoptees depuis les Grecs dans tous les ouvrages didac- tiques etaient trop compliquees. Je les ai reprises et j'en ai trouve de plus simples, quelques-unes de peu, d'autres de plus de moitie. Je ne pourrais, sans augmenter d'une fa9on demesuree 1'etendue de ce memoire, faire ici 1'etude complete de la question, mais je vais donner quelques exemples qui permettront au lecteur de fixer son opinion. I. Tracer une droite quelconque op. (Ri). II. Tracer une droite par un point donne op. ( R! + R. 2 ). III. Tracer une droite par deux points donnes. . .op. (2Rj_ + R 2 ). IV. Tracer un cercle quelconque op. ((7 3 ). V. Tracer un cercle quelconque de centre donne op. (C l + C 3 ). VI. Prendre avec le compas une longueur donnee AB op. (26^) puisque c'est mettre une pointe en A, 1'autre en B; nous ferons remarquer a ce propos que ce n'est pas la me'me chose pratique- ment de mettre une pointe en A et 1'autre pointe en B lorsque la premiere est maintenue en A, mais a notre point de vue speculatif c'est toujours dans les deux cas 1'operation qui consiste a mettre 150 EMILE LEMOINE. une pointe sur un point donne, nous ne nous occupons pas de la realisation manuelle. VII. Porter sur une droite donne'e a partir d'un point in- determine de cette droite ou a partir d'un point determine' de cette droite la longueur comprise entre les branches du compas op. ((7 2 + (7 3 ) ou op. (C, + (7,). VIII. Porter une longueur donne'e (qu'il faut prendre avec le compas) sur une droite donnee d partir d'un point inddtermine de cette droite ou a partir d'un point determine de cette droite op. (2^ + (7, + C 3 ) ou op. (3^ + (7 3 ). IX. D'un point donne comme centre de'crire un cercle de rayon donnd op. (3^ + (7 3 ). Donnons maintenant deux exemples d'une etude de construc- tions fondamentales et de leur simplification possible. 1. Mener par un point A pris hors d'une droite BC une parallele d cette droite*. ME"THODE CLASSIQUE. a. Je decris le cercle A (R) qui coupe BC en C ... op. (C^ + (7 3 ); je ddcris le cercle C(R) qui coupe BC en B op. (C l + C 3 ); je prends B A op. (ZC^; je decris C (BA) qui coupe A (R) en D du ineme cotd de BC que A op. (C + C 3 ); je trace AD qui est la parallele cherchee op. (2^ + R 2 ). En tout : op. (2^ + R. 2 + 5C, + 3(7,). Simplicity 11 ; exactitude 7 ; 1 droite, 3 cercles. AUTRE METHODE PLUS SIMPLE. b. Posant une pointe du compas, en n'importe quel point du plan, 1'autre en A, je trace (OA) op. (C l + <7 3 ); 0(0 A} coupe BC en B et en (7, je prends BA ...op. (2(7 X ); je trace C(BA) qui coupe (OA) en D du meme cot4 de BC que A op. (C'j + C's); je trace AD qui est la parallele cherchee op. (2^+ -&>) En tout : op. (2^ + R 2 + 4^ + 2<7 3 ). * Le lecteur est pri6 de faire, suivant le texte, les figures tres simples d'ailleurs que nous considerons. Pour abreger 1'ecriture nous designerons par A (R) ou A (BC) la circonference de centre A et de rayon E ou de rayon BC. GEOMETROGRAPHIE. 151 Simplicite 9 ; exactitude 6 ; 1 droite, 2 cercles : et ce n'est pas, pour ce probleme, la seule construction qui existe et qui soit plus simple que la construction classique. 2. Construire la moyenne proportionnelle entre deux droites donndes M et N. METHODE CLASSIQUE. a. II y en a plusieurs, mais je choisis la plus simple qui est fonde'e sur cette proposition : Dans un triangle rectangle la perpendiculaire abaissde du sommet de I 'angle droit sur I' hypotenuse est moyenne proportionnelle entre les deuce segments de V hypotenuse. Je trace une ligne AB sur laquelle je prends AB = M, BC = N les points A, B, C se succedant dans 1'ordre A, B, C ...... je ddcris un cercle sur AC diametre en utilisant, pour prendre le milieu de AC, la circonfe'rence A (M) tracee pour fixer le point B. Cela fait sur la construction generate une e'conomie de Ci + <7 8 .......................................... op. (2 1 + 2 + 30 1 +20 3 ). Au point B j'eleve une perpendiculaire sur AC qui coupe (0(7) en D: pour elever cette perpendiculaire economiquement j'ai eu soin en tra9ant B(N) pour placer C de marquer le second point C' ou B (N) coupe AC ; la perpendiculaire est alors obtenue par le symbole .............................. op. (2^ + ,R 2 + 20j + 2(7 3 ); et la moyenne proportionnelle cherchee BD est obtenue, en tout par le symbole : op. (4>R l + 3.R 2 + lOC^ + 2 + 60 S ). Simplicity 24; exactitude 15; 3 droites, 6 cercles. II y a de nombreuses constructions plus simples que la con- struction classique ; nous donnons seulement ici la plus simple de celles que nous connaissons. AUTRE METHODE BEAUCOUP PLUS SIMPLE. b. Soit M la plus grande des deux lignes M et N. Je trace une droite quelconque AB ......... op. (-R 2 )> A e'tant un point quelconque sur AB, je trace A (M) qui coupe AB en B ....................................... op. (20 a + 2 + 0,); je trace B(N) qui coupe BA en C entre B et A op. (30i + 3 ); je trace C(N) qui coupe B(N)enP et Q...op. (C, + 0,); je trace PQ qui coupe A (Jf) en H ......... op. (2^ + JR 2 ); 152 EMILE LEMOINE. BH, qu'il n'y a pas besoin de tracer, est, comme on le voit facilement, la longueur cherche"e ; Elle est obtenue par le symbole : op. (2R t + 2R 2 + 60, + C 2 + 30,). Simplicity 14 ; exactitude 9 ; 2 droites, 3 cercles. II y a encore, comme je 1'ai dit, une foule d'autres constructions beaucoup plus simples que les constructions classiques. Elles n'a- vaient pas e'te' remarque'es parce qu'elles ne sont pas plus simples a exposer, que les geometres n'avaient jamais pense" a s'occuper de la simplicity reelle des traces, et qu'il n'y avait d'ailleurs aucun criterium pour 1'apprecier. Nous ne citerons plus qu'un exemple; mais constatons que tons les traces des constructions fondamentales de la Geometric ont e'te simplifies par notre me'thode. Si Ton veut diviser une droite en moyenne et extreme raison, il faut en employant la me'thode classique (encore je la suppose conduite economiquement suivant les principes de la Geometro- graphie) il faut, dis-je, pour obtenir les deux solutions, une construction dont le symbole a pour simplicite : 27, et qui exige le trace" de 3 droites et de 8 cercles; nous en avons un grand nombre de plus simples que la construction classique; la plus simple de celles-ci a un symbole dont la simplicite est 13 et qui n'exige que le trace d'une droite et de 4 cercles ! Ces considerations m'ont conduit a la creation d'un art veritable des constructions geometriques qui a ses regies, son elegance propre, et presente un grand int^ret pratique ; c'est son etude qui forme en rdalite la Ge'ometrographie, mais le ddveloppe- ment de la question serait trop long a exposer ici. Pour bien montrer la difference essentielle qu'il y a entre la simplicite de 1'exposition et la simplicity du trace, nous citerons encore le fait suivant. Nous avons e'tudie', a ce nouveau point de vue, quelques solutions du celebre probleme d'Apollonius: Construire une circonference tangente a trois circonferences donnees. Parmi elles il y a une magnifique solution due a Bobillier et Gergonne, partout cite'e avec raison pour son extreme elegance et son ingeniosite' ; il y en a une autre c'est la premiere, je crois, qui fut donnee de ce probleme par F. Viete, mais elle est eVidemment beaucoup moins belle que celle de Bobillier et Gergonne. Eh bien! au point de vue du trace', c'est celle de Viete qui, de beaucoup, d'une fa9on generale, est la GEOMETROGRAPHIE. 153 plus simple et par consequent la plus exacte quand on a le cotnpas a la main. Je les ai compare'es d'abord dans le journal Mathesis 1888, pages 217 222; 241 244. J'etais alors au commencement de mes Etudes sur ce sujet, et je ne me doutais pas que toutes les constructions fondamentales de la Geometric e'taient largement a simplifier, je n'avais pas, non plus, encore pose les regies de 1'art des constructions; voici les chiffres que j'avais trouves. Solution de Bobillier et Gergonne : simplicite, ou nombre de constructions e'lementaires : 500; 85 droites, 112 cercles a tracer. Solution de Viete : simplicite, 335 ; 55 droites, 84 cercles a tracer. Je suis revenu depuis sur le sujet dans les Nouvelles Annales de Mathe'matiques 1892, pages 453 et suivantes, et j'ai obtenu Solution de Bobillier et Gergonne: simplicite, 356; 60 droites, 72 cercles a tracer. Solution de Viete : simplicite, 234 ; 26 droites, 58 cercles a tracer : nombres diminues tous deux par 1'application raisonnee de la Geometrographie, mais tous deux restant a peu pres dans le meme rapport que les deux premiers. La theorie des nombres s'introduit a chaque instant dans la Geometrographie] et, comrne la chose peut paraitre assez siuguliere, a priori, je vais en donner un exemple, que Ton rencontre tout au commencement. Si, n etant un nombre quelconque determine, 37 par exemple, Ton se propose de tracer une longueur qui soit 37 fois une longueur donnee, on voit immediatement une solution et Ton trouvera facilement des simplifications a la methode generale lesquelles ameneront a trouver cette longueur le plus simplement possible dans le cas de 37, mais qui ne conviendront nullement a resoudre le meme probleme le plus simplement possible si n n'est plus 37. Ainsi nous ne connaissons pas de solution generale du probleme suivant : Etant donnd une longueur AB, trouver le plus simplement possible une longueur qui soit n fois AB. Ce probleme revient a un probleme sur les nombres du meme genre, mais plus complique que le suivant pose par M. Del lac et qui n'est pas resolu. Quel est le nombre minimum de multiplica- tions necessaires pour elever le nombre A a la puissance n ? Nous avons suppose que 1'emploi de 1'equerre n'etait pas 154 EMILE LEMOINE. admis ; si on veut 1'employer c'est une nouvelle etude a faire, qui, outre les operations elementaires de la regie et du compas R!, R 2 , C 1} C 2 , C 3 , exigera 2 nouveaux symboles, savoir: 2R\ mettre, pour I' usage de I'dquerre, un bord en coincidence avec une droite ; E faire glisser 1'equerre sur la regie jusqu'a ce qu'un de ses cdtes passe par un point donne\ La Geometrographie comprendra dans son ensemble les divisions suivantes, qui permettront de 1'utiliser dans toutes les branches de 1'art graphique. 1. Celle de la regie et du compas qui correspond a la geome- tric canonique des Grecs. 2. Celle ou Ton ajoute 1'emploi de 1'equerre, elle servira surtout a la Geometrie descriptive. 3. Celle de la regie seule. 4. Celle du compas seul. 5. Celle enfin ou Ton se permettra 1'usage des regies divisees (pour eviter 1'introduction de questions de nombres) indispensables dans les questions de statique graphique, par exemple. REFERT : Association franchise pour I'avancement des sciences, 1888, Congres d'Oran, page 75 95. Mathesis, 1888, pages 217222 ; 241244. Comptes-rendus des seances de V Academic des sciences, 16 Juillet, 1888. Journal de Mathematiques elementaires, redige par M. G. de Long- champs, 1889, pages 1014 ; 3338. Bulletin de la Societe mathematique.de France, T. xvi. 1888, pages 162172; T. xx. 1892, pages 132150. Nouvelles Annales de MatJiematiques, 1892, pages 453 474. Depuis que cette communication a ete faite, il a paru divers memoires sur le sujet, parmi lesquels je citerai : A 1'association fran^aise pour I'avancement des sciences, ou chez Gauthier-Villars libraire ^diteur a Paris : 1892. Congres de Pau : la Geometrographie. 1893. Congres de BesanQon : Complements de Geometrographie. 1894. Congres de Caen : Le rapport anharmonique etudie" au point de vue de la Geometrographie et application de la Geometrographie a la Geometrie descriptive. Enfin, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, tude sur le triangle et sur certains points de Geometrographie. REGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE ET TRANSFORMATION CONTINUE. PAR EMILE LEMOINE A PARIS. Tous les geometres ont pu remarquer que, dans un tres grand nombre de cas, un theoreme, une formule, se rapportant au triangle, etant donnes, il y avait des theoremes, des formules analogues paraissant se relier aux premieres; il me semble done etonnant que Ton n'ait jamais songe a chercher si des lois permettaient de deduire ces theoremes ou ces formules les uns des autres. C'est une de ces lois fort simple, la seule qui nous ait paru avoir vraiment de 1'importance, que nous allons donner ici sous le nom de regie des analogies ou de transformation continue. Expliquons d'abord les notations dont nous ferons usage. A, B, C; a, b, c designeront les angles et les cotes d'un triangle ABC; r, r a , r b , r c les rayons des quatre cercles tangents aux trois cdtes; 2p, S, R, le perimetre, la surface, le rayon du cercle circonscrit ; o> Tangle de Brocard ; 8, & a , S b , 8 C les quantites , 4>R-r a , 4tR-r b , 4>R-r c . THEOR^ME. Si Von a de'montre' une formule entre les elements du triangle, par exemple, f(a,b,c,A,B,C, r,r a ,r b ,r c , 2p,S,R,8,S a ,S b ,8 c , ...) = 0...(1), la formule suivante f(a, b, c, A, 7T B, TT C, r a , r, r c , r b , 2(p a), - 8, - R, - S a , - S, - 8 C , - B b . . .) = 0. . .(2) sera egalement vraie. C'est la formule (2) que nous appellerons la transformee continue en A de la formule (1). II est evident qu'il y a aussi des transformees continues en B et en C. 156 EMILE LEMOINE. Demonstration. Toute formule (1) entre les elements d'un triangle revient evidemment a une identity (A, B, (7) = entre les trois angles de ce triangle, car si Ton exprime tous les elements du triangle que contient (1) en fonction de a et des angles A, B, C, puis que Ton remplace dans (1) chaque element par sa valeur ainsi exprimee, a disparaitra a cause de 1'homogeneite et il restera une formule d'identite (A,B, (7) = ne contenant que A, B, C. Cela pose il est clair que < (A,B, C) = restera une identity si Ton remplace A,B,C par trois angles quelconques A', B', C', pourvu que Ton ait A' + B' + C' = TT. Si Ton suppose que A', B', C' sont des fonctions de A, B, C on peut en tirer A=MA',B',C'} B=MA',B',C') C=f s (A',B',C') et en rempla9ant dans 1'expression des elements du triangle qui entrent dans (1) A,B, C par ces valeurs, ils deviendront d'autres elements d'un triangle dont les angles seront A', B', (7; (1) se transformera done en une formule ou entreront les elements d'un triangle general dont les angles seront A', B', C' ; on aura ainsi une nouvelle formule entre les elements d'un triangle quelconque. II est clair que cette methode donne lieu a une varie'te infinie de transformations, mais nous n'en avons trouve jusqu'ici qu'une qui soit pratiquement feconde, simple et utile, c'est celle que nous obtenons en posant A=-A' B = 7T-B' C=7T-C' et c'est elle que nous appelons la transformation continue en A. Si Ton posait A=7T-A' B = -B' C = 7T C/ on aurait la transformation continue en B, etc. II reste a e'tablir que les elements a,b,c, r,r a ,r b ,r c> 2p, 2(p-d),2(p-b),2(p-c), S, R, 8,8 a> 8 b ,8 c> , etc. de ABO deviennent alors respectivement a, b, c,r a , r, r c , r b , 2(p a), -2p,2(p-c),2(p-b),-S, -R,-S a , -8, -8 C , -8 b> - to, etc. REGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 157 La chose est aisee ; en effet, en designant par X ce que devient x apres transformation, la formule - -j = 2R (puisque a est la quantit^ lineaire invariable qui disparait) devient - -; -p- = 2^; b c done R devient R: les formules - ~ = - ~ = 2 R deviennent sin B sin U i <* done -j 7 ~. = 7 7=r- = 222 ; done 6 et c deviennent sin (TT 5) sin (TT (7) 6 et c. S = ^bcsinA donne $ = ( 6). ( c)sin( A); done $ de- vient S ; les formules 8 = pr = (p a) r a = (p b) r^ = (p c) r c montrent que r, r a , r^, r c deviennent r a , r, r c , r^, puisque p, p a, p b, p c deviennent evidemment (p a), p, p c, p b. On a cotg co = cotg A + cotg B + cotg C d'ou COfcj co = cotg ( A) + cotg (TT J5) + cotg (TT C); done G> devient eo etc., etc. Notre theoreme se trouve ainsi etabli. On peut arriver a la transformation continue par voie geome- trique, c'est meme ainsi que nous y sommes parvenus et c'est aussi de la que nous avons tire son nom de transformation con- tinue. Nous allons indiquer la methode. Fig. (l). Fig. (2). Considerons un triangle ABC fig. (1) et une propriete generale quelconque de ce triangle ; elle aura evidemment lieu quelle que soit la position de A sur BA en supposant B, C fixes ainsi que la droite sur laquelle est le point A. Si la droite CA se meut dans le sens CBA en tournant autour du point C, apres que CA sera 158 EMILE LEMOINE. de venue parallele a BA, A se trouvera au-dessous de CB comme dans la figure (2) et la propriete generale du triangle ABC fig. (1) appartiendra certainement aussi au triangle ABC fig. (2). Seulement les noras des elements considered par rapport a la figure (1) pourront etre changes dans la figure (2). Cela devient evident par continuite. Ainsi, par exemple, ce qui est Tangle C du triangle de la figure (1) sera par continuite TT C du triangle de la figure (2), ce qui est Tangle B du triangle de la figure (1) sera TT B du triangle de la figure (2), le rayon r du cercle inscrit du triangle de la figure (1) deviendra par continuite le rayon r a du cercle exinscrit tangent au c6te BC et au prolongement des deux autres, du triangle de la figure (2) etc., etc. II suit de la qu'une propriete generale de la figure (1) qui est egalement une propriete generale de la figure (2), puisque c'est une propriete generale du triangle, pourra avoir un autre enonce dans le cas de la figure (1) que dans le cas de la figure (2). II serait tres facile d'etablir que la loi de derivation ainsi obtenue est precisement celle que nous venons d'etablir analyti- quement sous le nom de transformation continue. Nous n'avons parle d'abord que de transformation de formules, mais il est evident par tout ce qui precede, que les enonces des theoremes non reduits en formules peuvent subir une transformation iden- tique. II n'y a pas a insister la-dessus. Nous allons donner quelques exemples qui montreront Tusage et la fecondite de notre transformation : nous ferons remarquer aussi qu'une formule a laquelle on fait subir la transformation continue se reproduit quelquefois identiquement ; ainsi : a = b cos C + c cos B ; -: r = ~ = -^^ = 2R etc., etc. sm A sm B sin C Les formules ci-dessous donnent par transformation continue en A respectivement les formules : (b -c)(c-a)(a-b) = - (r b - r c ) (r c - r a ) (r a - r b ) (b -c)(c + a)(a + b) = ^-(r b -r c ) (r b + r) (r c +r) w ~~ a ar a + br b + cr c = 1p (2R -r) ar+ br c + cr b = 2(p- a) (2R + r a ) ar b r e + br c r a + cr a r b =288 ar b r c + brr b + crr c = REGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 159 ar a 2 + 6r 6 2 + cr c 2 = 2p (2R8 -p*) - ar a * + 6r c 2 + cr & 2 = 2 (p - a) [2S a - (p - a) 2 ] a 3 r a 2 + &V + cV = 8^ 3 [8JK 2 - 2Rr + 3r 2 -^ 2 ] - a a 2 + 6 3 r c 2 + c 6 2 = 8 ( j) - a) 3 [8R* + 2Rr a + 3r a 2 - (p - a) 2 ] r a 3 + r b 3 + r c 3 = S 3 - 12Ep 2 - r 3 + r b 3 + r c s = B a 3 - I2R (p - a) 2 r c r a + r a r b =p* r b r c rr b rr c = (p of A + ^ = | . JL + A + i = | (2B+r - c) + c (p - &) = 2y a S a a 2 ^ 2 + & (p - c) 2 + c 2 (p- 6) 2 = 2r a 2 [S a 2 -(p- a) 2 ] 7* 7* cos A + cos + cos (7 = 1 + -p cos J. cos B cos (7=1^ li si V 2 (p - b) (p - c) cos A = ^ (^? 2 - ^8) (p-b)(p-c)cosA+p(p-b)cosB+c(p-c)cosC=j3R$ a -(p-a) 2 ]. Ces formules, prises au hasard parmi un tres grand nombre d'autres que nous avons donnees dans de precedents memoires, suffisent pour montrer la facilit6 avec laquelle notre transforma- tion donne de nouveaux resultats dont beaucoup auraient ete, sans elle, bien difficiles a prevoir. Ce que nous avons dit suppose impliciteraent que les elements de la formule que Ton traite par transformation continue, sont determines sans ambiguite possible, c'est-a-dire qu'ils ne contien- nent point de radicaux, car ces radicaux entrainent analytique- ment un double signe ; s'il y a des radicaux dans 1'expression consideree il faut discuter le cas particulier qui se presente ; ainsi, la formule sin = \l -^ -- j-- -- '- semble donner par trans- formation continue en A : sin -^ = */ -- j^*- -- - , ce qui serait inexact, mais le radical comportant implicitement le double signe, 160 EMILE LEMOINE. la transformation continue en A correspond ici au signe et Ton A \ /( -^ = A / 2 / V a effectivement sin , . , V 2 / V be Par rapport a la transformation continue les points remar- quables, droites, courbes, formules, theoremes relatifs au triangle se divisent en quatre categories : 1. La transformation continue faite en A, en B et en C les reproduit sans modification, comrne nous 1'avons deja remarque. Exemples: le point de Lemoine*, la formule a = b cos C + c cos B, etc. 2. La transformation faite en A, en B ou en C donne des resultats differents entre eux et differents du premier. Exemples : le point dont les coordonnees normales sont b + c, c + a, a + b donne ainsi que nous le verrons plus loin respective- ment les points dont les coordonnees normales sont b + c, a c, a b;b c,a+c,b a',c b,ca,a + b. Ce sont les trans- formes continus en A, en B et en C du point donne b + c, c + a, a+b. ar a + br b + cr c = 2p (2R r), qui donne respectivement : ar + br c + cr b =2(p a) (2R + r a ) ar c + br + cr a 2 (p 6) (2r -t- r b ) ar b + br a + cr= < 2(p-c)(2R + r c ). Les 13 formules citees plus haut comrne exemples donnent aussi chacune trois autres formules par transformation continue. 3. La transformation continue faite soit en A, soit en B, soit en C reproduit une fois sans modification le point, la formule etc. Les deux autres donnent toutes deux un resultat pareil, mais different du point, de la formule etc. sur lesquels on opere la transformation. Exemple : la formule (b c) r b r c = S (r b r c ) se reproduit par transformation continue en A et, par transformation continue soit en B, soit en C, elle donne : * On appelle point de Lemoine le point dont IQS distances aux trois cotes d'lm triangle sont proportionnelles a ces cot6s. REGLE DBS ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 161 4. La transformation continue faite soit en A, soit en B, soit en C donne un m^me re"sultat mais different de celui que Ton transforme. Exemple : le point dont les coordonnees normales sont sin (.4 + 60), sin (B + 60), sin (C+ 60) devient par les trois trans- formations continues en A, en B, en (71e point dont les coordonnees normales sont sin (A 60), 8^(5 60), sin (C 60). (Voir plus loin la definition du point transforme' continu d'un point donne.) Je n'ai point rencontre de cas ou la transformation continue donne des combinaisons autres de resultats, comme serait celle-ci par exemple : La formule se reproduit par une des transformations et par les deux autres donne des resultats differents et differents entre eux. NOUVELLE TRANSFORMATION ANALYTIQUE DEDUITE DE LA TRANSFORMATION CONTINUE. Supposons que les coordonnees normales absolues d'un point M soient exprimees par les fonctions fa, fa, fa, ABC etant le triangle de reference. On aura : afa + bfa + cfa = 28 (3). Appelons fa a , < 2a , M ce que deviennent respectivement fa, fa 2 , fa par transformation continue en A. Appliquons maintenant la transformation continue en A a 1'egalite precedente (3), on aura: a faa - bfa a - C(j>. M = - 28. Cette egalite prouve qu'il y a un point dont les coordonnees normales absolues sont fa a , fa a , fa a - Ce point M a est ce que nous appelons le point transforme continu en A de M. On deduit de ce qui precede : Si Ton a une equation en coordonnees normales : $(x,y,z, a,b,c,...) = (\ sa transformee continue en A sera : < ( x, y, z, a, b, c, . . . ) = 0. Si des calculs operes avec diverses equations ont conduit a un certain theoreme, les diverses equations de ce calcul transformees G. P. 11 162 EMILE LEMOINE. en A conduiront directement a la demonstration de ce theoreme transform^ en A. II est clair qu'il n'est nullement besoin de passer par ces transformations successives et qu'il suffit d'operer la transformation sur le resultat final. Si Ton emploie les coordonnees barycentriques on verra facile- ment que M a , transform^ continu en A du point M, qui a pour coordonnees barycentriques fa, fa, fa, aura pour coordonnees ^la) ^m, faa en designant par fa a , fa a , ^^ ce que deviennent fa, "^2, ^s par transformation continue en A et aussi que 1'equa- tion ^(,y3, 7, a,b, c, ...) = aura pour transformee continue en A ^r(a,&7, a,-b,-c, ...) = 0. En coordonnees cartesiennes (CB axe des so, CA axe des y) le point transform^ continu M a du point M dont les coor- donnees sont X, Y aura pour coordonnees X a , T a en designant par X a , Y a ce que deviennent les fonctions X, Y en y faisant la transformation continue en A. L'equation F(X,Y,a,b,c,...) = devient ^ (Z, - F, a, - 6, -c) = 0. Remarquons encore qu'un point M simplement marque sur le plan n'a pas de transforms continu, cela n'a pas de sens, il faut que Ton donne ses coordonnees en fonction des elements du triangle ; il ne peut done y avoir de construction generale pour deduire M a de M ; la construction depend, dans chaque cas, exclusivement des fonctions qui definissent les coordonnees de M. Voici les principales proprietes generales, faciles a demontrer, de la transformation continue', quelques-unes rentrent 1'une dans 1'autre. 1. La droite de 1'infini a pour transformee la droite de 1'infini. 2. Les ombilics du plan se transforment 1'un dans 1'autre. 3. Le degre d'une courbe ainsi que sa classe se conservent. 4. Un cercle, une parabole ont pour transformes un cercle, une parabole. 5. Les transformees des tangentes a une courbe sont les tangentes a la courbe transformee au point transforme du point de contact ; d'ou les droites qui enveloppent une courbe se trans- forment en droites qui enveloppent la transformee de la courbe. REGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 163 6. Si n droites concourent en V leurs transformers concourent en V a transform e de V. 7. Si n points sont sur une droite L les transformed de ces n points sont sur L a transformee de L. 8. Si les longueurs de deux droites ou les valeurs des tangentes de deux angles sont dans un rapport numerique in- dependant des elements du triangle de reference, ce rapport se conservera dans la transformation. 9. Les divisions harmoniques, l'homographie, 1'homologie, Tin volution, 1'orthologie se conservent. 10. Des droites paralleles ou perpendiculaires se trans- forment en droites paralleles ou perpendiculaires. 11. Les foyers ou les sommets d'une courbe se transforment en les foyers ou en les sommets de la transformee. 12. Les valeurs des rapports anharmoniques des divisions transformees se deduisent par transformation continue des valeurs des rapports anharmoniques des divisions donnees. 13. La polaire d'un point par rapport a une conique se trans- forme en la polaire du point transforme par rapport a la conique transformee. 14. La distance de deux points transformed, la distance d'un point transforme a une droite transformee se deduisent par trans- formation continue de la distance des deux points donnes ou de la distance du point donne a la droite donnee, etc. Nous concluons de ce qui precede que toutes les fois qu'un geometre fera un travail sur le triangle et qu'il aura trouve un resultat, il devra y appliquer la transformation continue car il y trouvera souvent 1'avantage d'arriver, sans aucune peine, a de nouvelles proprietes, quelquefois assez difficiles a prevoir. Exemples : 1. M. Fuhrmann a donne dans le journal Mathesis 1890, p. 105 un tres interessant travail sur un cercle associe a un triangle ou il enonce de nombreuses proprietes fort curieuses de ce nouveau cercle ; la transformation continue montre immediate- ment qu'il y a trois autres cercles qui jouissent de proprietes analogues et auxquels le niemoire en entier peut etre applique avec les modifications indiquees par la transformation continue. 2. Par un point du plan d'un triangle ABC je mene les antiparalleles a BC, CA, AB qui coupent respectivement BC, CA, AB en 3 points et les autres cotes en 6 points. On a ce theoreme: 112 164 EMILE LEMOINE. Si est le point dont les coordonndes normales sont ar a (2R - r ), br b (2/2 - r b \ cr c (2R - r c \ les 6 points considerds forment un hexagone dont les cdtis sont tangents au cercle inscrit de ABC. (Voir Bulletin de la Societe mathdmatique de France, Tome xiv., page 122, Probleme viii.) Par transformation continue en A on voit immediatement que : Si est le point dont les coordonnees normales sont - ar (2R + r), br c (2R - r c ), cr b (*2R - r b \ les 6 points forment un hexagone dont les cdte's sont tangents au cercle ex-inscrit de ABC qui est tangent a BG et au prolong ement des deux autres cotds. 3. Si Ton suppose demontree la formule p (2a -p) = r a r b + r a r c - r b r c , on en tire immediatement par transformation continue en A la formule p* a z = rr b + rr c + r b r c etc., etc. La transformation continue s'applique au tetraedre, nous n'indiquerons que la transformation fondamentale dont tout derive. Si dans une formule quelconque representant une propriete generale d'un tetraedre dont nous appellerons a, a' ; b, b' ; c, c les trois couples d'aretes opposees, on laisse a, b, c, aretes d'une memeface, invariables, et que I' on change a', b', c' respectivement en a', b', c', la nouvelle formule sera encore exacte. REFERT : E. Lemoine, Congres de Marseille, association frangaise pour Vavancement des sciences, 1891, pages 118 130. Congres de Besanqon, association frangaise etc. 1893, Application au tetraedre de la transformation continue. Mathesis, 1892, pages 5864, 8192. ,, Nouvelles Annales de Mathematiques, pages 20 36, 1893. ,, Journal de Mathematiques elementaires, public par M. de Longchamps, 1892, pages 62, 91, 103. A. Poulain, Journal de Mathematiques elementaires, public par M. de Longchamps, 1892, pages 110, 136, 151. Ch. Michel, Journal de Mathematiques elementaires, public" par M. de Longchamps, 1893, pages 29 33. SUR UNE INTEGRALE DEFINIE QUI REPRE- SENTE LA FONCTION () DE RIEMANN. PAR M. LERCH A PRAGUE-YINOHRADY. LA serie infinie convergente lorsque la partie reelle de s est superieure a un, est I'&dment d'une fonction uniforme (s) qui existe dans tout le plan de la variable s. Pour 1'obtenir sous la forme d'une integrale toujours convergente observons d'abord que Ton a ou bien ou Ton a pose', pour abrdger, 1111 Cela e'tant, il suffit evidemment d'exprimer la fonction \ (s) sous la forme voulue pour parvenir a notre but ; on y parvient a 1'aide de la formule e -xz ^ z _ W7r i)~ s dz que nous avons donnee dans un memoire tcheque public dans les Memoires de 1'acade'mie tcheque 1892. En y prenant # = et w = ^, le premier membre devient 2 s \(s) et Ton a, par conse- quent, La convergence de 1'integrale exige que la partie re'elle de s soit supe'rieure a un, mais il est aise d'en tirer une mte'grale 166 M. LERCH. toujours convergente. De'composons en effet 1'intervalle de 1'inte- gration ( oo . . . oo ) en deux autres ( oo . . . 0) et (0 . . . oo ) et observons que Ton a iri\- - dz l+ie~ z Jo 1 + I* (z - } dz \Z ^ | (LZ \ ^ s 1 1 te 2 En substituant la somme de ces deux integrates dans la formule (c) il vient ZTT ou en changeant ^ en -^- : / i J f 00 Or 1'integrale I qui figure au second membre pouvant s'^crire s / pizarctgz ,, igarctgz - 1-ie _8 + 1) (sin (sarctgz) - d** z cos (sarctgz)} I+e*" ou de meme, apres la substitution z = tg, IT _ . f 2 sin sd> - e^o* cos s 2t J ~iT^^~ liquation (rf) deviendra / \ ^ / \ 2 *~ 2 (6) X( S ) = --2 ce qui est la formule a laquelle nous voulions parvenir. ON THE DEFINITIONS OF THE TRIGONO- METRIC FUNCTIONS. THE PRINCIPLES OF THE ELLIPTIC AND HYPERBOLIC ANALYSIS. BY ALEXANDER MACFARLANE OF AUSTIN. [These two papers have since been published as separate pamphlets by the author. No abstracts have been furnished for publication here. Editors.] ON FIFTH-POWER NUMBERS WHOSE SUM IS A FIFTH POWER. BY ARTEMAS MARTIN OF WASHINGTON. IT is known that the sum of two fifth-power numbers cannot be a rational fifth power, but, so far as the present writer knows, it has not been proved that the sum of three, of four, and of five fifth-power numbers cannot be a fifth power. The writer, however, has not been able to discover fewer than six fifth-power numbers whose sum is a fifth power, and thus far has succeeded in finding only two such sets, although probably many exist. In the present state of algebraic science, fifth -power numbers whose sum is a fifth power can be most easily found by resorting to some artifice or some tentative process, two of which methods it is the object of this paper to present. 1. Take any two numbers p and q and put p s q 5 = d; then, by transposition q s + d=p 5 (A). Now if d can in any way be separated into fifth-power numbers, all different and p 5 not among them, we shall obviously have q 5 + (these fifth-power numbers) = p 5 (B). Examples. 1. In (A), take p = 12, # = 11 ; then we have d = 87781 = 9 5 + 7 5 + 6 5 + 5 5 + 4 5 ; therefore by (B), 4 5 + 5 5 + 6 5 + 7 5 + 9 5 + II 5 = 12 5 , six fifth-power numbers whose sum is a fifth power. 2. Take p = 30, q = 29 ; then d = 3788851 = 19 3 + 16 3 + II 5 + 10 5 + 5 3 ; therefore o 5 + 10 5 + II 5 + 16 5 + 19 5 + 29 5 = 30 5 , another set of six fifth-power numbers whose sum is a fifth power. ON FIFTH-POWER NUMBERS. 169 3. Take_p = 32, ? = 31, then d = 4925281 = 18 5 + 16 5 + 15 s + 14 5 + 13 5 + II 5 + 10 5 + 8 s + 7 5 + 6 5 + 3 5 ; therefore 3 5 4- 6 5 + 7 5 4- 8 5 4- 10 5 + II 5 + 13 5 4- 14 5 4- 15 5 + 16 5 + 18 5 + 31" = 32 s , twelve fifth-power numbers whose sum is a fifth power. 4. Take_p = 20, q = l9; then d = 723901 = 13 5 + 12 5 + 9 5 + 8 5 + 6 5 + 5 5 4- 4 3 + 2 5 + I 5 + I 5 ; therefore 1 + IB -f 2 5 + 4 5 4- 5 5 + 6 5 4- 8" + 9 5 + 12" + 13" + 19 5 = 20 5 , in which I 5 appears twice, a remarkable set. 5. Take p = 22, q = 21 ; then d = 1069531 = 16 5 + 7 5 + 5 5 4 4 3 - I 5 ; therefore 4 5 + 5 5 + 7 5 + 16 5 4- 21 5 = I 5 + 22 5 . 6. Take p = 36, q = 33 ; then d = 21330783 = 27 5 + 21 5 + 18 5 + 15 5 + IP 4- 9 5 + 7 3 + 6 3 + 5 5 + 4 5 ; therefore 4 5 + 5 5 + 6 3 4- 7 3 4- 9 5 + II 5 + 15 3 + 18 5 + 21 5 + 27 5 + 33 5 = 36 5 . 7. Take p = 40, q = 39 ; then d =12175801 = 25 5 + 17 5 + 13 5 4- 12 5 + IP + 10 5 + 9 5 + S 5 + 7 5 + 3 5 + 3 5 4- 2 5 + I 5 ; therefore 1 + 2 5 4- 3 5 + 3 5 4- 7 5 4- 8 5 4- 9 5 4- 10 5 4- II 5 + 12 5 4- 13 5 4- 17 5 4- 25 5 4- 39 5 = 40 5 , in which 3 5 appears twice. 8. Take p = 51, q - 50 ; then d = 32525251 = 30 s 4- 23 5 4- 16 5 + 13 5 + 12 5 4- 10 5 + 7 5 4- 5 5 + 4- 2 5 ; ... 2 5 + 3 5 4- 5 5 4- 7 5 4- 10 3 + 12 5 + 13 5 + 16 5 4- 23 5 4- 30 5 4- 50 5 = 51 5 . Also, 32525251 = 30 3 4- 20 3 4- 19 5 4- 1 7 3 4- 15 5 4- II 5 4- 10 5 4- 9 s 4- 8 5 4-7 5 +3 5 4-3 3 4-l 5 4-l 5 ; ... p + l + 3 4- 7 3 + 8 s 4- 9 s 4- 10 s 4- IP 4- lo 5 4- 17 5 4- 19 5 4-20 3 + 30 5 4-50 5 =51 5 , another set in which I 5 appears twice. 170 ARTEMAS MARTIN. II. Put 8 (a?) = P + 2 5 + 3" + 4 s + 5 5 + . . . + of, = ^a?(a? + l) (2^ + 2^-1) ......... (C). Assume b 5 less than 8 (a?) and put r for their difference, and we have S(a?)-b* = r, or by transposition of b 5 and r, r = fr ........................ (D). If r can be separated into fifth-power numbers, all different and none of them greater than of, we shall evidently have 8 (a?) (these fifth-power numbers) = b 5 ......... (E). I devised this formula in 1887, and have used it in finding square numbers whose sum is a square ; cube numbers whose sum is a cube ; biquadrate numbers whose sum is a biquadrate ; fifth- power numbers whose sum is a fifth power, and sixth-power numbers whose sum is a sixth power. See the Mathematical Magazine, Vol. n., No. 6, pp. 89 96 ; Quarterly Journal of Mathematics, No. 103, pp. 225227. Examples. 9. In (D), take x = 11 ; then S (ar 5 ) = 381876. Take 6 = 12, then r = 133044 = 10 5 + 8 5 + 3" + 2 5 + 1 5 ; therefore, by (E), I 5 + 2 5 + 3 5 + . . . + 1 1 5 - (I 5 + 2 5 + 3 5 + 8 5 + 10 5 ) = 12 5 , or 4 5 +5 5 + 6 5 + 7 5 +9 5 + ll 5 = 12 5 , the same as found in Ex. 1 by the first method. 10. Take x = 22, then 8 (of) = 2157103. Take 6 = 24, then r = 13608409 = 21 5 + 20 5 + 19 5 + 17 5 + 16 5 + lo 5 + 13" + 12 5 + 3 5 + 2 5 + l 5 ; therefore, by (E), 45 + 55 + 6 . 5 + 75 + 85 + 95 + io + 1 1 + 14 5 + 18 5 + 22 5 = 24 5 . 11. Take x = 35, then 8(x s ) = 333263700. Take b = 50, then r = 20763700 = 26 5 + 24 5 + 14 s + II 5 + 10 5 + 9 5 + ... + I 5 ; 12 5 +13 5 + 15 5 + 16 5 + 17 5 +... + 23 5 + 25 5 + 27 5 + 28 5 + 29 5 + . . . + 35 s = 50 5 . ON FIFTH-POWER NUMBERS. 171 Also, 20763700 = 26 5 + 24 5 + 14 5 + 12 5 + 10 s + 8 5 + 3 5 + 2 5 + 1 5 ; ... 45 + 5 5 +6 5 +7 5 +9 5 + ll 5 + 13 5 +15 5 + 16 5 +l7 5 +... + 23 5 + 25 5 +27 6 +28 5 +29 5 +... Again, 20763700 = 26 6 + 22 5 + 1 9 5 + 16 5 + 10 5 + 9 5 + 8 5 + 6 5 + 5 5 + 4 5 + 3 5 + 2 s ; + 23 5 + 24 5 + 25 5 + 27 5 + 28 5 + 29 5 + . . . + 35 5 = 50 5 . 12. Take a? = 46, then S(a?) = 1683896401. Take & = 70, then r = 3196401 = 17 5 + 15 5 + 14 5 + 13 5 + 10 5 + 6 5 + 3 5 + 2 5 + 1 5 ; . -. 45 + 55 + 75 + 8 s + 95 + 115 + 12 s + i(j6 + is 5 + 19 5 + 20 5 It may be well to remind those who would object to these methods on the ground that they are tentative and not rigorous because d and r have to be separated into fifth-power numbers by trial, that all inverse methods in arithmetic and the higher branches of mathematics are tentative and depend upon trial division, extraction of the square and cube roots are tentative processes and depend upon trial. "The process of Integration is of a tentative nature, de- pending on a previous knowledge of differentiation, as explained in Chapter I.; just as Division in Arithmetic is a tentative process, depending on a knowledge of Multiplication and the Multiplication Table." GREENHILL'S Differential and Integral Calculus, Second Edition, page 84. In finding these sets of fifth-power numbers whose sum is a fifth power I have used Barlow's Tables, edition of 1814, which contains on pp. 170-173 a table of the first ten powers of all numbers from 1 to 100, and on pp. 176-194 a table of the fourth and fifth powers of all numbers from 100 to 1000. The use of these tables very materially facilitates the work. To further facilitate the work I have formed the appended table of the values of S (x 5 ) for all values of # from 1 to 60 by means of the formula checking the work at intervals by the formula 8 (a?} = JL a? (x + I) 2 (2# 2 + 2x - 1). 172 ARTEMAS MARTIN. X S{") X 8(afi] X aw I 1 21 16417401 41 850789401 2 33 22 21571033 42 981480633 3 276 23 28007376 43 1128489076 4 1300 24 35970000 44 1293405300 5 4425 25 45735625 45 1477933425 6 12201 26 57617001 46 1683896401 7 29008 27 71965908 47 1913241408 8 61776 28 89176276 48 2168045376 9 120825 29 109687425 49 2450520625 10 220825 30 133987425 50 2763020625 11 381876 31 162616576 51 3108045876 12 630708 32 196171008 52 3488249908 13 1002001 33 235306401 53 3906445401 14 1539825 34 280741825 54 4365610425 15 2299200 35 333263700 55 4868894800 16 3347776 36 393729876 56 5419626576 17 4767633 37 463073833 57 6021318633 18 6657201 38 542309001 58 6677675401 19 9133300 39 632533200 59 7392599700 20 12333300 40 734933200 60 8170199700 III. When we have found one set of numbers the sum of whose fifth powers is a fifth power other sets may be deduced from it. If e 5 +f 5 + g* + h 5 + ..................... =w 5 ......... (F), we have obviously (me) 5 + (mfj + (mg) 5 + (mlif + ......... = (mw) 5 ...... (G). Now if m be so taken that w = me, mf, mg, mh, or some other one of the numbers in (G), we can substitute e 5 +f 5 + g 5 + h 5 + ... for the fifth power of that number and thus obtain another set of fifth powers whose sum is a fifth power, if all the numbers in the left-hand member of (F) are different from those in the left-hand member of (G) except the one substituted for. Examples. 13. Multiply the set in Ex. 1 by 2 5 , and substitute the value of 12 5 , and we have 45 + 55 + 6 5 + 75 + 8 s + 95 + 10 which is the set found in Ex. 10. 145 + 18 5 + 22* = 245, ON FIFTH-POWER NUMBERS. 173 14. In Ex. 1, take m = 5 and substitute the value of 30 5 from Ex. 2, and we have 55 + 10* + us + 16 5 + 195 + 20' + 25 5 + 29 5 + 35 5 + 45 8 + 55 5 = 60 5 . 15. In Ex. 3, take m = 4 and substitute the value of 12 5 from Ex. 1 and we have 4 5 + o 5 + 6 5 + 7 s + 9 5 + II 8 + 24 8 + 28 s + 32 5 + 40 5 + 44 5 + 52 5 + o6 5 + 60 5 + 64- 5 + 72 5 + 124 5 = 128 5 . 16. In Ex. 1, take m = 5, and in Ex. 3, take m = 4 ; substitute the value of 60 5 thus obtained from Ex. 1, in the set obtained from Ex. 3 and we have 12 8 + 20 5 + 24 5 + 25 8 + 28 5 + 30 5 + 32 5 + 3o 8 + 40 5 + 44 5 + 45 5 + 52 5 + 55 5 + 56 5 + 64 5 + 72 5 + 124 5 = 128 5 . 17. In Ex. 16, substitute the value of 30 5 from Ex. 2, and we have 55 + iQs + 11* + 1 2 5 + i 6 s + 19 5 + 2Q5 + 24 5 + 25 5 + 28 5 + 29 5 + 32 5 + 35" + 40 6 + 44 5 + 45 5 + 52 5 + 55 5 + 56 6 + 64 5 + 72 5 + 124 5 = 128 5 . 18. In Ex. 10, take m = 2 and substitute the value of 12 5 from Ex. 1 and we have 4 5 + o 5 + 6 5 + 7 5 + 8 5 + 9 5 + 1() 5 + 1 1 5 + 14 5 + 18 5 + 20 6 + 22 5 + 28 6 + 36 5 + 44 5 = 48 5 . 19. In Ex. 10, take m = 3 and substitute the value of 30 s from Ex. 2 and we have 55 + 1Q6 + us + 12 + 15 5 + 16 6 + 18 5 + 19 5 + 2F + 24 5 + 27 5 + 29 5 + 33 5 + 42 5 + 54 5 + 66 5 = 72 5 . 20. In the second set of Ex. 11, take m = 2, and substitute the value of 12 5 from Ex. 1 and we have 45 + 55 + 6 5 + 75 + 8 5 + 95 + 1Q 5 + H5 + 145 + JgS + 22 5 + 26 5 + 30 5 + 32 5 + 34 s + 36 5 + 38 5 + 40 5 + 42 5 + 44 5 + 46 5 + 50 5 + 54 5 + 56 5 + 58 5 + 60 5 + 62 5 + 64 5 + 66 5 + 68 5 + 70 5 = 100 5 . In this way may be found an infinite number of sets of fifth- power numbers whose sum is a fifth power. I am not aware that any other person than myself has ever 174 ARTEMAS MARTIN. discovered any sets of fifth-power numbers whose sum is a fifth power. In my search for fifth-power numbers whose sum is a fifth power I have discovered the following equalities : I 5 + 6 5 + 9 5 + II 5 + 22 5 = 12 5 + 16 5 + 21 5 , I 5 + o 5 + 10 5 + 13 5 + 14 5 = 8 5 + 9 5 + II 5 + lo 5 , 10 5 + II 5 + 12 5 + 13 5 + 17 5 + 25 5 = I 5 + 5 5 + 7 5 + 21 5 + 24 s , 9 5 + 11 s + 12 5 + 13 5 + 16 5 + 18 5 = I 5 + 6 5 + 8 5 + 14 5 + 20 8 , 10 5 + 22 5 + 32 5 + 38 5 + 58 5 = 25 s + 30 5 + 3o 6 + 45 5 + 55 B , 2 s + 4 5 + o 5 + 6 5 + 14 5 + 20 5 + 24 5 = 3 5 + 7 5 + 10 5 + II 5 + 12 8 THE INVARIANTS OF A GROUP OF 2-168 LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONS. BY HEINRICH MASCHKE OP CHICAGO. IN the theory of Jacobian modular equations of the 8th degree there is of paramount interest a group G of 2'168 linear quaternary substitutions which is isomorphic with the Galois-group of the modular equation. This group occurs again as a subgroup of a group derived by Prof. Klein from line-geometry* and consisting of 7 ! linear quaternary substitutions. The paper which I have the honor to present to the Congress is devoted to the investigation of the invariants of this quaternary group G. Throughout the following pages an " invariant of a group " is always understood to be an integral function which remains absolutely unchanged when operated upon by the substitutions of the group. We have to deal with only homogeneous integral functions. The word " function " without any further attribute will therefore always denote a homogeneous integral function of the variables. 1. The group G. The group G is defined by the three following substitutions 8, T, Q which, in all possible combinations, generate the 2' 168 substitutions of G. * Klein: " Ueber Gleichungen 6. und 7. Grades." Math. Annalen, vol. 28, pag. 499. 176 H. MASCHKE. t ' t LI tj , J t 2 ' = yt 2 , o : i ' 3 ' = 7%> t;=j%, V-7.t,' = t, + t 2 +t 3 +t t , V -~7 . t/ = 2^ +( 7 2 + T 5 ) ^ + (T 3 + T 4 ) * 3 + (7 + 7 6 ) <4, v ...ax where 7 = e 7 (2). The determinant of each of these substitutions is unity. The above substitutions become identical with Prof. Klein's formulas given in Math. Ann. vol. xv. p. 269, by taking: It is one of the most essential features of the group G, as Prof. Klein has shown *, that the 3 quadratic expressions : yield the well-known group of 168 ternary linear substitutions, if the 4 quantities t are substituted by the 2168 formulae of G. For further investigation we have to direct our attention especially to two subgroups of G. The first let us call it Gj, consists of 21 substitutions and is generated by S and T (see formulae 1). This group leaves ^ abso- lutely unchanged and is therefore a ternary group. The second subgroup, G 2 , is generated by T and Q (I) only, and can be resolved as we shall see in 3 into a binary group. The plan of investigation is now based upon the idea that every invariant of G must also be an invariant with regard to G! and G 2 . Combining then the properties of the invariants of G l with those of the invariants of (? 2 we obtain the invariants of the main-group G. * Cf. Math. Annalen, vol. 15, pag. 271. A LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONGROUP. 177 2. Invariants of G^. The following functions remain evidently unchanged by S and T (1) and therefore by all the 21 substitutions of GI : 1 2*3*4 = fl, *2 '3 r ^3^4 T *4 "2 == /*> (4). ^2 ~T~ t*3 "r ^4 ^~ ^y But moreover: These 5 quantities (4) constitute the complete system of invariants of the ternary group G 1} i.e. every invariant of G! is an integral function of a, /?, 7, 8, e*. As to the proof I must refer to a paper which will appear very soon in the American Journal of Math, concerning ternary groups which leave the product 2 ^4 unchanged +. I shall give there a complete investi- gation of the invariants of the groups in question. There exist two relations between the 5 quantities (4) viz. : J3> + S 2 - 7 e + 9a 4 = 0, .(5). 3. The subgroup G* In order to reduce the substitutions of this group to a simpler form we put : 7/2= 2/4= where and accordingly = - - 2/1 + 2/ * There will be no confusion, I think, if y and e are used for different notations in (2), (7) and (4). t Am. Journ. of Math. Vol. 17, No. 2. c. P. 12 178 H. MASCHKE. The effect of T and Q (1) on the 4 quantities y is now this : ,' = and ^-I'*;-**'L ..(13). 2/4 = ey 4 , V- 7. T// = 7722/3,' This is a dihedron-group for n = 3 and its complete system of invariants is given by the three functions i)jrt ......... (14) " = y&* L(3e + i) y 3 6 + (3 6 > + 1) y/], ) with the relation v 2 = X (^ 2 + 28X 3 ) ..................... (15). Every invariant Z7 (12) is therefore an integral function of X, ft, v. With regard to U, V, W it may be remarked that either function must be of an even degree in the variables y and therefore A LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONGROUP. 179 also in the variables t (8). This follows immediately from the fact that the second power of the substitution Q (9) is simply : 4. Brioschi's formulae. Before trying to derive conclusions about the nature of the invariants of the principal group G from the results of 2 and 3 it will be advantageous to avail ourselves of some results bearing on the connection between our group G and the theory of Jacobian equations. A Jacobian equation of degree n + 1 taken in the general sense, that is, independent of the theory of elliptic functions, is an equation the square roots of the n + 1 roots of which are ex- n + 1 pressible linearly in terms of <, quantities t lt t z , ... t n+ i and co- 2 ~T efficients which are merely numerical irrational numbers, viz., in essence, rath roots of unity*. Let us denote in the case n = 7 the 8 roots of the Jacobian equation by x x> as 0i x l} x 2 , ... # 8 , and the square roots of these quantities by P&, P , P 1 ,...P 6 respectively. We have then in this case the formulae -Poo = V 7 . 1; P v = *i + 7r where 7 is again defined by (2). The following theorem due to Prof. Klein -f- is of fundamental importance in the theory of Jacobian equations : " Those permutations of the quantities P = *Jx which constitute the Galois group of the Jacobian equation are produced by a group n -t- 1 of linear substitutions of the quantities t ly t 2 , ... t n+ i" * ~2~ This group of linear substitutions is now in the case n = 7 precisely our group G given by formulae (1). Thus we see that the 8 quantities P or more exactly P are only permuted * Jacobi, Ges. Werke, vol. i., pag. 261. t Klein, " Ueber das Icosaeder." Math. Annalen, vol. 12, pag. 519. 122 180 H. MASCHKE. among themselves if the t's are operated upon by the substitutions of G. The formulae corresponding to 8, T, Q in (1) are these :* S-. P;=P, +I , T: PJ = P V , (P ' - P I * 00 - 0, P' P I -* ' J oo, p, /* S -A i. ^ Q: (17). for v = l, 2, ...6. It follows at once that every symmetrical combination of the 8 quantities P 2 (16) is certainly an invariant of our group G. Also the product of the first powers of the 8 P's is an in- variant as can be seen directly from formulae (17). The product P x 'P 'Pi...P 6 ', when Q is applied, contains 4 negative signs, viz. : P ' P P ' - P P' - P P' P LO -L oo, -t 3 - * -LS - -*4, *i ~ -LI- Let us denote this invariant of the 8th degree by \f 7 -T s , so that we have 1 .(18). p _ * p p p p , T^f - V" As to symmetrical combinations of the P 2 we see that they are determined completely by the coefficients of the Jacobian equation, the roots being just our quantities P. These coefficients have been calculated in full length by Brioschif in terms of ^ and the following functions of t a , t 3 , t 4 : (19). V 3 + t? J&4 = a % = b + tytf + 1 **4 n . ** a = d i Taking up the notation (4) of 2 we have , e = e ... (20), * Cf. Math. Annalen, vol. 15, pag. 269. t Brioschi, "Jacobische Gleichungen achten Grades." Math. Annalen, vol. 15, pag. 241. A LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONGROUP. 181 and the 2 relations (5) are now transformed into ^ '' We see that Brioschi's result agrees precisely with our state- ment laid down in 2 that every invariant of G must be an integral function of t lt a, /3, 7, S, e. Brioschi writes the Jacobian equation in this form: a? - HAx 6 + l^Bo? - 7(7# 4 + 14ZV - 7Ea? -f (49^ - H 2 ) x - ItfH* = (22), and he finds for the coefficients the following expressions : A = 2V + Gat! + b, ^ C = 30^ 8 - 252a^ 5 + 14&V + 140c^ 3 + 42 (2a 2 + d) t? + 2(14a6 + eK + 7(8ac- - 4 (14a6 + 3e) ^ 3 + 1 4 (b 2 - 12ac) tf + 14 (be - \ + nd - 14c 2 - 2ae, [ (23). E = 20^ 12 - I72a^ 9 + 1906^ 8 - SGOc^ 7 + 28 (38a 2 - d) if - 4 (126a6 - 19e) t, 5 + 14 (96 2 - 32ac) tf - 28 (56c - Wad) tf - 2 (496d - TOc 2 - 2Qae) tf + 2 (Ucd - 3be) ^ + 4ce - 7d 2 , From these formula3 we derive directly a number of invariants of G. A and B are the only invariants of their respective degrees. Instead of C a combination of C, A 2 and F 8 (18) can be taken and similarly the higher invariants can be replaced by suitable combi- nations. In the formulae (25) these combinations are so taken as to render the coefficient of ti as simple as possible ; this proves to be convenient for further calculations. The term ItiH* is evi- dently IV (18) and we have therefore in full length : / 8 _L 1 4 12 = ^[7(&- + AC + 35A 3 ) - VIE] = 26^ 12 + 202<> - 336^ + 120c^ 7 + 14 (13a 2 + d) tf + (378a6 - 23e) if + 7 (35ac - 26 2 ) tf + 14 (49a 3 - lOad + 5bc) tf + 2a(10e + 49ai)^ 2 +(49a 2 c + 49a6 2 - "ted + 2be)t, + ce, 3> M = 49^ 2 F- H z = 48^ 14 + 7 . 24a^ n + 7 . 446^ - 28 . 57cV + 63 (21a 2 + 22rf) ^ 8 - 8 (37e + 490a6) t, 7 + 4 . 49 (12ac + 56 2 ) ^ 6 + 196 (load - 136c) ^ 5 + 14 (13 . 14c 2 - 86ae - 7bd) tf + 28 (llbe - 4,2cd) tf - 16ce) a 2 + 14^ - e 2 . 5. Construction of the invariants of G. Using the letter M* to denote any invariant of G, we know from the results of 2 and 3 that : (1) Every invariant M* is an integral function of t lf a, /?, 7, , e (4). (2) Every invariant ^ is an integral function of the functions U, V, W (12), where in particular the U's are integral functions of \, p, v (14). Let us put now ^ = in M^ and accordingly also y x = (8), and let us call "^o the corresponding value of ^P. Then ^ will be a function of a, y3, 7, 8, e, or, if written in the y's, of the functions U , F , W derived from U, V, W by putting y^ = 0. (There is evi- dently U Q = U.) The problem is now, to find those combinations of a, /3, 7, S, e which are at the same time functions of U, V , W . But it has been shown at the end of 3 that M* must be of an even degree, Therefore only these combinations of a, @, 7, 8, e can be admitted : a 2 , /3, 8, ay, oe, 7 e, e 2 .................. (26). The quantity 7* which is also even can be omitted because, owing to (5), 7 2 is expressible in terms of the other quantities. A LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONGROUP. 183 The invariants < (25) have the following values for ^ = : 6 12 =ce=y (7a/3 + e), > (0) _2 /*7/v/9 _1_ c\2 V ' e (tap + ey, Now it is obvious that the quantities (26) are expressible as integral functions of a 2 , b, A, ac, ae, ce, e 2 (28), and conversely, where A stands for 14a 2 + d = 15a 2 + 8. Thus we may say : The leading term of any invariant W that is that term of M* which does not contain ^ is an integral function of the quantities (28). If we write the 2 relations (5) or (21) in a, b, c, A, e, we find : c 2 +ae + 7a 2 6-6A = j / Since now the leading terms (27) of our invariants ; are given exactly by the quantities (28) except a 2 , it will be possible to make any combination of b, A, ac, ae, ce, e 2 a leading term of some in- variant M? which will be given by a proper integral combination of the invariants 3> t -. Combining this result with what was stated at the beginning of this paragraph, we may say : Every integral function of b, A, ac, ae, ce, e 2 is a function of U, Fo, W . We have now to find the condition under which an integral function of the preceding quantities b, A, ac, ae, ce, e 2 and of a 2 can be a function of U, V Q , W . But according to (29) a 4 can be reduced to a 2 and the other quantities and therefore any integral function of the quantities (28) can be reduced to a 2 f(b, A, ac, ae, ce, e 2 ) + g (b, A, ac, ae, ce, e 2 ), where the second part g not containing a 2 is a function of U, F , W owing to the above given theorem. 184 H. MASCHKE. The problem is now reduced to the examination of the equation : a*.f(b, A, ac, ae, ce, e 2 ) = F(U, F , TT ) (30). Let us expand / according to powers of e 2 . We notice that all those terms which contain e 2 and its higher powers are functions of b, A, ac, ae, ce, & only, since a 2 . e 2 * = (ae) 2 . (e 2 ) A ~ 2 . Hence all these terms are functions of U, F , W , and we have now an equation a\(b, A, ac, ce, ae)=G(U, F , TF ) (31). In this function < we may suppose that ae, ce, ae occur only in the first power because all the higher powers of c and those powers of a which are higher than a 3 can be reduced by formula (29). Equa- tion (31) can then be written a? [^ (b, A) + acfa (b, A) + ce 3 (b, A) + ae^(b,^)] = G(U,V ,W ) (32). But a 2 . ce = (ac) (ae) and from (29) we find 27a 3 e = 6 4 + 26 2 ac - bee + 6A 2 - 27 (ac) 2 (33). The 3rd and 4th term of the left side of (32) are therefore again expressible in terms of U, F , W , and we obtain a[fc(6, A) + ac0 2 (6, *)] = H(U, F., W ) (34). In this equation let us put now y 2 = ; that is, we have to put in a, b, c, A, which are given as functions of t z , t 3 , t t : 3 2 = 2/3 + 2/4, 3 3 = e 2 2/ 3 + 63/4, 3 4 = 62/3 + e 2 2/4, according to (8). Thus we find that, save a non-vanishing nu- merical factor, the values of a, b, A for 2/2 = are given by o = 2/s 3 + 2/4 3 , b = X, A = fi, (ac\ = X 2 - v, where X, p, v are the quantities defined by (14) and (15). In the term H (U, F , W ) in (34) F and W vanish for y, = since they are homogeneous in y^ and t/ 2 as shown in 3, while U is not affected at all. But U is itself an integral function of \, /z, v, and so we obtain the equation : i (X, /*) + (X 2 - i,) 2 (X, /*)] = f (X, /*,!/).. .(35). A LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONGROUP. 185 The left side of this equation cannot vanish identically except when 0! and $2 are both zero, because the only relation between \, p, v is given by (15) i/ 2 = X (/i 2 + 28\ 3 ). It should be noticed that in order to make this conclusion it was necessary to dispose of the quantity e in equation (30) and the following equations on account of e = for y 2 = 0. Now it can be shown at once that equation (35) cannot subsist, for, applying the substitution - . y> = wjt, ^ - 7 . yi = 1722/3, all terms remain unchanged except the factor y s 3 + y t 3 . By this the following theorem has been proved : The leading term of any invariant ^ of our group G is an integral function of the quantities b, A, ac, ce, ae, e 2 . 6. The complete system of invariants of G. Let us denote by < any integral function of the 6 expressions 3>i (25) ; let be that value of < which is obtained by putting ti = 0. Then we know that < will be some function of b, A, ac, ae, ce, e z . Let now any invariant ^ of G be ^ = + t, . F. There will exist some function whose term < will be pre- cisely ^Po since, owing to the result of 5 ^o, as the leading term of the invariant ^, is also expressible in terms of b, A, ac, ae, ce, e 2 . We have then ^^ + t l .G. Hence V - = t 1 (F - G). But the appearance of ^ as a factor of an invariant involves at once the appearance of the whole function F 8 (24) as a factor, this function being the product of all those terms into which ^ is trans- formed by the substitutions of G. Thus it follows ^-0 = r 8 .^', and in this equation W must again be an invariant of G. Apply- 186 H. MASCHKE. ing the same method again to ^', etc., we obtain a set of equations " = " + W", etc., and finally = + T^' + r 8 2 <" + r 8 3 <" ' + . . . , where <, <', 0", " are integral functions of the 6 invariants 3>; (25). So we have reached the following result : Every invariant of G is an integral function ofT 8 , 3> 4 , 3> 6 , 3> 8 , 3V ^m 3>i 4 , defined by (24) and (25). These 7 functions constitute therefore the complete system of invariants of G. 7. Relations between the forms of the complete system. There must exist 3 relations between the 7 invariants of the system, the number of independent variables being 4. These relations are of the 20th, 22nd and 24th degrees in the 4 variables t ; they are given by these 3 equations : (1) 73V (3> 4 3 + 3> 6 2 - 3> 12 ) + 273> 10 (3> 4 3> 6 + 3> 10 ) + 3> 8 (143V - 7 . 273> 4 3> 8 + 273> 12 ) + (133V - 293> 4 3> 8 - 3V + 3> 12 ) T 8 - 23> 4 F 8 2 = 0, (2) 3> 10 3> 12 + 3> 8 3> 14 + 7 (<1V 3> 6 -h 3> 6 3> 8 + 3> 4 3> 10 ) T 8 - 3> 6 r 8 2 = 0, (3) 3> 12 2 + 7 4 3> 10 2 - 3> 14 (3> 10 + 3> 4 3> 6 ) - (63> 6 3> 10 - 63> 4 3> 12 + 73> 8 2 4- 2103> 4 2 3> 8 + 73> 4 3> 6 2 + 73> 4 4 ) T 8 + (223> 8 - 133> 4 2 ) r 8 2 + r 8 3 = o. UNIVERSITY OF CHICAGO. TABELLEN VON ENDLICHEN CONTINUIR- LICHEN TRANSFORMATIONSGRUPPEN. VON FRANZ MEYER IN CLAUSTHAL. I. DIE PROJECTIVEN GRUPPEN DER EBENE*. DIE erste Tabelle enthalt die Typen von projectiven Gruppen der Ebene. Jede existirende projective Gruppe der Ebene lasst sich durch projective Transformation in einen und nur einen der auf- gestellten Typen iiberfuhren. Diese Typen werden in der zweiten Tabelle unter Beniitzung der bei ihnen invariant bleibenden geometrischen Gebilde einzeln characterisirt. Die dritte Tabelle giebt fur jeden Typus eine characteristische invariante Differentialgleichung an, in dem Sinne, dass der jeweils vorliegende Typus die umfassendste projective Gruppe der Ebene darstellt, welche die zugehorige Differentialgleichung invariant lasst. * In dem in Balde erscheinenden unter Mitwirkung von Herrn Engel von Herrn Lie bearbeiteten dritten Bande der " Transformationsgruppen" finden sich die infinitesimalen Tramformationen fur die Gruppen der ersten und vierten Tabelle aufgezahlt. Der Verfasser hat dieselben hier " integrirt," theils direct, theils mittels geometrischer Uberlegungen. Die infinitesimalen Transformationen der ersten Tabelle finden sich auch in dem, ebenfalls demnachst erscheinenden unter Mitwirkung von Herrn Scheffers von Herrn Lie bearbeiteten zweiten Bande iiber Anwendungen der Transfor- mationsgruppen ; daselbst wird auch die geometrische Characterisirung des Theiles A. unserer zweiten Tabelle hinzugefiigt. Endlich enthalt "Lie-Scheffers" auch bereits einige der Differential- gleichungen unserer dritten Tabelle, so vor Allem (1) und (2 a). Die Bedeutung der hier in endlicher Form geschriebenen Gruppen erhellt unter Anderem gerade aus der dritten Tabelle, die aus der ersten durch alleinige Zuhulfe- nahme von Differentiationen und Eliminationen abgeleitet wurde. 188 FRANZ MEYER. Mit einigen Ausnahmen ist fur die Differentialgleichungen mit Absicht nicht die einfachste Form gewahlt, sondern eine solche, dass sich aus ihr unmittelbar die beiden unabhangigen Differentialinvarianten der Gruppe ablesen lassen. In unmittelbarem Anschluss an die erste Tabelle sind endlich in einer vierten die Typen fur die homogenen, projectiven Gruppen in drei Veranderlichen vereinigt. Im Ubrigen sei auf die, einer jeden Tabelle folgenden Einzel- bemerkungen erwiesen. I. Die Typen der projectiven Gruppen der Ebene. A. Achtgliedrig. /i\ ,_ax + by+k ,_cx + d + l ~ex+fy ' y ~ B. Sechsgliedrig. {(2 a) x = ax + by + k, y' = ex + dy + I. (Zfo >_ ax + by ,_ cx + dy \& u i x/ ^ ~ , w . ex+fy + l ex+fy + l C. Fiinfgliedrig. [(3 a) (2 a) 1(36) e (26) K (4) x' = ax + k, y' = ex + dy + I. D. Viergliedrig. j(5 a) x' = a*x + k, y' = ay + cx + I. 1(5 6) x = a 1-a J3 + k, y' = ay + ex + I. a ist eine, von verschiedene, willkiirliche Constante. (6) x = ax + k, y' = a?y + ex + I. (7) x' = ax + k, y' = y + ex + 1. (8) x' = ax + by, y' = cx + dy. ((9 a) x' = ax + k, y' = dy + I. 1(9 6) x' = ax, y' = cx + dy + I. CONTINUIRLICHE TRANSFORMATIONSGRUPPEN. 189 E. Dreigliedrig. (10) x' = x + k, y' = y + cx + l. (11) x ax + k, y = a?y + akx + I. r(l 2 a) x' = x + k, y' = $y + ex + I. (13) x' = ax+by, y' = cx + dy. mit ad bc = 1. f(14a) x' = a*~ l x + k, y' = a*y + l. ) r , I a 1st erne willkiir- ((146) x=ax, y=a a y + cx + l) liche Constante. (15) x' = ax, y' = dy + I. ((16 a) a;' = ax + k, y' = ay + l. 1(166) x' = x, y' = cx + dy + l. (17) x' : y : 1 = a?x + 2aby + 6 2 : acx + (ad + bc)y + bd : tfx + 2cdy + cZ 2 . F. Zweigliedrig. (18) x' = x + k, y' = y + kx + l. ((19 a) x' = x + k, y'^^y + L ((19 6) x = e l x, y = y + ex + /. [(20 a) x' ax, y' = a a y + ex. ((20 6) x = a a x, y' = ay + ex. a ist erne, von und 1 verschiedene, willkiirliche Constante. (21) x' = ax, y' = y + l. J(22a) x' = x + k, y' = y + l. ((226) x' = x, y' = y + cx + l. (23) x' = ax, y' = dy. [(24 a) x = ax, y = ay 4- . |(246) a,'' = ^, y' = dy+L (25) ' = + A;, y = a 2 t/ -t- G. Eingliedrig. (26) x' = ax, y' = a a y. a ist eine, von und 1 verschiedene, willkiirliche Constante. 190 FRANZ MEYER. (27) x' = x + k, y = e k y. (28) x' = x + k, y' = y + kx + ^. (29) x =ax, y' = ay. (30) x' = x, y' = y + l Unter einem m-gliedrigen Typus 1st ein, von genau m unab- hangigen Parametern a, b, c,... abhangender zu verstehen. Nur in zwei Fallen, (1) und (17), treten die Parameter in homogener Form auf. Tragt ein und dieselbe Nummer die Indices a und b, so sind das stets zwei zu einander dualistische Typen, die iibrigen sind zu sich selbst dualistisch. In (5), (14), (20), und (26) tritt noch eine willkiirliche Constante a auf, so dass jede dieser Nummern eigentlich unendlich viele Typen reprasentirt, im Allgemeinen* sind zwei Einzeltypen mit verschiedenem a projectivisch nicht in einander iiberfiihren. Endlich sei noch bemerkt, dass die Typen der Tabelle in eine, leicht erkennbare, canonische Form gebracht sind ; wo z. B. (wenigstens) eine Gerade invariant bleibt, ist eine solche in's Unendlich- Feme verlegt worden u. s. f. II. Geometrische Characterisirung der Typen. A. Das invariant bleibende Gebilde definirt allein schon den Typus. * Bei (5 a) fuhrt 1-a stets zum dualistischen Typus (56), bei (14) gehoren immer a und - zu zwei aequivalenten Einzeltypen ; bei (20 a) liefert - wiederum a a den jeweiligen dualistischen Typus (20 6), endlich gehoren bei (26) die sechs Werthe 1 la-la. a, - , 1-a, ; , - , zu ieweils aequivalenten lypen. a 1 a a a 1 Die Falle (7), (16), und (24) lassen sich auch als Specialfalle von resp. (5), (14), und (20) auffassen, sobald man bei letzteren die willkiirliche Constante a homogeni- sirt, also schreibt : (5) x' = a a x + k, y' = a^ij + cx + l. (14) x' = a (20) x' = a a x, Dann geht aus (5) fur /3 = 0, a = l (7) hervor, aus (14) fur a==l (16a), fur a = 0, /3=1 (16 b), endlich aus (20) fiir a = /8=l (24 a), und fur o = 0, 0=1 (246). CONTINUIRLICHE TRANSFORM ATIONSGRUPPEN. 191 (1) Weder ein Punkt, noch eine Gerade, noch ein Kegel- schnitt bleiben invariant. (2 a) Invariants Gerade (d. i. eine Gerade und ein auf ihr liegender Punkt). (3 a) Invariante Gerade und invariante Flacheninhalte. (4) Invariantes Linienelernent. (8) Invarianter Punkt und invariante Gerade getrennt. (9 a) Invariante Gerade und zwei invariante Punkte auf ihr. (13) Wie bei (8), nebst invarianten Flacheninhalten. (15) Zwei invariante Punkte und, ausser ihrer invarianten verbindenden, noch eine invariante Gerade durch einen der Puukte. (16 a) Invariante Punkte einer Geraden. (17) Invarianter Kegelschnitt. (23) Invariantes Dreieck. (24 a) Invariante Punkte einer Geraden und noch eine invariante Gerade. (25) Invarianter Kegelschnitt und ein invarianter Punkt auf ihm. (26) Invariantes Dreieck und oo 1 invariante, von Geraden verschiedene Curven. (27) Zu (15) noch x 1 invariante Curven. (28) Ein invariantes Linienelement und oo l Kegelschnitte, die dieses gemein haben. (29) Invariante Punkte einer Geraden und invariante Strahlen eines nicht auf der Geraden liegenden Biischels. (30) Invariante Punkte einer Geraden und invariante Strahlen eines auf der Geraden liegenden Btischels. B. Das invariante Gebilde im Verein mit der Anzahl der Parameter characterisirt den Typus. (14 a) Wie (9 a), aber dreigliedrig. (18) Wie (4), aber zweigliedrig. (19 a) Wie (9 a), aber zweigliedrig. 192 FRANZ MEYER. (20 a) und (21). Wie (15), aber zweigliedrig. Dabei ist (21) zu sich selbst dualistisch, (20 a) nicht. (22 a) Wie (16 a), aber zweigliedrig. F. Das invariante Gebilde ein Linienelement , im Verein mit der Anzahl der Parameter und der Angabe eines Untertypus characterisirt den Typus. (5 a) Viergliedrig, enthk'lt (20 a) als Untertypus. (6) (25) (7) (21) (10) Dreigliedrig, enthalt (22 6) als Untertypus. (11) (25) (12 a) (19 a) Die dualistischen Characterisirungen sind der Klirze halber unterdriickt worden. Die Falle (3 a) und (13) lassen sich auch, unter Weglassung der invarianten Flacheninhalte, unter B. einordnen (mit Angabe der 5 resp. 3 Parameter). Die bei F. gegebenen Definitionen konnten noch mannigfach modificirt werden. III. Characteristische invariante Differentialgleichungen fur die Typen der projectiven Gruppen der Ebene. A. Achtgliedrig. (1) y, = 0. B. Sechsgliedrig. 1(2 a) oy# t - By./ = 0. ((2 6) k = 0, wo k unter (3 b) erklart ist. C. Ftinfgliedrig. k WO /a M - (4) ~ y * =f( Vt] . Einfachste Form : y 3 = 0. 2/2^4 \/sy&' CONTINUIRLICHE TRANSFORM ATIONSGRUPPEN. 193 D. Viergliedrig. 2 (1 a) 1 (6) - 2/3 (syi ~ 2/)] 2 * & (yix - y) 2/2 E. Dreigliedrig. (10) 2/ 3 (12 a) 2 = 2/3 (126) = n ox A: wie unter (3). [(9 ) M4 - 2/s 2 =/(2/i2/3 ~ 2/ 2 2 ). (96) 2/22/4 -2/3 2 = S/2 10 (16 a) - 2/2 (166) &.. < y 2 (17) y c. P. 13 194 FRANZ MEYER. F. Zweigliedrig. (18) y*=f(y,-x). i(22 a) y,= f 4a > < / (246) ^ 2 =/(^). yi / _ y (25) SfcZ (29) -/(*) -^ ^ \/ (28) Hier bedeuten y 1} y 2 ,...die successiven Ableitungen von y nach a?,yeine willkiirliche Function, der man z. B. auch einen beliebigen im Allgemeinen von Null verschiedenen Zahlwerth beilegen kann. Mit Ausnahrne von (1), (2 a), und (2 6), sowie (17), sind die Differentialgleichungen- so geschrieben, dass links und rechts die beiden Differentialinvarianten niedrigster Ordnung, welche die Gruppe ihrerseits auch characterisiren, unmittelbar hervortreten. Jeder Typus ist definirbar als die allgemeinste Gruppe von Punkttransformationen, welche die zugehorige Differentialglei- chung der Tabelle invariant lassen. Mit Hlilfe von Zahlen und Nenner der Differentialinvarianten lassen sich leicht noch einfachere invariante Differentialgleichungen bilden. CONTINUIRLICHE TRANSFORMATIONSGRUPPEN. 195 IV. Die Typen der linearen homogenen Gruppen in 3 Verdnderlichen. A. (1) as' = ax + by + kz, y' = cx + dy + lz, z' = ex + fy + gz\ (2) Desgleichen mit der Determinante Eins. J B. )(3) x' = i +1 (ax + by+kz), y'=t a+1 (cx+dy+ Iz), z' = tz\ ad be = I. f(2a). (4) x' = ax + by + kz, y' ex + dy + Iz, z = gz J ((5) x =ax + kz, y' = ex + dy + Iz, z' = ex + gz \ (6) x = t* (ax + kz), y'=t* +l (y+cx + ?z), z' = t a (ex+gz)\ (26). ag ek = 1 (wie bei (6)). O. /lit T* ft nf* I nil I Is* 1 ? x + kz, y' = e? (a+1) (y + ex) + Iz, z = (fz (33) x' = gtfx + kz, y' = ge (y + ex) + Iz, z' = (34) x' = ax + by, y =cx + dy, z' = z \ ad bc= 1. (35) x' = g(ax + by), y' = g (ex + dy), z'=gz\ ad bc = 1. //3fi\ 7.' /7/a r I \ O \J I tb ^ UL dj | v/ & 'is ts ts - 7 ~~ ( /i j \ ]/Q7\ '_/a , Z. '_//3 , I '_/ Ml4a). (38) x = e l t +l x + ^, y' = e l t* (y + te), /=e^ (14a) fur a= 1. ((39) x' t-x, y = tPy + ex + Iz, z' = t y z } J L i J4 J\ ((40) #' = ^r^a;, y' = gtfy + cx + Iz, z' = gz) (41) x' = t a+1 e c x, y'=t a+1 e e (y+cx)+lz, z'=t-tfz f (42) x' = a, y' = dy+ Iz, z' = gz ) 1(43) ' = t"- +l uPx, y' = t'uP+iy + Iz, z = t a ufiz\ y / = d(y + cx+ C -z], z' = -, {bx + z (1 + be)} (45) x ' = gx CONTINUIRLICHE TRANSFORMATIONSGRUPPEN. 197 F. i <4 y + lz, z' = ^ (21)- ((52) x = g&x, y' = ge? (y + ex) + lz, z' = gz 1(53) x = e? ( 77 fjfP 7/ I /9| 2T ~~ C1Z\ \ '- '/ J ''-/ ) ( 2 )' !i ^ r\ I 1" /"f /y *?/ /y-7/ I / y ^ /Tf-y \ *JU / tv ^ t*tX/, t/ t/ (/ + c/x>. x> f/,3 \ / * O ij \J \J I TII *7* ^ /*~"~^jT* 7/ /** 7/ j-l- /5^ 2^ "" *** \ / ) u o ' ' 1(58) af = tr +l efa;, y' = t a e? (y + Iz), z' = t*e?z. {(59) x' = x + kz, y' = y + lz, z =z Y (60) x' =gx + kz, y' =gy + lz, z' = gz M 22 a). (61) #' = efc + ^, y' = e l (y + lz), z = Jz) ((62) x' = x, y = y + ex + lz, z = z \ (63) x' = gx, y'=gy + cx + lz, z f = gz [(226). 1(64) x' = efx, y = e ( y + ex) + lz, z' = ((65) x' = ax, y' = dy, z' = qz \ (23). lf(\('\ ff, 1 ya+l^/fl/M ~-' a/i-.fl-M ... _' j.n..ft..\ \ / \(^\J\J J Jj fr UTJj, (67) x' = g(x + kz 1(68) x' = t*(x + k, G. (69) ^ = <- + X i/' (70) x' = gtx, y' = gt*y, z' = gz ((71) x &" (x + kz), y 6* " y, z er ,. ,f**7\ 1(72) x'=g(x + kz), y' = g*y, z = gz 198 FRANZ MEYER. k 2 (73) x = x + kz, y' = y + kx + - z , z' = z m (74) x' = e*(x + kz), y' = e k (y + kx + 1%) , z=(*z\ (28). \ & J I 2 \ ^(75) x' = g(x + kz), y'=g(y + kx +-^ z) , z' = gz |(76) x = ax, y'= dy, z' = az j 1(77) x' = t*x, y = t* +1 y, z = tz\ ^ f(78) x' = x, y' = y + lz, z' = z \ j (79) x = gx, y' = gy + lz, z' = gz \ (30). 1(80) x = e l x, y' = e l (y+ lz), z = e?z) H. (81) x'=ax, y' = ay, z' = az (Identitat). a, b, c,...t, u bedeuten wiederum die Parameter der Gruppen, a, /3, 7 willkiirliche Constanten. Wo der Buchstabe e als Basis einer Potenz auftritt, stellt er keinen Parameter dar, sondern eine feste Zahl (z. B. die Basis der natiirlichen Logarithmen), deren Wahl fur die Gruppe bedeutungslos ist. Die rechts hinzugefiigten Zahlen verweisen stets auf die zugehbrigen nicht homogenen Gruppen der ersten Tabelle. II. ALLGEMEINE AUFZAHLUNG DER ENDLICHEN CONTINUIR- LICHEN GRUPPEN DER EBENE. Herr Lie hat bekarmtlich schon lange alle Typen von end- lichen continuirlichen Gruppen der Ebene aufgestellt. Da die Lie'sche Tafel* wiederum nur die infinitesimalen Transformatio- nen, oder, wenn man will, die " DifFerentialgleichungen," der gemeinten Gruppen enthalt, habe ich es fur niitzlich gehalten, durch Integration daraus die endlichen Gleichungen der Gruppen herzuleiten. Jede endliche continuirliche Gruppe von Punkttransforma- tionen der Ebene ist vermoge eben solcher Transformationen stets einem und nur einem der nachfolgenden 27 Typen aequivalent. * Vgl. die beiden oben citirten Werke. CONTINUIRL1CHE TRANSFORMATIONSGRUPPEN. 199 A. Gruppen mit keiner invarianten Schar von oo J Curven d. h. primitive Gruppen. , _ , , _ ax + by + k , _ ex + dy + I ~ ex+fy+g' y ~ ex+fy+g' (2) a/ = ax + by + k, y' = ex + dy + I. (3) x = ax + by + k, y = ex + dy + I. ad be = 1. B. Gruppen mit nur einer invarianten Schar von oo x Curven. (4) of = x, y' = y + I + k^ (x) + k z ^ (x) + .... Die 4> (x) sind willkiirliche Functionen von x, deren Coefficienten als willktirliche Constante fungiren. (o) x' = x, y' = dy + I + k^ (x) + A- 2 ^> 2 ()+.. .. Im tlbrigen wie bei (4). (6) x'=x + k, y' = y + e* x g(x). a. ist eine willkiirliche Constante, g(x) eine arbitrare ganze rationale Function von x, deren Coefficienten als Parameter fungiren. (7) x' = x + k, y' = dy + e ax g(x). Im Ubrigen wie bei (6). (8) x' = ax + k, y' = a*y + g (x). Im Ubrigen wie bei (6). (9) x' = e a x + k, y'=e^ rM y + g(a;) + ae ma x m . m ist der Grad der ganzen rationalen Function g (x). (10) x' = ax + k, y' = dy + g(x). m\ x >-* m - ist der G (12) y = ex + l ' .. m ist der Grad von g (x). ex + g m ist der Grad von g (x). -- ex + l ' ex+l' 200 FRANZ MEYER. C. Gruppen mit zwei invarianten Scharen von oo 1 Curven. (15) x' = x, y' = (17) x' = a: + k, y' (18) J-. + t,-f (19) x' = ax + k, y = a a y + I. a ist eine willktirliche Constante. (20) x = ax + k, y =dy+l. (21) x'=ax + k, *-^~. fy+9 (23) x' = D. Gruppen mit oo 1 invarianten Scharen von x 1 Curven. (24) x' = ax, y =ay + I. (25) x = x + k, y' = y + I. (26) x = ax + k, y' = ay+ I. E. Gruppen mit oo * invarianten Scharen von x J Curven. (27) x' = x, y' = y+l. Die Gruppen sind auf eine derartige kanonische Form gebracht, dass bei B. x = const, die invariante Schar von oo 1 Curven liefert, bei C. x = const., y = const, die beiden Scharen, bei D. alle Scharen ax + by = const., endlich bei B. jede Schar (x) + ty (y) = const. * Die a, b, c, d,... bedeuten die Parameter der Gruppe. CLAUSTHAL, Anfang Juli 1893. UEBER EIGENSCHAFTEN VON GANZEN ZAHLEN, DIE DURCH RAUMLICHE ANSCHAUUNG ERSCHLOSSEN SIND. VON H. MINKOWSKI IN BONN. IN der Zahleutheorie wird, wie in jedem anderen Gebiete der Analysis, haufig die Erfindung mittelst geometrischer Ueber- legungen vor sich gehen, wahrend schliesslich vielleicht nur die analytischen Verificationen mitgetheilt werden. Ich wiirde deshalb schon an sich nicht in der Lage sein, mein Thema zu erschb'pfen ; es ist dies auch nicht meine Absicht. Ich will hier ganz allein von demjenigen geometrischen Gebilde sprechen, welches die einfachste Beziehung zu den ganzen Zahlen hat, von dem Zahlen- gitter. Darunter hat man, irgend welche Parallelcoordinaten x, y, z im Raume vorausgesetzt, den Inbegriff derjenigen Punkbe x,y,z zu verstehen, fur welche x, wie y, wie z ganze Zahlen sind ; der besseren Anschaulichkeit wegen denke man sich unter x, y, z gewohnliche rechtwinklige Coordinaten. Eine Figur, die sich als ein Ausschnitt aus dem Zahlengitter darstellt, ist es, die man beim Beweise der Multiplicationsregel (ab) c = a (be) heranzuziehen pflegt. Ich wiirde des Weiteren die wichtigen Relationen iiber grb'sste Ganze zu erwahnen haben, die Dirichlet (Crelle, Bd. 47, Ueber ein die Division betreffendes Problem) auf geometrischem Wege erhalten hat. Ich will mich jedoch hier auf Fragen beschranken, bei denen der Begriff des Unendlichen hineinspielt, namlich das ganze Gitter, nicht bloss Ausschnitte daraus in Betracht kommen. (Das Folgende giebt in der Hauptsache Einiges aus meinem Buche " Geometrie der Zahlen" (1895, bei B. G. Teubner) wieder, wobei ich bernerke, dass dort die Beschrankung auf Systeme aus drei ganzen Zahlen nicht statthat.) I. Der wichtigste Begriff, der mit dem Zahlengitter in Zusam- 202 H. MINKOWSKI. menhang steht, ist der des Volumens eines Kb'rpers ; dieser Begriff bildet dann welter die Grundlage fur den Begriff des dreifachen Integrals. Man nehme jeden Punkt des Zahlengitters zum Mittelpunkt eines Wiirfels mit Seitenflachen parallel den Coordi- natenebenen und von der Kante 1 ; zu einem Wiirfel soil stets die Begrenzung miteirigerechnet werden. Man erlangt so ein Netz N von Wiirfeln, welches den Raum liickenlos erfullt, und die einzelnen Wiirfel darin sind unter einander in ihren inneren Punkten durchweg verschieden. Nun sei K irgend eine solche Punktmenge, welche sich ganz auf eine endliohe Anzahl von Wiirfeln aus N vertheilt. Man dilatire diese Menge K von einem beliebigen Punkte p im Raume aus in alien Richtungen in einem beliebigen Verbal tnisse fl : 1. Aus K entstehe so K P Q . Sodann sei ttn die Anzahl aller der Wiirfel aus N, in welchen jeder einzige Punkt sich als ein innerer Punkt von K P Q erweist, und es sei MO die Anzahl aller Wiirfel aus N, welche iiberhaupt mindestens einen Punkt von K p a enthalten. Dann convergiren nach dem, was C. Jordan (Journ. de Math. 4 seV., t. 8. 1892, p. 77) gezeigt hat, immer fl~ 3 . a p n und fl~ 3 . u p n fiir ein unendlich wachsendes fl, unabhangig von p, je nach einem bestimmten Grenzwerthe A und V, dem inneren und dem dusseren Volumen von K. Man spricht vom Volumen von K schlechthin, wenn sich A = U herausstellt. II. Die tieferen Eigenschaften des Zahlengitters nun hangen mit einer Verallgemeinerung des Begriffs der Ldnge einer geraden Linie zusammen, bei der allein der Satz, dass in einem Dreiecke die Summe zweier Seiten niemals kleiner als die dritte ist, erhal- ten bleibt. Man denke sich eine Function S (ab) von zwei beliebig varia- beln Punkten a und b zunachst nur mit folgenden Eigenschaften : (1) Es soil" S (ab) immer positiv sein, wenn b von a verschieden ist, und Null, wenn b und a identisch sind; (2) Sind a, b, c, d vier Punkte und darunter b von a verschieden, und besteht zwischen ihnen eine Beziehung d c t (b a) mit positivem t, so soil immer S(cd) = tS(ab) sein; die genannte Beziehung ist im Sinne des barycentrischen Calculs aufzufassen und bedeutet, dass cd und ab Strecken von gleicher Richtung und mit Langen (im gewohnlichen Sirme) im Verhaltnisse t : 1 sind. Zum Unter- schiede von der gewohnlichen Lange mb'ge S(ab) Strahldistanz von a nach b heissen. EIGENSCHAFTEN GANZER ZAHLEN. 203 Es sei o der Nullpunkt ; offenbar werden alle Werthe 8 (ab) festgelegt sein, sowie die Menge der Punkte u gegeben ist, fur welche S (ou) ^ 1 ist ; diese Punktmenge heisse der Aichkorper der Strahldistanzen, es wird zu ihm in jeder Richtung von o aus eine Strecke von o aus mit endlicher, nicht verschwindender Lange gehoren miissen. Wenn nun ferner fiir irgend drei Punkte a, b, c immer 8(ac)^S(ab) + S(bc) ..................... (3) ist, sollen die Strahldistanzen einhellig heissen. Dann besitzt ihr Aichkorper die Eigenschaft, dass mit irgend zwei Punkten u, v in ihm immer die ganze Strecke uv zu diesem Korper gehort, und andererseits ist jeder nirgends concave Korper mit dem Null- punkt im Inneren Aichkorper fur ganz bestimmte einhellige Strahldistanzen. Mit E(ab) werde die halbe Kante desjenigen Wlirfels mit Seitenflachen parallel den Coordinatenebenen bezeichnet, der a als Mittelpunkt hat und seine Begrenzung durch b schickt. Die E (ab) sind als die einfachsten einhelligeii S(ab) anzusehen. Die vollstandige analytische Auflosung der Bedingungen (1), (2), (3) habe ich im ersten Kap. meiner G. d. Z. gegeben. Es zeigt sich, dass auf Grund von (3) insbesondere immer die Function S (ab) eine stetige der Coordinaten von und von b ist, ferner zwei positive Grossen g und G vorhauden sind,. so dass man fur alle a und b hat, endlich der Aichkorper ein bestimmtes Volumen / besitzt. Die Bedeutung von g und G ist offenbar die, dass der Wiirfel E (ou) ^ -~ ganz im Aichkorper enthalten ist und letzterer seinerseits ganz im Wtirfel E (ou) - . U Wechselseitig sollen die S (ab) heissen, wenn durchweg S(ba) = S(ab) ........................ (4) ist. Solches hat dann und nur dann Statt, wenn der Aichkorper den Nullpunkt als Mittelpunkt hat. III. Es giebt im Zahlengitter offenbar Punkte r, fur die E (or) = 1 ist. Irgend welche einhellige S (ab) vorausgesetzt, wird fiir diese Gitterpunkte r dann S (or) ^ G sein. Diese letztere 204 H. MINKOWSKI. Bedingung nun kaun iiberhaupt nur von solchen Punkten r erfullt werden, fur welche 8 (or) - ist, und dieser Bedingung \j wieder geniigen sicher nur eine endliche Anzahl Gitterpunkte. Aus diesen Gitterpunkten muss dann nothwendig die kleinste Strahldistanz M zu ersehen sein, welche von o nach alien anderen Gitterpunkten zusammengenommen existirt und die nun jeden- falls ^ G ist. Wird sodann fur einen beliebigen ersten Gitter- punkt a der Korper S(au)^^M, fur einen beliebigen anderen Gitterpunkt c der Korper S (uc) ^ ^M construirt, so sind solche zwei Korper zufolge (3) in ihren inneren Punkten durchweg verschieden. Werden nun die Strahldistanzen auch noch wechsel- seitig vorausgesetzt, so ist der zweite Korper mit S(cu)^^M identisch, und stossen dann also die verschiedenen Korper S (au) ^ \M fur die verschiedenen Gitterpunkte a hochstens in den Begrenzungen zusammen. Nun sei H irgend eine positive und gerade ganze Zahl, und man construire die hier bezeichueten Korper fur die sammtlichen im Wlirfel E(ou) -~ enthaltenen (fl + I) 3 Gitterpunkte 2 r 11 z 0+1 4-2 4- *> y > * u j * > ! . o C 1 Aus S (au) 51 \M ^ ^G folgt E(au)^^-, und werden deshalb ff alle diese Korper in dem Wlirfel E(ou) ^ % ( i + - J enthalten f G\ 3 sein, dessen Volumen ( O + - j betragt. Indem sie nun sammtlich /M\ s aus einander liegen und je vom Volumen ( -^- ) / sind, geht daraus \*/ die Ungleichung hervor ; nun stellen M und / bestimmte Grb'ssen vor und fl kann beliebig gross genommen werden, mithin entnimmt man daraus : M\3 iff* () muss es also mindestens einen, von o verschiedenen Gitterpunkt q 2 geben, fur den S (oq) ^ -^Tr ist. EIGENSCHAFTEN GANZER ZAHLEN. 205 Das hiermit gewonnene Theorem iiber die nirgends concaven Korper mit Mittelpunkt scheint mir zu den fruchtbarsten in der ganzen Zahlentheorie zu gehoren. Ich hatte es, durch das Studium der Aufsatze von Dirichlet und von Hermite iiber quadratische Formen (Crelle, Bd. 40, S. 209 u. S. 261) angeregt, zunachst fiir die Ellipsoide gefunden (Crelle, Bd. 107, S. 291); ein noch grosseres Interesse aber bieten die Folgerungen dar, welche dieses Theorem hinsichtlich liiiearer Formen zulasst und von denen ich sogleich einige hervorheben werde. Das Gleichheitszeichen in (5) tritt dann und nur dann ein, wenn die Korper S (au) ^ \M um die einzelnen Gitterpunkte a den Raum luckenlos erfiillen. Dazu muss vor Allem die voll- standige Begrenzung des Aichkorpers durch eine endliche Anzahl von Ebenen, und zwar durch nicht mehr als 2 (2 3 1) Ebenen, gebildet werden; namlich es muss dann jede ebene Wand von S (au) ^ M noch exclusive des Randes mindestens einen Gitter- punkt x, y, z enthalten, und konnen fiir derartige Gitterpunkte in zwei, nicht in Bezug auf o symmetrischen Wanden niemals x, y, z gleiche Reste modulo 2 ergeben, wie auch fiir keinen dieser Punkte x, y, z = 0, 0, (mod. 2) sein konnen. Das Gleichheits- zeichen in (5) tritt beispielsweise niemals fiir ein Octaeder ein. IV. Es seien , 77, f drei lineare Formen in x, y, z mit einer von Null verschiedenen Determinante D, es seien entweder alle drei reell, oder reell und 17, zwei Formen mit conjugirt imagi- naren Coefficienten ; weiter sei p irgend eine reelle Grosse. Der durch f tn i n i l* \ \ 1? 1 (6) definirte Korper K p stellt dann, sowie p = 1 ist, einen nirgends concaven Korper vor; fiir das Volumen I p dieses Korpers findet man : 3^ 2 s _ v / , 2 oder = - 1+ i) 2 -:-r(i+? p) \ P es zeigt sich ferner, dass fiir einen Korper K p , wenn p endlich ist, in (5) niemals das Gleichheitszeichen in Betracht kommt. Man gewinnt so den Satz : 206 H. MINKOWSKI. 1st p ~ 1, so giebt es immer ganze Zahlen x, y, z, die nicht sdmmtlich Null sind und fur welche man hat. Halt man x, y, z fest, so nimmt der Ausdruck links in (6), wenn nicht gerade f | = 1 77 = | f | ist, in welchem Falle dieser Ausdruck von p unabhangig sein wtirde, mit p fur alle Werthe p = continuirlich ab (sogar fur alle p, wenn keine der Grossen |f |, 1 77 , |f Null ist). Es wird danach ein jeder Korper K p in alien anderen von diesen Korpern mit kleinerem p enthalten sein und also -=- und \ p mit p continuirlich zunehmen ; fur p = 2 convergirt \ nach 1, bez. -. Fiir p= GO geht K p in das Paral- 7T lelepipedum l^f^l, 1^77^!, l^f^l oder den ellipti- schen Cylinder l^f^l, 7? 2 + f 2 ^ 1 iiber ; KI hingegen stellt ein Octaeder oder einen Doppelkegel vor. Endlich wird aus der Function links in (6) fur p = das geometrische Mittel V (fyf j, so dass man den Satz hinzufugen kann : Es giebt immer ganze Zahlen x, y, z, die nicht sammtlich Null sind und fur welche man | f^f j < \\ \ D \ , um so mehr also < D , hat. Diese Satze und die analogen fiir n lineare Formen mit n Variabeln lassen insbesondere fundamentale Anwendungen in der Theorie der algebraischen Zahlen zu, beim Beweise der Dirichlet- schen Satze liber die complexen Einheiten, der Endlichkeit der Anzahl der Ideal classen, und sie haben zuerst den wichtigen Nachweis ermoglicht, dass in der Discriminante eines jeden algebraischen Zahlkorpers immer mindestens eine Primzahl auf- geht. V. Es seien a und b irgend zwei reelle Grossen und t eine beliebige Grosse > 1. Die Anwendung der Satze in III. auf das Parallelepipedum fuhrt dazu, dass es immer ganze Zahlen x, y, z giebt, fur welche 1 -i 1 1 < z t*, | x az | < -i , I y bz | < -^ EIGENSCHAFTEN GANZER ZAHLEN. 207 ist. Dieses Resultat, jedoch nur fur den Fall ganzzahliger Werthe von t, hat bereits Kronecker (Berichte d. Berl. Akad. 1884, S. 1073) mittelst des scheinbar trivialen, dessen ungeachtet aber ausserst erfolgreichen Princips (s. Dirichlet, Verallgemeine- rung eines Satzes aus der Lehre von den Kettenbriichen, Werke Bd. I. S. 636) bewiesen, dass, wenn eine Anzahl von Grossen- systemen in eine kleinere Anzahl von Bereichen fallen, mindestens zwei Systeme darunter in einen und denselben Bereich zu liegen kommen miissen ; es ist dies einer der wenigen Falle, wo bereits dieses einfachere Princip wesentlich gleiche Folgerungen ermbglicht wie das arithmetische Theorem in III. Die Betrachtung des Octaeders z x az I + (t = 3 vorausgesetzt), zeigt die Existenz von ganzen Zahlen x, y, z, /3\' fur welche die Ausdriicke hier links beide < - ausfallen und zugleich z > ist, und fur solche Zahlen findet man dann noch : x 1 2 2 -b < , z Diese Satze weisen auf eineii Weg, auf dem mit Erfolg die Ergebnisse der Lehre von den Kettenbriichen zu verallgemeinern sind. VI. Betrachtet man beliebige einhellige und wechselseitige S (ab), so erscheint 2 3 als kleinste obere Grenze fur M 3 I. Be- schrankt man sich auf solche S(ab), deren Aichkorper aus einem gegebenen Korper durch alle mb'glichen linearen Transforma- tionen hervorgehen, so findet man auch in dieser beschrankten Classe von Functionen bereits immer solche, fur welche ist. Der Nachweis dieses Satzes erfordert eine arithmetische Theorie der continuirlichen Gruppe aus alien linearen Transfor- mationen. Endlich ist zu erwahnen, dass die Ungleichung M 3 I ^ 2 3 fur die nirgends concaven Korper mit Mittelpunkt noch eine wesent- liche Verallgemeinerung zulasst, auf die ich indess hier nicht mehr eingehen will. BONN, im Juni 1893. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. BY ELIAKIM HASTINGS MOORE OF CHICAGO*. N 1* List of orders of systems of simple groups. THE following is, so far as I know, a complete list of the orders of systems of simple groups which have as yet been determined (q = prime, n = positive integer). (1) 4). (3) i3); the group of the modular equation for the transformation of elliptic functions of order q. (3') fcror-i), (g> 2, to This system of simple groups is a generalization of the system (3) which will be explained in this paper. (g - 1) g"-* (g"- 1 - 1) g"-* . . . (f - 1) g 8 ((q, n) * (2, 2), (3, 2)), in which 8 = [n, 2) ( 9 *_ l) g *n-i (^-s _ 1) ?2 *-3 ... ( ?2 _ i)^ ( ? = 2, 7* > 2). (6) (P n - 1) 2**-' (P n _ x - 1) 2 . . . (P 2 - 1) 2 2 , (n > 2), in which P n = 2- 1 + 2"- 1 . The systems* (4), (5), (6) either are given by Jordan or are derived from Jordan's decompositions of certain linear groups by the principle that the quotient-group! of any two consecutive groups in the series of composition of any group is a simple group J. The systems (1), (2), (3), (6) are simply infinite ; the systems (3'), (4), (5) are doubly infinite. It is clear that of the three doubly-infinite systems the new system (3') is the densest, that is, its orders increase least rapidly as q and n increase. Professor Cole discovered last spring a new simple group of order 504 not contained in the six systems (1), (2), (3), (4), (5), (6). The facts (a) that in the system (3') the group having (q, n) = (3, 2), order 360, had previously been identified as holoeclrically isomorphic with the alternating group in six letters (a simple group), and (b) that the group having (q, n) = (2, 3) had the order 504 of Cole's new simple group, led to the present investigation. The simple groups of composite order < 660 have been completely enumerated by Holder (Mathematische Annalen, vol. 40) and Cole (American Journal of Mathematics, vol. 14; Bulletin of the New York Mathematical Society, vol. 2, p. 254, foot- note). They are one group each for the orders 60, 168, 360 and 504. These are all included in the new system (3'), being the groups having, respectively, (q, ri)=(5, 1) or (2, 2), (7, 1), (3, 2), and (2, 3). * See Jordan, Traite des Substitutions, (4) p. 106, (5) pp. 176, 178, (6) pp. 205, 213. These references were given by Professor Cole in the paper, On a certain simple group, presented by him to the Congress. t See Holder, Mathematische Annalen, vol. 34. J Two systems of order (6) are given. c. P. 14 210 ELIAKIM HASTINGS MOORE. 2. The simply-infinite system (3) of simple groups of order , , , (mod. q), The formula , aw + /? 70) + where aS - 7 = 1 (mod. q) and where a, /3, 7, 8 are integers taken modulo q, and a>, w run through the series of q + 1 values 0, 1, 2,... 3 simple. For an admirable exposition of the properties of this group, together with further references, see Klein-Fricke, Modulfunctionen, vol. 1, pp. 419-491. The existence and properties of the abstract group as studied under this form depend above all things upon (a) The existence of the system of q marks, 0, 1, 2,...q 1, which may be combined by the four fundamental operations of algebra, and in which the ql marks (0 excluded) are given as the successive powers of one of them (a primitive congruence- root, modulo q)', (6) The introduction of the mark oo (due to Galois). c o N O. The Galois-field of order s = q n , GF [s]. Suppose that we have a system of s distinct symbols or marks*, fa, fjL, ...... /AS (s being some finite positive integer), and suppose that these marks may be combined by the four fundamental operations of algebra addition, subtraction, multiplication, and division these operations being subject to the ordinary abstract operational identities of algebra etc. * It is necessary that all quantitative ideas should be excluded from the concept marks. Note that the signs > , <: do not occur in the theory. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 211 and that when the marks are so combined the results of these operations are in every case uniquely determined and belong to the system of marks. Such a system of marks we shall call a field of order s, using the notation F[s]. We are led at once to seek To determine all such fields of order s, F [s]. This determination is the subject of this section, 3. The most familiar instance of such a field of order s = q = a prime is the system of q incongruous classes (modulo q) of rational integral numbers a. Galois discovered an important generalization of the preceding field. Let F n (X), a rational integral function of the indeterminate X of degree n with integral coefficients c; , c n = + 1, be irreducible, modulo q. Then the Galois-field of order s = q n , OF [q n ], consists of the system of q n incongruous classes (modulis q, F n (XJ) of rational integral functions of X with integral co- efficients. In this GF [q 11 ] there exist primitive roots ; the q n 1 successive powers of a primitive root are the q n 1 marks of the field (0 excluded). The Galois-field GF[q n ] is uniquely defined for every q = prime, n = positive integer ; that is : F n (X) which are irreducible (mod. q) do exist ; The GF [q n ] is independent of the particular irreducible F n (X ) used in its construction. For the details of this Galois theory, see Galois: Sur la theorie des nombres (Bulletin des Sciences mathematiques de M. Ferussac, vol. 13, p. 428, 1830; reprinted, Journal de Mathematiques pures et appliquees, vol. 11, pp. 398-407, 1846); Serret: Algebre superieure, fifth edition, vol. 2, pp. 122-189; and Jordan: Substitutions, pp. 14-18. Assuming now (nothing but) the existence of a field of order s F [s], I proceed to establish its fundamental properties, and prove in particular (40) that : Every existent field F[s] is the abstract form of a Galois-field GF[q n ]; s = q n . This interesting result I have not seen stated elsewhere. 142 212 ELIAKIM HASTINGS MOORE. The purely abstract form here given to the theory would seem to fit it best for immediate use wherever it can with advantage be introduced. Naturally in many details my deduction of the properties of the F[s] runs parallel to the work of Galois, Serret and Jordan in investigating the GF[q n ]. I forbear to give closer references. For ultimate existence-proofs I fall back (22, 38, 39) on the Galois theory. This sharp separation of the necessary properties of the field F[s] if existent from the details of the various existence-proofs I consider highly desirable. Def. Any rational function of any number of indeterminates X lt X 2 ...X k , is said to belong to the field or to be of the field, if it has as coefficients marks of the field. An equation between two such functions is said likewise to belong to the field or to be of the field. A rational integral function of any number of indeterminates belonging to the field is called irreducible in the field when it is not identically* the product of two or more such functions belonging to the field. (1) The theorems of ordinary algebra concerning rational functions of indeterminates hold for functions of our field ; in particular, the algorithm for determination of the highest common factor of two rational integral functions of the indeterminate X . (2) The s marks fa fa, fa. fi.,,...^ UK ar e equal; this, mark is written /& or 0. (3) In division the mark ^ (0) = may never be the divisor. (4) The sl marks (/i;=f /*>)) are equal; this mark Mi is written /i (1) or 1. (5) m + /*>) = m for every fa. (6) /A( 0) /Ai = /ij/(o) =/fc( ) for every m. (7) fi(o M = /**/*< = /** for ever y /*f- (8) fafjj = /%> = only if fa = A* = or fjtj = /* = 0- * In the indeterminates. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 213 Def. c being any positive integer, we denote the mark /&), the q marks c/i(c = 0, 1, 2... (q 1)) are distinct and form an additive-group [p] with the basis-system p, in the sense that the sum of any two of these marks is a third of the same system d/i+ C 2 /A = (d + C 2 ) /*, Def. Any h marks Vi(i=l, 2,... A) of the field F[s] are called linearly independent with respect to the field F[q] (17) if the equation h 2 cti'i = 0, i=l where the c/s are marks of the F [q], can be satisfied only in case every a = 0. (19) Any h marks Vi(i= : 1, 2,.../j) linearly independent with respect to the F [q] give rise to the q h distinct marks of the field .A /Every c, has the values\ i A *' V 0,l,...(g-l) J Def. These 5* marks form COT additive-group [v lt v z ,...vji] of rank* h with respect to the field F[q] of which the h marks z/i . . . Vh form the basis-system *. The additive-group is trans- formed into itself when every mark is multiplied by a mark (4= 0) of the F[q]. If from any h' linearly independent marks v/, (j = I, 2 ...h') * Frobenius und Stickelberger : Ueber Gntppen von vertauschbaren Ele- menten (Journal filr die reine und angeivandte Mathematik, vol. 86, pp. 217-262, 1878) use these terms (p. 219). A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 215 of this additive-group we form the additive-group [v/, i> 2 ', ... v h '] of rank h', this group is entirely contained in the original additive- group. Any h + 1 marks of an additive-group of rank h are linearly dependent. Any mark of the field F[s] not in the additive-group [y l} i/ 2 ...i>ft] of rank h forms with the h marks of the basis- system a system of h + 1 linearly independent marks, the basis- system of an additive-group of rank h + 1. (20) Our field F[s] of finite order s may therefore be ex- hibited as an additive-group of some finite rank n ; hence s must have the form s = q n . (21) Any field included within our field F [s = q n ] may likewise be exhibited as an additive-group of rank I n. This rank I of the F[q l ] thought of as an additive-group is called also the rank of the field F [q l ] itself. It turns out (26) that the rank I of the included field F [q l ] is a divisor of the rank n of the including field F[q n ], (22) Any mark /* of the field F[s = q n ] satisfies an equation of the form where the expression f k (X) belongs to and is irreducible in the field F[q 1 ]. The positive integer k the degree of the equation is called the rank of the mark /z with respect to the F [q 1 ]. For consider the successive powers //,*({ = 0, 1, 2 ...) of the /*. A linear relation with coefficients belonging to the jP[ since this equation would lead (by multiplying by l/jh+i, and by substituting for the marks ji/yh+i which belong to the field F [q l ] the marks 7$' respectively) to the equation h Vh+i= 2 yi'vi, 1=1 which would contradict the hypothesis that the V h+l is not in the additive-group [v 1} v 2 . . . Vh F [<^J]. (26) Our field F[s = q n ] of finite order s=q n may be ex- hibited with respect to any included field F [q l ] of order q l as an additive-group of some finite rank h ; sq n = q M \ n hi. The rank I of any field F[q l ] included in the field F[q n ] of rank n is a divisor of n. The quotient h is the rank of the including field F[q n ] with respect to the included field F[q 1 ]; n = hl. (27) For every mark v^p {0} of the field F[s = q n ] there exist (because there are only s marks in the field) positive integral solutions e of the equation V 6 = /*(!) =L The smallest such solution, say e, is called the multiplicative- period or exponent of the mark v\ v is said to belong to this exponent e. The e marks i/=l, v 1 , v*...v e ~ l are distinct, and form a multiplicative-group. (28) If two marks v lt v 2 belong to exponents e lt e 2 respect- ively which are relatively prime, their product belongs to the exponent e^, and the marks are e^ distinct marks. (29) The s l = q n l marks p 4= may be thought of as the elements of a multiplicative-group of order s 1. The period of the element v is its exponent e. Whence e is a divisor of s-l = q n -l. 218 ELIAKIM HASTINGS MOORE. The equation of the field F[s = q n ] X'-l = where e is the exponent of some mark v has in the field at most e roots (11) (not having the root X = = /*,)), and in fact it has the e roots v i (iQ, 1, 2,...(e 1)). (30) The equation of the field X 8 - 1 -1=Z M - 1 -1=0 is satisfied by every one of the 5 1 marks v 4= 0, since the exponent of every mark v is a divisor of s 1. (31) The equation of the field X-X=Xv n -X = is satisfied by every mark V of the field F [s = q n ]. Hence the decomposition in the F [s = q n ] This is the generalization for the F[q n ] of Fermat's Theorem for the F[q l l (32) Converse of (29). / being any divisor of s - 1 = q n - 1 the equation X/-.1-0 has in the F[s = q n ] exactly/" roots. For let s 1 =fg. We have the identity in X in the field F [q l ] and so in the field F[s = q n ], whence (30, 12) the desired conclusion follows. (33) In particular, if s 1 = q n 1 = p^p.^ ...pk h *, where the p's are the distinct prime factors of s 1, the equation Xvt h ' -1=0 for i any integer of the series 1, 2, ... k has in the field F[s = q n ] Pi h i roots v. The exponent e of every one of these roots is a divisor of pfi and hence is of the form pfi (hi ^ hi). Of these roots pi h i~ l belong to exponents which are factors of pfr 1 , namely, the p^~ l roots of the equation Xp/'i' 1 -1 = 0. The remaining p t h i pfr 1 =p^i ( 1 -- ) roots belong to the \ Pi/ exponent pfi itself. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 219 Whence, by multiplication of marks belonging to the various exponents p^ (i= 1, 2 ... k), we obtain in all distinct marks belonging to the exponent i-l (28). [Here (t) denotes, as usual, the number of integers less than and relatively prime to the positive integer t.] Thus, the s - 1 = q n - 1 marks (4= 0) of the field F[s = q n ] are the sl powers of a mark p belonging to the exponent s l, or say, of a primitive root p of the equation X B ~ l 1 = 0, or of the field F[s = q n ] itself. The multiplicative-group of the s I marks is cyclic. (34) Similarly : Any equation of the form X'-'-O, where f is any divisor of s 1 = q n 1, has in the F[q n ] f roots (32), of which (/) are primitive roots. p being a primitive root of the equation X'- 1 -1 = 0, s-l f then p f is a, primitive root of the equation JT/-1 = 0. (35) All the results reached may be applied to any field F[q l ], in particular to any F[q l ] included within the F[q n ], where then (26) I is a divisor of n. The marks of such a F[q l ] are the q l roots of the equation (31, 32) jy - x = x ( jy-i - 1 ) = o. Our field F[q n ] containing one F[q l ] contains no other F[q 1 ]. The converse of (35) is true ; see (39). (36) Every mark v(^0) of the F[q n ] is the root of an equation F k (X)= 1 c^ = ( Cjfc =l), =i belonging to and irreducible in the F[q] of degree k equal to the rank of the mark with respect to the F[q] ; see (22). 220 ELIAKIM HASTINGS MOORE. The greatest common divisor of X^ n X and F k (X) both of which belong to the F [q] does itself also belong to the F [q] ; but F k (X) is irreducible in the F [q] ; the divisor is accordingly F k (X) itself, or some mark independent of X. The process necessary to determine this divisor may however be interpreted also in the F[q n ], in which case X v is recognized as a common factor (31, 22, footnote). Whence in the F[q]Xv n -X is exactly divisible by every such expression F k (X). Here fc is a divisor of n (26, 22). (37) First converse of (36). Every factor F k (X) of degree k of X? n X which belongs to and is irreducible in the F [q] has in the F[q n ] k linear factors (31, 32) 1=1 k The mark ^ defines (23) a Galois-field GF[q k ] of order q contained in the F[q n ], Whence & is a divisor of n (22). (38) Second converse of (36). Every expression F k (X) of degree k, a divisor of n, belonging to and irreducible in the F [q] occurs as a factor of Xv n X. For every such F k (X) serves (by the Galois theory) to define a GF[q k ]; whence the F k (X). is a factor ofX* k -X = X (Xv k -> - 1) (36), and thus of X(X^ n - 1 -l) = X9 n -X. (39) Galois-fields GF[p k ] exist (being by the Galois theory defined by such an F k (X), (38)) for every prime q and integer k. Our F[q n ] contains one (38, 37, 23) and only one (35) GF[q k ] for every k a divisor of n, and no other fields whatever (26, 35). The marks of such an included GF[q k ] are the q k roots of the equation - X = 0. k is the rank of the field GF[ 1 only for e' a multiple of e. F k (X) is an exact divisor of X^- 1 -I, and of X^'' 1 - I only for k' a multiple of k. (46) Similarly, using also the method of (36) : The mark v is a root of the equation X e 1 = 0, and of X e> 1 = only for e' a multiple of e. The mark v is a root of the equation X^- 1 1 = 0, and of X^'- 1 -1 = only for k' a multiple of k. 222 ELIAKIM HASTINGS MOORE. (47) The equation F k (X) = is in the FG [g*] completely reducible, having the roots X = v, v ; \i\ . . . \9 fc+1 (\q k = x) are called conjugate with respect to the GF[q]. These k conjugate marks are, in view of \v l =\, the I marks X 1 =X, X l , X 2 , ... X^" 1 , k y times repeated. These I marks are the roots of an equation I \ belonging to and irreducible in the GF[q] (22, 47). The expression A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 223 in the GF[q] has the decomposition It would be interesting and for other allied investigations necessary to study in detail the properties of the GF[q n ] with respect to any included GF [q l ], as we have studied the properties with respect to the GF [q 1 ]. Concerning squares and not-squares in the GF[q n ]. (49) Let p be a primitive root of the GF[q n ], that is, of the equation (33) X s - 1 - 1 = Xi n ~ l -1 = 0. (a) If q > 2, and so s 1 = even = 2t, then p* = 1 4= + 1 ; . (even (squares the < , , powers of p are < ; every square o- = p 2A has (odd J (not-squares two square roots p h and p h+t = p h . With respect to the multipli- cation and division of squares and not-squares the well-known laws of the theory of numbers [that is, for the particular case of the GF[q],n=l] hold. (b) If<2=2, and so s 1 = odd = 2t+ 1, then p- is also a primitive root of the GF [q n = 2 W ] (since 2 is prime to s 1 ) ; every mark is a square, and has only one square root. (We notice that - 1 = + 1 in this GF [2 n ].) Thus in the GF [q 11 ] if q > 2 there are ^ (s ~ 1) sc l uares > (* - 1) not-squares. q = 2 s 1 = ; 2 n 1 squares. (50) If q > 2, the not-squares of any GF [q 1 ] are in an including GF[q n ] not-squares or squares, according as the rank n/l = h of the GF [q n ] with respect to the GF [q 1 ] is odd or even. o n 1 p 1 = p u where u = - L _ is a primitive root of the GF [q 1 ] (34). The marks (4=0) of the GF[q l ] are given by Pl = p w (v = 0, 1,... (I 1)). Let p^ be in GF[q l ] a not-square; v is odd; p^ = p uv is in GF[q n ] a not-square or a square according as uv, that 224 ELIAKIM HASTINGS MOORE. is, as w, is odd or even, that is, in fact, according as h = n/l is odd or even. For by the equation q n -\ q hl -l *^i .. M 2 _ _ _ _ V nil - ~ 1 1 - > T~ - ~ V tf-l q l -l i=0 ^ we exhibit u as the sum of h odd terms. The Galois-field of order s = q m . Notation. The GF[q] contains one GF[q n ] (3, 39). Hereafter in this paper I shall use the small Roman letters a, b, c, ... to denote integers and also marks of the GF[q], the small Greek letters a, /3, 7, ... to denote marks of the GF[q n ], and the large Roman letters A, B, C... to denote marks of the Def. In the GF[q] the two marks A, B where B = A n , A =B qn (since A^~ n = A) are called conjugate with respect to the GF[q n ], The notation A for the conjugate of A is used. (1) If and only if A belongs to the GF[q n ], does A=A. (2) AG = AC, Ji = C2) f , 7= A, aA + bB + cC = a A + bB + cC. (3) Every mark A of the GF[q] and not of the GF[q\ is the root of an equation belonging to and irreducible in the GF [q n ]. The two roots are For: A + A=K and A A = L belong to the GF[q n ], since (2, 1) = A+A=K, We may then set A + A = *, A A = X and have in an equation belonging to the GF[q n ] with the roots X=A, A and irreducible in the GF[q n ] since its roots do not belong to GF[q n ]. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 225 (4) Converse of (3). Every quadratic equation belonging to and irreducible in the GF[q n ] is reducible in the GF[q m ], having as roots a pair of conjugate marks A, A. (a) There are in all q m distinct quadratic equations belonging to the GF[q n ]. (6) Of these | (q m + q n ) are reducible in the GF [q n ], viz., q n with equal and %(q n (q n - 1)) with unequal roots. (c) There are (q q n ) irreducible ones which are exactly the equations (3) whose roots are respectively the (q m q n ) pairs of conjugate marks A, A. Note that every mark /8 a not-square in the GF[q n ] is a square in the GF[q] ( 3, 50). (5) Since q n + 1 is a divisor of q 1, the equation Xv n +i -1=0 has in the GF [q m ] as roots the q n + 1 successive powers of a primitive root J ( 3, 34). Any mark A whose conjugate is its reciprocal AA = A*"* 1 = I, is thus a power of J and with its conjugate satisfies (3) a quadratic equation of the form The powers of / which lie in the GF(q n ) satisfy likewise the equation X 2, q n + 1 even) /*? w + 1 > = - 1. Thus there are , - A ,. ,,, , i , quadratic equations of the form if q = 2, \q n = 2 71 " 1 H X*- K X + 1 = Q, which belong to and are irreducible in the GF[q n ]. I write the one satisfied by 7 and J = J"" 1 thus (/; (9) (X-J)(X-J) = X*-0X + 1=0, thereby defining the mark 6 of the GF [q n ] c. P. 15 226 ELIAKIM HASTINGS MOORE. (6) In the GF [q m ] the mark J having the period e = q n + 1 defines ( 3, 23, 39) the GF[q] itself ( 3, 44). (7) In the GF(q n ) the mark 6 defines the GF[q n ] itself. For let define the GF[q l ] (I a divisor of TO). The GF[q m ] contains a GF[q* 1 ], in which the equation belonging to the (J- 6) X* is reducible (4). Hence its root J belongs to the GF[q 21 ]. Thus indeed I = n (6). (8) There are < (q n + 1) primitive roots J and thus % (q n + 1) marks 0. We do not now need to inquire further into the properties of this system of marks 0. (9) Any mark A of the GF [q] may be written in one and only one way in the form A = 7 -f 8 J. ( 3, 24). Its conjugate is (2, 5) A = 7 + &J- o 5. Definition of the group G^^ . Our abstract group* G M ( q n ) will be studied under two concrete substitution-group forms G^L and G'^, + ny Indeed it will be now defined by its concrete form 6rj f , +1 > . We work in the GF[q n ] with a mark oo adjoined. The mark oo shall have with respect to the GF[q n ] operational properties strictly analogous to those of the algebraic symbol oo with respect to the totality of finite algebraic symbols. Let the variable marks &>, &>' run through this series of q n + 1 marks. Let a, /3, 7, 8 be any marks of the GF[q n ] for which the * As to group-notations : The subscript attached to the symbol G of a group denotes its order. The superscript attached to the symbol G of a substitution-group denotes its degree. The elements of an abstract group are called operators ; those of a (concrete) substitution-group substitutions. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 227 determinant A = 8 /3 a certain mark aj ', and indeed so that to' takes every one of its q n + I values, the reciprocal substitution being < (7-) F effects then a definite permutation of the //S>/\ ' (7 a +07) 2. The marks (4= 0) are half squares and half not-squares ( 3, 49) ; and A" 1 or A" 1 /? is a square, 152 228 ELIAKIM HASTINGS MOORE. according as A is or is not a square (p being a primitive root of the GF [q n ]). By choosing then /* = VZr 71 or V A-^p according as A is or is not a square, V^ has its determinant A M = 1 or p respectively. (6) Case q = 2. Every mark (4= 0) is a square ( 3, 49). By choosing then /j, x/A" 1 (uniquely defined in the GF[q n - 2 n ]), F M has its determinant A M = 1. These forms of the substitution for which the determinant is 1 or p (q > 2); 1 (q = 2) are called normal forms of the substitutions. Every substitution has exactly, if q > 2, two normal forms, or, if q 2, one normal form. 'a., (08 -#y = y, Lemma. The equation of the 6rF [s = ^ n ] S /3y = e, in which e is a fixed mark =j=0, has (s l)s(s + l) solutions (a, A 7, ). For (a) a being 0, then 8 may have any one of s values, then may have any one of s 1 values (={= 0), and then 7 is uniquely determined by the equation, and (b) a being =}= 0, then a may have any one of s 1 values (=}= 0), then and 7 may each have any one of s values, and then the equation determines 8 uniquely. Whence the equation does have in all s (s - 1) + (s - 1) ss = (s - 1) s (s + 1) = s (s 2 - 1) solutions (a, 0, 7, S). Thus: (q>2). There are s(s 2 -l) substitutions 7> having A = 8 /37 = square (in normal form, A= 1) and %s (s 2 1) having A = not-square (in normal form, A = p). (o=2). There are s(s 2 1) substitutions f- 2 -^) (in normal \7, d> l form having A = 1). Thus clearly the order M(s = q n ) of our G'^ g) (the totality of substitutions with determinant 1) is* (q > 2 > q = 2) ' * We shall need to discriminate frequently between the cases q > 2, 3 = 2. The compact notation used for such discrimination should cause no confusion. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 229 The group of all the substitutions with determinants ^ has the order (2; 1) M(s) according as (2; 2 the G* 2 *f (s] contains the G'** s) as a self-conjugate sub-group of index 2. I prove in this paper the following Theorem. This group GM(S) is a simple group in all except the two particular cases (n = l, ? = 2, 5 = 2, jl/ = 6, where the GM ( 8 ) are in fact known to be I the 6r 6=3 1 symmetric substitution-group on s-j- 1 = 3 letters, the 6r 12 tetrahedron group or alternating substitution-group on 5 + 1 = 4 letters, and to have as self-conjugate sub-groups fa G 3 cyclic-group. (a G t four-group. To this end it is necessary first (7) to discuss the individual operators, and the cyclic and commutative* sub-groups of the 6rjf( g ), and secondly ( 8) to establish a diophantine equation t for the order of a self-conjugate sub-group, which shall lead to the conclusion that the only self-conjugate sub-groups of the GMIS) are the identity and the GMM itself. In 6 a new " imaginary " form G'^^ of the group is introduced, which will be very useful in 7 ; for n = 1 this introduction is due to Serret. The theory of 6, 7 runs on the whole parallel to that for the case n = I,q>2 as exhibited:): by Klein-Fricke following Serret and Gierster. There are, however, necessary and important variations. * A group is called commutative if its operators are commutative. t Klein uses this method to prove the ikosahedron group (? 6ft simple; Ikosaeder, p. 17. Klein : Vorlesungen iiber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, aus- gearbeitet und vervollstandigt von Dr. Robert Fricke, (1890-92): vol. 1, pp. 419-450. Serret: Comptes Rendus, 1859, 1860; Algebre superieure, vol. 2, p. 363 f. Gierster: Mathematische Annalen, vol. 18, pp. 319-365; Die Untergruppen der Galois'schen Gruppe der Modular gleichung en fiir den Fall eines primzahligen Transformationsgrades. 230 ELIAKIM HASTINGS MOORE. /* o. Definition of the group G'^^ 1 , the "imaginary" form of the We work in the GF[q m ] with a mark x adjoined, and let the variable marks W, W run through this series of q* 11 + I = s 2 + 1 marks, (s is used hereafter uniformly for q n .) Consider the group G^ + ^ M ^ t) (q > 2 ; q = 2) of all substitutions of the form This group contains the sub-group ^y^ of all substitutions of the form which is holoedrically isomorphic with the substitution-group G s ^\ ( 5) on the s +1 marks o> ; indeed, it is an intransitive group on the s" + 1 marks W, the 5+1 marks o> forming one system of intransitivity. The group G^ 1 ^ M(gZ) contains also the substitution (3) * of determinant J- /=j= ( 4, 1, 5). We have ( 4, 5) (4) J-=eJ-l; J* = OJ-1. (5) //=i (6) v-i- A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 231 R transforms* the group G' {V} into an holoedrically isomorphic group G"^ [V] = R [V] R~* = {V = RVR- 1 }, where (X-AA-BB-l). ( g - (10) A' = AA - BB = /c 2 + X 2 - tf - v z + (K\ - AM/) d = aa-/37 = A = l. This group (T'^ } includes every substitution of the form ( V) (8). The V is determined from the V by the formula (11) 8= K + fJb. (12) A = aS - /3y = /c 2 + X 2 - ^ - v 2 + (K\ - pv) d This group G' S M ** [V] (8) is the "imaginary" form of our GM(S). For n=l, q>2 this form was introduced (by Serret, and then) by Gierster, loc. cit., p. 327, and indeed, as we have done for the general case, by introducing the broader group G-\ M \, within which the 6r^.|* and the Gr'^ are conjugate sub-groups * J?, V being two operators of a group, R transforms V into the conjugate operator V'=RVR- 1 . This definition is preferable to the other, V' = R~ 1 VR, when as here in the G s+ } the operators are substitutions on the s + 1 marks M(s) operating from the right to the left. 232 ELIAKIM HASTINGS MOORE. (loc. cit., p. 331). Gierster (loc. cit., p. 328) and Klein-Fricke (loc. cit., p. 425) use transforming substitutions which depend upon the square root in the GF \tf\ of a not-square in the GF [q 1 ]. Since however not-squares do not exist in GF[s = q n ] with q = '2, we have made use of a transforming substitution R of a different type which does exist for the general n with q = 2 as well as with q>2. I notice in conclusion that the two substitutions VQ of the GJIJ and Vj^RVJtr 1 of the ' are conjugate, s + 1 and accordingly V 6 has the period -^ - ( 7, (11)). * i rr 1 1 The individual operators and the cyclic and commutative sub-groups of the GM^. To summarize at once the conclusions of this section : Of the GM (s) every operator (the identity excepted) determines and lies in one and only one largest* commutative sub-group. These sub-groups constitute three different sets, the groups of each set being conjugate with one another under the GM (S ). (I) s + 1 conjugate commutative G s = q n. These s 2 1 operators are all of period q. For q = 2 these are all conjugate operators. For q>2 they separate into two sets of ^(s 2 1) conjugate operators. The ql operators of a cyclic group G q (q > 2) belong (n odd, half to one and half to the other] , \ \ set of conjugate operators. \n even, all to the same ) (II)* ^s (s + 1) conjugate cyclic groups G s +\ (q > 2 ; q = 2). 2;~1 (III)* %s (s 1) conjugate cyclic groups G s+ i (q > 2 ; q = 2). * For the cases s = q l = 5; 3, the GM() being the ikosahedron G 60 ; the tetra- hedron G 12 , the groups (II)* ; (III)* above specified, viz., 15 conjugate 0? 2 under the G 60 ; 3 conjugate <3 2 under the 0? 12 , exist, but every one is contained in a larger commutative four-group, these constituting a system of (II) five conjugate commu- tative four-groups ; (III) one commutative four-group. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 233 The operators and groups of the three types will be discussed by considering the G M () in the concrete substitution-group form for tyP 68 !' n, and 0' JJJ for type III. /. The operators of period q. Denote by Sp the substitution of the m S (3) Sp = S q p = S = I; S^ = S- where / denotes the identical substitution, The totality of s = q n substitutions Sp constitutes a commuta- tive group G () {Sp} of order s = q n . Every substitution (except s 1 the identity) is of period q. There are cyclic G q in the G ( s x) . To study the conjugacy of these substitutions and groups under the G s ^ s) we transform $ M (p =|= 0) by V = ( ? j and obtain (5) VS V~* = This transformed substitution belongs to the G ( ] if and only if in V 7= 0, and in fact V = f fl ' _ a j does transform /S^ into 1 /a\ Sjn, while in particular any Sp = ( /r-y ) transforms >S M into itself. \Vj -I / Within the G s ^ s) the substitution 8^ {/* 4= 0} is self-conjugate in exactly the G ( 9 D) {S ft }, while the G ( ^ is self-conjugate in exactly the G^ l} \ ' _[. The order of this last group is ~ ~ , for a all I ' a " has in all 5 1 values (4= 0), and /3 has independently s values ; every substitution is however counted twice if q > 2. The substi- 234 ELIAKIM HASTINGS MOORE. tution Sft. is conjugate under the G'^ with the substitutions S^ i.e., if (q > 2 ; 2 = 2), with (only half; all) the s 1 substitutions of the G ( } ( 3, 49). If q > 2, the s - 1 substitutions of the Q ( " } separate into two sets of ^(s 1) conjugate substitutions. The q 1 substitutions of a cyclic group G q {S afL \ (a =f 0) belong half to one and half to the other set, if n is odd, since then only half the marks a are in the GF [q n ] squares ( 3, 50), while if n is even, they all belong to the same set, since all the marks a are in the GF [q n ] squares. In the G 8 ** there are conjugate commutative groups G g . Each of these is defined by any substitution lying in it (the identity excepted) as the group in which that substitution is self-conjugate. The s + 1 groups have the identity in common, but otherwise have quite distinct substi- tutions all of period q, s 2 1 in all. Theorem (I) as stated is now seen to be proved. s 1 77. The operators of periods divisors of . Denote by P the substitution of the (6) P where p is a primitive root of the field GF[s] ( 3, 33). We have as powers of P (7) P? p belongs to the exponent s 1. The cyclic group generated by P has order |^ (q > 2 ; q = 2) ; denote it by G ( _ {&>}. The sub- ' 271 stitutions -t] (aS /3y=l) of this group are defined by the vy, oy equations /3 = 0, 7 = 0. This group G_ 1 contains a substitution of period two if and A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 235 only if s = q n has the form s = q n = 4>h + I ; in this case s-1 / \f i n (8) pft = p^r = ( V ~ 1 ;J; \0, -V-l exists and has the period two. Any substitution V of the (9) 1? transforms P^ 4= / (p 9 =j= 1 5 ' P 9 P~ a 4= 0) into (10) ff - -s This transformed substitution belongs to the cyclic group G ( _ {Pff} if in V a/3 = and j8 = 0. We have also aS - #y = 1. 8t 1 Two cases arise. First case : $ = 7 = 0. V= ( ' _J itself belongs to the cyclic group G s ^ l and of course transforms every P# of the group into itself. Second case: a = S = 0. V= ' transforms P g into P t " P~^, which is distinct from P# unless P^ is of period two. Within the G M ,^ the cyclic G*_^ is self-conjugate in exactly 271 the dihedron-group G "_ 1 composed of the totality of substitutions 2 2~Ti , , , , / a, \ / 0, of the forms Within the G M(s) a substitution PO is self-conjugate in exactly s-l the G_ I} except in the case s=<2 M = 4A + l, in which the P 4 271 is self-conjugate in exactly the dihedron G "_ 1 ; this dihedron 2 ~2~ group is commutative only if it is a four-group (s = q l = 5). In the G M(S) there are jjf (a) = ^|^p} + 2 |^i = i ( + 1) conjugate cyclic groups G^ = ^ s ^i- Each of these is defined by 271 271 236 ELIAKIM HASTINGS MOORE. any substitution lying in it (the identity excepted) as the largest cyclic group containing that substitution. The 5(5+!) groups have the identity in common, but otherwise have quite distinct s 1 substitutions, of periods divisors of ^ _- , in all * j 1 s. s + Is-1 2 V2; 1 7 4; 2 substitutions. 51 In the G M ( s) there are M(s)-r- 9 - = s(5 + l) substitutions conjugate to P g of which two lie in every G*_ l (for instance, in 2TT ( 2 : q = 2) ; denote it by G* {Q*}. The sub- ' 271 stitutions (^- =} (AABB= 1) of this group are defined by the \-D, A.' equation B = .'. B = Q; see ( 4, 5). This group G* +1 contains a substitution of period two if and 8; 1 only if 5 = q n has the form s = q n 4>Jc l] in this case * l / A/^Ti ;-^-tff7 exists and has the period two. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 237 Notice particularly that in the G M ( S - } operations of period two are always present being all of type I, II or III according as q is even (= 2), or (q odd) q n of the form q n = 4>h + 1 or q n = 4k 1. Any substitution V of the G"^ (13) F transforms Qe ^ / (Jff ={= 1 ; /. Jff-Jff0) into (14) AB(J*-Jff), AAJo-BBJo This transformed substitution belongs to the cyclic group G* +l {<&} if in V AB = and AB = 0. We have also A A - BB = 1. aTi Two cases arise. First case : B = B = 0. V=( ^ - J itself belongs to the cyclic group G g+l and of course transforms every Q y of the group 71 into itself. (07? \ - ) transforms Q g B = B l , O/ into Q~ g , which is distinct from Q^ unless Q? is of period two. Within the G M(s) the cyclic G* +l is self-conjugate in exactly the dihedron-group G* s+l composed of the totality of substitutions / A, \ V 0, B of the forms, ( ^ j^ 1 , ( ^^~ Within the GM(S) a substitution Qo is self-conjugate in exactly s+l the G* +1 , except in the case s = q n = 4& 1, in which the Q 4 is 271 self-conjugate in exactly the dihedron G* s+l ; this dihedron-group is commutative only if it is a four-group (s = q 1 = 3). In the G M( s) there are \M (8) = 8 -%^M + 2 I ^ 5 - 1 J cyclic groups 6^ s+1 conjugate to G* +r Each of these is defined by alT fTi any substitution lying in it (the identity excepted) as the largest 238 ELIAKIM HASTINGS MOORE. cyclic group containing that substitution. The %s(s 1) groups have the identity in common, but otherwise have quite distinct s + 1 substitutions, of periods divisors of , in all ^ j 1 s.s-1 fs + l _ \ _ s(s-l)(s-l', s) 2 Un " ) ~ 4; 2 substitutions. s + 1 In the GM(S) there are Jif(s)-^--^ ^ = s(s 1) substitutions conjugate to Qs of which two lie in every G g+1 (in Cr* +1 , for in- g+1 r* +1 , 271 sTi stance, lie Q? and Q~^). However, for s = q n = 4tk l, there are only ^s(s 1) substitutions conjugate to Q * , one lying in every 2Tl We have now enumerated all the individual operators of the GM () , and likewise all the cyclic arid commutative sub-groups ; for 4 , L s(s-I)(s-l; s) (The identity is not enumerated under I, II or III and so is counted separately). O O. Concerning self-conjugate sub-groups Gd of the GM(S)- Every GjiKs)^^^ 1 , 3 1 ) is a simple group. Let Gd be any self- conjugate sub-group of the GM^. If the Gd contains one of a set of conjugate substitutions or sub-groups of the GM(S}> it will contain all of that set. Whence the Gd contains %s(s 1) conjugate cyclic Gd* from the ^s(s 1) conju- gate cyclic Gg^i, and of the substitutions of period q either none 271 s 2 1 or all of one or both sets ; the one set of -^ - conjugate substi- * j J- tutions. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 239 The enumeration of the individual substitutions of the self- conjugate Gd leads to the diophantine equation (1) l+$(s*-I)f+1ss(s + I)(d--I)+$s(s-l)(d + -l) = d to be satisfied for positive integral values of d, cL, d+,f where d, d, , d + are divisors of s(s 2 -l) s-l s + l 2; 1 ' 2; 1' 2~Tl' respectively, and where / is restricted to the values 0, 1, 2 ; 0, 2. This equation (1) becomes (1*) -^(s--l)h + ^s(s + l)d. + ^s(s where (2) A = 2-/=2, 1,0; 2,0. Notice that any two of the three integers . ~ ' 271* 271 are relatively prime. Denote, as usual, by [t, u] the greatest common divisor of the two positive integers t, u. d is & divisor of s s ~ and may be written (3) where (3) 5+1 Now d^ is a divisor of = -, /. of terms first, second, third of *3 1 the equation (1*), .'. of term fourth, /. of d, and /. of C T . On the s+l other hand C T is a divisor of d and of ^ =-, .'. of terms first, fourth, *3 1 third second _ N7 ,,5 + 1. ,,. , , , /. of term , , . , , /. of is (s + 1) eL ; but - - is relatively second third 2; 1 s + l prime to s .'^=-^. and so to s(s + l); .'. C T is a divisor of d^. * j 1 Whence (4) C T = ^. 240 ELIAKIM HASTINGS MOORE. [Case h = 0]. .. - is a divisor of terms first, second, third of 1 5 * the equation (1*), /. of term fourth, /. of d. Whence s s (3, ) d = 2' j d - rf + < 2 ' = 1 or 2). S O n [Case A, > 0]. c' is a divisor of d and of - ~ = , ; so that 1 ; 2 1 ; 2 c' ' - for this case). Whence For q > 2, this is at once evident. For q = 2, it is also true ; c' is a divisor of -^(s 2 - l)^ = -(s 2 - l)^ = -( 2 - 1) (since /t = 2) and so must be 1, s z 1 = 2 271 1 being odd, and c' = ^ = 2* being even unless i = 0. (3 >0 ) d = Vd_d + (2* = lor 2). Here for q = 2, c' = [^] = [2-i,d] = l, and so, for n > 1, d is odd and 2* = 1. The case g = 2, w = 1, s = 2, Jf(s) = 6 occurs of course in the old theory. See Klein-Fricke: Modulfunctionen,Vo\. 1, pp. 285, 387 392, 398. The GjJ5 )=6 _ s! is in fact the composite symmetric substitution-group on s + 1 = 3 letters, having a 6r s -cyclic group as a self-conjugate sub-group. In fact, the equation (l* h>0 ) is, for this case, - 3 + 3d- + ld+ = d, where d, d_, d + are divisors of 6, 1, 3 respectively. Whence cL=l, d + d = 3. This solution of the diophantine equation gives the self-conjugate cyclic G 3 sub-group. Here also we have 2' = 1. Thus, defining 2 e more narrowly, (3W) d = 2*dLd+ (2* = 1 or 2 ; 1). A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 241 Discussion of the diophantine equation (1*) using the equations (3). It is convenient to introduce the factors e^ complementary to ep by the equations: (6) = ^ ; * = (2 [Case /t = 0]. Equation (1*) becomes for h = Q, after replacing s s + 1 d by 2* Y^ - d- d + (3 ft=0 ), substituting d^e^ for nT~T (6)> an d re- 1 , w Z , I o moving the factor - - d-d + , * j ^ (7) e + + e_ = 2' = l or 2. The only solution to this is (8)2* = 2, _-+-!, ^ = |i|, A = 0,# = 2,d= S -^^ = 4f( 5 ), which corresponds to the GM(S) itself as the self-conjugate sub- group G d . [Case h = Q,q>2; .'. A = l or 2]. Equation (1*) becomes for this case by use of (3'/ l >o), (6), (9) - 2e_e+A + se + + se_ = 2* = 1 or 2 ; this becomes, when we substitute by (3) for the first s 2cLe_ + 1 and for the second s 2d+e+ 1, (9') - 2e_e+/i + (2cLe_ + 1) e+ + (2d + e+ - 1) e_ = 2', or, making a convenient rearrangement, (9") (2ke + -l)e- + e + =2 t = l or 2, where (10) k = d_ + d + -h; .'. A;>0. The case & = = cL + c + A- leads to the single solution (11) cL = d+ = l, h = 2, g = 0, d = I, which corresponds to the identity G as the self-conjugate sub- group G d . The case k ^ 1 requires (9") (12) 2* = 2, e_ = e+ = l, d^ = (s + l), k = l= s = h + 1 = 2 or 3, in fact 3. s = 2 is impossible here since q > 2. This case (12') * = 3, 2 = 3, n = l, M(s) = l2, c. P. 242 ELIAKIM HASTINGS MOORE. occurs in the old theory. See Klein-Fricke: Modulfunctionen, Vol. 1, pp. 354, 387392, 398. The GMW-U is in fact the composite tetrahedron-group or alternating substitution-group on s+ 1=4 letters, having a ^-four-group as a self-conjugate sub- group. Indeed our results become for this case (13) s = 3, 2* = 2, cL = l, d + = 2, d = 4, s(s-l) = 3, A = 2, # = 0; that is, the self-conjugate Gr d=4 consists of the identity and three substitutions of period two. [Case h>0, #=2; /. h = 2]. Equation (1*) becomes for this case by use of (3'A >0 ), (6), (14) e_e+ + %se+ + %se- = 1 ; this becomes, removing the ^s by use of (6), (14') - e-.e+ + (d_e- + 1) e+ + (d+e+ - 1) e_ = 2, or, making a convenient rearrangement, (14") where (15) The case k = leads to the single solution (16) 2* = 1, d. = d+ = l, A = 2, 5r = 0, d = l, -which corresponds to the identity GI as the self- conjugate sub- group. The case k > 1 requires (14") (17) e_ = e + = l, d^ = s+l, k = 2 = d_ + d + -2 = 2s-2, s=2. This corresponds to the composite GM*** already considered. Thus finally : The group GM(S^>) of order uniquely defined for every s = q n = any nth power of any prime q, is a simple group, except in the two particular cases s = 2 1 , 3 1 . [Addition of Oct. 29, 1895. I have within a month found out that Mathieu (Liouville's Journal, ser. 2, vol. 5, pp. 38 42, 1860) defined the groups G^s) an( ^ ^(2 +1 i)jW(s) anc ^ s^died their cyclic sub-groups.] THE UNIVERSITY OF CHICAGO. UBER DIE ARITHMETISCH-ALGEBRAISCHEN TENDENZEN LEOPOLD KRONECKER'S. VON E. NETTO IN GIESSEN. LEOPOLD KRONECKER that mir gegeniiber die Ausserung, er habe in seinem Leben bei weitem mehr philosophisch als mathernatisch gedacht und er halte es sogar fur geboten, iiber sein enges Fach hinaus zu allgemeinen Ideen zu streben, um diese dann riickwarts im eigenen Arbeitsgebiete zu verwerten. Diesen philosophischen Zug findet man besonders in den letzten Jahren seines Lebens bei ihm ausgepragt. Seine Grund- lagen auseinander zu setzen und seine Ziele darzulegen, soil im Folgenden versucht werden. In der Einleitung zu dem Aufsatze : " Tiber den Zahlbegriff " hat L. Kronecker in kurzer Fassung den Kern seiner philoso- phisch-mathematischen Anschauungen und zugleich die Zielpunkte seiner arithmetisch-algebraischen Forschungen ausgesprochen. Er kniipft an die Gauss'schen Worte an: "Die Mathematik ist die Konigin der Wissenschaften und die Arithmetik die Konigin der Mathematik." Dann fahrt er fort : " Dabei ist das Wort ' Arith- metik' nicht in dem ublichen beschrankten Sinne zu verstehen, sondern es sind alle mathematischen Disciplinen mit Ausnahme der Geometrie und Mechanik, also namentlich die Algebra und Analysis mit darunter zu begreifen. Und ich glaube auch, dass es dereinst gelingen wird, den gesamten Inhalt aller dieser mathe- matischen Disciplinen zu ' arithmetisiren ' d. h. einzig und allein auf den im engsten Sinne genommenen Zahlbegriff zu griinden, also alle die Modificationen und Erweiterungen dieses Begriffes ich meine hier namentlich die Hinzunahme der irrationalen sowie der continuir lichen Grb'ssen wieder abzustreifen, welche zumeist durch 162 244 E. NETTO. die Anwendungen auf die Geometric und Mechanik veranlasst worden sind." " Alle Ergebnisse der tiefsinnigsten mathematischen Forschung miissen schliesslich in den einfachen Formen der Eigen- schaften ganzer Zahlen ausdriickbar sein." In derselben Arbeit findet auch die Frage, aus welchen Griinden der Freiheit mathematischer Bewegung so enge Grenzen gezogen seien, ihre Beantwortung : Kronecker teilt die Gauss'- sche Meinung, dass die Zahl bloss unseres Geistes Product sei, vvahrend der Raum wie die Zeit auch ausser unserem Geiste eine Realitat haben, so dass unserer Kenntnis von diesen durchaus diejenige vollstandige Uberzeugung abgeht, welche jener eigen ist. Durch jene Beschrankung erlangt also die Mathematik bei einem Minimum von Voraussetzungen die grosst mogliche Sicherheit ihrer Schliisse und Resultate. Mit den Zielen und Mitteln andert sich natiirlich die Me- thode der Untersuchung, indem auch sie sich nur innerhalb der Schranken bewegeu darf, welche durch die strong arithmetischen Anschauungen gezogen sind ; ja es andern sich die Begriffe der Definitionen, der Behauptungen und der Beweise ; kurz, wenn von wissenschaftlichen Revolutionen gesprochen werden darf, dann muss das Krone cker'sche Vorgehen eine Revolution genannt werden. Weder bei Definitionen noch bei Beweisen darf eine bloss logische Evidenz geniigen : die Richtigkeit eines jeden Schrittes muss sich durch eine endliche Anzahl rein zahlentheoretischer Operationen nachweisen lassen. So reicht es nicht aus, die Definition der Reductibilitat und Irreductibilitat auf die Uberlegung zu stutzen, dass jede ganze, ganzzahlige Function in Factoren derselben Art zerlegbar oder nicht zerlegbar sei ; sondern es muss eine Methode angegeben werden, welche durch eine begrenzte Anzahl ausfuhr- barer Versuche die Entscheidung liber den Charakter der Reducti- bilitat giebt. Ebensowenig reicht es aus, dass eine Schlussfolgerung sich auf die logische Evidenz eines Maximums oder Minimums griindet; es muss mb'glich sein, dieses Maximum oder Minimum durch eine endliche Anzahl von Operationen mit einer beliebig vorgeschriebenen Genauigkeit zu bestimmen. Wenn dies, wie bei nicht differentiirbaren Functionen unmb'glich ist, dann muss die Berechtigung derartiger Schliisse in Zweifel gezogen werden diirfen. TIBER LEOPOLD KBONECKER. 245 Wie sich die dargelegten Anschauungen bei der Fassung von Theoremen geltend machen, das zeigt sich wohl am einfachsten an einigen Beispielen. Aus der Theorie der orthogonalen Systeme entnimmt man den Satz, dass mit dem Systeme der Gleichungen a 2 + Z> 2 - 1 = 0, ai 9 + ^-1=0, ao! + 6&! = zwischen den 4 Grossen a, b, a 1} h auch das System a 2 + a a 2 - 1 = 0, 6 2 + If - 1 = 0, ab + aA = erfullt ist, oder in anderen Worten, dass die letzten drei Gleichun- gen "eine Folge" der drei ersten sind. Diese Ausdrucksweise ist jedoch zu unbestimmt ; der Satz muss in der Gestalt identischer Gleichungen pracis und iibersichtlich gefasst werden; und dies geschieht durch das Gleichungssystem a 2 + 0! s - 1 = (1 - of) (a? + 6 2 - 1 ) + b 2 (a^ + b, 2 - 1 ) + (act! bbj (aaj + bbj, fr + b 1 *-l=(l- V) (a 2 + 6 2 - 1) + a 2 ^ 2 + b, 2 - 1) + (&&! aa^ (aox + bb^, ab + a a &! = - aA (a 2 + 6 2 - 1) - a& (ai 2 + bi> - 1) welches erkennen lasst, dass jeder der drei Ausdriicke a? + a^ 1, 6 2 +6 1 2 1, (y) = reductibel wird, nur in der Form entschieden werden, ob F (x) sich modulo (y) als Product ganzer Functionen von x und y mit rationalen Coefficienten darstellen lasst. Die Art des durch ein Modulsystem (M 1} M^.^M^ dargestell- ten " Gemeinsamen " giebt zu einer Einteilung der Modulsysteme Veranlassung. Nimmt man z. B. 3 Variable R und denkt sich diese als Coordinaten des Raumes, so kann das Gemeinsame in Flachen, Linien und Punkten, oder auch nur in Linien und Punkten, oder endlich nur in Punkten bestehen ; es giebt also verschiedene Abstufungen fur dasselbe, und in gleicher Weise stufen sich die Modulsysteme ab. Man findet hierbei in iiber- raschender Weise einen hoheren Gesichtspunkt, von welchem aus die Frage der Darstellung ganzer Zahlen als Normen complexer Zahlen mit der Frage der isolirten Darstellung geometrischer Gebilde in der unmittelbarsten Beziehung erscheint. Genau wie die Zahl 2 alles Gemeinsame der Zahlen 250 E. NETTO. d. h. das Modulsystem (4, 6) enthalt, so sagt man, eine Function enthalt ein Modulsystera (M 1} M^...M^), wenn es mbglich 1st, sie in der Form ^,C k M k darzustellen. Ein Modulsystem (^.....ZV,,) enthalt ein anderes, wenn jedes N dieses andere enthalt ; zwei Modulsysteme sind einander aequivalent, wenn sie sich gegen- seitig enthalten. Eine fernere wichtige Eigenschaft der Modul- systeme ist ihre Zusammensetzbarkeit im Sinne der Aequivalenz. Diese findet bei (M^^.M^, (N l ,...N v } durch die Bildung eines neuen Modulsy stems mit den pv Elementen M^ NI statt. Hieran knupft sich unmittelbar die Frage nach der Moglichkeit der Decomposition, und dabei zeigt es sich, dass, wie es offenbar Modulsysteme giebt, die solchen, durch Composition entstandenen aequivalent sind, auch andere vorhanden sind, welche diese Eigen- schaft nicht besitzen und daher als " nicht zerlegbar im Sinne der Aequivalenz " bezeichnet werden mtissen. Aber unter den nicht zerlegbaren giebt es doch noch solche, die andere Modulsysteme enthalten, wie z. B. (# 2 + p, p 2 ) unzerlegbar ist, und doch (x, p} enthalt, so dass das Enthalten etwa in der Weise stattfindet, wie ein Gattungsbereich hoherer Ordnung einen von niederer Ordnung enthalt, nicht so, wie eine gewohnliche Zahl einen ihrer Divisoren enthalt. Erst solche nicht zerlegbaren Modulsysteme, die keine anderen enthalten, verdienen den Namen von " Primmodul- systemen," da sie in gewissem Sinne die Rolle der Primzahlen iibernehmen. Deshalb reicht die oben gelieferte Zerlegung eines Gleichungspolynoms nach einem Modul auch nicht aus; es muss die Zerlegung nach einem Primmodulsysteme geschehen, wie sie Kronecker denn auch wirklich durchgefiihrt hat. Hierdurch erst ist die Einfuhrung der conjugirten Wurzeln einer algebraischen Gleichung iiberfltissig gemacht. Im Anschlusse an diese letzte Bemerkung wollen wir, ohne weiter in die Theorie und die Bedeutung der Modulsysteme einzudringen, auf eine, oben noch nicht vollig erledigte Frage zuriickgehen, und die Isolirung der conjugirten Wurzeln einer algebraischen Gleichung sowie die Bedeutung der irrationalen Zahlen vom Krone cker'sch en Standpunkte aus besprechen. Beschranken wir uns auf reelle irrationale Wurzeln, so lasst sich bei einer vorgelegten irreductiblen Gleichung f(x) = 0, deren von Null verschiedene Discriminante den absoluten Betrag D haben moge, eine Grosse s derart bestimmen, dass in jedem Intervalle von UBER LEOPOLD KRONECKER. 251 der Grbsse - die Zeichen von f(x) nie oder nur ein Mai wechseln, s je nachdera sie am Anfangs- und am Endpunkte des Intervalles gleich oder verschieden sind. Bei einem Intervalle der letzten Art kann ferner, wenn r eine beliebige positive ganze Zahl bedeutet, ein Teilinterval von der Grosse ^ so bestimmt werden, dass die rsD Function /(#) am Anfangs- und Endpunkt verschiedenes Vorzeichen hat und durchweg in dem Teilintervalle ihrem absoluten Werte nach kleiner als - bleibt. Einzig und allein in der Existenz von Intervallen der angegebenen Beschaffenheit beruht die sogenannte Existenz von reellen irrationalen Wurzeln algebraischer Gleich- ungen. Das " Grosser " und " Kleiner " der Wurzeln wird einfach durch die Aufeinanderfolge der bezliglichen Isolirungsintervalle definirt. Gerade die Benutzung solcher Intervalle ist das Charakter- istische ; dieselben kb'nnen allgemein zum Ersatz der Irrational- zahlen benutzt werden, und die Rechmmgsoperationen mit diesen lassen sich durch solche mit jenen ersetzen. Wie eine Reihe von rationalen Brtichen entweder zur Grenze eines Intervalles oder, bei unbestimmt gelassener Wahl der Intervalle, doch stets in das Innere eines Intervalles fuhrt ; wie Reihen der einen und der andern Art sich dabei absolut von einander scheiden ; wie bei den Reihen der zweiten Art neben die Convergenzbedingung auch noch eine Divergenzbedingung tritt, durch welche festgestellt wird, dass die Convergenzintervalle schliesslich eine jede beliebig gegebene ratio- nale Grosse ausschliessen das Alles hat Kronecker in seinem unvollendet gelassenen Aufsatze: "Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme " eingehend dargelegt. Auf einen wichtigen Punkt des Kronecker'schen Ideen- kreises muss noch hingewiesen werden. Geht man von einem naturlichen Rationalitatsbereiche zu Gattungsbereichen, d. h. aus der Sphare der ganzen rationalen Functionen von Variabeln R', R",... in die tiber, bei denen zwischen den R, R",... algebraische 252 E. NETTO. Beziehungen bestehen, dann gilt fur diese der Satz nicht mehr, dass der grosste gemeinsame Teller zweier Grossen als lineare Function derselben dargestellt werden kann und zvvar mit Co- efficienten, welche ebenfalls dem festgesetzten Grossengebiete entnoraraen sind. Infolge dessen sind die ganzen Grossen der Gattungsbereiche nicht ohne Weiteres nur auf eine einzige Art in irreductible Factoren zu zerlegen. Es fragt sich, wie man die hier- durch entstehende Schwierigkeit iiberwinden kann. Kronecker vollbringt dies dadurch, dass er unter Erhaltung der algebraischen Rechnungsgesetze und vor Allem unter Erhaltung des Divisoren- begriffes den Grossenbereich erweitert und nur die Aequivalenz an die Stelle der Gleichheit treten lasst. Durch diese Erweiterung, die Association neuer Grossengebilde, wird das Grossengebiet geniigend ausgedehnt, um ohne irgend welche Abstraction den Gesetzen der Teilbarkeit wieder Raum zu voller Wirksamkeit zu schaffen. Diese Erweiterung geschieht dadurch, dass man zu den algebraischen Grossen einer bestimmten Art lineare Functionen derselben mit unbestimmten Coefficienten hinzunimmt. Gerade die systematische Benutzung der Unbestimmten spielt hier wie in anderen Theorien, z. B. in der Galois'schen, eine hervorragende Rolle. Ihre Benutzung neben derjenigen der Modulsysteme fuhrt dem grossen Ziele entgegen, welches Kronecker anstrebte : die Arithmetik ga.nzer, ganzzahliger Functionen unbestimmter Vari- abler an die Stelle der Algebra treten zu lassen; und, da die Functionen unbestimmter Variabler nur eine Zusarnmenfassung der Resultate geben, welche sich ftir ganzzahlige Werte der Unbestimmten herausstellen, schliesslich die gesamte Algebra als Ausdruck der Eigenschaften von Systemen ganzer Zahlen zu deuten. GIESSEN, d. 14. Juli 1893. CONSECUTIVE UND COINCIDIRENDE ELEMENTE EINER ALGEBRAISCHEN CURVE. VON M. NOETHER IN ERLANGEN. DIE Auseinanderhaltung dieser beideii Begriffe wird in fast alien auf singulars Stellen beztiglichen Arbeiten, auch in den neuesten, vb'llig vernachlassigt, obwohl ich schon mehrmals darauf hinge- wiesen habe und obwohl sie auch durch die Transformatiotis- theorieen evident gemacht wird. Da die scharfe Unterscheidung und Festlegung jener Begriffe aber ebenso weittragend wie einfach ist, indem sie die Satze und Formeln fur Siugularitaten geometrisch aufzufassen und zusammenzufassen lehrt, so erlaube ich mir, hier darauf einzugehen. Der Begriff " aufeinanderfolgender " (" consecutiver ") Punkte eines Punktzweigs erfolgt aus der Darstellung desselben, an der Stelle x = y = Q, nach ganzen positiven Potenzen eines seine Punkte eindeutig bestimmenden Parameters t : A), indem consecut. Punkte den aufeinanderfolgenden Werthen von t : 0, dt, 2dt, . . . entsprechend gesetzt werden. Er konnte auch schon aus der einen Zweig in die Umgebung eines einfachen Punktes iiberfiihrenden Transformationsreihe, welche eben jene Entwicklungen liefert, erschlossen werden. Zwei aufeinander- folgende Punkte sind immer als von einander verschieden zu betrachten. Der Begriff " zusammenfallender " (" coincidirender ") Punkte bezieht sich auf verschiedene Punkte, die in dieselbe Stelle, etwa # = y = 0, fallen ; und zwar konnen dies Punkte mehrerer ge- 254 M. NOETHER. trennter Zweige, oder auch " aufeinanderfolgende " Punkte eines Zweiges sein. Um das Letztere festzulegen muss man unter- scheiden konnen, ob ein Punkt in der Stelle x= y = 0, oder dieser Stelle nur benachbart, liegt : das Kriterium fur Ersteres ist, dass - unbestimmt wird, fur Letzteres, dass - einen bestimmten Werth x x erhalt, wobei immer lim# = 0, \imy = 0. Da fiir den obigen Punktzweig, bei lim t = 0, wird : _ * ~ so fallen die A verschiedenen consecutiven Punkte des Zweiges, welche t = und den A 1 darauffolgenden Werthen dt, 2dt, . . . (A l)dt entsprechen, alle in dieselbe Stelle x = y = Q, wahrend der (A + l) te consecutive Punkt. fur welchen lim - = -~ aus den x dx A ten Differentialquotienten von x und y sich zu bestimmt, aus- serhalb der Stelle x = y = 0, aber dieser in der Richtung y = benachbart, liegt. Der Zweig von der " Ordnung " A hat also eine A-punktige Stelle x = y = 0. Hat eine Curve / an einer Stelle a = y = mehrere Zweige von den Ordnungen A, A, . . . , so liegen h = A + A + . . . Punkte von f in dieser Stelle, welche dann eine A-puuktige von f heisse. Haben zwei Curven / und eine Stelle x = y = 0, welche A-punktig fur /, t-punktig fur < ist, mit der Multiplicitat M in der Umgebung dieser Stelle, so miissen wir sagen : in x=y = Q liegen hi der Schnittpunkte, die ubrigen M hi liegen derselben in bestimmten Richttmgen benachbart. Denn die Resultante in , welche durch Elimination von z aus den beiden homogenen sc Formen w ten und ?i ten Grades, f (x, ;y, z) und < (#, y, z\ entsteht, hat nur den Grad mn hi ; so dass man nur fur mn hi der mn Schnittpunkte, darunter fur Mhi bei der Stelle x = y = Q, v bestimmte Werthe von - erhalt. a; Diese wenigen Definitionen geniigen schon, um die Multiplici- taten zweier gegebenen Curven auf die verschiedenen Stellen, CURVENELEMENTE. 255 seien es endlich getrennte, seien es benachbarte zu vertheilen (s. meine Arbeiten in Math. Ann. 9 u. 23) und dasjenige Verhalten der singul. Punkte bei rationalen Transformationen zum Ausdruck zu bringen, welches durch die Adjunctionsbedingungen dem " aus- serwesentlichen " Factor der Discriminante (Kronecker, Crelle J. 91) entsprechend characterisirt wird. Fiir die Beziehungen des " wesentlichen " Factors, insbesondere fur die Pliicker'schen Gleichungen, ist aber mit Pliicker auch die dualistische Auf- fassung heranzuziehen, und beide sind noch zu verschmelzen. Zu jedem Punkt einer Curve f gehort ein consecutiver, also, als Verbindungslinie beider, eine Linie von /; zu diesem folgenden Punkt gehort wieder eine, der vorigen consecutive, Linie von f; etc. ; daher gehen durch jeden Punkt von / mindestens, spezielle Stellen abgerechnet auch nur, zwei consecutive Linien, von denen eine zu jenem Punkt gehort. Dualistisch gehort zu jeder Linie von f ein Punkt von f: der Schnitt der Linie mit ihrer consecu- tiven ; zu consecutiven Linien gehb'ren consec. Punkte von f, uud auf jeder Linie liegen inindestens, im Allgemeinen auch nur, zwei consec. Punkte von /, von denen einer zu jener Linie gehort. Ein Linienzweig von der "Klasse" A' hat eine A'-linige erste Gerade. Zusammenfassend nenne ich das sich selbst duale Paar : Punkt mit zugehoriger Linie ein " Curvenelement " von/! Eine /i-punktige Stelle von / ist eine solche, in welcher h verschiedene (getrennte oder consecutive) Curvenelemente von f ihren Punkt haben, eine A'-linige Gerade von f eine solche, in welcher h' verschiedene Curvenelemente von / ihre Linie haben. Ein Zweig Z von f habe die Ordnung A, die Klasse A', und zwar die Stelle S A-punktig, die Gerade s A'-linig. Nun trifft jede Gerade durch S den Zweig in A aufeinanderfolgenden, in S liegenden Punkten, und diese Geraden erzeugen, als " uneigent- liche Tangenten" von f, nur den Ort S, und zwar (A l)-fach. Wird der Zweig von einer Geraden s in weiteren a A, den fruheren A consecutiven, also S benachbarten Punkten getroffen, so erhalt man a A zugehorige Curvenelemente, welche, wie die paarweise successive Verbindung von S und der a A Punkte zeigt, ihre Linie sammtlich in s haben, so dass die Gerade s eine (a A)-linige von / wird. Daher A' = a A, d . h. " Die Gerade s des Zweigs trifft denselben in A + A' consec. 256 M. NOETHER. Punkten, von denen A in die Stelle S, A' ausserhalb 8, aber benachbart, liegen ; durch die Stelle 8 gehen A + A' consec. Linien des Zweigs, von denen A' in die Gerade s, A ausserhalb s, aber benachbart, fallen." Dieser bekannte Satz drlickt die Thatsache aus, dass, wenn die Entwicklungen von x und y nach t mit den Gliedern A , t a (a > A) beginnen, die der Liniencoordinaten dy dy u= f-. w = x^ L v dx dx mit t a ~*, t a anfangen. Derselbe genligt zur Aufstellung der Pliicker'schen Gleichungen (s. meine o. citirten Arbeiten, oder St. Smith, Proc. of the London Math. Soc. vi.). Auch die ganze Gruppe von Satzen, welche nur die direct ersichtlichen Vielfach- heiten der einzelnen Stellen und Geraden von /, nicht aber die weiteren Singularitatenzahlen enthalten Formeln, auf welche Smith und Halphen zuerst hingewiesen haben (s. etwa Zeuthen, Acta Math. I.) ergeben sich in dem zusammenfassenden Aus- drucke : " Fiir jeden iiber die unmittelbar in S liegende Vielfachheit AA zweier Zweige Z, Z hinausgehenden consecutiven Schnittpunkt tritt auch eine, iiber die A 'A' in s liegende Vielfachheit hinaus- gehende, consecutive gemeinsame Linie der beiden Zweige ein." Hier sind A, A' Ordnung und Klasse von Z, A, A' dasselbe von Z ; M sei die Punkt-, M' die Linienmultiplicitat der beiden Zweige bei S, bezw. s. Nun haben diese Zweige so viele Curvenelemente y gemeinsam, als die durch 3/1 = - (quadratisch) transformirten Zweige x Punkte (x, y^) gemeinsam haben, also M A A ; denn man hat hierin die Zahl der gemeinsamen Werthsysteme x, y, ~ . Dieses CLX aber, geschrieben in x, y, u, w, ist ein sich selbst dualer Ausdruck, d. h. auch = M'- A'A'. Auch fur einen und deuselben Zweig kann man eine ahnliche Frage stellen: Wie viele der aufeinanderfolgenden Curvenele- mente des Zweigs Z coincidiren unter sich ? Die Antwort ist : " Unter den A Elementen des Zweigs Z mit ihren Punkten in S, und unter den A' Elementen desselben mit ihren Linien in s gibt es h^ consecutive Elemente, welche zugleich ihre Punkte in S CURVENELEMENTE. 257 und ihre Linien in s haben, wo A x gleich der kleinern der beiden Zahlen A, A', bezw. = A = A', 1st." Derm der durch die Transformation y\ = - aus Z erhaltene Zweig Z l hat eine ^-punktige Stelle Si, der Geraden s entsprechend. Man kann daher diesen Satz auch so aussprechen : " Der A-punktigen Stelle S benachbart, aber ausserhalb S, hat der Zweig Z eine ^-punktige Stelle Si ; und der A'-linigen Geraden s benachbart, aber ausserhalb s, hat dieser Zweig eine /^-linige Gerade Si, wo hi wie oben bestimmt ist." Ebenso fallen von den weiter folgenden Curvenelementen des Zweigs wieder A 2 unter sich zusammen, aber nicht mit jenen h lt wenn eine analoge quadratische Transformation Zi in einen Zweig Z 2 mit A. 2 -punktiger Stelle uberfuhrt. Z hat dann drei consecutive Stellen S, S-i, $ 2 , welche nicht coincidiren und bezw. A-, hi-, h^- punktig sind, und drei consecutive Geraden s, s 1} s 2 , welche nicht coincidiren und bezw. A 1 -, h r , h 2 -\img sind ; etc. Die Reductionen, welche durch diese Singularitat des Punkt-, bezw. Linienzweigs in der Geschlechtszahl p der Curve hervorgebracht werden, sind bezw. so dass die Smith'sche Relation folgt ERLANGEN, 24 Juni 1893. c. P. 17 NOMOGRAPHIE. SUR LES EQUATIONS REPRE- SENTABLES PAR TROIS SYSTEMES RECTILIGNES DE POINTS ISOPLETHES. PAR MAURICE D'OCAGNE A PARIS. 1. LE principe general de la Nomographie, donne* dans le livre* ouj'ai deVeloppe cette theorie, peut s'enoncer ainsi: Si le resultat de 1'e'lrmination de x et y entre les trois equations F 1 (x,y,a l ) = ........................ (I,), est F(a l ,a 2 ,a s ) = ........................ (E), il sufBt, pour avoir Vabaque (representation graphique cotee) de liquation (E), de construire les trois systemes de courbes definis par les Equations (Ij), (I 2 ), (I 3 ), ou on fait respectivement varier les parametres a 1} ctg, 3 , en ayant soin d'inscrire la valeur de chacun de ces parametres a cote de la courbe correspondant a cette valeur. Ces courbes sont dites isoplethes respectivement pour les para- metres i, 2 , 3 . Des lors, un systeme de valeurs de ces trois parametres satisfait a 1'equation (E) lorsque les isoplethes correspondantes * Nomographie. Les calcuh usuels effectues au moyen des abaques. Paris ; Gauthier-Villars ; 1891. NOMOGRAPHIE. 259 concourent en un meme point. De la, le moyen d'obtenir la valeur de Tun des trois parametres lie's par liquation (E), lorsque celles des deux autres sont donnees. 2. Pour une equation (E) donne"e, on dispose arbitrairement de deux des equations (Ij), (I 2 ), (I 3 ). Le but de la Nomographie est d'operer, dans chaque cas, ce choix en vue de la plus grande simplicite possible. Lorsque 1'equation (E) peut etre mise sous la forme i(i) 0100 ^ifci /a(s) 02 ("2) ^2(02) (E'), on voit qu'on peut prendre pour equations (Ij), (I 2 ), et (I 3 ) les suivantes : #/i (i) + 2/0i (i) + ^ i (oO = 0, xf* ("2) + 2/02 () + V2 () = 0, xf ( 3 ) + 2/0 3 ( 3 ) + ^s () = 0. qui donnent comme isoplethes trois systemes de droites. J'ai fait voir dans mon livre (Chapitre IV.) qu'il etait dans ce cas pratiquement plus avantageux, au lieu de considerer x et y comme des coordonnees ponctuelles de les considerer comme des coordonnees tangentielles, de fa9on a substituer aux droites isoplethes obtenues dans le premier cas des points isoplet/ies. Grace a cet artifice 1'abaque de 1'equation (E') est d'une construction plus simple, d'une lecture bien plus facile, et se prete a une interpolation a vue plus precise, celle-ci se faisant entre les points marques sur une courbe, au lieu de se faire entre les tangentes a une autre courbe correlative de la premiere. Les points correspondant a des valeurs de a 1} etj,- 3 dont le systeme satisfait a 1'equation (E'), sont en ligne droite. De la resulte le mode d'emploi de 1'abaque. J'ai fait voir, en outre, que le systeme de coordonnees tan- gentielles qui se pretait le mieux a ce genre d'application etait celui auquel j'ai donne le nom de coordonnees paralleles *. * Ce systeme de coordonnees dont I'id6e a 6te" signalee des 1829 par Chasles (Correspondance mathematiqiie et physique de Quetelet, t. 6, p. 81) a doune" lieu a divers travaux parmi lesquels je citerai les suivants : 172 260 MAURICE D'OCAGNE. D^signant ces coordonnees par les lettres u et v, on voit que 1'abaque de 1'equation ecrite plus haut se composera des trois systemes de points definis par les equations : ufi (i) + vi (0 + ^i (i) - 0, w/ 2 () + vfa (a.) + -^2 () = 0, W/3 (s) + Vfa (,) + >/r 3 (03) = 0. Ces points ont respectivement pour coordonnees * : _ fc( ai ) +/,(,)' J = ^() -/() ' 3. L'emploi des coordonnees tangentielles a le double avan- tage de rattacher la methode des points isoplethes au principe fondamental rappele plus haut et de comporter des generalisations sur lesquelles je n'ai pas a m'etendre ici, mais il est bien evident, ainsi d'ailleurs que je 1'ai fait remarquer dans 1'Avant-propos de mon livre^, que la methode des points isoplethes peut etre interpre'tee directement au moyen des coordonnees cartesiennes. II suffit d'observer que 1'equation (E x ) exprime 1'alignement sur une meme droite des trois points definis respectivement par les coordonnees x - .._ frW i*/ " . v . I/ " * . F. Franklin: Bipunctual Coordinates (Amer. Journ. of Mathem. 1, p. 148). K. Schwering: Theorie und Anwendung der Linien-Coordinaten ; Leipzig; Teubner; 1884. M. d'Ocagne: Coordonnees paralleles et axiales ; Paris; Gauthier-Villars ; 1885. La majeure partie de cette derniere brochure a paru en 1884 dans les Nouvelles Annales de Math6matiques (3 e Serie, t. 3, pp. 410, 456, 516). * Nomographie, p. 53. t Nomographie, p. 5. NOMOGRAPHIE. 261 Comparant ces formules a celles qui terminent le No. 2, on voit que les abaques obtenus dans Tun et 1'autre cas sont simplement transformes homographiques 1'un de 1'autre, c'est-a-dire absoluraent equivalents au point de vue mathematique *. Chaque systeme de points isoplethes est distribue sur une courbe qu'on peut appeler le support de ce systeme. Lorsque ce support est une droite le systeme est dit rectiligne, et lorsque les points isoplethes sont re"gulierement espaces sur cette droite, c'est-a-dire lorsque pour des accroissements egaux du parametre les points correspondants partagent la droite formant support en segments egaux, le systeme est dit regulier. En raison de la simplicite que presentent les abaques con- stitues au moyen de tels elements, il est interessant de rechercher quelles sont les equations representables par trois systemes rectilignes de points isoplethes, et, plus particulierement, par trois systemes reguliers. Tel est le but du present travail. II. 4. Pour qu'un point, dont la position sur un plan depend d'un parametre \ l} decrive une droite il suffit que les coordonnees * Depuis que j'ai fait connaitre la methode des points isoplethes, il en a e"te fait de nombreuses applications. La plupart de ces applications, executees en vue de besoins pratiques, sont resides indites ; telles sont celles que j'ai eu, pour ma part, avec le concours de M. E. Prevot, a faire soit pour mon service personnel (Nivellement General de la France) soit pour d'autres services. Quelques autres ont et6 publiees, notamment par les auteurs suivants : M. Beghin : Abaque de la vitesse d'un train sur un prqfil donne (Annales des Fonts et Chaussees, octobre 1892, p. 548). Note sur une nouvelle classe d'abaques (Genie Civil, 24 decembre, 1892). J. Fillet: Stabilite des constructions, p. 194. J. Mandl: Diagramm fur frei auftiegende holzerne Balken und gewalzte Eisen- trager (Mitteilungen iiber Gegenstande des Artillerie- und Genie-Wesens ; Wien ; 1893 ; No. 2). Depuis la redaction de cette Note il a et6 fait diverses applications importantes de la methode des points isoplethes notamment par MM. le Commandant Bertrand (Distributions d'eau), le lieutenant Lafay (Tir du canon), Prevot (Poids des cardes Jilees) et par nous-meme (Trigonometrie sphtriqite, dans le Bull. Astr. 1894 ; Equa- tion de Kepler dans le Bull, de la Soc. Math, de France, 1894 ; Calcul des terrasse- ments, dans les Annales des Fonts et Chausxees : l er Sem. 1894. 262 MAURICE DOCAGNE. de ce point soient des fonctions rationnelles et line'aires de ce parametre, c'est-a-dire qu'on ait oc = Au point de vue geometrique, il n'y a rien a aj outer a cela. II n'en est pas de meme au point de vue de la nomographie. En effet, il y a lieu dans ce cas de considerer non seulement le support du systeme de points en question, mais encore la faon dont ces points sont distribues sur ce support, chacun d'eux etant individualise par la valeur correspondante du parametre variable, qui constitue sa cote. On est ainsi amene a considerer \ comme fonction d'un autre parametre a a defmissant les points isoplethes et par suite, a poser Lorsqu'on change la fonction f 1} la droite servant de support au systeme de points isoplethes reste la meme, mais le mode de graduation de cette droite varie. On voit done que les equations representables par trois systemes rectilignes de points isoplethes sont celles qui peuvent etre mises sous la forme Pifi ( a i) + q\ r ifi ( a i) + Si P-2/2 (a) + & ?*2/2 (2) + s a = 0- ( 3 ) + n 3 p s f 3 (oj) + q 3 r 3 / 3 (a 3 ) + s 3 5. Parmi ces equations les plus interessantes sont celles pour lesquelles les trois systemes de points isoplethes sont reguliers, parce qu'alors 1'abaque presente le maximum de simplicite realisable. II suffit, en effet, pour qu'il soit completement defini, de determiner deux points isoplethes dans chaque systeme, soit six points en tout. Les Equations repondant a la question sont evidemment celles qui peuvent se mettre sous la forme &!! + M! P& + qi ' = 0, p 3 ct 3 NOMOGRAPHIE. 263 ou, en developpant, 2 p 3 -p 2 m 3 ) 0,03 + (7 ( 1 ) + [>! (# 2 - q 3 ) - p l (Wj - TO,)] a x + [> 2 (q, - qj - p, (TO, - TO,)] 02 ~ n 2 )] 3 -f n^ q 2 - Cette equation est de la forme (2) -4 1 2 a 3 + A 2 a 3 a! + A 3 a l o^+ B^ + B 2 o^ + J3 3 a 3 + (7=0. II semble au premier abord, puisque cette equation possede 7 coefficients et que les coefficients de 1'equation (1) renferment 12 parametres, qu'on puisse toujours disposer de ceux-ci de fa9on a identifier (1) avec (2), ou, en d'autres termes, que toute Equation de la forme (2) soit representable par trois systemes rfyuliers de points isoplethes. Mais il n'en est pas ainsi ; 1'analyse rigou- reuse de la question va nous faire voir au contraire que cette identification n'est possible que sous certaines conditions. C'est la le point que j'ai principalement voulu mettre en vue dans la pre"sente Note. 6. Si une equation est re presentable par trois systemes reguliers de points isoplethes, on peut toujours faire coincider 1'axe des y avec le support d'un de ces systemes en placant 1'origine au point cote 0. On peut, par suite, toujours prendre pour w^, %, Pi et q 1} les valeurs Ces valeurs etant portees dans 1'equation (1), 1'identification de celle-ci avec (2) donne (3) A-L = m 2 p 3 -p 2 m 3 , (4) A 2 = m 3 , (5) A 3 = -m 2 , (9) G = n 2 q 3 - q 2 n 3 Tel est le systeme d'equations, auquel, dans tous les cas, se ramene la solution du probleme. 264 MAURICE D'OCAGNE. 7. Remarquons tout d'abord que des equations (3), (4) et (5), on tire (10) A l +A 2 p 2 + A 3 p 3 = 0, Equation incompatible avec 1'hypothese ou deux des coefficients A l} A 2 et A 3 seraient nuls & 1'exclusion du troisieme*. On ne peut done envisager que 1'une des trois hypotheses suivantes : 1. Les trois coefficients A 1} A 2 , A 3 sont differents de zero ; 2. Un seul d'entre eux est nul ; 3. Us sont nuls tous les trois. Nous allons les examiner successivement. 8. l er Gas. A! =J= 0, A 2 4= 0, A 3 =f= 0. Les Equations (5) et (4) donnent et le systeme (a) se reduit a (30 A 1 = -A 2 p 2 -A 3 p 3 , (60 B 1 = n 3 -n 2 , (70 B 2 = - A 3 q 3 - p 2 n s , (80 B 3 = n 2 p 3 A 2 q<,, (90 G = n 2 q 3 - gr,w, Entre les cinq equations du systeme (a') eliminons les quatre parametres q 2 , n s , p s , q 3 . Les Equations (30 et (60 donnent d'abord _ _Aj, + A 2 p 2 et n s = B! + n 2 . Portant ces valeurs de n 3 et de p 3 respectivement dans (70 et dans (80, on tire de celles-ci - * II r^sulte, en particulier, de 1& que liquation a^-a^O, qui traduit la multiplication, n'est pas representable par trois systemes reguUers de points isoplethes, mais elle est representable par trois systemes rectilignes dont deux reguliers, savoir : NOMOGRAPHIE. 265 Par suite, 1'equation (9') devient ou, toutes reductions faites, (11) AM* + (A& + A 3 B 3 - A 2 B 2 ) n 2 + A 3 (5,5, -A 2 C) = 0. Le parametre p 2 ayant disparu de cette equation, on voit qu'on peut lui attribuer une valeur quelconque. Nous prendrons, en vue de la plus grande sirnplicit6 de calcul, p 2 =0. L'equation (11) servira a determiner w 2 . Ce parametre devant ^tre reel, le probleme ne sera possible qu'autant que Ton aura (A& + A 3 B 3 - A 2 B 2 )* - 4A.A, (5^, - A 2 G) > 0, ou - 2A s A l B a B 1 Lorsque cette inegalite sera satisfaite, 1'equation (11) donnera pour n 2 deux valeurs reelles n' et n". Adoptant 1'une d'entre elles, n', par exemple, on aura pour q 2 , n 3 , p 3 , q 3 les valeurs 9. 2 e Gas. On peut toujours faire en sorte, par un choix convenable de notations, que le coefficient nul soit A^ On a done I'hypothese On a comme precedemment ra 2 = A 3 , m s = A 2 , p 2 = Q. Quant a 1'equation (11), elle devient (A 3 B 3 - A 2 BJ n 2 4- A, (B,B 3 - A 2 C) = 0, T) T) A rt j, . i -DjiJg -ilg^ d OU 7l 2 ==jO.Q -. -f. ~ t fr . 266 MAURICE D'OCAGNE. Des lors les formules qui terminent le No. precedent donnent ft ^, n Tf A ri . JJ-iJDn ^la^ jX>o ~~ Xl >/?> On voit, en outre, que n z et n 3 devenant infinis lorsque A Z B 2 -A 3 B 3 = 0, la solution est, dans ce cas, illusoire. II faut done completer 1'hypothese faite par A Z B 2 - A S B 3 4=0. 10. Reste a examiner le cas ou. on a AI = A% = AS = 0. Le systeme (a) se reduit alors h, (6 W ) ^ = 113-^, (7'") B 2 = -p*n s , (8'") 5 3 = ^ 3 , (9"') (7 = W 2 #; - ^ 2 71 3 Pour resoudre ce systeme nous nous donnerons les valeurs de deux des six inconnues. Mais ici, pas plus que precedemment, ce choix n'est absolument arbitraire. Ainsi les equations (7'") et (8'") indiquent qu'on ne peut annuler aucune des quantites n 2 , p y , n s , p 3 , car B 2 et B s sont necessairement differents de ; s'il en etait autrement, en effet, une des variables 2 ou 3 cesserait de figurer dans 1'equation proposee. De meme 1'equation (9'") montre qu'on ne saurait generalement pas se donner q z q 3 = 0, etc. . . . Une hypothese touj,ours admissible est la suivante : NOMOGRAPHIE. 267 Le systeme (a'") devient alors On en tire successivement n s =-B 2 , B 3 Ps ~ G III. Resume. 11. Toute equation representable par trois systemes regu- liers de points isoplethes est de la forme -4ia 2 3 + -4 2 a3i + A^O^+B!^ + B Z 3 -"-3 On voit que dans ce cas les supports des systemes (aj) et (03) sont paralleles. 3 e Cas. A 1 = A 2 = A S = 0. Mode de representation : Systeme (a x ) a; = ; y = a a ; (02) as = -(B 1 + a ); y = o*\ C " +- Dans ce cas, les supports des trois systemes (ai), (o^) et ( 3 ) sont aralleles. IV. Exemples d application. 12. A titre de verification des formules precedentes, nous allons prendre un exemple de chacun des cas precedents, pour lequel il est facile de construire a priori 1'abaque le plus simple compose de trois systemes re'guliers de points isoplethes, et nous constaterons que nos formules nous conduiront bien 4 ces solutions. Cette construction a priori ne serait d'ailleurs ordinairement pas possible dans le cas general et Ton devrait alors ne'cessaire- ment avoir recours aux formules qui viennent d'etre etablies, et dont il s'agit simplement ici, je le repete, de donner une verification. NOMOGRAPHIE. Exemple I. Equation : 269 ou a 2 3 + a^ - a^ = 0. Ici, A=l, 4 2 = 1, ^ 3 = -l, B l = B z = B 9 =C = 0, etn' = On a done, d'apres les formules precedentes (l er Cas) : I- I I I I I h _6 _5 _4 .3 _2 _1 .1 _2 .3 _4 _5 _6 < 1 1 1 1 h- 1 23456 Systeme (aj) sc = ; 2/ = i ; d'ou 1'abaque ci-dessus *, ou on s'est limite d'une part i = 6, 2 = 6, 3 = 3, de 1'autre a x = 6, 2 = 6, 2 = 3. * Les axes de coordonuees n'intervenant que pour la construction de 1'abaque, nous les avons simplement figures en pointille. 270 MAURICE D'OCAGNE. Exemple II. Equation : a x = ^--? 3 , OU 31 i a 2 + 2 + 3 = 0. y 5- 4' 3- 2 .5 .4 .3 _2 .1 .3 .2 .1 _3 -4 + o \ i i r 1 2 3 4 -1-2.34 5 6 Ici, ^ = 0, ^l a =l, ^ 3 =-l, A = 0, 5 2 = 1, 5 3 =1, (7=0. Les formules precedentes donnent (2 e Gas) : Systeme (!) a; = ; y = a a ; (02) # = a 2 ; y = -l; (a 3 ) tf=a 3 ; y=l, d'ou 1'abaque ci-dessus *, ou on s'est limite d'une part a i = 5, a 2 = 6, s = 4, de 1'autre a i = 4, 02 = 3, a 3 = 5. Exemple III. Equation : 3 = 02 + flfx ou c^ + a 2 a s = 0. Ici, ^ = ^2 = ^3=0, A=l, 5 a =l, 5 3 = -l, (7=0. * Les axes de coordonnees n'intervenant que pour la construction de 1'abaque, nous les avons simplement figure's en pointille. NOMOGRAPHIE. Les formulas pr6cdentes donnent (3 e Gas) 271 y 3- 2 6- 3 3- a, 5- 2- 4- 2- 3- J- 2- 1- 1- .1- .2- .3 -2- .4- ., Systeme (c^) = ; y = a 1 ; / \ 1 3 (a 3 ) * 1; y = ^ d'ou 1'abaque ci-dessus, ou on s'est limite d'une part a ttj =3, 2 = 3, 3 = 6, de 1'autre a a a = 3, 03 = 3, a 3 = 6. SUL MOTO DI ROTAZIONE DI UN CORPO RIGIDO ATTORNO AD UN PUNTO FISSO. DA BERNARD PALADINI IN PISA. [This paper which had been previously published was the basis of a lecture by the author before the Congress, August 26, 1893. Editors.] A CONSTRUCTION OF GALOIS' GROUP OF 660 ELEMENTS. BY JOSEPH DE PEROTT OF WORCESTER, MASS. IN his work Vorstudien zur Topologie published as far back as 1848, the profound German mathematician Listing makes a thorough study of a group of 48 elements which is a sub-group of the symmetric group of six letters and which ought to be known under his name. On page 9 Listing gives all the 48 elements of his group and they are so arranged that by a cross you can divide them into four sets, each of twelve elements. The set in the left-hand corner above forms a group by itself isomorphic with the alternating group of four letters. Employing Listing's notation the group consists of the following elements : 123 231 312 123 2 3 I 312 I 2 3 2 3 I 312 123 231 3 I 2 The meaning of this notation is that the numbers 1, 2, 3 have to be replaced by the combinations of three numbers given above, while the numbers 1, 2, 3 have to be replaced by similar combinations with the signs above the digits changed. Writing a, b, c, d, e,/for 1, 2, 3, 3> 2, 1 we obtain the following arrange- ments : a b c d e f b c a f d e c a b e f d a e d c b f b d f a c e c f e b a d f b d c e a e c f a d b d a e b f c f e c d b a e d a f c b d f b e a c c. P. 18 274 DE PEROTT. To show its isomorphism with the alternating group of four letters a, ft, y, 8 it is sufficient to write the elements of the latter group in the following order : a ft y 8 a 8 ft y a y 8 ft 8 y ft a y ft 8 a. ft 8 y a y 8 a. ft ft y a 8 8 ft a. y ft a 8 y 8 a y ft y a ft 8 and to consider as corresponding the elements of the two groups which occupy corresponding positions. By means of these two groups it is easy to construct an intransitive group of ten letters isomorphic with the alternating group of four letters. If now we write the numbers 1, 2, 5, 7, 8, 10 for the letters a, b, c, d, e, f and the numbers 3, 4, 6, 9 for the letters a, ft, y, 8 we obtain a group of substitutions formed by the following arrangements : 1 234 56 7 89 10 1 896 74 5 23 10 10 269 73 5 84 1 10 843 59 7 26 1 2 539 14 10 76 8 2 764 10 9 1 53 8 8 5 46 10 3 1 79 2 8 793 16 10 54 2 5 136 29 8 10 4 7 5 10 49 86 2 13 7 7 194 83 2 10 6 5 7 10 63 24 8 19 5 This group may be considered as generated by the operations 23456789 10\ 89674523 10/ ' _ /I 2 3 4 5 6 7 8 9 10\ V2 5 3 9 1 4 10 7 6 8/ 1 and it is easy to show that it can be combined with the cyclical group of order five generated by the operation '1234567 89: ,3 4 5 6 7 8 9 10 1 2, /I U GALOIS' GROUP OP 660 ELEMENTS. 275 In fact, we have = U, v = v 2 , *V will be of order 60. This group is isomorphic with the icosahedron group and may be considered as generated by the operations ._ /I 2 3 4 5 6 7 8 9 10\ 9 ~ U 456789 10 1 2/ ' / % 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 84359726 As it involves ten letters, it is of course a sub-group of the symmetric group of eleven letters. Before employing it, however, we shall transform it in the following way. Since each number of the series 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 is congruent to a certain distinct power of a primitive root (mod. 11), say 7, a one-to-one correspondence can be established between the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, and the smallest positive exponents of the powers of seven to which they are congruent (mod. 11). Our generating operations < and will become 1 23456789 10 5 10 4938271 6 11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 2 8 9 6 1 4 5 10 ll \ /' \ /' We shall now combine the icosahedron group generated by fa and %i with the cyclical group of order 11 generated by the operation 12345678 9 10 11\ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 l)' 182 276 DE PEROTT. The possibility of doing this is shown by the following relations : The group generated by t^, ^ and ^> will be accordingly of order 660 and in fact it is isomorphic with Galois' group of 660 elements. CONCERNING ARITHMETICAL OPERATIONS INVOLVING LARGE NUMBERS. BY T. M. PERVOTJCHINE*. LE pretre T. M. Pervouchine prie de comuiuniquer au Congres mathematique de Chicago le precede au moyen duquel il controle ses operations arithmetiques sur les grands nombres ; ce proce'de' lui a servi comme une bonne boussole dans les calculs laborieux qui 1'ont amene" aux resultats que les nombres 2 2l2 + l, 2 #3 +l sont des nombres composes. Le precede" consiste dans la comparaison des restes qui s'obtiennent en divisant par le nombre 998 = 10 3 2. Ce reste s'obtient d'une faon tres simple car le nombre N e'tant ! . 10< n - 2 > 3 +. le reste de la division par 998 sera egal a (2 (2 (2a n + a n ^) + a n _ 2 et se calcule facilement sur le boulier russe. Ce n'est que dans le cas ou les chiffres a n + m se permute avec les chiffres a n que la faute du calcul peut passer inaper9ue ; aussi le rayon de Faction ve'rifiante de ce precede* s'etend sur 498 chifFres. Dans ce cas le p. Pervouchine recommande a operer la division par le nombre 9998 = 10 4 - 2. * A note communicated by Professor A. Wassilieff of the University of Kasan, Kussia. RESUME DE QUELQUES RESULTATS RELATIFS A LA THEORIE DES SYSTEMES RECURRENTS DE FONCTIONS. PAR S. PINCHERLE A BOLOGNE. LE present rdsum^ a pour but d'exposer, aussi brievement que possible, quelques resultats auxquels j'ai ete conduit en cherchant a ge'ne'raliser une des proprietes fondamentales des polyn6mes X n de Legendre. Cette proprietd est exprimee par 1'equation recurrente (n + l)X n +i-(Zn, + l)a:X n + nX n -.i = Q ......... (a). A cette meme Equation satisfont aussi les fonctions de deuxieme espece Y n , et de la et des conditions initiates on de\Iuit le ddveloppement de M. Ch. Neumann ^)F n (7 / ) ............... (6). y w n=o Ce developpement est convergent uniformement pour les couples de valeurs de x et d'y tels que as soit interieur et y ext^rieur & une ellipse ayant pour foyers les points 1 et +1 dans le plan des nombres complexes. II en resulte le deVeloppe- ment d'une fonction analytique quelconque /(#), reguliere dans une aire a contour simple comprenant tout le segment rectiligne 1 ... + 1, en serie de fonctions X n de la forme =0 valable pour la plus grande ellipse de foyers + 1 contenue dans SYSTEMES RECURRENTS DE FONCTIONS. 279 1'aire ou la fonction f(x} est reguliere. Enfin de liquation (a) resulte encore la proprie^, reconnue par Gauss, que les d6nomi- nateurs des r^duites du deVeloppement en fraction continue : as + l 1 T (c), x-l X 4 ne sont autres que nl X n ; si les nume'rateurs de ces reMuites s'indiquent par n ! Z n , on a, entre les fonctions de premiere et seconde espece, la relation : On a donne* de plusieurs fa9ons la generalisation de ces proprietes; citons, par exemple, la thdorie des polynomes de Jacobi. Mais les generalisations donndes jusqu'ici de la thdorie des fonctions sphdriques regardent toujours des systemes par- ticuliers de fonctions, et les recherches que Ton s'est propose a leur sujet rentrent dans les questions geneVales qui suivent: A. " ^tant donnd un systeme de polyn6mes p n (x), lies par une Equation rdcurrente (ou Equation lineaire aux differences) existe-t-il un second systeme de fonctions r n (x) tel que Ton ait formellement B. " Le systeme r n &ant determind, quelles sont les conditions de convergence du developpement pre'ce'dent ? " La resolution de ces questions conduit sans peine a rdpondre a la demande : C. " Sous quelles conditions peut-on ddvelopper une fonction donnee (a?) en une se'rie de la forme 00 ()= 2 CnpnW 1 -" =0 C'est de ces questions gdnerales que je me suis occupd, et le chemin que j'ai suivi pour y repondre m'a conduit encore a quelques autres resultats. C'est ainsi que j'ai e'te' amene a constater 1'existence, pour les equations lineaires aux differences de tout ordre, de certaines quantites qui sont, pour elles, ce que la 280 S. PINCHERLE. valeur de la fraction continue est pour liquation lin^aire aux differences du deuxieme ordre ; d'ou suit une generalisation de ralgorithme de la fraction continue. II convient enfin de re- marquer I'e'troite analogic que prdsente la question C avec certains problemes d'inversion d'int^grales ddfinies. On entend par la la recherche d'une fonction (y) telle que Ton ait I A (x,y)(y)dy =/(;), J (A) A (x, y) et /() etant des fonctions donnees et \ etant une ligne d'inte'gration, aussi donnee, dans le plan y. Dans les lignes qui suivent j'ai tache' de returner, d'une fa^on aussi succincte que possible, les re'sultats que j'ai obtenus sur ces questions et dont les deVeloppements, en partie ine'dits, se trouvent pour la plupart dans des memoires qui ont e^e publics, a inter- valles, pendant les dix dernieres anndes. 1. Conside'rons 1'equation lindaire, aux differences finies, de 1'ordre m: Pn+m = i (n^pn+mr-i + O, (w) p n +m-2 +...+Om (n)p n .. . (1). Une integrale p n de cette Equation est d^terminde par ses valeurs initiates p 0> Pi,...p m -i', deux integrates ne sont pas distinctes si leur rapport est ind^pendant de n ; un systeme de m integrates entre lesquelles il ne passe pas de relation lineaire homogene a coefficients inddpendants de n est un systeme fonda- mental d'integrales et si p n ', p n ", ... p n (m] est un tel systeme, toute int^grale de (1) peut s'ecrire: p n = c 1 p n ' + c 2 p n "+...+c m p n (m) (2), ou les coefficients c lt c 2 , ... c m > sont inddpendants de n. Les rapports de m 1 de ces coefficients a I'm 6me peuvent servir, au lieu et place des valeurs initiates p , pi t ...p in -\> a individuer 1'int^grale p n . Sous certaines conditions il existe une integrale r n de 1'dqua- tion (1) qui admet la propriete' suivante: si p n est une autre integrale quelconque de la meme Equation, le rapport ts n : p n tend, pour n = oo , a la limite zero. J'ai appeie cette integrale, qui jouit de propri^tes remarquables, integrale distinguee de 1'dquation (1). Par exemple, soit 1'equation du deuxieme ordre Pn+z = Oi (n)pn+i + a 2 (n)p n ; SYSTEMES RECURRENTS DE FONCTIONS. 281 parmi ses integrates se trouvent les nume'rateurs p n ' et les d6nomi- nateurs p n " des requites de la fraction continue qui constituent un systeme fondamental. Toute autre inte'grale de 1' Equation du deuxieme ordre s'exprime par consequent par Pn = Pn ~ Cp n ". Si maintenant la fraction continue est convergente et a pour valeur \ on voit sans peine que ^n Pn ^pn" est 1'intdgrale distinguee. Parmi les proprie'te's de 1'intdgrale distinguee, notons celle-ci : Soient a h les limites, supposdes finies, des coefficients a^ (n) pour n = oo , et formons 1'equation algdbrique o 2 m - 2 -...-a m = ............... (3). M. Poincard* a d^montre que la limite de p n+l : p n pour n = x est une des racines de cette equation et, en gdn^ral, celle de module maximum ; mais des integrales particulieres peuvent ad- mettre, comme limite de ce rapport, une autre racine de 1'equation (3). Or, quand les m racines de (3) ont des modules diff^rents, I'inte'grale distingue'e ia n est telle que la limite de ra- n+1 : is n est la racine minimum de 1'dquation. 2. Les coefficients de liquation (1) peuvent contenir, en outre de n, un parametre x. Chaque integrate p n est alors un systeme recurrent de fonctions de x. Je supposerai ici que le parametre x entre au premier degre dans les coefficients a h (n) ; j'ecrirai done 1'equation (1) sous la forme m Pn+rn (#) = S (b h (n) + XC h (n)) Pn+m-h () ......... ( 4 )- American Journal of Mathematics, T. vii, No. 3. 282 S. PINCHERLE. A cote de liquation (4) il convient de consideVer 1'autre Equation, que j'ai appelee son inverse et ou figure le parametre y : -m + h)) q n -^n+ h (y). . .(5). On exclut les valeurs negatives de 1'indice n, et on determine les valeurs initiales des q n au moyen des Equations m-i (0) q + m (1) qi = AI> ! (0) q + a 2 (1) q 1 + ... + a m (m - ou .4 , .4 1 ,...^. m _ 1 sont des quantites arbitraires. Un calcul qui ne prdsente aucune difficult^ permet d'etablir formellement le developpement 00 n=0 + c m (n) q n (y)] p n (x) = 2 A h (y) p h (x). A=0 En supposant maintenant toutes les valeurs p , p 1 ,...p mr . 1 dgales a zdro, excepte 1'une d'elles p^, egale a 1'unitd, 1'integrale p n devient un systeme de polynomes entiers en x et Ton obtient la formule : ou Ton a posd 4>n (y) = Cj (n - m + 1) q n - m +i (y} + - - + c m (n) q n (y). On a ainsi re'pondu a la question A. 3. II s'agit maintenant de trouver sous quelles conditions ce developpement formel a une valeur effective. Je m'appuie pour cela sur les considerations suivantes. En indiquant par ^ h , y h les limites de b h (n), CA (w) pour n = , le rapport p n+l : p n a pour limite une racine p (x) de liquation (7), et, en g^ndral, celle de module maximum p^ (x} ; il en sera ainsi en general pour tous les systemes de polyndmes determines comme ci- dessus, mais en tous cas, au moins pour 1'un d'eux : nous suppo- SYSTEMES RECURRENTS DE FONCTIONS. 283 serons que ce soit celui qui figure dans la formule (6). Pour les integrates q n de liquation (5), le rapport q n+1 : q n a pour limite une racine -r-v de liquation reciproque de (7), et pour 1'int^grale i \t/ / distingue'e seule cette limite sera la racine de module minimum j-^r. Si maintenant Ton prend les couples de valeurs x, y, en PI (y) sorte que Ton ait \pi(v)\<\Pi(y)\, il est facile de voir que la serie (6) converge absolument et uniforme'ment, et alors, en appliquant le th^oreme de Cauchy, on peut developper une fonction analytique convenablement donnee, en sdrie de polyndmes p n (%)- On a ainsi rdpondu aux questions B et C. La principale difficult^ a vaincre dans les applications de cette methode consiste dans la demonstration de 1'existence de 1'integrale distinguee de liquation (5) et dans sa determination. 4. Comme premier exemple, on peut considerer le cas de ra = 2. La condition d'existence de 1'integrale distinguee coincide alors avec la condition de convergence de la fraction continue ; les polyn6mes p n sont les ddnominateurs des re'duites, et la formule (6) se reduit a celle que Heine* a donnee, sans toutefois en faire connaitre les conditions de convergence. Ces conditions s'obtien- nent aisement par la me'thode indiquee plus haut. 5. Comme deuxieme application se pr^sente le cas m = 3. Ecrivons 1'equation recurrente sous la forme Pn+3 = (bn + C n X) p n+z + bn p n +i + Pn (8), et conside'rons les integrates (systemes de polynomes de degr^ croissant) donnes par les conditions initiates Po = 0, pi = 0, p* = 1, Les determinants de second ordre contenus dans la matrice Pn+2 Pn+z Pn+2 i it it Pn+l Pn+i Pn+i * Handbuch der Kugelfunctionen, zweite Auflage, Bd. I. p. 292. Berlin, 1878. 284 S. PINCHERLE. sont aussi des polynomes q n ', q n ", q n '" qui ferment un systeme fondamental d'inte'grales de 1'equation inverse de (8) : q n - 3 = (&n- 2 + c n _2#) g n -2 + &n-i' q n -i + q n ......... (9), dont rinte"grale g^ndrale sera Soient ft, ft', 7 les limites respect! ves de b n , b n ', c n pour n = oo , lirnites que nous supposerons finies ; on pent ddmontrer 1'existence de 1'integrale distingue'e et la determiner pour toutes les valeurs de x supe"rieures en module a un nombre assignable R. En ecrivant cette integrate sous la forme Q n = q n ' + iiqn" + vq n "' .................. (10), on trouve que u et v sont des series de puissances entieres et negatives de x convergentes pour | x \ > R, et que Q n est aussi une serie de puissances negatives de x convergente pour les memes valeurs de x et qui commence par le terme en x~ n ~ l . Cette remarque donne a 1'dquation (10) un inte'ret tout particulier: si, en effet, dtant donnees deux series u, v de puissances entieres et negatives de x, on veut determiner des polynomes A n , B n , C n entiers en x, du degre le plus petit possible tel que 1'expression A n + B n ii + C n v ne contienne que les termes en x~ n ~ l , x~ Jn ~ z , os~ n ~ 3 , ..., ces poly- n6mes ne peuvent differer des systemes recurrents q n ', q n ", q n '". II se pr6sente ainsi un algorithme analogue a celui de M. Hermite et generalisation toute naturelle des fractions continues algebriques; de meme que celles-ci expriment, au moyen des reduites, une fonction transcendante par une fraction rationnelle approch^e, avec le maximum d'approximation pour un degre donne" des termes de la fraction, de merne le nouvel algorithme sert a Her deux fonctions donnees u, v, par une relation lineaire approche'e A n + B n u + C n v = ..................... (11), avec le maximum d'approximation pour un degre" donne des coefficients A n , B n , C n *. * V. mes m^moires : " Saggio di una generalizzazione delle frazioni continue algebriche," Mem. dell' Accad. di Bologna, S. iv, T. x, 1890, et " Sulla generalizza- zione delle frazioni continue algebriche," Annali di Matematica, S. n, T. xix, 1891. SYSTEMES RECURRENTS DE FONCTIONS. 285 Revenons au developpement (6). Si q n est I'inte'grale dis- tingue'e de (9) et p^(x) est la racine de module maximum de liquation de troisieme degr6 la condition de convergence est On peut, sans restriction essentielle, supposer /3 = $ = 0, 7 = 3. Maintenant, qu'en chaque point x du plan # et d'un meme cot^ de ce plan on eleve une perpendiculaire et qu'on coupe sur cette perpendiculaire, a partir de son pied x , trois segments mesures par les modules l^j, |/o 2 |, \p 3 \ des racines de 1'equation (12). On obtient ainsi une surface a trois nappes qui fournit un moyen assez simple de determiner les champs de convergence des series 2c n j> n (#). Cette surface, dont je presente ci-dessus une esquisse (fl est un point triple, AflH, BlK, CIJ sont trois lignes doubles, 1, 2, 3, 4 sont des sections paralleles au plan x), est homaloidique ; 286 S. PINCHERLE. elle offre des propridtes g^om^triques assez curieuses, dont mon ami et collegue M. Montesano* a bien voulu faire 1'etude. 6. Reprenant 1'equation (4), venons maintenant a un cas assez g^n^ral dans lequel on peut discuter completement les conditions de convergence du deVeloppement (6) et repondre ainsi aux de- mandes B et C. Supposons que les coefficients bh(ri) et CA(?I) soient des polyndmes entiers de meme degre r par rapport a n. Liquation (4) est alors la relation re'currente entre les coefficients des deVeloppements en series de puissances de t, des integrales d'une Equation diffe'rentielle lindaire d'ordre r a coefficients entiers par rapport a la variable t. Ces coefficients sont line'aires en x, et 1'equation diff6rentielle a pour second membre un polynome entier en t, de degre* m 1. Sous ces hypotheses, la consideration des points singuliers de liquation permet de fixer les rayons des cercles de convergence des deVeloppements de ses integrales, et Ton en deduit la limite, pour n = oo , des rapports p n+1 : p n et les con- ditions pour la convergence uniforme du developpement (6). Ce cas a forme' 1'objet d'un me'moire special f. 7. II me reste enfin a dire quelques mots d'une me'thode pour rdsoudre certains problemes d'inversion d'intdgrales definies, qui offre la plus grande analogic avec celle qui, au 2, nous a servi a re'pondre a la question A. Soit T(x, t) une fonction qui satisfait a 1'equation diffdrentielle lineaire en t : (a m + l m x) -^ + (a m ^ + b m -&) ^^ +...+(a + b a x)T = Q.. .(13), ou ah, b h sont des fonctions de t; et soit \ une ligne du plan t, et f(x) une fonction analytique donnee. On demande de determiner une fonction (f> (t) telle que Ton ait, pour des valeurs convenables de x: /() (14). (A) Le probleme se r^soudra au moyen du theoreme de Cauchy si Ton peut determiner une fonction (y, t) telle que pour des valeurs convenables de x et d'y on ait : 1 * Rendiconti del E. Istituto Lombardo, S. n, T. xxiv, 1891. t " Sur la generation de systemes r^currents au moyen d'une Equation lineaire difE6rentielle." Acta Mathematica, T. xvi, 1892. SYSTEMES RECURRENTS DE FONCTIONS. 287 Cette fonction (y, t) peut se determiner comme il suit. Multiplions liquation (13) par une fonction arbitraire 8(y, t)dt, puis intdgrons le long de \ ; en integrant par parties et en indi- quant par Z A la partie aux limites, on aura t J ( (- 1) f (..,), -ft (A)A=0 01 Que Ton dispose d'abord de la fonction 8 en sorte qu'elle verifie liquation lineaire g/ l ^(^ + ^)S(y,t)_ k=o ( ~ ~a^~ c " ou k (t) est une fonction arbitraire de t seul ; puis que Ton choisisse k (t) et les arbitraires qui restent en S de sorte que i x s'annulle ; on aura ainsi ^(-l^ hbhS ^ t} T(x,t)dt=\ k(t)T(x,t)dt, (X) h=0 Ot J (X) et puisque le second membre est une fonction de so seul, qu'on peut indiquer par g (x), il vient La fonction @ (y, ) est ainsi determine'e. UBER DIE NOTHWENDIGEN UND HINREICHENDEN BEDINGUNGEN FUR DIE ENTWICKELBARKEIT VONFUNCTIONEN EINER REELLEN VARIABLEN NACH DER TAYLOR'SCHEN REIHE UND UBER NICHT-ENTWICKELBARE FUNCTIONEN MIT DURCHWEG ENDLICHEN DIFFERENTIAL- QUOTIENTEN. VON ALFRED PRINGSHEIM IN MUNCHEK 1. Einleitung. IN seiner Theorie des Fonctions (Chap. v. Art. 30)* und den Legons sur le Galcul des Fonctions (Le9on in.) "I* spricht Lagrange die Ansicht aus, dass eine Function f(x), welche fur einen gewissen Werth x der reellen Variablen x bestimmte endliche Ableitungen jeder noch so grossen endlichen Ordnung besitzt, fur eine gewisse Umgebung dieser Stelle stets durch die Taylor'sche Reihenentwickelung, also in der Form : dargestellt werden komie*. * Lagrange, (Euvres compl. T. ix. p. 65. t Desgl. T. x. p. 72. I Hierin ist natiirlich die Giiltigkeit der sog. MacLaurin'schen Formel als specieller Fall, namlich fur =0, mitenthalten. Da man aber auch umge- kehrt aus der MacLaurin'schen Formel: durch die Substitution : die Taylor'sche herleiten kann, so werde ich im Folgenden die Ausdriicke Taylor'sche und MacLaurin'sche Keihe je nach Bedarf als vollstandig gleich- werthig gebrauchen. USER DIE TAYLOE'SCHE REIHE. 289 Von den zwei Hypothesen, welche diese Lagrange'sche Behauptung offenbar enthalt, dass namlich unter den Uber f(x) gemachten Voraussetzungen : f (v) (x ) (1) die Reihe 2/ ^-^ h" stets convergire ; (2) ihre Summe den Werth/(# + h) besitze wurde merkwiirdigerweise zunachst die zweite, an sich weit einleuchtender erscheinende, von Cauchy* angefochten, indem i_ er auf das Beispiel der Function e~& hinwies : Obschon dieselbe namlich fur o? = mit sammtlichen Ableitungen verschwinde, so gestatte sie dennoch nicht die Anwendung der MacLaurin- 'schen Formel, da sie sonst fiir jedes a; in der Umgebung der Nullstelle verschwinden miisste, was thatsachlich nicht der Fall ist. War dieses Cauchy'sche Beispiel nun wohl auch geeignet, den Glauben an jene zweite Lagrange'sche Hypothese einiger- maassen zu erschiittern, so kann man dasselbe doch keineswegs als einen vollgiiltigen Beweis gegen dieselbe gelten lassen. Denn die fragliche Stelle x = erscheint hier von vorn herein j_ als eine singular 'e, fur welche die Function f (x) = e~? zunachst iiberhaupt garnicht oder zum mindesten nicht " eigentlich" definirt ist, d. h. nicht durch directes Einsetzen von x = in eine der Definitions-Gleichungen : _! 11 _! / M" 1 / 1 1 e~V=Z*(-l )". .- oder : e & = (e ' = (5*-:. o v v\ at* \ / \o v\ SL f. berechnet werden kann, sondern vielmehr erst durch eine specielle Definition, namlich als lim/( x) und auch da wiederum nur bei 3 = Beniitzung der zweiten Form der sonst gleichwerthigen Definitions- Gleichungen eine bestimmte Bedeutung gewinnt. Schliesst man nun derartige Stellen x bei der Formulirung der Lagrange'schen Behauptung von vorn herein aus, was so zu sagen geradezu selbstverstdndlich erscheint und, wie ich iiberzeugt bin, von Lagrange ohne weiteres acceptirt werden wiirde, so beweist * Lemons sur le Calcul infinitesimal (1823), p. 152 ; Lemons sur le Calcul diffe- rentiel (1826), p. 105. c. P. 19 290 ALFRED PRINGSHEIM. thatsachlich die fragliche Bemerkung Cauchy's absolut nichts gegen die Richtigkeit jener zweiten Lagrange'schen Hypothese. Dazu kommt noch, dass die erste der Lagrange'schen Hypo- thesen bei diesem Angriffe vollig uuberiihrt blieb : und doch fordert gerade sie schon auf den ersten Blick weit mehr den Zweifel heraus. Denn da die Ableitungen f (n} (#), auch wenn sie fur jedes endliche n endliche Werthe besitzen, im allgemeinen mit n in's TJnendliche wachsen (wie schon ein Blick auf jede beliebige nicht-ganze algebraische Function lehrt), so liegt gar kein Grund vor, an der Existenz von Functionen zu zweifeln, bei welchen fur irgend welche Werthe # = # die Zunahme von f (n) (#o) m it wachsendem n so stark ist, dass 2 - j_J ^ ftir keinen noch so kleinen endlichen Werth h convergirt. Immerhin blieb die Moglichkeit auch fur die Richtigkeit der so viel leichter anzufechtenden ersten Hypothese bestehen, solange man nicht Beispiele derartiger Functionen zur Hand hatte. Es kam somit zur endgtiltigen Widerlegung der Lagrange'schen Ansicht darauf an, analytische Ausdriicke f(x) zu construiren, welche sammt ihren Differentialquotienten fur alle Stellen eines Inter valles a x b eigentlich definirt sind, welche daselbst durchgangig endliche Differentialquotienten jeder endlichen Ordnung besitzen, und die dennoch in der Umgebung einer im Innern jenes Inter- valles gelegenen Stelle x nicht nach der Taylor'schen Reihe entwickelbar sind und zwar: f (v] (x ) entweder (1) weil die Taylor'sche Reihe S - -- ~^-h" fiir kein noch so kleines h convergirt ; oder (2) weil die Summe der (convergirenden) Reihe v\ fur kein noch so kleines die Stelle x umgebendes Intervall den Werth /(# + h) hat. Obschon es sich hierbei wesentlich um eine Frage der reellen* Functionen-Theorie zu handeln scheint, so war es doch gerade die Theorie der Functionen complexer Variabeln, welche die * Lasst man namlich in der Lagrange'schen Formulirung des Taylor'schen Satzes von vorn herein statt eines reellen Intervalles ein complexes Gebiet treten, so besteht ja gerade seit Cauchy iiber die Entwickelbarkeit \onf(x n + h) undderen Grenzen keinerlei Zweifel. UBER DIE TAYLOR SCHE REIHE. 291 nothigen Hulfsmittel zur Lb'sung des vorliegenden Problems an die Hand gab. Von der Erkenntniss ausgehend, dass ein fur ein gewisses (auch reelle Werthe umfassendes) Gebiet einer complexen Varia- blen x definirter arithmetischer Ausdruck fiir kein die Stelle x 9 umgebendes reelles Intervall nach Potenzen von (x # ) entwickel- bar sein kann, falls dies nicht auch fur ein gewisses, dieses reelle Intervall in sich aufnehmendes complexes Gebiet stattfindet, gelangte zunachst Du Bois Reymond* zur Construction einer Function, fur welche, trotz der Endlichkeit aller in der Richtung der reellen Axe vor- oder riickwarts gebildeten Differentialquotienten jeder endlicben Ordnung, aus dem eben angegebenen Grunde in der Umgebung der Stelle x = die Entwickelbarkeit nach Potenzen von x von vorn herein ausgeschlossen sein musste, und fur die sich dann auch nachtraglich die Divergenz der MacLaurin'schen Reihe direct nachweisen Hess. Damit war also die erste Lagrange'sche Hypothese definitiv beseitigt. Mit Beniitzung des namlichen Grundgedankens ist es mir kiirzlich gelungenf, neben einfacheren Beispielen der eben erwahnten Kategorie auch solche zu construiren, fur welche zwar die nach der MacLaurin'schen Formel hergestellte Potenz- reihe convergirt, wahrend sie auf Grund des obigen functionen- theoretischen Principes keinesfalls auch nur fur ein beliebig kleines reelles Intervall die erzeugende Function zur Summe haben kann. Da hiermit auch die zweite Lagrange'sche Hypothese als hinfallig erwiesen ist, so erscheint die Endlichkeit aller Differ- entialquotienten jeder endlichen Ordnung an der Stelle x = x und die gleichfalls ausdriicklich unter die Voraussetzungen auf- f (v) x zunehmende Convergenz der Reihe 2,- j %" wohl als eine noth- wendige, aber keineswegs als eine hinreichende Bedingung fur die Gliltigkeit der Formel : * "Uber den Gtiltigkeits-Bereich der Taylor'schen Keihen-Entwickelung." Math. Ann. Bd. xxi. p. 109. t " Zur Theorie der Taylor'schen Keihe und der analytischen Functionen mit beschranktem Convergenz-Bereich." Math. Ann. Bd. XLII. p. 109. 192 292 ALFRED PRINGSHEIM. Auf der andern Seite giebt die aus dem Rolle'schen Mittel- werthsatz folgende Beziehung (die sog. Taylor'sche Formel mit dem Lagrange'schen Reste): n-l f(v) ( r \ f(n) (t\ (2) f(* + h) = *L-3k + L-.glte (* <<* + A) wohl eine hinreichende, aber keine nothwendige Bedingung fur die Giiltigkeit der Taylor'schen Entwickelung. Denn will man aus Gl. (2) die Giiltigkeit der Beziehung (1) fur irgend einen bestimmten Werth h erschliessen, so miisste da man den in (2) vorkommenden Mittelwerth ja nicht kennt feststehen, dass: (3) lim-Ao = 0, W=oo W I fur alle oc, die dem Intervalle : a? x ^ # + h angehoren, und dies wtirde also thatsachlich eine hinreichende Bedingung fur die Giiltigkeit von (1) abgeben; wahrend doch hierzu nur nothwendig ware, dass der Grenzwerth (3) fur jenen einzigen unbekannten Mittelwerth verschwinden miisste. Dagegen erhalt man freilich eine gewisse Form der nothwen- digen und hinreichenden Bedingungen fur die Giiltigkeit der Taylor'schen Entwickelung, wennman, statt von dem Rolle'schen Satze auszugehen, die Beziehung : /(b + h) -f(x.) = f / fa + h - a) dn J o durch successive factorenweise Integration iiberfuhrt in die fol- -i /(") (o\ gende: /fa + A)=2- 7 ^ } h"+R n , wo R n = 7 TV-I f (n} (xo+h-a). a."- 1 . da. (n 1) ! J o Denn hieraus folgt in der That die Endlichkeit und Stetigkeit der f (n) (#) fiir jedes endliche n vorausgesetzt als nothwendige und hinreichende Bedingung fiir die Taylor'sche Formel: lim R n = 0. =oo Indessen ist der Werth dieses Resultates ein ziemlich illu- sorischer : das fragliche Integral lehrt uns iiber die Eigenschaften, welche f(x) in dem betreffenden Intervalle von Oo) O - tfo)" (X Q Xx jeder Differentialquotient nur einen einzigen bestimmten Werth hat, gleichgultig ob man ihn nach rechts oder nach links bilden mag (fur die Stelle x x selbst kommt natiirlich nur der rechtsseitige Differentialquotient in Betracht) : in Folge dessen braucht die Stetigkeit von f(x), f (v] (x) nicht ausdrticklich unter den Voraussetzungen aufgefiihrt zu werden, da sie in diesem Falle eo ipso vorhanden sein muss. Ferner bedeutet die Endlichk&it aller Differentialquotienten jeder endlichen Ordnung nur so viel, dass f (n) (x) fur jedes bestimmte endliche n einen (irgendwie von n abhangigen) bestimmten endlichen Werth haben muss, womit aber keineswegs ausgeschlossen sein soil, dass/ (w) (x) zugleich mit n in's Unendliche wachsen kann. Letzteres wird vielmehr geradezu die Hegel sein, da ja andernfalls, d. h. wenn lim f (n) (#) stets unter einer endlichen 71=00 Grenze bliebe, die Reihe S -.f (v) (# ) h" fiir jedes noch so grosse h, also bestdndig convergiren miisste, was offenbar ein ganz specieller Fall ware. Die Bedingung (2) des oben ausgesprochenen Satzes bestimmt nun gerade das Maass, nach welchem ein Unendlich- werden von/ (7l) (X Q + h) fur n= stattfinden darf, wenn f(x + h) fiir ein gewisses Intervall nach Potenzen von h entwickelbar sein soil. In dieser Bedingung liegt der eigentliche Kernpunkt des Satzes, der sich folgendermaassen formuliren lasst : Das unter- scheidende Merkmal, welches die fur irgend ein Intervall ent- wickelbaren Functionen f(x) aus der Classe der unbeschrankt differenzirbaren heraushebt, besteht in genau zu praecisirenden Beschrdnkungen, an welche das Unendlichwerden von / (n) (a;) fur n = oo gebunden ist, und welche keineswegs eine blosse Folge der Differenzirbarkeit sind, sondern zu dieser noch ausdrucklich hinzukommen mussen. Sodann mochte ich noch hervorheben, dass im Gegensatze zu der sonst herrschenden Gepflogenheit, Bedingungen, die sich auf die Entwickelbarkeit von f(x) beziehen, immer gleich fur UBER DIE TAYLOR SCHE REIHE. 295 eine gewisse (reelle) Umgebung einer Stelle x zu formuliren, bei dem oben angegebenen Satze mit voller Absicht nur von einer einseitigen urn irgend eine Festsetzung zu treffen, der rechts- seitigen Nachbarschaft von # die Rede ist. Da es sich hier namlich wesentlich um Functionen reeller Variablen handelt, so wird die Function f(x), auch wenn man sich dieselbe fiir die rechte und linke Nachbarschaft von x durch einen einheit- lichen analytischen Ausdruck (nach Art einer Fourier'schen Reihe) gegeben denkt, fur die beiden Nachbarschaften von x vollkommen verschiedene Eigenschaften besitzen konnen. Wenn also auch ftir positive h < R etwa die Beziehung besteht : so braucht die Summe dieser natiirlich auch fur negative (nume- risch unter R liegende) Werthe von h convergirenden Reihe fiir h < zur Function f(% + h) nicht die geringste Beziehung zu haben*. Man wiirde also den fraglichen Satz zweifellos zu eng fassen, wenn man von vorn herein die nothwendigen und hinreich- enden Bedingungen fur die Giiltigkeit der Taylor'schen Formel von Eigenschaften abhangig macht, welche f(x) in der (zwei- seitigen) Umgebung einer Stelle x besitzt, da sich diese zwar als hinreichend, dagegen keineswegs als nothwendig erweisen wiirden, falls es sich nur um die Entwickelbarkeit fiir eine Nachbarschaft von ac Q handelt. Dagegen hat es bei der hier gewahlten Fassung des Satzes offenbar garkeine Schwierigkeit, denselben zunachst auch auf negative Werthe von h zu iibertragen und schliesslich durch Zusammensetzung der betreffenden Theil-Resultate fiir eine zweiseitige Nachbarschaft der Stelle # zu formuliren. Was nun ferner den analogen Satz des Herrn Kb' nig betrifft, so unterscheidet er sich ausser in dem eben besprochenen und einigen anderen Punkten von mehr untergeordneter Bedeutung vor alletn darin, dass unter den betreffenden Bedingungen dort noch eine erscheint, welche mit Anwendung der hier gebrauchten Bezeichnungen folgendermaassen lauten wiirde : * Ich bin in der That im Stande, wie ich demnachst bei anderer Gelegenheit zeigen werde, unbeschrankt differenzirbare analytische Ausdriicke /(x) anzugeben, welche z. B. rechts von der Nullstelle nach der MacLaurin'schen Reihe ent- wickelbar sind, wahrend deren Summe ftir negative x nicht mehr mit f(x) iiber- einstimmt. 296 ALFRED PRINGSHEIM. " Es muss 8 (x, h) = 2 ( f (v) (x) . h" als Function von x betrachtet gliedweise dilferenzirbar sein in der Umgebung jeder Stelle x, welche dem Intervalle (x ^ x < x + R) angehort, und fur alle positiven Werthe h, welche der Bedingung genilgen : x + R" Da wir nun aber von den nothwendigen und hinreichenden Bedingungen fur die gliedweise Differenzirbarkeit einer Reihe. deren Glieder beliebige Functionen einer Veranderlichen x sind, keine genugende Vorstellung haben (wir kennen eigentlich nur hinreichende Bedingungen hierfiir), so wird durch Einfuhrung der obigen Bedingung der Werth des betreffenden Satzes geradezu vollig illusorisch. Dazu kommt aber noch, dass auch diese Beding- ung noch nicht einmal ausreicht, um den Konig'schen Beweis zu einem einwurfsfreien zu machen. Wie Herr Stolz* mit Recht bemerkt hat, ist dazu noch folgendes erforderlich : " Es mussen 8 (x, h) und - -~ - gleichmassig stetige Functionen von x und h sein in der Umgebung jedes Werthepaares (x, h), welches der Bedingung genugt : x ^xx + h (#) (ftir jedes endliche v) eindeutig bestimmte endliche Werthe haben mtissen ; sodann aber, dass / (x) fur das Interval! (# = & < #o + R) als Summe einer convergirenden Reihe nach Potenzen von (##) eindeutig bestimmte, endliche Differential - quotienten jeder endlichen Ordnung besitzt. Setzt man sodann Gl. (1) in die Form: (2) so folgt dass : (3) f( oder wenn man nach Potenzen von k ordnet, was sicher gestattet ist, wenn man h und k auch einzeln = annimmt : Da aber aus (2) folgt : so geht Gl. (4) in die folgende iiber : (5) /v sodass in der That : 1 7 7 7 r> (6) lim fw (# + h) k n = fur : ^ h h + k < R \ / 49 I ?l ~ oo " werden muss, wie es die Bedingung (2) des ausgesprochenen Satzes erheischt. Um nun ferner die vorstehenden Bedingungen als hinreichend fur die Gultigkeit der Taylor'schen Formel zu erkennen, bemerke man zunachst, dass aus den sub (1) aufgestellten Bedingungen mit Hiilfe des gewohnlichen (sog. Rolle'schen) Mittelwerthsatzes die folgende Beziehung (die Taylor'sche Formel mit dem Lagrange'schen Restgliede resultirt: (7) wo fiir jedes n der Werth von dem Intervalle (0, 1) angehort. Da aber, falls die Bedingung (6) besteht, dieses Restglied fiir 71=00 und jeden dem Intervalle (0, 1) angehorigen Werth 6 298 ALFRED PRINGSHEIM. 75 sicher verschwindet, falls h < -^ , so findet man zunachst, dass die Beziehung : /Q\ f( m I \ V,, J \"^<>) 1 V Ci / 7,\ {o) j (x + fi) = Z" : fi = ^a? 0) /i^ o Pi 75 vorlaufig gilt fur : Q h< . Nimmt man also eine positive 25 Grosse r beliebig wenig unterhalb R an, so liegt h ~ noch innerhalb des Bereiches, fur welchen Gl. (8) gtiltig ist, und man hat daher : wobei die betreffende Reihe noch absolut convergent und glied- weise difFerenzirbar ist, also : (10) / wird. Um nun den Giiltigkeitsbereich der Gl. (8) zu erweitern, gehe (T X 0+ H ^ aus. Man erhalt dann genau so, wie oben Gl. (7) : und erkennt mit Hiilfe von Gl. (6), dass das Restglied fur n = oo T sicher verschwindet, falls k ^ 7 genommen wird, sodass also : (12) ftir ^ A S . 4 Nun ist andererseits : f* und diese Reihe darf, solange ^ + k < R ist, also sicher fur UBER DIE TAYLOR'SCHE REIHE. 299 T positive & = g nach Potenzen von k geordnet werden, so dass sich ergiebt : (nach Gl. (10)) Mit Beniitzung dieses Kesultates lasst sich aber Gl. (12) jetzt folgendermaassen schreiben : oder, wenn man -+k=h setzt : 39 (13) f(*, + h) = S(a 9 ,h) Mr: ^h^ + %, sodass also in Verbindung mit dem oben durch Gl. (8) dargestell- ten Resultate die Giiltigkeit der fraglichen Beziehung nunmehr erwiesen ist ftir das Intervall : Durch Anwendung der namlichen Schlussweise kann man V T jetzt, von der Stelle a? + + -7 ausgehend, diesen Gtiltigkeits- T T* bereich um die Grosse erweitern, u. s. f. sodass man also durch o (m l)malige Wiederholung dieses Verfahrens als Giiltigkeits- bereich. der Gl. (8) erhalten wtirde : Da hier m beliebig gross gedacht werden kann, so folgt schliesslich die Gtiltigkeit fiir : ^ h < r, und somit auch fur jedes h, welches der Bedingung geniigt : ^ h< R, da es ja fur jedes h < R immer noch unendlich viele Grossen r giebt, sodass h n oder anders geschrieben : lim jw Oo + 6R) (1 - ej l .R n = Q (0 1). tl = Q n Zusatz II. Will man den Lehrsatz auf ein von der Stelle x nach links gelegenes Intervall ubertragen, so tritt, wie man ohne weiteres erkennt, an die Stelle der Bedingung (2) die folgende : l{mwx Q -h.k n = fur: 0^hh + k 1 sein soil. Die Reihe convergirt unbedingt und gleichmassig fur alle reellen x, in's besondere auch fiir die Stelle x = und deren reelle Umgebung. Dasselbe gilt fur die durch gliedweise * Der Beweis des vorstehenden Satzes lasst sich, wie ich neuerdings bemerkt habe, noch merklich abkiirzen, wenn man statt von der Lagrange'schen, von der Cauchy'schen Form des Restgliedes ausgeht. Man erkennt dies unmittelbar, wenn man die Bedingung (2) des Lehrsatzes iu die Form setzt : lim !/<> (x + Or) (1 - 0) . r= 71 fiir jedes ?< R und O^^^l. (Eine ausfiihrlichere und in gewisser Beziehung prae- cisere Darstellung des fraglichen Satzes ist inzwischen in den Mathematischen Annalen, Bd. XLIV. p. 57 ff. erschienen.) UBER DIE TAYLOR'SCHE REIHE. 301 Differentiation daraus abgeleiteten Reihen, sodass dieselben nach einem bekannten Satze auch wirklich die DifFerentialquotienten von /() darstellen und somit, wie f(x} selbst, fur jedes noch so grosse endliche n endlich und stetig sind. Man bildet die letzteren am bequemsten, wenn man zunachst f(x) in die Form setzt : 1 V f 1 1 ) f( T \ = A 5> _ J J w 2 t v\ \a v x - i a v x + ) ' woraus ohne weiteres folgt : 2T o vl Fur x = hat man daher : (9\ f(n) ( T \ _ l ~ Fur /ox y ( 2m-i) ( ) = o y (2 m) ( ) = (_ iym t (2m) ! e A a . Hieraus ergiebt sich aber, dass die nach der MacLaurin'schen Formel fur /(a?) gebildete Potenzreihe, namlich : (4) () (-lyfe***^ o fur jedes noch so kleine as divergirt, sobald \ > gewahlt wird. Denn man hat in diesem Falle : lim \/ ^ lim (e x ) 2" = oo . |=00 J/=00 Somit stellt die Reihe (1) fur X > ein offenbar sehr ein- faches Beispiel einer Function dar, welche an der Stelle x und fur jede reelle Umgebung derselben eindeutig bestimmte und endliche Differentialquotienten besitzt, und dennoch nicht nach der MacLaurin'schen Reihe entwickelt werden kann, weil dieselbe fur jedes noch so kleine x divergirt. Nimmt man jetzt hingegen fur \ einen Werth < an, sodass also e* ein achter Bruch wird, so ergiebt sich : lim i> = oo Mithin convergirt nunmehr die Reihe < (x) fur jedes noch so grosse x. Nichtsdestoweniger kann ihre Summe nicht mit der erzeugenden Function f(x) ubereinstimmen. Man erkennt dies sofort, falls man der Variablen x auch complete Werthe beilegt. Die Reihe (1) stellt dann nach einem bekannten Satze des Herrn Weiers trass eine analytische 302 ALFRED PRTNGSHEIM. Function der complexen Variablen x dar mit den ausserwesentlich singularen Stellen x = i, t'cf 1 , + ia~ 2 , . . . und der wesentlich singularen Stelle x (als Haufungspunkt der Stellen ia~ v fur wachsende i/)*. Sie kann also keinesfalls ftir irgend eine complexe Umgebung der Nullstelle nach Potenzen von a; entwickelbar sein und aus bekannten Satzen iiber die Fortsetzung analytischer Functionen ergiebt sich sodann, dass die Beziehung /(#) = < (x) fur Jcein noch so kleines Fldchen- oder Linienstiick, in's besondere also fiir keine noch so kleine reelle Nachbarschaft der Stelle x = stattfinden kann. Ubrigens lasst sich die Nicht-Ubereinstimmung von f(x) und (f> (x) wenigstens fiir Werthe von a, die eine gewisse Grb'sse erreichen oder iibersteigen, auch ganz direct nachweisen, ohne auf die Theorie der Functionen complexer Variablen zu recurriren. Setzt man etwa \ = A,' und \' ^ 1, so folgt aus Gl. (1), dass fiir jedes x: 1 V 1 1 ** > und aus (4), dass zum mindesten fiir | x \ ^ 1 (x) < e~\ Giebt man jetzt speciell x den Werth a~*, so wird : ^/ i\ 1 1 j T a I -* > -- - d. h. und daher sicher : /(a -i ) > - also > (or*) > , 11 a 1 , , . e+\ sobald : - - ^ e~ l d. h. a S - - . a + 1 e 1 Aus der Nicht-Ubereinstimmung von f(x) und < (x) fiir irgend eine einzige Stelle x lasst sich dann auch, wie ich in der oben citirten Abhandlung auseinandergesetzt habe t, lediglich mit Hiilfe elementarer Satze aus der reellen Functionen-Theorie erschliessen, dass die Beziehung f(x) = (x) fiir kein noch so kleines Intervall in der Nahe der Nullstelle stattfinden kann. Da die hier betrachtete Function f(x), wie ich glaube, das erste bekannte Beispiel eines mit alien Ableitungen wohl definirten * Vgl. hieriiber meine oben citirte Abhandlung, Math. Ann. Bd. XLII. p. 166 ff. t a. a. 0. p. 162. UBER DIE TAYLOR'SCHE REIHE. 303 arithmetischen Ausdruckes darstellt, der trotz der Convergenz der MacLaurin'schen Entwickelung dennoch nicht mit deren Sumrae (x) ubereinstimmt, so schien es mir nicht uninteressant, liber den Verlauf von f(x) und (x), namentlich liber den Grad der Abweichung zwischen diesen beiden Grb'ssen, mit Hlilfe einer graphischen Darstellung eine deutliche Anschauung zu gewinnen. In der beigegebenen, auf meine Veranlassung von Herrn Diem hergestellten Zeichnung findet man die Curven mit den Ordinaten : y = 2/(#) rj = 2 (x) fur das Intervall ^ x ^ 1 und die Parameter- Wer the a 1, V2, 2, 2\/2, 10, VlOOO, oo dargestellt. Fiir den anderen Parameter X wurde, als fur die Rechnung besonders bequem, der Werth ty\ gewahlt, sodass also : Die schwarzen Linien stellen den Verlauf von 2/(#), die punctirten den von 2< (x) dar. Flir a = 1 fallen f (x) und (x) noch zusammen : man erhalt namlich fur a = 1 : f(x) = ^ . 1+8" und (wenigstens flir x 2 < 1) auch : 1 1 T \ / 9'1 also y = f] -. g durch eine Curve 3ter Ordnung dargestellt. J. "T~ iC Flir das andere Extrem a = oo wird f(x) = ^ , also */ ^ / I I n\& y = 2f(x) diejenige Curve 3ter Ordnung, die aus der oben erwahnten durch Verdoppelung der Ordinaten hervorgeht; da- gegen rj = 26 (x) = 1, als eine Parallele zur JT-Axe im Abstande 1. Zwischen diesen beiden Extremen verlaufen nun die Curven bei wachsenden Parameter- Werthen von a und es ist klar (wie auch ein Blick auf die defmirenden Reihen lehrt), dass die Divergenz zwischen den f- und -Curven mit a bestandig zunimmt. Flir a = V2 ist sie bei x = 0,5 so gering, dass sie bei dem gewahlten Maassstabe iiberhaupt nicht merklich ist, und auch weiterhin bei x 1 sehr unerheblich. Dagegen zieht sich flir den doppelten Werth a = 2V2 die $-Curve schon sehr nahe an die 304 ALFRED PRINGSHEIM. fur a = oo resultirende Gerade und 1st fur "Werthe wie a = 10 iiberhaupt nicht mehr davon zu unterschieden, sodass (wie die Figur zeigt) die Divergenz mit der /-Curve schon in grosser Nahe der Nullstelle ausserordentlich auffallend wird. Y MUNCHEN, 1 August 1893. ALLGEMEINE THEORIE DER DIVERGENZ UND CONVERGENZ VON REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. VON ALFRED PRINGSHEIM IN MUNCHEN. UNTER obigem Titel habe ich im 35ten Bande der Mathemati- schen Annalen* eine Abhandlung publicirt, in welcher ich den Versuch machte, anstatt der bisher bekannten, durch verschie- denartige Kunstgriffe gewonnenen Divergenz- und Convergenz- Kriterien, aus einem einfachen, consequent durchgefuhrten Principe Regeln von grosstmoglicher Allgemeinheit abzuleiten, welche nicht nur alle jene friiheren Regeln als specielle Fdlle enthalten, sondern auch ihren bisher mehr oder weniger ver- borgenen Ziisammenhang deutlich erkennen lassen und so der Lehre von der Divergenz und Convergenz der Reihen erst den Charakter einer folgerichtigen mathematischen Theorie verleihen. Da die Lecture der fraglichen Abhandlung wegen ihres nicht unbetrachtlichen Umfanges vielleicht nicht nach jedermanns Geschmack sein mag, so glaube ich, bei der fur die gesammte Analysis fundamentalen Bedeutung der Reihenlehre, Manchem vielleicht einen Dienst zu leisten, wenn ich im folgenden einen kiirzeren Auszug aus den betreffenden Untersuchungen mittheile, und zwar nicht in der Weise, dass ich iiber alle Ergebnisse derselben lediglich refenre, vielmehr, mich auf deren Haupt- Resultate beschrankend, diese in moglichster Kiirze wirklich zu entwickeln versuche. Soil hernach auch der folgende Aufsatz ein * a. a. 0. p. 297394. Nachtrag dazu : Math. Ann. Bd. xxxix. p. 125128. c. P. 20 306 ALFRED PRINGSHEIM. von der genannten Abhandlung unabhangiges, in sich abgeschlos- senes Ganze bilden, so werde ich iramerhin zum Zwecke etwa wiinschenswerth erscheinender Erganzungen bei passender Ge- legenheit auf jene Abhandlung hinweisen, in deren Einleitung, wie ich hier gleich bemerken will, man auch eine ausfiihrliche Kritik der auf diesem Gebiete mir bekannt gewordenen Vorar- beiten, in's besondere der einschlagigen Untersuchungen Du Bois Reymond's findet*. 1. Allgemeine Form der Diver gem- und Convergenz- Kriterien. 1. Bezeichnet man ein fiir allemal eine aus positiven Gliedeni bestehende, bereits als divergent erkannte Reihe mit ^d v oder 2-D.r 1 convergent Sc,, 2C V ~\ so folgt ohne weiteres, dass eine beliebig vorgelegte Reihe mit positiven Gliedern divergirt, wenn : a v - d v "\", convergirt a v -3c v . Es ergeben somit die Beziehungen : ,,. jlim D v a v > : Divergenz, (lim C v a v < oo : Convergenz. Dies ist der einfachste Typus der Kriterien erster Art. 1st fur irgend eine Wahl von D v bezw. C v : lim D v a v = Q oder unbestimmt mit der unteren Grenze 0, lim C v a v = GO oberen oo , * a. a. 0. p. 297300. + Ich bediene mich nach Du Bois Eeymond's Vorgange der Bezeichnungen : (1) /i(")-3/ 2 (") (2) /iW-^W (3) ./JW -/,(") um auszudriicken, dass : lim ~l < (2) weder 0, noch oo r-^7W ( (3) =00 (Dabei braucht im Falle (2) der fragliche Limes keinen bestimmten endlichen Werth zu haben.) Ferner soil die Beziehung : lim/(v) (? -3 (?, ,, lim C v a v < oo . Neben der sub (I) aufgestellten einfachsten Form der Kriterien erster Art kann man noch beliebig viele andere bilden, indem man nicht schlechthin a v mit d v bezw. c v , sondern eine passende Function F(a v ) mit F(d v ) bezw. F(c v ) in Beziehung setzt, wobei nur jene Function F so gewahlt sein muss, dass aus einer Bezieh- ung von der Form F (x^ > F (x 2 ) stets auch auf die Beziehung \ > x i geschlossen werden kann. Auf einer derartigen Umformung der Kriterien (I) beruht in's besondere, wie sich spater noch in concrete zeigen wird, die Moglichkeit, an Stelle von getrennten Kriterien-Paaren fur Divergenz und Convergenz disjunctive Doppel-Kriterien erster Art aufzustellen, bei denen die Entscheid- ung liber Divergenz und Convergenz von der Pruning eines einzigen Ausdruckes abhangt. 2. Statt a v direkt mit d v bezw. c v zu vergleichen, ist es zuweilen fur die Rechnung bequemer das Abnahme-Verhaltniss ^1 mit dem entsprechenden " +1 = jr-^ bezw. l = ^- in Be- a v a v -Uv+i Cv w+i ziehung zu bringen. Man erkennt leicht*, dass die (fur alle v von irgend einer bestimmten Stelle ab) als gliltig angenommene Relation : ft,,.fi JJ V j-. . ^ f: : Divergenz a v JJ v+ i v+1 ~- : Convergenz a v O^ +1 * Cf. a. a. 0. p. 303. 202 308 ALFRED PRINGSHEIM. von Sa,, zur Folge haben muss. Hernach ergiebt sich wiederum : Ilim (D v " - D v+1 ] < als hinreichend fiir die Divergenz \ op 7 lira ( C v - C v+1 ) > Convergent. \ a v+l Wir bezeichnen diese Beziehungen als Kriterien zweiter Art *. Auch hier wird beira Versagen eines solchen Kriterien -Paares die Moglichkeit, wirksamere Kriterien zu construiren, wiederum auf der Heranziehung solcher Grossen D v , C v beruhen, welche schwdcher divergirenden bezw. convergirenden Reihen angehb'ren. Ferner stellen, ahnlich wie oben, die Beziehungen (II) nur den einfachsten Typus der Kriterien zweiter Art dar, und man kann, indem man wiederum an Stelle der in Betracht kommenden Grossen passende Functionen derselben einfuhrt, noch mannigfache andere Formen solcher Kriterien erzeugen. 3. Man konnte schliesslich irgend welche passend gewahlte Function von zwei oder auch beliebig vielen Gliedern mit der entsprechenden der d v bezw. c v in Beziehung setzen, um daraus die Divergenz bezw. Convergenz von Sa,, zu erschliessen. Aus der unbegrenzten Anzahl von Moglichkeiten, welche sich auf diese Weise fiir die Construction weiterer Kriterien-Formen ergeben, habe ich in der oben citirten Abhandlung zwei herausgegriflen und die betreffenden Kriterien als erweiterte Kriterien zweiter Art und als solche dritter Art bezeichnet. Die Bildung der ersteren beruht darauf, dass man statt des Quotienten zweier consecutiver denjenigen zweier beliebig entfemter Glieder oder auch denjenigen zweier Gliedergruppen in Betracht zieht -f- : dieses Verfahren lieferte mir u. a. auch jene sehr allge- meinen Kriterien, welche auf vollig anderern Wege von Herrn Ermakoff zuerst aufgestellt worden sind. Es ist mir neuerdings gelungen, dieselben von einer ihnen (auch in der von Herrn Ermakoff gegebenen Darstellung) anhaftenden, sehr wesentlichen * Man findet dieselben haufig auch so geschrieben : (aii \ D v +i -D V \>Q: Divergenz lira f a. a. 0. p. 379386. 310 ALFRED PEINGSHEIM. Alsdann gilt zunachst der folgende Lehrsatz : Die Reihe, deren allgemeines Glied eine der beiden Formen : M M (a)M v+1 -M v (6)-^ J hat, ist stets divergent. Umgekehrt Idsst sich das allgemeine Glied jeder divergenten Reihe* sowohl in die Form, (a), als auch (6) setzen. Beweis: Zu (a). Dass in der That 2 ( M v+1 M v ) divergirt, erkennt man ohne weiteres aus der Beziehung: i = M n - M n<> (da lim M n = oo ). Wo 71= O Ist umgekehrt d v als Glied irgend einer divergenten Reihe vorgelegt, so ist offenbar 2 v c? p eine positive, mit n monoton in's Unendliche wachsende Grosse. In Folge dessen kann man setzen : w-l n woraus in der That : resultirt. Zu (b). Es ist : M V+1 -M V _M V+1 M v " M v "- 1 /! , M, +l -M,\ M n und daher : H H -~ = ' Mo V M v J M no sodass also dieses Product fur n = oo nach oo divergirt. Daraus M M folgt aber nach einem bekannten Satze f, dass S - + ^ gleichfalls divergiren muss. Ist dagegen umgekehrt d v beliebig vorgelegt, so divergirt mit ^d v auch das Product II (1 + d v ), sodass also H (1 + d v ) eine mit n * N.B. Es handelt sich hier ein fiir allemal um Eeihen mit lauter positiven Gliedern. t a. a. 0. p. 313, Fussnote. UBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 311 monoton in's Unendliche wachsende, positive Grosse darstellt. In Folge dessen kann man setzen: M (1 + d v ) = M n , also : M n+1 = 14 (1 + d v } = M n (l+ d n ) M M JIT. 7 - iH +l * H II 1 und daher : d n = ^ q. e. d. Zusatz I. Bedeutet \ eine ganz beliebige positive Grosse, so d divergirt mit der Reihe ^,d v auch stets die Reihe 2 -A Hiernach muss sich aber -^- gleichfalls in die Form (6) setzen lassen, d. h. man hat fur jedes beliebige d v bei beliebiger Wahl der positiven Grosse \ auch : ,-Jf. Ui v A, . M v Zusatz II. Es divergirt auch stets die Reihe mit dem all- gemeinen Gliede ( c \ Mv+1 ~ Mv = i Mv Dies folgt ohne weiteres falls M v+1 ~ M v . 1st dagegen M v+l - M v , so hat man: lira ^ = 1, woraus gleichfalls die Divergenz der fraglichen Reihe folgt. 1st endlich M v+1 ^ M v d. h. die M + obere Unbestimmtheits-Grenze von ^ unendlich gross, so hat JX1. V M M diejenige von ^f den Werth 1, sodass die Reihe wiederum divergiren muss. 2. Da man nach dem obigen Lehrsatz jedes beliebig vor- gelegte d v in die Form : d v = M v+l - M v setzen kann, und da dann andererseits auch die Reihen mit dem allgemeinen Gliede : * _ d_ * / _ d v _ gleichfalls divergiren, so folgt zunachst wegen : B v ~-3 d v , 8 V ' -3 d v 312 ALFRED PR1NGSHEIM. dass man auf diese Weise zu jeder divergenten Reihe stets auch schwdcher divergirende construiren kann. Es bietet sich aber noch eine zweite Moglichkeit dar, um aus d v = M v+l M v das Glied einer schwdcher divergirenden Reihe zu erzeugen, namlich indem man an die Stelle von M v eine mit v langsamer zunehmende Grosse M v ' setzt; in der That wird alsdann die Zunahme d v ' = M' v+1 M v ' unter d v = M v+1 M v liegen, also ~2d v ' schwacher divergiren. Denkt man sich etwa M v irgendwie fixirt, so werden die Aus- driicke \&M V , Ig 2 M v> . . . \g K M v (wo : \&M. = lgM v , \g 2 M v = lg\gM v und allgemein \g K M v den /c-fach iterirten Logarithmus von M v bezeichnet, sodass also: \g K M v = lg\g K _ 1 M v = Ig^lgM,,) eine Skala von immer langsamer zunehmenden Grossen darstellen, und somit werden die Reihen mit dem allgemeinen Gliede : nicht nur durchweg schwacher divergiren, als ^(M v+l M v ), sondern fur K = I, 2, 3,... geradezu eine Skala von bestdndig schwdcher divergirenden Reihen bilden. Da nun fur jedes x ^ : e x ^ 1 + x also : Ig (1 so) ^ x so folgt zunachst : i TIT i i\f i /i , M V+1 M V \ M V+1 -M V \g,M, +t - IgA = Ig (1 + - -^-~ ) i -^-^ , und wenn man in dieser Ungleichung Ig M v fur M v substituirt : \tfM -Iff M < fe^H-i-lgi^r < M v+l -M v \ gl M v =M v Ag 1 M l> > und durch Fortsetzung dieser Schlussweise : Hieraus ersieht man aber, dass mit der Reihe und 28,, = 2 T> auch stets diejenigen mit dem allgemeinen Gliede : (2) 8 r = , wo L K (M v ) = M, . \ gl M v . \g z M v . . . \g K M,, UBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 313 divergiren, und zwar bilden sie far K= 1, 2, 3,... mit jenen beiden ersten Reihen zusammen eine Skala von bestdndig schwdcher divergirenden Reihen*. 3. Allgemeine Form der convergenten Reihen. 1. Lehrsatz I. Die Reihe mit dem allgemeinen Gliede: ist stets convergent, und umgekehrt Idsst sich das allgemeine Glied jeder convergenten Reihe in die obige Form setzen. Beweis. Man erkennt wiederum die Convergenz der betref- fenden Reihe ohne weiteres aus der Beziehung: n ~ 1 M M n-\ /I 1\1 1 / 1 \ ^ J.IJ. i/J-i ~~ AU v _ / X J. \ J. -I / , , . -L f.\ 2" JT ,, = 2" [ -^ ir? = -j-f Tf-p (da hm iy- 1 . JM JM \M Ju I M Jxf \ Jxl ) 00 Ist umgekehrt 2c,, als convergent vorgelegt, so ist S" c v eine mit n wachsendem n monoton abnehmende und fur n = oo gegen Null convergirende Grosse, sodass man setzen kann : oo J 1 > v f* _ _ _ also * >.y f* 1 1 M -M 111 XX J '/ /t 4-1 J "1 71 1 und daher : c n = ^r? TT? = " ,..- q. e. d. /t/ M M M L M n JXl n -\-i -Mn+i-iMn 2. Versucht man in ahnlicher Weise, wie sich oben bei den divergenten Reihen die Form (6) ergab, also durch Heranziehung von II (1 +> ) uber der entsprechen- \M M +!/ den c v liegen. Denkt man sich wiederum M v beliebig fixirt, so moge hier zunachst Mf fur M v substituirt werden, sodass also fur < p < 1 : Mf < M v . Man hat alsdann : Cv ' '-" - - -y t wo : q v = . Um die Abnahme von c/ bei unendlich wachsendem v mit derjenigen von C "~~M zu vergleichen, bilde man : ~~ "5 ~~~ "* v vy J- """" I/ 1/ Da fur jedes endliche v : das allgemeine Glied einer convergenten Reihe bildet. Und da bekanntlich fur p > : 316 ALFRED PRINGSHEIM. so bilden fur p > die Reihen mit dem allgemeinen Gliede : (4) o _M v +,-M v M v+l -M v (K - 12 3 \ M v+1 ^ : ~L K (M v+l ).lgsM v+l eine Skala von bestdndig schwdcher convergirenden Reihen*. Das gleiche gilt offenbar auch far : _M V+1 -M V _ M V+1 -M V - falls man die M v der Beschrankung unterwirffc, dass : M v+1 ~ M v . Zugleich bemerke man fur spater, dass in diesem Falle durch Vergleichung von Ungl. (3) mit Ungl. (1) des vorigen Paragraphen (wenn man in der ersteren noch K + 1 fiir K schreibt) sich ergiebt : (6) W 4. Da fur p > : so folgt noch, dass die Reihe mit dem allgemeinen Gliede M M v -^jf ' - fur p > stets convergirt. Das gleiche gilt dann / offenbar wiederum auch fiir die Reihe mit dem allgemeinen Gliede M M fl , falls M l , +l ~M v . Zugleich erkennt man, dass diese e p v Reihen fur p ^ divergiren. 4. Die Kriterien erster Art. Da sich nach den Ergebnissen der vorigen zwei Paragraphen das allgemeine Glied jeder divergenten bezw. convergenten Reihe in die Form : 1~\/f _ i\/f /if _ ]\/r i Ml 1/4.1 ~~ J.U v J.U 1,4.1 AtJ. v X v+l 7) M "~ M M T) M -LJ V AU J.1J. 1,4-1 J.U J V , 4tl Uber noch schwacher convergirende Eeihen vergl. a. a. 0. p. 352 356. UBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 317 setzen lasst, so folgt dass alle uberhaupt existirenden Kriterien erster Art (vom einfachsten Typus) in der Form enthalten sind : M lim j-f ^jff- a v = lim D v a v > : Divergenz (A) M M lim ,_ " ^.- . a v = lim M v+l D v a v < oo : Convergenz. Da aber nach 3, Lehrsatz II., die Reihe mit dem allgemeinen M M Gliede " +1 " schon fur jedes beliebig kleine positive p conver- girt, so erhalt man offenbar bei beliebig fixirtem M v jedesmal als eine vortheilhaftere Form des Convergenz-Kriterinms sofort die folgende : M M P (A') lim jp ^jf.a v x (fur irgend ein p > 0). Die Grossen M v sind hierbei noch keiner weiteren Beschrankung unterworfen, als von vornherein in ihrer Definition lag. Fiihrt man jedoch jetzt die Bedingung ein* : M V+1 ~M V , so kann man in dem Convergenz-Kriterium (A') die Grosse MS M v+ i ohne weiteres durch M v 1+ < > ersetzen und erhalt somit durch Verbindung mit dem Divergenz-Kriterium (A) jetzt das folgende Paar von correspondirenden Kriterien erster Art: ( . M lim v? ^~Tur' a v li m D v a v > : Divergenz /T>\ JU,,J-i Ml v (Jo) { If M* I lim j-f ^-f . a v *= lim MsD v a v < : Convergenz (p > 0). Man kann dann ferner mit Benlitzung von 2 Art. 2 und 3 * Die Einfiihrung dieser Bedingung erscheint sozusagen selbstverstdndlich, sobald es sich um die Aufstellung von wirklich brauchbaren Kriterien handelt. Da namlich aus den bisher angestellten Betrachtungen folgt, dass die Kriterien um so wirksamer werden, je langsamer die M v mit v zunehmen, so ist die Ausschliessung solcher M v , fiir welche M v+l %- M v , gleichbedeutend mit derjenigen der wenigst icirksamen Kriterien. Da in's besondere fiir 3f v+1 - M v : lim D -i = lim ( ^ +1 - 1\ = oo , \ M V ) so folgt z. B., dass irgend ein a v auf ein mit solchen Grossen D v gebildetes Divergenz- Kriterium nur dann reagiren kann, wenn auch lim a v =ao . 318 ALFRED PRINGSHEIM. Art. 3 eine Skala von immer wirksameren Kriterien bilden, namlich : IT /Iff \ \ lim -jrr^ "4, - a* = lim D V M a v >0: Diver genz "-^v+l OH if L (M)\s p M lim *.\. vf & * " . a v = lim Ig/ if .!>,,> a v < oo : Convergenz "J-v+l -"-*v * = 1, 2, 3,...,p>0. Dabei enthalt diese Skala offenbar auch die Kriterien (B) ala Anfangs-Kriterien, wenn man K = setzt und den Symbolen Ig x und L (x) die Bedeutung von x beilegt. Die obigen Kriterien nehmen die iibliche Form (sog. Bonnet - 'sche Kriterien*) an, wenn man speciell M v = v setzt, namlich : p (lira L K (v) . a v > : Divergent | _ (lim L K (v) lg/ v . a v < oo : Convergenz ) Um ferner neben den gefundenen Kriterien-Paaren auch disjunctive Doppel- Kriterien erster Art zu bilden geht man am bequemsten von dem in 3 Art. 4 aufgestellten Ausdrucke aus, welcher fur p ^ das Glied einer divergenten, fur M V+1 -M, p > dasjenige einer convergenten Reihe darstellte. Man hat hiernach : Divergenz, wenn fur p : ] e p " +1 [=1 Convergenz, wenn fur p > : ) M v+1 M v " (= 1 oder anders geschrieben : Diver genz, wenn fur p : ) M v+1 M v J ^ e p v+l Convergenz, wenn fur p > : ) a v (> ^> M v+i oder, wenn man diese Ungleichungen logarithmirt (vgl. 1 Art. 1): 1 -^+1 ~ M v Diver genz, wenn : ] a v ( p Convergenz, wenn : j M v+l \ ^ p > 0. Da hier p auch im zweiten Falle beliebig klein (wenn nur angebbar von Null verschieden) sein darf, so folgt schliesslich durch Ubergang zur Grenze v = oo : i 2u v +i 111 v , d v a v " a v ( < : Diver genz (D) lim r;^ = lim - < . * ilf v+1 ^, , (> : Convergent * . , (> : Convergenz. ct\ * Journ. de Mathm. T. vin. p. 78. UBER REIHEN MIT POSITIVEN GLTEDERN. 319 Hierbei unterliegen die M v noch keinerlei Beschrankung. Fiihrt man jetzt wiederum die Bedingung M v+l ~M v ein, so karm man zunachst die Ungleichungen (D) durch die folgenden ersetzen : M^-M^ ,-r, -.-. , . f < : Diverqenz (E, 1) lim rr 1 ~ ~ M v \> : Convergenz und erhalt sodann durch Substitution von \g lc+1 M v (tc = Q, 1, 2,...) an Stelle von M v mit Beniitzung der Relation (6) des 3 die folgende Skala: , 1: _ 6 L K (M v ) . a v (< : Divergenz \g K+l M v ]> : Convergenz Fur die specielle Wahl M v = v ergiebt sich aus (E, 1) und (E, 2): 1 /-.x i- a., f<0 : Diveraenz (1) lim 1 ^ /^ i/ (>0 : Uonvergen O T / ,.\ fj ( j* C\ jjiM0fVfi0fYi ) km _HJ KJ ^ (/c = 0, 1, 2, ...). lgc+i ^ (> : Convergenz Das erste dieser Kriterien ist wegen - lg = lg \/a v identisch mit dem Cauchy'schen Fundamental-Kriterium erster Art*: , . v / ( > 1 : Diverqenz lim va v \ n * (< 1 : Convergenz. Das fur = resultirende Anfangs-Kriterium der Skala (F, 2), welches auch so geschrieben werden kann : , . 6 a v ( < 1 : Diverqenz hm i - 1 lg v (> 1 : Convergenz riihrt gleichfalls von Cauchy herf , wahrend die tibrigen, die sich auch folgendermaassen schreiben lassen : * Analyse algebr. p. 133. t desgl. p. 137. 320 ALFRED PRINGSHEIM. ,. & X K - 1 (v}.a v j< 1 : Divergenz _ I 1 I 1 1 \ f-* \ K -^ JL . > O I lg +1 v (> 1 : Convergenz zuerst von Herrn Bertrand abgeleitet worden sind*. Das in (D) enthaltene Convergenz-Kriterium gestattet schliess- lich noch eine interessante formale Verallgemeinerung. Man bemerke zunachst, dass es fiir die Convergenz von Sa,, sicher hinreicht, wenn: limlg->0, 6 a, / da ja in diesem Falle lim > 1, also lim C v a v < 1 wird. Die obige cty Bedingung wird nun aber offenbar in keiner Weise alterirt, wenn V man sie durch die fur jedes v positive, endliche Grosse 2 A c* o dividirt, sodass also " I lim >0, v gleichfalls eine hinreichende Bedingung fur die Convergenz von bildet, und zwar unterscheidet sich dieselbe von der in (D) enthaltenen einzig und allein dadurch, dass hier CA, c v an Stelle von d\, d v steht. Bezeichnet man nun mit p\ eine in ganz willkurlicher Weise von der ganzen Zahl \ abhangige, nur wesentlich positive Grosse, so muss 2p A entweder divergiren oder convergiren d. h. p^ gehort entweder zur Classe der Zahlen d\ oder zu derjenigen der CA- In Folge dessen kann man aber die zuletzt aufgestellte Convergenz- Bedingung mit der in (D) enthaltenen in folgender Weise zusam- menfassen : Die Reihe ^a v ist convergent, wenn eine positive Grosse p\ essistirt, sodass: (G) lim T -2r>0. * Journ. de Mathem. T. vu. p. 37. UBER REIHEN MIT POSITIVES GLIEDERN. 321 Dies 1st das allgemeinste Convergenz-Kriterium erster Art, welches das vollkommene Analogon zu dem in seiner ausserst merkwiirdigen Allgemeinheit bisher vollig isolirt dastehenden Kummer'schen Kriterium* zweiter Art bildetf. 5. Die Kriterien zweiter Art. Als einfachster Typus fur die Kriterien zweiter Art ergab sich oben(l, FormellL): / ' n \ (a) lim ( D v . - D v+l ) < : Divergenz \ , > (b) lim [0, . - C v+1 ) > : Convergent, \ a v+l ' und man hat jetzt nur fur D v bezw. C v irgend einen der in 2, 3 aufgestellten Ausdrticke einzusetzen, urn die fertigen Kriterien zu erhalten. Hierbei ergiebt sich aber fur die Convergenz-Kriterien die Moglichkeit einer sehr merkwtirdigen Umformung, durch welche deren linke Seite schliesslich vollig gleichlautend mit derjenigen der Diver genz- Kriterien wird. Fiir die Convergenz von Sa,, ist hinreichend, wenn fur alle v von irgend einer bestimmten Stelle v = n ab: H a " (1 > \j v - L/ V+I = \j, also, wenn man nach 3, Lehrsatz I. setzt : M v "+ 1 M M v+1 I M M i "-v+2 -Lu-v+1 ( - i ' I I'+2 UI H-lJ nach Weglassung des gemeinsamen Factors M v+l und Multiplica- tion mit einer beliebig anzunehmenden positiven Grosse p : M v M.^ * S. Formel (H) des folgenden Paragraphen. t Vber die Tragweite der Kriterien erster Art, in's besondere auch iiber verschiedene, in dieser Beziehung vielfach herrschende Irrtumer vgl. a. a. 0. p. 343 359. c. P. 21 322 ALFRED PRINGSHEIM. Da sich aber das allgemeine Glied D v ~ l jeder divergenten Reihe nach 2 (Art. 1, Zusatz I.) stets in die Form: 1 M v+ i-M v setzen lasst und umgekehrt jeder solche Ausdruck das allgemeine Glied D v ~ l einer divergenten Reihe bildet, so folgt, dass man die letzte Ungleichung ohne weiteres durch die folgende ersetzen kann: n a " n > => ^ und diese Bedingung wird da ja p nur an die Beschrankung gekniipft ist, positiv, d. h. angebbar > 0, zu sein sicher erflillt sein, falls: (II. c) \im(D v -^ -D v+1 ]>0. \ Q>v+i / Durch Combination dieser Ungleichung mit (II. b) ergiebt sich aber, wenn man erwagt, dass jede in ganz willktirlicher Weise von v abhangende positive Zahl P v entweder wiederum der Classe der D v oder derjenigen der C v angehoren muss, das allgemeinste Con- vergenz-Kriterium zweiter Art, namlich das (von jeder iiber- fliissigen Nebenbedingung befreite) Kummer'sche* : (H) lim ( P v - P v+1 j > : Convergenz. Andererseits liefert die Verbindung von (II. c) mit (II. a) das folgende disjunctive Doppel-Kriterium zweiter Art : < : Divergenz (V "H \ J- , i ; iini i j^ _i_^ v . i i r\ rv \ a v+l J (> : Convergenz. Es ist ohne weiteres klar, dass man, von irgend einem be- stimmten D v ausgehend, wirksamere Divergenz-TLriteTien erhalt, wenn man fur D v das reciproke Glied einer schwdcher diver- girenden Reihe einfuhrt. Man erkennt aber, dass hierdurch auch die (7om>er<7en.2r-Kriterien eine Verschdrfung erfahren. Denn geht man auf deren urspriingliche Form (II. b) zuriick, so ist klar, dass * Crelle's Journal, Bd. xni. p. 171. Die von Kummer noch hinzugefiigte Nebenbedingung: limPyO^O hat zuerst Herr Dini als iiberfliissig erkannt : " Sulle Serie a termini positivi " Art. 19. Annali delV Univ. Tosc. T. ix. UBEK, REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 323 das Kriterium um so wirksainer sein muss, je schwdcher ^,C v ~ l convergirt. Driickt man aber, wie oben geschehen, die C v durch die M v aus, so entsprechen nach 3 Art. 2 den schwdcher conver- girenden Reihen SCv" 1 auch langsamer zunehmende Grossen M v , und somit, wenn man schliesslich statt der M v die D v einfiihrt, nach 2 Art. 2 auch solche D v , welche schwdcher divergirenden Reihen angehoren. Setzt man zunachst in (F, 1) : V = W~ ^W -'"v+l JXL V so wird man also eine Skala von successive wirksamer werdenden Kriterien erhalten* wenn man statt D v einfiihrt : n dt) _ L K (M v ) u v ~ M M ~ Auf diese Weise ergiebt sich : i- / 7-1,1 a -n, i \ f < : Divergenz (F, 2) \im(D v w---D (K) v+1 } \ ' ^ y V a v+1 + J (> : Convergent Man erhalt aus (F, 1), (F, 2) wiederum die bekannten Kriterien zweiter Art durch die specielle Wahl M v = v, namlich : ^. v+l : Convergenz l/o\ r (T / \ a " T f i\N (< Q : (2) hm L K (v) - L K (v + 1) M r, n V J a v+1 ') \> : Convergenz (* = 0, 1,2,...). Das Kriterium (1) ist offenbar das bekannte Cauchy'sche Fundamental-Kriterium zweiter Art*f. Das Anfangs-Kriterium (/c = 0) der Skala (2), welches sich auch folgendermaassen schreiben lasst : ,. / a v n \ f< 1 : Diver qenz hm v ( - - - 1 M -. n \a v+l ) (> 1 : Convergenz ist das Raabe'scheJ, die librigen riihren (abgesehen von einem unwesentlichen Unterschied in der Form) von Bertrand her. * Eine genauere Untersuchung iiber den Grad der Verscharfung, welche auf diese Weise erzielt wird, findet man a. a. 0. p. 364 366. Desgl. fur die speciellen Kriterien (K) : p. 368370. t Anal, algibr. p. 134. J Zeitsckrift fur Math, von Baumgartner und Ettinghausen, T. x. Journal de Jlathem. T. vir. p. 43. 212 324 ALFRED PRINGSHEIM. Von anderen Formen, in welche sich die Kriterien zweiter Art setzen lassen, will ich hier nur als besonders einfach die folgende, von mir angegebene, anfuhren : (L) limlUg/'*" \<^'^rgen 2 D v+l a v+l (> : Convergent und verweise betrefFs ihrer Herleitung auf die citirte Abhandlung*. Daselbst findet man auch eine genaue Untersuchung iiber die Tragweite der Kriterien zweiter Art und deren Beziehung zur Tragweite der entsprechenden Kriterien erster Art-f-. Anhang : Uber die Ermakoff'schen Kriterien fur bestimmte Integrate und unendliche Reihen^. Es seien m x , M x fur x^cc positive, mit x monoton in's Unend- liche wachsende Functionen mit den integrablen (eo ipso positiven) Differentialquotienten m x ', M x ', und zwar sei fiir jedes endliche # ^ # : m x < M x (womit nicht ausgeschlossen ist, dass fur x oo auch lim -^ 1 werden darf). Setzt man alsdann : M x so gilt der folgende Satz : Ist f(x) positiv fur x ^ sc und fur jedes endliche Intervall integrabel, so ist: (divergent, wenn lim Q x > 1 \convergent, wenn lim Q x < 1. V X=<*> Beweis. Sei zunachst : lim Q x > 1, so muss eine angebbare positive Grb'sse e existiren, derart dass auch : lim Q x > 1+ e * a. a. 0. p. 370, 371. t a. a. 0. p. 372379. J Darboux, Bulletin, T. n. p. 250 ; T. xvra. p. 142. UBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 325 und daher eine gewisse Stelle x = a, sodass fur x > a : Qx>I + e, d.h. M x '.f(M x )>(l+ e ).m x -.f(m x ) wird. Daraus folgt aber, dass : ! X M x . /(If.) dx > (1 + e) f TO,' . /(TO.), (x > a) J a J a oder wenn man diese Integrate mit Hiilfe der Substitution M x =y, bezw. m x = y transformirt : f /(y) dy>(l + e) I"' f(y) dy. (x > a). J M a J iria Nimmt man x jedenfalls gross genug, dass m x > M a wird (was stets moglich ist, da lim m x = oo ), so hat man : [MX ( rMa rm t "] (2) f(y).dy>(l+e)\ f(y)dy + f(y)dy\ J Ma I J ma J Ma ) und a fortiori : (3) r/(y}dy>(l + e}r f(y)dy. > Ma J M a r Ware nun I f(y)dy convergent, also endlich und bestimmt, J Ma rM, Cm* so miisste fiir x= oo der Quotient von I f(y)dy und f(y)dy J Ma J Ma den Grenzwerth 1 haben, es miisste also sicher von irgend einer bestimmten Stelle x > A ab, dieser Quotient unter 1 + e liegen, sodass also : rMx rntx f(y)dy<(l + e) f(y}dy (x>A) J Ma J M a wird : somit folgt aus Ungl. (3), dass das Integral in diesem Falle divergiren muss. Sei jetzt zweitens : so muss ein angebbarer positiver Bruch B und eine Stelle x = a existiren, derart dass : Q X a) 326 ALFRED PRINGSHEIM. woraus zunachst, ganz analog wie oben Ungl. (2), sich ergiebt : rMi ( [M, rm* \ (4) f(y)dy<(l-S)\ f(y}dy+\ f(y)dy\. J M, (Jm a J ft ) Setzt man zur Abkiirzung : r/s I f(y) dy = F(CL, y3), Ja so folgt aus (4) : F(M a , M x ) frh,* 1 (^> ^q) W VfM ^\ < V 1 ~M 1 " i " Ware nun das fragliche Integral divergent, also F(M a , oo )= x , so mtisste, falls x eine gewisse Grosse A iibersteigt, F(M a> m x ) beliebig gross, also in's besondere : F(m a , Ma) . F(M at m x ) < gemacht werden konnen, sodass also Ungl. (5) tiberginge in : Diese Ungleichung ist aber unmoglich, da der betreffende Quotient, wegen M x > m x , niemals < 1 werden kann. Somit muss das fragliche Integral in diesem Falle convergiren. Das durch den eben bewiesenen Satz gefundene Kriterium nimmt eine fur den Gebrauch bequemere Form an, wenn man m x oder M x durch x ersetzt. Man erhalt alsdann entweder : _M Q "~ wobei jetzt M x > x (z. B. M x = as + c (c> 0), M x = px, M x = sc p (p > 1), M x = e x ): oder: * wo ni x < x (z. B. m x = x c, vn x = -, m x = a; p , mx = Ig a?). UBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 327 Um die gefundenen Kriterien auch auf unendliche Reihen anwenden zu kb'nnen, bemerke man folgendes. 1st f(x) monoton fur x ^x und zwar dann selbstverstandlich niemals zunehmend (denn im Falle eines niemals abnehmenden f f(x) erkennt man ja ohne weiteres die Divergenz von I f(x)dx J x t oo und 2>/(i>)), so divergirt und convergirt mit dem Integrale I J f(x) dx stets auch die Reihe 2"/(i>). Denn man hat, wie leicht zu sehen, in diesem Falle stets : p/<)* J o Hier entscheiden also die oben gefundenen Kriterien auch ohne weiteres iiber die Divergenz und Convergenz von *f(v)*. Bleibt dagegen/(#) von keinem noch so gross anzunehmenden Werthe x = x ab monoton, d. h. besitzt f(x) zum mindesten im Unendlichen unendlich viele Maxima und Minima, so findet eine ahnliche Beziehung zwischen jenem Integral und der unendlichen Reihe nicht mehr statt : es kann dann sowohl das Integral divergiren, wahrend die Reihe convergirt als umgekehrt. Ich will dies zunachst an zwei Beispielen erlautern. Man setze : /(*)= Hi so wird : r x r x ft x r gin 2 THE f(x)dx= -j+ dx. J Xg J x<> or J x<> x Das erste Integral der rechten Seite ist sichtlich convergent, das zweite dagegen divergent, wie man am einfachsten erkennt, wenn man es auf die Form bringt : T 00 sin 2 ITT T 30 d-r C x rr<5 2irr >1 II 7T*' -. * I {JLJL- . I C^o Aj7T*t/ - dx-=\ I ^ - dx, * Tn * X * X wo jetzt das erste Integi-al divergirt, das zweite bekanntlich * Dies ist der von Herrn Ermakoff ausschliesslich betrachtete Fall. Uber einige Einwendungen gegen seine beiden Beweise vgl. a. a. O. p. 393. 328 ALFRED PRINGSHEIM. (bedingt) convergirt. Somit ergiebt sich schliesslich, dass hier r I f (x) dx divergirt. Jx, Dagegen hat man : und daher ist ^f(v} convergent. Betrachtet man andererseits das folgende Beispiel : so wird hier : also IS f(v) divergent. Dass hingegen das betreffende Integral hier convergirt, lasst sich leicht zeigen, wenn man dasselbe in Theil- Integrale mit ganzzahligen Grenzen zerlegt. Da hierbei : 1.3... (2^-1) 1 COS TTXY" < /o i ' " > 2.4...(2i/) v so folgt : r x i a /9,,_i\ l /( /^(cosTnc) 2 * l fi < - ( ./ a; i> Jo r j und da diese Reihe convergirt (wie man am einfachsten mit Hiilfe des Raabe'schen Kriteriums erkennt), so gilt das gleiche fur das fragliche Integral. Um nun auch fur den Fall eines nicht-monotonen f(se) die obigen Kriterien fiir die Beurtheilung der Reihe 2 f(y) nutzbar zu machen, verfahre ich folgendermaassen. Bezeichnet man mit x (statt, wie sonst gewohnlich, mit E (x)) die grosste in x enthaltene ganze Zahl, und bedeutety(v) das (fur jedes endliche v selbstverstandlich als endlich angenommene) allgemeine Glied der vorgelegten Reihe, so mb'ge zunachst (#) als Function der positiven, stetigen Veranderlichen x definirt werden durch die Gleichung: (x) ist also vollig unabhdngig davon, wie f(x) fur nicht-ganzzahlige positive x sich verhalten mag, resp. dass etwa f(x) fiir solche iiberhaupt nicht definirt ist.) Die so definirte UBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 329 Function ^> (#) ist dann offenbar fiir jedes noch so grosse endliche Intervall integrabel, da sie daselbst durchweg endlich und nur mit einer endlichen Anzahl von Discontinuitaten behaftet ist. Zugleich erkennt man, dass : P J v () dx /() das = v und daher : Folglich wird % v f(v) divergiren oder convergiren gleichzeitig F mit $(x)dx. Wendet man nun auf dieses Integral das oben J *o gefundene Kriterium (1) an, so wird hier: _M x '.(M x )_M x '.f(M x ) -m.'.fOn.) W./(w) und es ergiebt sich also schliesslich fur das obige Integral, mithin auch fiir die damit identische Reihe Hm J//./W |> 1 : Divergenz m x ' ./(m^ (< 1 : Convergenz. Ist/(a;) auch fur andere als ganzzahlige x definirt, und besitzt f(x + h} f(x) die Eigenschaft, dass lim /.. = 1 fur h ^ 1 (in welchem *-< J\ X ) Falle ./(a;) offenbar noch keineswegs monoton zu sein braucht), so kann man in (9) M x und m x ohne weiteres durch M x und m x ersetzen, d. h. dann nimmt das obige Kriterium genau dieselbe Form an, wie wenn f(x) monoton ware. Andernfalls hat es bei der Form (9) sein Bewenden, wobei man aber wiederum noch, analog wie in (6) und (7), eine der Functionen M x , m x durch x ersetzen kann. Im August 1893. THE ALGEBRAIC SOLUTION OF EQUATIONS. BY ALBERT M. SAWIN OF EVANSVILLE. [This paper had been previously published : Annals of Mathe- matics, Vol. 6, pp. 169177, 1892. Editors.] EINIGE SATZE VOM SCHWERPUNKT. VON V. SCHLEGEL IN HAGEN I/W. Es soil im Folgenden an einigen Beispielen gezeigt werden, [mit wie grosser Leichtigkeit die einfachsten Hilfsmittel der Grass- mann'schen Ausdehnungslehre Lehrsatze der Geometric und Mechanik in beliebiger Menge liefern. 1. Es seien A lt A z , A 3 , A t die Ecken eines Tetraeders, ferner Si, $ 2 , $s> $t resp. die Schwerpunkte der Dreiecksflachen A^A 3 A t , i, A^A^Az, A-iA z A 3 . Dann bestehen die Gleichungen: 4 = ^3 Hieraus folgt durch Addition : (2). Da die linke Seite dieser Gleichung den vierfachen Schwer- punkt des von den Punkten S ly S%, S s , S 4 gebildeten Tetraeders (" Schwerptmkt-Tetraeder ") ausdrtickt, die rechte den vierfachen Schwerpunkt des gegebenen Tetraeders, so sagt Gleichung (2) aus, dass beide Schwerpunkte zusammenfallen. Schreibt man (2) in der Form 1 2 3 4 . *. - -7 - XI, + 0. so sagt dieselbe aus, dass die Verbindungslinie der Ecke A v mit dem Schiverpunkt der gegenuberliegenden Fldche A 2 A 3 A 4 durch den Schwerpunkt S des Tetraeders geht und durch denselben im Verhdlt- 332 V. SCHLEGEL. niss 1 : 3 getheilt wird. Denn schreibt man (3) in der abgekiirzten Form 4$ = A + 3$ (4A **J T *| \TJ, so folgt hieraus durch eine leichte Umformung 1=4-1 (5); ^1- ""* O O d. h.: die Strecke 88 l verhalt sich zu Afi wie 1 : 3. 2. Aus den Gleichungen (1) folgt welter: A, + A 3 = (6), nebst zwei weiteren Paaren von Gleichungen, welche aus (6) durch zweimalige circulare Vertauschung der Indices 1, 2, 3 entstehen. Da nun die Summe zweier Punkte ihren doppelten Mittelpunkt bedeutet, so sagen die Gleichungen (6) aus, dass jede Verbindungs- linie der Mitten zweier Gegenkanten des Schwerpunkt-Tetraeders auch durch die Mitten zweier Gegenkanten des gegebenen Tetraeders geht. Schreibt man die Gleichungen (6) in der Form i \ (7), so erkennt man, dass jedesmal der Punkt links die Mitte zwischen den beiden Punkten rechts ist. Man hat also den Satz: Jede Strecke, welche die Mitten zweier Gegenkanten eines Tetraeders verbindet, wird durch zwei Gegenkanten seines Schwerpunkt-Tetra- eders in drei gleiche Theile getheilt. 3. Aus den Gleichungen (1) folgt ferner: U (8), woraus vier weitere Gleichungen durch circulare Vertauschung der Indices 1, 2, 3 entstehen. Diese Gleichungen sagen, dass jede Kante des Schwerpunkt-Tetraeders einer Kante des gegebenen Tetraeders parallel ist und den dritten Theil Hirer Lange besitzt. EINIGE SATZE VOM SCHWERPUNKT. 333 4. Schreibt man die Gleichung (2) unter Beriicksichtigung von (1) in der Form so sieht man, dass die Strecke, welche eine Ecke des Tetraeders mit dem Schwerpunkt der gegenuberliegenden Fldche verbindet, durch den Schwerpunkt der zugeordneten Fldche des Schwerpunkt- Tetraeders gelit und durch diesen Punkt im Verhaltniss 1 : 2 getheilt wird. 5. Fallen zwei Gegenkanten des gegebenen Tetraeders in dieselbe Ebene, so verwandeln sich die Kanten des Tetraeders in die Seiten und Diagonalen eines ebenen Vierecks. Die in Nr. 1 4 enthaltenen Satze bleiben in Geltung und erleiden nur diejenigen Veranderungen im Wortausdruck, welche durch diese Verwandlungen bedingt sind. In diesern Falle kann einer der vier Punkte, z. B. A 4 , aus den drei iibrigen mittelst dreier Zahlen \, fi, v durch die Gleichung abgeleitet werden : vA 3 ............ (10). Nun folgt aus (9) A 1 = S 2 + S 3 + S i -2S 1 .................. (11), nebst 3 anderen Gleichungen, welche hieraus durch circulare Vertauschung aller vier Indices folgen. Setzt man die Werthe (11) in (10) ein, so folgt : (\-f p + v) S^^ + pSz + vS 3 ............ (12). Aus (10) und (12) sieht man, dass die Vierecke A^A^A^A^ und $ 1 $ 2 $3$4 (" Schwerpunktviereck ") einander dhnlich sind. Sei S der Schnittpunkt der Diagonalen des Schwerpunkt- vierecks. Dann ist nach (12) (X + v)S = Xtfi + vS 3 = (X + ft + v) S 4 - pS a ...... (13). Denn nach diesen Gleichungen ist S derjenige Punkt, welcher gleichzeitig aus S 1} S 3 , und aus S 2 , S t abgeleitet werden kann, d. h. der Schnittpunkt der Geraden S^ und S^ t . 334 V. SCHLEGEL. Sei ferner A der Schnittpunkt der Diagonalen des gegebenen Vierecks. Dann ist nach (10) n + v)A t -fjLAs ...... (14). Addirt man die Gleichungen (13) und (14) und dividirt durch 2, so erkennt man, doss die Mittelpunkte folgender Strecken auf je einer Geraden liegen: (1) AS, A^, A 3 S 3 , (2) AS, AS 2 , A 4 S 4 . 6. Bestimmen wir endlich auf den Diagonalen des Vierecks A-iAsAzAi die Punkte A.^ und A 13 durch die Bedingungen AA 4 = A. 2 A 24 und AA 1 =A 3 A 13 , oder, anders ausgedrtickt: ^-^4 = ^2-^24; A-A 1 = A 3 -A J3 ......... (15). Verbinden wir ferner (1) A u mit A und A 3 , (2) A 13 mit A 2 und A i} (3) J.J3 mit A^, so entstehen die Dreiecke A-iA^A^ A 2 A 4 A 13 , AA 13 A U . Multiplicirt man nun (13) mit 3 und ersetzt S 1} S 2 , S 3 , S 4 durch die Werthe (1), so folgt 3(\+v)S = (\ + v')(As + At) + \A 3 +vA 1 ...... (16). Andrerseits folgt aus (15): (X + V )A U + (\ + v)A=(\ + v)A 1 + (\ + v)4 3 ...(l7), und, wenn man hiervon (14) subtrahirt : (18). Setzt man endlich die rechte Seite dieser Gleichung in (16) ein, so erhalt man nach Weglassung des gemeinsamen Factors (X + v) : (19), d. h. : S ist der Schwerpunkt des Dreiecks A 2 A t A 13 . Ferner folgt aus (15) durch Subtraction : oder A 1 + A 3 + Au = A a + A t + A w ............ (20), d. h. : die Dreiecke A^AzA^ und AA 4 A U haben denselben Schwer- punkt (S). Endlich folgt aus (15) : A EINIGE SATZE VOM SCHWERPUNKT. 335 oder, indem man beiderseits A^ addirt : A M ............... (21), d. h. : auch das Dreieck A A 13 A^ hat den Schwerpunkt S. Man kann nun die letzten Resultate in dem Satze zusammen- fassen : Trdgt man auf jeder Diagonale eines Vierecks (A^A^A^A^ den kleineren ihrer Abschnitte von dem andern Endpunkte der Diagonale aus ab, und verbindet jeden der beiden so erhaltenen Punkte A 13 , A^, mit dem anderen und mit den Endpunkten der anderen Diagonale, so entstehen (wenn A der Schnittpunkt der Diagonalen ist) die Dreiecke AA VA A U , A-iA^A^, A 2 A 4 A 13 , Und es ist der Schnittpunkt (S) der Diagonalen des Schwerpunktvierecks (S) der gemeinsame Schwerpunkt dieser drei Dreiecke. Ebenso erhalt man aus den Gleichungen (15) durch Addition anderer Punkte das Resultat, dass auch folgende Dreieckspaare jedesmal denselben Schwerpunkt haben: (1) A^A^A^ und AA 2 A 13 , (2) A^^AS und AA 4 A 13 , (3) A^A^^ und AA^A^, (4) A 2 A 3 A 4 und 7. Die in Nr. 1 4 enthaltenen Satze iiber das Tetraeder und die Schwerpunkte seiner Seitenflachen stehen in genauer Analogic zu den Satzen der ebenen Geometrie iiber das Dreieck und die Schwerpunkte (Mitten) seiner Seiten. Die hier angewandte Methode gestattet ohne jede Schwierigkeit auch die Ausdehnung der hier mitgetheilten Satze auf die dem Dreieck und Tetraeder entsprechenden Gebilde der Raume mit mehr als drei Dimen- sionen. Insbesondere findet die oben erwahnte Ubertragung der Satze vom Tetraeder auf das ebene Viereck ein Analogon in der Ubertragung der entsprechenden Satze vom vierdimensionalen Fiinfzell (Pentaedroid) auf das Doppeltetraeder (12345) (Fig. 2) mit seinen sechs Seiten (123.. 135, 152, 423, 435, 452) und vier Diagonal flachen (134, 124, 145, 235), welches aus dem Fiinfzell entsteht, wenn eine Kante desselben (z. B, 12) mit der gegeniiber- liegenden Flache (345) in denselben dreidimensionalen Raum fallt. Und ebenso, wie das aus dem Tetraeder entstehende Viereck (1234) (Fig. 1) mit seinen 4 Seiten (12, 23, 34, 41) und zwei Diagonalen (13, 24) zwei verschiedene Formen erhalten kann (Summe oder Differenz der Dreiecke 132, 134), je nachdem es eine 336 V. SCHLEGEL. Ecke (4) oder keine giebt, die in dem von den anderen gebildeten Dreiecke liegt ebenso kann auch das aus dem Flinfzell entstehende Doppeltetraeder (Hexaeder) zwei verschiedene Formen erhalten (Summe oder Differenz der Tetraeder 4235, 1235), je nachdera es eine Ecke (1) oder keine giebt, die in dem von den anderen gebildeten Tetraeder liegt. (Vgl. hierzu meinen Aufsatz : " Uber die verschiedenen Formen von Gruppen, welche r beliebige Punkte im w-dimensionalen Raume bilden konnen." Hoppe's Archiv der Math. u. Phys. (2) x. p. 293.) Fig. 2. DER PYTHAGORAISCHE LEHRSATZ IN MEHRDIMENSIONALEN RAUMEN. VON V. SCHLEGEL IN HAGEN I/W. 1. 1st AOB em beliebiges Dreieck, so 1st nach dem Gesetze uber die geometrische Addition der Strecken: (B-0) + (0-A} = (B-A\ oder in abgektirzter Bezeichnung : b + a = (b + a) ........................ (1). Setzt man ferner nach den Methoden der Orassmann'schen Ausdehnungslehre ab cos (ab) = (a/6) ........................ (2), und (a/a) = a 2 = a- ........................ (3), wobei (a/6) das innere Product von a und 6, und a- das innere Quadrat von a genannt wird, so folgt aus (1) durch Bildung des inneren Quadrates : (6 + a) 2 = ^+2(a/6) + a? .................. (4), als Ausdruck des allgemeinen pythagordischen Satzes. 1st b senkrecht zu a, so ist nach (2) (0/6) = .............................. (5), und Form el (4) stellt den gewohnlichen pythagoraischen Satz dar. 2. Gehen von einem Punkt drei begrenzte Strecken aus: A=a, B = b, C=c, welche drei Dreiecke bilden : OAB, OBC, OCA, so sind die Flachen dieser Dreiecke resp. : Hierin bedeutet z. B. [be] das dussere Product von 6 und c, und der numerische Werth desselben ist gegeben durch die Ausdriicke : =6csin(6c) ..................... (7). c. P. 22 338 V. SCHLEGEL. Nun 1st im Dreieck BOG, analog wie in A OB (Nr. ] ) : oder in abgekurzter Bezeichnung : 6 + c = (6 + c) ........................ (8). Durch aussere Multiplication der Gleichungen (1) und (8) ergiebt sich [a6] + [ac] + [6c] = [(6 + a)(6 + c)] ....... .....(9). Derm es ist nach (7) = Q, also auch [66] = ...... (10). Dividirt man (9) Glied fur Glied durch 2, so folgt mit Rucksicht auf (6), doss die geometrische Summe dreier Fldchen vines Tetraeders gleich der vierten Fldche ist. Schreibt man (9) in der Form : a + /3 + 7 = (a + /3 + 7) .................. (11), so folgt hieraus durch Bildung des inneren Quadrates : (a 4- ft + 7)- = a? + & + 7-* + 2 (a/0) + 2 (ft/y) + 2 ( 7 /a). . .(12), oder, wenn der Inhalt des Dreiecks ABC durch B, und z. B. der Nebenwinkel des Neigungswinkels der Flachen a und /2 mit (a/9) bezeichnet wird : 8 2 = a 2 + 2 + 7 2 + 2a/3 cos (a/8) + 2/fy cos (7) + 2 7 a cos (ya). . .(13)*. Diese Formel drtickt den allgemeinen pythagordischen Satz des dreidimensionalen Raumes aus. Stehen die Strecken a, b, c auf einander senkrecht, so geht (13) liber in = a? und stellt in dieser Form den gewohnlichen pythagoraischen Satz des Raumes dar. 3. Es seien nun im w-dimensionalen Raume n von einem Punkte ausgehende auf einander senkrechte Strecken gegeben. Zwischen je zwei Endpunkten derselben liegt eine Strecke, zwischen je dreien ein Dreieck, zwischen je vieren ein Tetraeder ; allgemein zwischen alien n Endpunkten ein Gebilde mit (n 1) Aus- dehnungen und n Ecken [(n l)-dehniges n-Eck]. Dieses moge * Vgl. Grassmann Ausdehnungslehre n. 338 340. PYTHAGORAISCHER LEHRSATZ. 339 das Hypotenusengebilde heissen. Ferner begrenzen je (n 1) senkrechte Strecken zusammen mit einem das Hypotenusengebilde begrenzenden (n 2)-dehnigen (n l)-Eck ein neues (n 1)- dehniges w-Eck. Diese letzteren Gebilde mb'gen Kathetengebilde heissen. Die n Kathetengebilde zusammen mit dem Hypotenusen- gebilde begrenzen ein n-dehniges rechteckiges (n + l)-Eck. Sind dann a ly a 2 , ... a n die (n l)-dimensionalen Volumina der Katheten- gebilde, und ist a n+1 das Volumen des Hypotenusengebildes, so erhalt man durch ein Verfahren, welches dem in Nr. 2 befolgten analog ist, die Formel : a n+ ? = a? + a*+...+a 1 ? .................. (14), als Ausdruck fur den gewohnlichen pythagoraischen Satz des n-dimensionalen Raumes. Wenn c 1} c 2 , c 3 ,...c n die auf einander senkrechten Kanten bedeuten, so ist z. B. der Inhalt desjenigen Kathetengebildes, welches die Strecke c n nicht enthalt : und demnach die Summe der Quadrate sammtlicher Katheten- gebilde 2 'l 1 1 1 4. Um die Oberflache eines rechteckigen Tetraeders in der Ebene abzubilden, denke man sich jede der drei Kathetenflachen um ihre mit der Hypotenusenflache gemeinsame Kante nach aussen bis in die Ebene des Hypotenusen-Dreiecks gedreht. Dann erhalt man eine Abbildung (Fig. 1), in welcher alle Kanten und Flachen in unveranderter Grosse erscheinen, die also als " Netz " im gewohnlichen Sinne bezeichnet werden kann. In analoger Weise kann man sich die vier Kathetenkorper eines rechteckigen Funfzells um ihre mit dem Hypotenusenkorper gemeinsame Ebene bis in den Raum dieses Korpers gedreht denken. Dann erhalt man eine dreidimensionale Abbildung (auf die Ebene projicirt in Fig. 2) in welcher ebenfalls alle Kanten, Flachen und Kb'rper in unveranderter Grosse und Gestalt erscheinen, die also als "Zellgewebe" des rechteckigen Funfzells bezeichnet werden 222 340 V. SCHLEGEL. kann*. Uber jeder Flache des Hypotenusen-Tetraeders A 1 A. 2 A S A 4 erhebt sich ein bei A s rechteckiges Tetraeder. Der Unterschied dieser Abbildung von der gewohnlichen (Fig. 3) besteht nur darin, dass die vier rechteckigen Tetraeder in der letzteren nach innen projicirt, statt unverandert nach aussen aufgesetzt sind, und die Ecke A s gemeinsam haben. Sind je zwei Gegenkanten des Tetraeders A^A 2 A 3 A 4 einander gleich, so geht die Abbildung Fig. 2 in eine rechteckige Saule (Parallelepipedon) mit ein- beschriebenem Tetraeder liber (Fig. 4), und, wenn dieses Tetraeder regelmassig ist, in einen Wlirfel. Sind x, y, z drei anstossende Kanten der rechteckigen Saule, so geht die pythagoraische Formel des rechteckigen Flinfzells liber in die Identitat - 4 -T)- A, Hg.4. A * Vgl. Schlegel, "Theorie der homogen zusammengesetzten Baumgebilde, " Nova Acta d. Kais. Leop. Carol. Acad. Vol. XLIV. Nr. 4, p. 438 u. 439. GRUPPENTHEORIE UND KRYSTALLOGRAPHIE. VON A. SCHOEN FLIES m GOTTINGEN. DIE neueren mathematischen Untersuchungen im Gebiet der krystallographischen Structurtheorieen stehen im wesentlichen unter dem Eintiuss gruppentheoretischer Begriffsbildungen. Die wachsende Bedeutung, die der Gruppenbegriff im Verlauf der letzten Decennien in der reinen Mathematik erlangt hat, ist sowohl auf die Fassung, als auch auf die Behandlung der ein- schlagigen Probleme von besonderem Vorteil gewesen. Wir wollen unter einer euklidischen Raum transformation eine solche verstehen, die jeden Raumteil in einen ihm congruenten oder in einen spiegelbildlich gleichen Raumteil tiberfiihrt. Als- dann umfasst die Theorie der Gruppen von euklidischen Trans- formationen des Strahlenbtindels die Lehre von der Systematik der Krystalle, wahrend die Theorie der euklidischen Transforma- tionsgruppen des Raumes mit den geometrischen Theorieen iiber die Structur der Krystallsubstanz geradezu identisch ist. Das oberste Grundgesetz der krystallisirten Materie ist bekanntlich das Symmetriegesetz. Bestimmt man zu einer beliebigen Richtung g, die von einem Punkte ausgeht, die mit g physikalisch gleichwertigen Richtungen g lt g 2 ..., so ist die Lage dieser N von auslaufenden Richtungen stets durch bestimmte Symmetrieeigenschaften ausgezeichnet. Diese Symmetrieeigen- schaften sind davon unabhangig, wie die Richtung g innerhalb der Krystallmasse angenommen wird, sie erhalten sich iiberdies wahrend der wechselnden physikalischen Zustande, in denen sich der Krystall befinden kann. Diese Thatsache bildet den Inhalt des Symmetriegesetzes ; es zeigt, dass die Symmetrieeigenschaften der N Richtungen eine bleibende Eigenschaft des Krystalles bilden, die man seinen Symmetriecharacter zu nennen pflegt. 342 A. SCHOENFLIES. Die Systematik der KrystalU bezweckt ihre Einteilung nach dem Symmetriecharacter. Sie lauft daher auf die geometrische Aufgabe hinaus, alle Verbindungen von Symmetrieelementen anzugeben, die einen Punkt fest lassen, und dies ist gruppen- theoretisch identisch mit dem Problem, alle endlichen und discontinuirlichen Gruppen von euklidischen Transformationen des Strahlenbvindels in sich abzuleiten. Die erste Losung dieser Aufgabe verdankt man bekanntlich dem Marburger Mineralogeu C. F. Hessel; er war derjenige, der in der Aufzahlung aller Symmetriearten ein geometrisches Problem erkannte, und die Notwendigkeit begriff, es deductiv mathematisch zu behandeln (1830). Die Zahl dieser Symmetriegruppen ist bekanntlich unbegrenzt gross ; die 32 Krystallclassen stellen diejenigen von ihnen dar wir werden sie in der Folge mit G bezeichuen , deren Symmetrieaxen zwei- drei- vier- oder sechszahlig sind. Die Beschrankung auf derartige Axen ist eine Folge des Gesetzes der rationalen Indices', die deductive Ableitung aller moglichen Krystallclassen beruht daher auf zwei empirisch gewonnenen Gesetzen, auf dem Symmetriegesetz und dem Gesetz der rationalen Indices. Es bedarf kaum der Erwahnung, dass in Hessel's Arbeiten gruppentheoretische Vorstellungen noch nicht zu finden sind ; sie waren ihm, sowie seinen deutschen Zeitgenossen, noch unbekannt. Man wird nicht fehl gehen, wenn man in der Unbekanntschaft mit den gruppentheoretischen Begriffen den inneren Grund dafur erblickt, dass ein so wertvolles Resultat, wie dasjenige Hessel's, Jahrzehnte hindurch unbeachtet bleiben konnte, und dies scheint um so mehr zutreffend zu sein, als selbst die spateren Darstel- lungen der Krystallsystematik von Bravais (1849) und Gadolin (1867) nicht sofort zu der Verbreitung gelangt sind, die ihnen der Sache nach zukam. Das weitere Interesse an der deductiven Behandlung des Symmetrieproblems ist erst ziemlich neuen Daturas; es hat sich erst entwickelt, nachdem die neueren Ableitungen von Fedorow, P. Curie und Minnigerode er- schienen waren, von denen jedenfalls die beiden letzten unter der Herrschaft des Gruppenbegriffs entstanden sind. Erheblicher ist der Anteil, den die gruppentheoretischen Ideen an der Ausgestaltung der Structurtheorieen fur sich in Anspruch nehmen diirfen. Die ersten Vorstellungen liber die GRUPPENTHEORIE UND KRYSTALLOGRAPHIE. 343 Structur der Krystallsubstanz sind bekanntlich auf franzbsischem Boden erwachsen. Sie gehen von der fundamentalen Hypothese aus, dass die molekulare Eigenart der Krystalle in der regel- massigen Anordnung der Krystallbausteine ihren Ausdruck findet. Diese Vorstellung ist, seitdem ihr der Abbe* Ren^ Just Hatiy zuerst Ausdruck gegeben (1781), ununterbrochen in Geltung geblieben ; fast alle Autoren, die versucht haben, sich liber die Constitution der Krystallsubstanz eine bestimmte Ansicht zu bilden, gehen von ihr aus. Auf mathematischer Seite haben sich schon Cauchy (1828) und Poisson (1839) mit der Dynamik regelmassiger Punktsysteme beschaftigt. Diejenige Wendung, durch welche die genannte Hypothese das Recht erhielt, die Bedeutung einer Theorie zu beanspruchen, trat durch Bravais (1850) ein. Zwar hatten bereits Delafosse und Poisson die Hatiy'schen Vorstellungen in praciserer Form durch die raumgitterartige Anordnung der Krystallbausteine ersetzt ; aber erst Bravais hat dieser Anschauung ihre theore- tische Berechtigung gesichert. Er war es, der den Nachweis erbrachte, dass die Raumgitterstructuren gerade durch diejenigen Symmetrieverhaltnisse ausgezeichnet sind, die sich bei den Krystallen vorfinden, und dass sich fur jede der 32 Krystallclassen Structuren angeben lassen, deren Symmetric mit der Symmetric der bezliglichen Krystallclasse iibereinstimmt. Es verdient ferner hervorgehoben zu werden, dass seine Theorie auch insofern consequent und einheitlich aufgebaut war, als er die Structur fur jede der 32 Krystallclassen in gleicher Weise herzustellen vermochte. In Deutschland scheint das Interesse fur moleculare Specula- tionen in der ersten Halfte des Jahrhunderts nicht besonders gross gewesen zu sein, wahrscheinlich in Folge einer weit verbreiteten Abneigung gegen atomistische Vorstellungen, wie sie durch die damals herrschenden philosophischen Schulmeinungen bedingt wurde. So ist die Abhandlung von Seeber (1824), der ebenfalls schon mit der Raumgitterstructur operirte, fast ohne jede Beachtung geblieben. Erst in den letzten Jahrzehnten ist hierin ein Wandel eingetreten ; auf ihn ist auch die Neubelebung des Interesses fur die Fragen der Krystallstructur zuriickzu- fiihren. Uberall ist das Bestreben in den Vordergrund getreten, " das Innere der Natur " zu erfassen, die dynamischen Vorgange, 344 A. SCHOENFLIES. die auf dem Spiel der molekularen Wechselwirkungen beruhen, selbst der Rechnung zu unterwerfen, und auf diese Weise in der Befriedigung un seres Wissensdranges einen weiteren Schritt vorwarts zu thun. Der Wunsch, aus der Qualitat und der Lagerung der Krystallbausteine die allgemeinen Gesetze der homogenen Krystallsubstanz ableiten zu kb'nnen, hangt hiermit aufs engste zusammen. Ob die Erscheinungen in der uns umgebenden Korperwelt auf denjenigen molekularen Vorgangen beruhen, die wir fur sie postuliren, ist freilich eine andere Frage, die gleich vielen anderen, die die sogenannte " Uebereinstimmung unserer Erkenntniss mit der Wirklichkeit " betreffen, eine Beant- wortung vielleicht niemals finden wird. Aber wie man auch hieriiber denken rnag, ob mehr oder weniger skeptisch, man wird einer Theorie die Anerkennung nicht versagen konnen, in der die beiden empirischen Grundgesetze der Krystallsubstanz, namlich das Symmetriegesetz, sowie die Beschrankung auf zwei- drei- vier- und sechszahlige Symmetrieaxen, als unmittelbare und directe Consequenzen von principieller Wichtigkeit erscheinen. Der Fortschritt der Wissenschaft hat bekanntlich gezeigt, dass die Bravais'sche Theorie nicht die einzig mogliche ist. Die Anregung hierzu ist von Wiener (1863) und Sohncke (1867) ausgegangen ; beide wiesen unabhangig von einander darauf hin, dass bei den Bravais'schen Structuren alle Molekeln parallele Orientirung im Raume haben, wahrend regelmassige Anordnung von Molekeln im Raum auch ohne parallele Orientirung moglich ist. Hiermit war der Anstoss gegeben, iiber die Bravais'sche Theorie hinauszugehen und zu Fragestellungen von allgemeinerer Tragweite fortzuschreiten. Die einschlagigen Probleme sind durch die Arbeiten von Sohncke und Fedorow, sowie durch diejenigen des Verfassers, jetzt soweit geklart worden, dass man, wenigstens in geometrischer Hinsicht, von einem Abschluss der Untersu- chungen reden kann. Folgende Fragen sind es, die hier im Vordergrund des Interesses stehen. (1) Welches ist der allgemeinste Begriff einer regelmassigen Verteilung von Materie im Raume, resp. eines regelmassigen Molekelsystems ? (2) Wieviele verschiedene derartige regelmassige Molekel- systeme giebt es ? GRUPPENTHEORIE UND KRYSTALLOGRAPHIE. 345 (3) Worm driickt sich der Symmetriecharacter eines solchen Systems aus, und welches ist die Symmetric der einzelnen Systeme ? (4) Welche Structurauffassungen sind auf Grund dieser Systeme moglich und welche Qualitat wird bei jeder Structur- auffassung den constituirenden Bausteinen notwendig beigelegt ? Die Regelmassigkeit des Molekelsystems ist von alien Autoren dahin definirt worden, dass alle Molekeln von gleicher Art sind, und dass jede von ihnen von den benachbarten Molekeln auf gleiche Weise umgeben ist. Der eigentliche Inhalt dieser Definition ist aber nicht immer gleichartig gefasst worden. Vom Standpunkte der Gruppentheorie lassen sich die Unter- schiede folgendermassen kennzeichnen. Ist 2 ein regelmassiges Molekelsystem und M eine seiner Molekeln, so lasst sich die Lage aller iibrigen Molekeln aus M dadurch ableiten, dass man M der Reihe nach den sammtlichen Transformationen A, B, C... einer Schaar G unterwirft. Ist diese Schaar eine Gruppe von Transla- tionen, so erhalten wir die Systeme von Bravais, in denen die Molekeln congruent und parallel orientirt sind ; ist sie eine allgemeine Bewegungsgruppe, so ergeben sich die Sohncke'schen Systeme, in denen alle Molekeln einander congruent, aber nicht mehr parallel orientirt sind ; ist sie endlich eine Gruppe, die beide Arten euklidischer Transformationen enthalt, so ergeben sich die allgemeinsten regelmassigen Molekelsysteme, in denen die Molekeln theils congruent, theils spiegelbildlich gleich sind. Auf die Notwendigkeit, diese Systeme in die Structurtheorieen mit- aufzunehmen, ist zuerst von Curie (1884) und Fedorow (1885) hingewiesen worden. Die Zahl der so definirten regelmassigen Molekelsysteme betragt im Ganzen 230. Fur jedes System 2 giebt es eine Gruppe von euklidischen Raumtransformationen, die die Eigen- schaft hat, dass das System S bei jeder Transformation dieser Gruppe in sich iibergeht. Jedem Molekelsystem ist auf diese Weise eine Gruppe F zugeordnet, die aus seinen sammtlichen Deckoperationen besteht ; in ihnen, resp. in der Gruppe F kommt die Symmetrie des Systems S zum Ausdruck. Hier hat sich nun das wichtige Resultat ergeben es bildet die Hauptsttitze der Structurtheorieen dass jede der 230 Gruppen F einer der 32 Gruppen G von Symmetrieen isomorph ist, die den 32 Kry stall- 346 A. SCHOENFLIES. classen entsprechen. Die sammtlichen 230 regelmassigen Molekel- systeme zerfallen also rticksichtlich der Symmetric in die namlichen 32 Klassen, zu denen die vom Symmetriegesetz und vom Gesetz der rationalen Indices ausgehende Deduction hinfuhrt; die beiden empirisch gewonnenen Grundgesetze der krystallisirten Materie erscheinen also wirklich als directe Folgerungen der molekularen Hypothese. Es eriibrigt noch, auf die vierte der oben aufgeworfenen Fragen einzugehen. Die Antwort lautet, dass es eine ganze Eeihe verschiedener Structurauffassungen giebt, die nnter einander geometrisch gleichwertig sind, und zwar ist dies so zu verstehen, dass es bei jeder derartigen Structurauffassung gelingt, fur die Krystalle Molekelsysteme zu construiren, die die namliche Sym- metrie aufweisen, wie der beztigliche Krystall selbst, genau so, wie es oben von der Bravais'schen Theorie angegeben wurde. Es fragt sich, in welchen mathematischen Thatsachen dies begriindet ist, und welches die beziiglichen Structurauffassungen sind. Hieriiber ist, wie der Verfasser ermittelt hat (1891), folgendes zu bemerken. Die Art der Deckoperationen, die ein Molekelsystem gestattet, hangt augenscheinlich von zwei Factoren ab, namlich von der raumlichen Anordnung der Molekeln und von ihrer Qualitat. Sind die Molekeln unregelmassig geformt, und frei von Sym- metric, so kann es keine eigentliche Deckoperation des Molekel- systems 2 geben, die eine Molekel in sich iiberfuhrt ; bei jeder Deckoperation des Systems muss die Molekel M notwendig in eine andere Molekel M' iibergehen. In diesem Fall umfasst die oben erwahnte Schaar G, durch deren Transformationen A,B,G... aus M die iibrigen Molekeln M a , J/&, M c ... hervorgehen, auch die sammtlichen Deckoperationen von 2, sie ist gleichzeitig diejenige Gruppe, die wir vorher mit F bezeichnet haben. Fiir die so skizzirte Structurauffassung kommt die Molekel fur die Symmetric des Systems nicht in Betracht, die Symmetric beruht vielmehr ausschliesslich auf der Anordnung der individuellen Bausteine ; ich habe daher fur diese Structurauffassung die Bezeichnung "reine Structurtheorie" angewendet. Die Identitat von G und F ist keineswegs jeder Structurauf- fassung eigentiimlich ; vielmehr unterscheiden sich die verschie- denen Structuren gerade durch das Verhaltniss, in dem bei ihnen GRUPPENTHEORIE UND KRYSTALLOGRAPHIE. 347 die Schaar G und die Gruppe F zu einander stehen. Wird das eine Extrem durch die Identitat von G und T, resp. durch die reine Structurtheorie dargestellt, so liegt in der Bravais'schen Theorie das andere Extrem vor. Bei der Bravais'schen Theorie besteht die Schaar G nur aus Translationen, sie ist die in F enthaltene Translationsgruppe T. Ist nun K irgend ein Krystall, und G diejenige der 32 Gruppen, die seine Symmetric kenn- zeichnet, so entspricht bei der isomorphen Zuordnung der Grup- pen G und F die Translationsgruppe von F der Identitat von G; jeder anderen Operation von G, d. h. jeder eigentlichen Symmetrieeigenschaft des Krystalles, muss daher notwendig eine solche Deckoperation des Molekelsystems 2 entsprechen, die eine Molekel in sich iiberfuhrt. Die Bravais'sche Construction des Molekelsystems erfordert demnach, dass die Symmetric der Molekel mit der Symmetrie des beztiglichen Krystalles voll- standig ubereinstimmt, wie dies ja seiner Theorie in der That eigentiimlich ist. Soil es moglich sein, zwischen die reine Structurtheorie und die Bravais'sche Theorie noch eine Reihe anderer Structurauf- fassungen einzuordnen, so muss es augenscheinlich darauf beruhen, dass man Molekeln benutzt, die nur einen Theil der Symmetrie des Krystalles besitzen. Dies ist in der That der Fall. Alle librigen Structuren kommen dadurch zu Stande, dass man die Gesammtsymmetrie des Krystalles in zwei Theile zerlegt, von denen der eine der Molekel aufgepragt wird, wahrend sich der andere in der Anordnung, d. h. in der Art des Aufbaues, darstellt. Gruppentheoretisch erklart sich dies folgendermassen. Es sei wieder G diejenige der 32 Gruppen, welche die Symmetrie des Krystalles K darstellt, ferner sei F eine ihr isomorphe Gruppe und S wiederum das zugehorige Molekelsystem. Ist jetzt G' eine Untergruppe von G, so lasst sich die Gruppe G stets dadurch erzeugen, dass man die Gruppe G' mit gewissen Operationen A, B, C... multiplicirt, die naturlich eine in G enthaltene Schaar G" bilden werden. Es giebt nun eine grosse Reihe von Gruppen F, die ein durchaus analoges Verhalten zeigen. Sie lassen sich dadurch erzeugen, dass man die Gruppe G' mit einer Schaar von Operationen A, B, 0... multiplicirt, und dies trifft stets und nur dann zu, wenn F die Gruppe G' als Untergruppe enthalt. Um das Molekelsystem 2 abzuleiten, das 348 A. SCHOENFLIES. der Gruppe F entspricht, kann man daher auch so verfahren, dass man eine Molekel, deren Symmetric durch G' gekennzeichnet iat, den sammtlichen Operationen A, B, C... der Schaar T" unter- wirf't. Wir haben alsdann eine Structurauffassung, bei der die Symmetric der Systems teilweise auf der Symmetric der Molekeln, und teilweise auf ihrer Anordnung beruht. An und fiir sich ist wenigstens in geometrischer Hinsicht jede der hiermit angedeuteten molekularen Erzeugungsweisen der Krystallsubstanz gleichberechtigt ; man kann daher die Sym- metric eines Molekelsystems. das einen gegebenen Krystall darstellen soil, in mannigfacher Weise begriinden. Jeder Zwei- teilung der Krystallsymmetrie in G' und G" entspricht eine andere Structurauffassung. Historisch liegt allerdings die Sache so, dass nur zwei solche Teiluugen zur consequenten Ausgestalt- ung von Structurvorstellungen benutzt worden siud. Ftir die eine, namlich die Bravais'sche, ist die Untergruppe G' direct die Gruppe G, wahrend sich fur die andere, namlich fur die reine Structurtheorie, G' auf die Identitat reducirt. Der Kunstgriff, den Bravais benutzte, lauft darauf hinaus, den Molekeln dieselbe Symmetric beizulegen, die der Krystall besitzt. Er stattet die kleinsten Theilchen genau mit denjenigen Eigenschaften aus, deren Vorkommen erklart werden soil ; eiu Verfahren, das haufig befolgt wird, um die physikalischen Er- scheinungen unserm Verstandniss naher zu bringen, und oftmals den ersten Versuch in dieser Richtung darstellt. Dem gegeniiber bedeutet der Grundgedanke der reinen Structurtheorie, indem er die Forderung stellt, fur die Erklarung der Symmetric die Anordnung der Molekeln allein in's Auge zu fassen, in erster Linie einen theoretischen Fortschritt. Er schliesst aber auch insofern einen practischen Fortschritt ein, als er die Molekel weder nach Form noch Wirkungsweise einer positiven Bestim- mung unterwirft, und es daher ermoglicht, dass sie stets so specialisirt werden kann, wie es die physikalischen und chemischen Eigenschaften der Krystallsubstanz erfordern. Die Krystallogra- phen halten allerdings fast sammtlich noch an der Bravais'schen Theorie fest; im besondern habe ich zu bemerken, dass auch Fedorow in letzter Zeit im wesentlichen wieder zu den Vor- stellungen Haiiy's und Bravais' zurtickgekehrt ist. Man kaun es begreiflich finden, dass die Krystallographen eiuer Theorie GRUPPENTHEORIE UND KRYSTALLOGRAPHIE. 349 treu bleiben, die auf alle Falle den Vorzug grosserer Einfachheit und Anschaulichkeit besitzt; es ist aber ungerechtfertigt, die allgemeineren Stnicturen, in denen die Molekeln schraubenfb'rmig gelagert sind, einfach deshalb abzulehnen, weil man sie fur "unnatlirlich" halt; "unnatiirlich" in diesem Sinn bedeutet doch nur, dass etwas iiber die bisherigen Vorstellungen hinausgeht. Ebensowenig ist es gegriindet, wenn Fedorow, wie dies kiirzlich geschehen, die Behauptung aufstellt, die Krystallmolekeln miissen den Raum deshalb in paralleler Lage erfiillen, weil sonst die Grundeigenschaft eines jeden Krystalles namlich die Gleichheit langs paralleler Richtungen ihren "inneren Sinn" verlieren wiirde. Die Entscheidung iiber die Frage, ob die allgemeinen Structuren eine physikalische Berechtigung beanspruchen konnen, liegt vielmehr auf einem anderen Gebiet. Sie hangt einzig und allein davon ab, ob sich die molekulare Wirkungsweise der allgemeinen Structuren mit den sonstigen Gesetzen der Materie in Ueberein- stimmung befindet, resp. ob es moglich ist, die physikalischen Eigenschaften der Krystallsubstanz als notwendige, d. i. als mathematische Consequenzen der molekularen Structur zu begreifen. Hieriiber sind wir freilich noch ohne Kenntnisse, es ist aber andrerseits zu bemerken, dass diese Frage auch fur die Gittertheorie noch keineswegs ausreichend beantwortet ist ; man ist bislang iiber wenige Ansatze nicht herausgekommen. In dieser Richtung wiirden sich die weiteren Untersuchungen im Gebiet der Structurtheorieen bewegen miissen. GOTTINGEN, im Juli 1893. FORMULARY FOR AN INTRODUCTION TO ELLIPTIC FUNCTIONS. BY IRVING STRINGHAM OF BERKELEY. 1. Recent Tendencies. IN recent years there has arisen a measure of uncertainty con- cerning the most acceptable standard notation in the theory of elliptic functions. The far-reaching investigations ofWeierstrass, so full of interesting and important results, have rightfully held the attention of mathematicians, and at present they tend to keep the earlier methods of Jacobi and Abel somewhat in the background. Whether or not it would be advantageous to mathematical science that this tendency should develop into permanent practice is an open question. Says the late M. Halphen, in his justly celebrated work on Elliptic Functions (Vol. I. p. 23), concerning the Jacobian formulae : "Toutes ces formules, interessantes par elles-memes, seront utiles aux personnes desireuses de lire les anciens ouvrages, et notamment les (Euvres de Jacobi. Mais nous ne nous en servirons jamais, et, pour la seul etude de ce livre, il est inutile de chercher a les retenir. II est aussi superflu d'examiner longue- ment les proprietes que nous venons de reconnaitre aux fonctions sn u, en u, dn u. Ces elements vont desormais etre relegue's au second plan, et faire place a un e'le'ment nouveau, la fonction pu, introduite par M. Weierstrass." Further on in the same volume (pp. 208, 239) he makes a similar remark concerning the comparative usefulness of the ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 351 sigma-fu notions and the theta-functions, both in respect to the theory and its applications, relegating the theta-functions to a merely subordinate place. Against this view Scheibner urges the following consider- ations (Mathematische Annalen, Vol. xxxiv. pp. 542, 543) : "...Sei mir die Beraerkung gestattet, dass wenn es sich um Zuruckruhrung eines elliptischen Integrals auf Thetafunctionen zum Behufe der praktischen Anwendung handelt, der Durchgang durch die Sigmafunctionen bei dem Reductionsgeschafte meines Erachtens keine wesentliche Abklirzung gewahrt. Es liegt auf der Hand, da beide Functionen sich nur um einfache Exponential- factoren unterscheiden, dass die analytische Rechnung ebensowohl mit den einen wie mit den anderen gefiihrt werden kann : dennoch wird man als das directere Verfahren dasjenige zu bezeichnen haben, welches die Functionen, deren man sich fur die numerische Auswerthung am Schlusse der Rechnung zu bedienen genothigt ist, im ganzen Verlaufe derselben beibehalt." ******** " Es ist ja an sich leicht erklarlich, dass das Studium der Sigmafunctionen, deren Sinful) rung in die Analysis durch Herrn Weierstrass in so vielen Beziehungen sich als wichtig und fruchtbar erwiesen, seit dasselbe den Mathematikern in grb'sseren Kreissen zuganglich geworden und ihr Interesse in Anspruch genommen hat, eine Zeitlang auf Kosten der langer bekannten Jacobi-Abel'schen Thetafunctionen in den Vordergrund getreten ist. Im umgekehrten Falle wiirde es sich vermuthlich gerade umgekehrt verhalten haben, wahrend wir doch froh sein diirfen, dass fur die Erfordernisse der Theorie, wie der Praxis, dem Mathematiker nach doppelter Richtung so interessante Functionen zu Gebote stehen." A plea similar to this, on behalf of the Jacobian sine, cosine, and delta-functions, is perbaps equally appropriate. No question is raised against the importance of the p-function, but has it been demonstrated that its introduction renders the Jacobian functions henceforth useless for the purposes of study and application ? Perhaps it is yet too early to indulge in prophecy concerning the eventual outcome of this friendly controversy, and the final adoption or rejection of the Jacobi-Abelian formulary, if I may so name it, as a part of the permanent basis of our theory. I take, 352 IRVING STRINGHAM. for the moment, this conservative view, and offer the following brief study as a contribution to the question. It concerns primarily the choice of method in the reduction of the elliptic integral of the first kind to a normal form and the adoption of a corresponding suitable functional notation. And, in respect to methods and means offered, it has reference rather to the teacher than the investigator. The latter may be supposed to exercise an independent choice in such matters. 2. Retrospect. The earlier history of this part of our subject has been rehearsed so often, is now so familiar to the mathematician and is so easily within the reach of the student in such works as Enneper's Elliptische Functionen, that I deem it unnecessary to present here a detailed historical account. It is, however, important to observe, that, chiefly through the labours and discoveries of Euler, Lagrange, Legendre, Jacobi and Abel, the theory of elliptic functions had assumed a measurably complete and systematic form before the discovery of invariants, with which it is now found to be so closely related. By reason of this accident of chronological order of discovery, the older transfor- mation-theory by necessity got on without the aid of the principle of invariance and convariance and became, in this truncated form, permanently current in mathematical literature. To this fact is obviously due the tardy and sparing use, almost up to the present time, of the principle of invariance in the theory of elliptic functions. Even Cayley himself uses with evident caution his own method and introduces it only in a subordinate and tentative fashion in his Treatise on Elliptic Functions. The first application of the principle of invariance to the transformation of the elliptic integral is contained (I think) in Cayley's paper entitled: "On the reduction of duf\/U, when U is a Function of the fourth order," in the Cambridge and Dublin Mathematical Journal, Vol. I. (1846), pp. 70-73, published very shortly after* Boole's discovery of the invariant character * I have not the means at hand for giving the date in this case. ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 353 of the discriminant, which dates the beginning of the theory of invariants. In this paper the elliptic differential dvf Va + ibv + 6cv 2 + 4idv 3 + erf is reduced to the so-called normal form ofLegendre but with the usual restriction, that the modulus shall be real, omitted. Subsequently (in 1854?) M. Hermite called Cayley's attention to the beautiful and now well-known quartic trans- formation, through which, by means of the identical relation connecting the covariants of the quartic, Hermite's normal form is produced. This transformation was published in full in Crelle, Vol. LV. (1858) pp. 23-24 (by Cay ley). Notwithstanding the early appearance of these two important transformations, they are still rarely found in text-books on elliptic functions. (The former appears in Cayley's text-book, the latter in Weber's.) 3. Notation. For the production of the various standard elliptic integrals of the first kind I employ here, throughout, Cayley's linear trans- formation-theory, and the modulus, when it appears in the result, may have any one of the six values obtained as the solution of an auxiliary reciprocal equation of the sixth degree, the character of whose roots is determined by the invariants of the original quartic. The form of the linear transformation, in the first instance, is _ * The quartic is supposed to be originally in the homogeneous form P = ax 4 + 4tba?y + fee V + Idxy 3 + ex 4 , which reduces to Vx* by the substitution v=yjx. The linear transformation for the homogeneous form is x = \x' + ^ y',y = \ 2 x' + fi. 2 y', and the substitution v' =y'lx' brings us back to the form V. [See the paper On the Jacobian Elliptic Functions, Section 3, Annals of Mathematics, vol. 8, p. 105.] c. P. 23 354 IRVING STKINGHAM. wherein X-T^/X^ //, = ^ fj, lt g = \ 1 /fr, and this is followed by such subsidiary displacement of the new variable v' as may be found desirable. The following further notations are employed. (2) V=a + 4,bv + Qcv 2 + 4,dv s + ev*, (3) V = a' + 4>a'v f + 6cV 2 + 4,d'v' 3 + e'v'\ (4) g 2> &' = ae - 4>bd + 3c 2 , a'e' - 4b'd' + 3c' 2 , (5) g s , ffs = ace + 2bcd - ad? - e - c 3 , a'c'e' -f We'd' - a'd'* - e'V* - c'\ (6) A = fc 4 '- (9) A = a + 46\ + 6c\ 2 + 4d\ s + e\ 3 , (10) B = (11) 0= (12) D = a + b (X + 3/*) + 3c (X (13) Jf = a pt _ wherein v is a root of (16) 4aV - g^av -g 3 = Q. 4. Classification. In the reduction of the elliptic differential dv/^V, (2) F= a + 46^ + 6^+4^ + ^ to a standard, or normal form dv//V, and the subsequent definition of an elliptic function that shall satisfy the differential equation ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 355 the coefficients of V are determined by assumptions concerning the nature of the roots of the transformed quartic F' = 0. By a suitable transformation, in general a linear transformation of the form v = (\ 2 + /* 2 *0/(^i + Pi v ')> we raa y propose to cause two of the coefficients of the quartic to disappear, and accordingly to in- vestigate the question : What pairs of coefficients should be made to disappear, in order that the subsequent theory may rest upon the most advantageous basis ? In the transformed quartic, which we write in the form a' + 46V + 6cV 2 + 4>d'v' s + e'v* and denote by V, there are ten pairs of coefficients, namely : (i) V, d', (ii) a, e, (iii) e, c and a, c', (iv) b', e' and a, d', (v) c', d' and b', c', (vi) a', 6' and d', e, of which we may propose that any one pair shall vanish*. The vanishing of either of the pairs of the sixth group, however, would presuppose that two of the roots of the original quartic were equal, and both of these cases may therefore be at once excluded from the category of possible transformations of the general quartic. In each of the groups (iii), (iv), (v) the two alternative cases lead to the same transformation theory, and only one of them need be considered. There are thus five distinct linear transformations that may be adopted as leading to a standard, or normal form of elliptic integral. The several results of the transformations are as follows. The details of the calculations are omitted. * This assumes that a linear transformation may be assigned that shall cause any two points of the complex plane to assume any two new arbitrary positions not coincident with one another. 232 356 IRVING STRINGHAM. 5. General Transformations. I. The assumption that a' d' = leads to Legendre's normal form and to what we may call the Cayley-Legendre Transformation-theory. The resulting differential equation is dv = /Ar 4 +14A;- 2 +i dx VF V 12^ and & 2 is a root of the equation (18) Or, if k - Ar 1 = 41 V^ - 1 and therefore ^ is a root of (20) ^ 3 which may be appropriately called Cay ley's cubic resolvent. These are the results given by Cay ley in his original trans- formation. The relation between x and v is 4 + 14A and (22) \ = (23) /* = II. The assumption that a' = e' = leads to Klein's normal form (Weber calls it Legendre's normal form, but in order to distinguish it from the preceding it is desirable to give it a distinctive name) and to what we may call the Cayley-Klein* transformation-theory. The resulting differential equation is fill / V ^ !/ 2 I 1 \ 2 ft 9 / \ \MV I i* ** i^ \ \AJ& W -717- = and K? is a root of the equation (24) ( 4 - 2 + l) 3 - * See Klein : Elliptische Functionen und Gleichungen fiinften Grades, Mathe- matische Annalen, Bd. xiv. (1879), p. 116. ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 357 Or, if K K~ I = V0 1, and therefore (25) K = (0^T V0 is a root of Cayley's cubic resolvent (20) 0*-R(0 -!) = (). The relation between z and v is z and X and /u, are the two roots of the quartic equation V=0, corresponding to the roots and oo of z(z + l)(ic~*z + l) = regarded as a quartic in z. It is well known (see Klein l.c.) that the six values of K?, obtained as the solution of the above sextic equation, are the six anharmonic ratios formed with the differences of the roots of the original quartic equation V=0. III. Either of the assumptions e = c' = 0, or a = c = 0, leads to Hermite's normal form and to the Cayley-Hermite linear transformation-theory. The resulting differential equation is ... dv _ d VK- the relation between and v is and /A is a root of the quartic equation V = 0, corresponding to the root oo of 4 3 g^g- A = 0, and X is a root of C = 0. IV. For the purpose of reduction in case (iv) we may assume V = e' = 0. The resulting differential equation is r \ dv Here and involves only the absolute invariant g^lg* and numerical coefficients. If /j, be a root of the quartic equation F = 0, corres- 358 IRVING STRINGHAM. ponding to the root oo of f 3 + 2 - g = 0, and \ a root of B = 0, the relation between and v is (28) . (p - \) 2 V3a 2 = 2D . ^ - W . y u. V. In the remaining case, assuming c' = rf' = we obtain , x c?v d?7 ( V ) -7T7- = /- , -- and the relation (29) , , fl\ V /J, and X and p satisfy the equations (7 = and D=0. 6. Subsidiary Transformations. By performing the indicated transformations it may now be shown that the first four of these normal or standard forms of the elliptic differential are interchangeable with one another by means of the following series of very simple substitutions, 1 / *r 2 if 2 4- 1 \ 1 / 2 K 2 -4- 1 \ -1- I -4- ^ -~ ^ 3 2 in which the variables x, z, and belong respectively to the forms designated (i), (ii), (iii), (iv). In like manner, the respective roots of Cay ley's resolvent B 3 R (6 1) = 0, of the ordinary reducing cubic 4>t? g^g 3 = 0, and of the cubic equation 3 4- 2 g Q = 0, are connected with one another by the mutual relations We may thus readily pass from any one to any other of these four forms by means of predetermined substitutions, and we may propose to adopt any one of the four transformation-theories above outlined, or, if preferable, the Cay ley- Her mite quartic trans- formation, as an unique and fundamental basis of the theory, and ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 359 produce the other normal forms by the successive simpler and subsidiary transformations. Form (v) may be transformed into any one of the others by a substitution of the form 77 = (X + ^2/)/(l + y). The values of X and fi and of the determinant (/* \), in each of the four transformations, seem, however, to be quite complicated ; at least I have found in this case no relations comparable in simplicity with the others here given. 7. The Elliptic Functions. Discarding the fifth form, as at the present writing unfruitful, or at least unpromising, we derive from the others four differential equations, (i) '- and through these we may define four corresponding elliptic functions, (32) {** jl^ to each of which, for obvious reasons, I assign a distinctive notation. It may also be convenient to introduce, as notations for the corresponding inverse functions, the symbolic forms In virtue of the relations between the variables x, z, and , announced in section 6, these four functions are connected with one another by the like relations /00\ an or) 2 V>o; bll 9 > (35) pa = jVfy, {g (12jr,) + il- 360 IRVING STRINGHAM. 8. General Addition Theorem. As a basis for the addition theorem I am accustomed to prove Abel's theorem for the function x=$u defined by means of the differential equation (36) j \au/ For this case it may be stated in the following terms : If (f>u be defined as a function of u through the differential equation (37) \~JJ = a o + a i u + ... +a h h u, and P + Q<$>'u be any integral function of u and 'u, then the complete cycle ofr values u lt u 2 , u 3 , ... u r that satisfy the equation (38) P + Q(f>'u = satisfy simultaneously the relation (39) M 1 + M a +W 3 +...+tt r = 0. The application is as follows. Let the equations defining < be (v\ 2 -r-} = dv , V = 'u (41) is rational and integral in u and 'u, of the form (42) A+Bv+C$u, in which {A =Viu 3 -v,'u 1 , B = 'u 2 , C=v 2 -v 1 , and the degree of 'u is 4. Two of the roots of the quartic (44) (A + y) 2 - & ($uf = ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 361 are v ly v 2 . If v 3 , v 4 be its other two roots, then arranging it with respect to the powers of v and expressing the sum of its roots and of the products of pairs of its roots in terms of the coefficients, we easily deduce (45) V v l -v i = e (vi 2 + v 2 2 + v and by Abel's theorem 4>d (v, + v. 2 + v 3 ) + 6c ; (46) u 4 = 0. (f>'u Again v v- v 1 V 2 is a rational integral function of u and u, of the form (47) Av + Btf + Cu, where A = Vi 2 'u 2 v z 2 'ui, Two of the roots of the quartic equation (49) v- (A + Bv) 2 - C 2 (' U y 2 = are v lt v. 2 . If v 3 , v 4 be its other two roots, and its terms be arranged according to the powers of v, arid the product of its roots and the sum of their products by threes be expressed in terms of the coefficients, we find that (50) and by Abel's theorem = a 9. Addition Theorem for the Functions p, g, s, sn. The first of these two addition equations becomes, when u = gu and therefore e = 0, c = , d = , u 4 = 0, (52) (&&)'* ** + *"' + * +1 - M! + M 2 4- M 3 = 0. The second becomes, when u = su and therefore a = 0, e = 0, 6 = i,w 4 = 0, /SUjS'tt, St*XM 8 Sl^ . SM 2 (00) , \ SUj SW 2 / SM 3 i + " 2 + u 3 = 0. From this last equation, through the substitution (54) s2?t = sn (t 2 w, the addition equation for the sn,, function is easily developed in the form sn.'-u, sn^w- (55) 8Bi(*i + *)='- -V- 1 , . sn,, it^snn u. 2 sn^t^sn^ iti The many other forms of the addition equation for the various kinds of elliptic functions are derived, through easy transformations, from those herein enumerated, by the establishment of which the foundations of a theory of elliptic functions are thus securely laid. 10. Short Account of the Functions sn K , cn K , dn^. As supplementary to the foregoing outline I append a short account of the series of functions that present themselves in connection with the transformation-theories of cases I. and II. By the substitution z = a?, the differential equation becomes (56) (f?T\ Z ^J (a* + l) <-**+!); and, by virtue of the previous linear transformation of case II., ,-7\ dv ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 363 in which (58) 0*- a = *- -*- + !. We may now, as previously in section 7, define outright (59) a? = sn (C M, or we may proceed as follows. With reference to the modulus K, itself defined by the identity (60) K = | ic | (cos + 1 sin /3), sine and cosine are defined by the further identities (61) sin K w= 1:(e w i K - e~ wlK \ cos, = (e wl * + e~ wlK \ in which w is in general complex. These two functions are connected by the relation (62) cos^w - ar'sin, 2 w=l, which may be verified by a very simple calculation. Let x sm^ ; then (63) dx = cos K d, (64) a; 2 + 1 = sin, 2 ^ + 1, (65) /e-'a 8 + 1 = tc-'sin,? + 1 = cos^ 2 ^, and therefore (66) ,- + 1) (K-*X* + 1) Vsin, 2 ^) + 1 If now (67) .. - f Vsm,, 2 <#> + 1 ^> is the amplitude of it with respect to the modulus K; sym- bolically (68) = am^M. With respect to the same modulus, let us also define (69) siu K = sn K w, COS K < = cn.it, ^/sm K 2 + 1= It then follows that dnM-sn a u=l. 364 IRVING STRINGHAM. The differentials of these functions obviously are d am K u = dn^ . du, d sn^u, = cn K u . dn K u . du, d cn K w = K~ 2 sn K u . dn K u . du, = sn^w . en,, u . du. 11. Transition to Cyclo- and Hyperbo-Elliptic Forms. Since sin^d) = IK sin ?- , IK (72) and IK (73) or (74) or (75) Hence (76) ft tf - IK d> u .'. -P = &m IK IK am K u = u IK =du; IK sn^w = IK sin -r- = IK sn , IK IK d> u cu..u = cos -f- = en , IK IK = A / 1 * 2 sin 2 f- = dn ~ . V IK IK Similarly, since sin* d> = K sinh - , K (77) and (78) =K ' + 1 / $ V * 2 s ^ nn " K = du. ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 365 Hence, if the hyperbolic forms corresponding to am, sn, en, dn be denoted by hm, hs, he, hd respectively, then (79) or (80) and (81) , U = hm-, K K , f '' u = /chm - , = /esinh = /ehs-. tC K cn K u = cosh = he - , K K =A/sinh 2 V K = hd^. K Hence, also, writing for the moment w = u/tc, (82) , . w hm w = i am , i i hm w = am iw, ihsw = sn iw, he w = en iw, hd w = dn iw. that (83) 12. Zero-Values, Negative-Values and Limits. We may now pass to further details of the theory and show 8^0 = 0, cn K 0=l, dn )C = l, that (84) sn K (- u) = - sn K u, cn K (- u) = cr\ K u, dn K (- u) = and that if ri* (85) J o dx (86) r dx 366 IRVING STRINGHAM. then (87) Bn. K iicK etc. etc. etc. 13. Conclusion. One does not at once and without question decide which of the above-outlined transformation-theories, with its corresponding series of functions, will provide the most satisfactory standard formulary. Each has doubtless some peculiar advantage of its own, and we may come to the conclusion that the general theory is large enough to contain them all. The p-function is no doubt destined to be retained as an important instrument both in the theory and in practice ; but, for the student, quite as much interest may attach to what I have here called the s-function, and the Jacobian theory certainly acquires new interest from the enlarged view which the Cayleyan transformations permit us to take, as the investigations of Klein, Weber and other recent writers sufficiently attest. UNIVERSITY OF CALIFORNIA, July, 1893. ALTERE UND NEUERE UNTERSUCHUNGEN UBER SYSTEME COMPLEXER ZAHLEN. VON E. STUDY IN MARBURG. DER Zweck der folgenden Zeilen ist, einen Uberblick liber eine Reihe von Untersuchungen zu geben, in denen Systeme von complexen Zahlen in Verbindung mit gevvissen Transformations - gruppen auftreten. Wir gehen dabei ziemlich weit zuriick, um die Wurzeln der neueren Erkenntnisse in der alteren Litteratur aufzudecken. Bekanntlich hatte Gauss eine Ausserung in dem Sinne gethan, dass die gewohnlichen imaginaren Zahlen der Form x + \l\.y fur die Bediirfhisse der Analysis ausreichten. Der Umstand, dass man hieraus eine formliche Verurtheilung aller anderen Systeme von complexen Zahlen herausgelesen hat, mag eine der Hauptursachen daflir gewesen sein, dass die Entwickelung einer allgemeinen Theorie dieser Algorithmen so lange hat auf sich warten lassen, wie es thatsachlich der Fall gewesen ist. Wir werden im ersten Theile dieses Berichtes, der die Zeit bis zum Jahre 1888 umfasst, vorwiegend von speciellen Untersuch- ungen zu reden haben, die durch Hamilton's Entdeckung der Quaternionen (1843) veranlasst worden siiid. Auf Hamilton's eigene Arbeiten, sowie auf H. Grassmann's verwandte Gedanken einzugehen, mtissen wir uns leider versagen. Friihzeitig schon ist der Zusammenhang des Quaternionen- calculs mit gewissen Transformationsgruppen hervorgetreten. Cay ley hat bereits 1843 die Entdeckung gemacht, dass die von Euler (1770) aufgefundenen und von Rodrigues (1840) vervoll- 368 E. STUDY. standigten Formeln zur Transformation rechtwinkliger Coor- dinaten oder zur Darstellung der Drehungen um einen Punkt &uf eine einfache Weise aus dem Quaternionencalctil hergeleitet werden konnen*. Spater haben Laguerre und Cayley ge- funden, dass zwischen den Quaternionen und der Gruppe der proiectiven Transformationen x' = ~ des binaren Gebietes yx + 6 ein enger Zusammenhang besteht^. Diese Beraerkungen sind nachher von besonderer Wichtigkeit geworden. Sie haben den Ausgangspunkt gebildet fur eine umfangreiche Untersuchung von Stephanos liber binare biliueare FormenJ, fur verschiedene Ar- beiten von F. Klein und dessen Schiilern, endlich fur die modernen Untersuchungen liber den Zusammenhang zwischen complexen Zahlen und Transformationsgrupperi uberhaupt. Andrerseits hat die Art, wie Hamilton selbst seinen Algo- rithmus handhabte, zu einer wichtigen Erweiterung der Quater- nionentheorie gefiihrt. Wir meinen die von Clifford einge- fuhrten Biquaternionen\\, von deren Anwendung auf die Geometric des Raumes ihr Urheber sich den grossten Nutzen versprach. Die Biquaternionen sind ursprlinglich nichts Anderes als Qua- ternionen mit gewohnlichen complexen Zahlencoefficienten. Fasst man aber die Quaternioneneinheiten und ihre Producte mit der imaginaren Einheit V 1 wiederum als neue Einheiten auf, so erhalt man ein neues System, ein System mit acht Hauptein- heiten, das, wie man sagen kann, durch "Multiplication" aus dem Quaternionensystem Q und dem System der gewohnlichen com- plexen Zahlen e =l> e 1 = V 1, oder besser, aus Q und dem System (1) eo 2 = e< e e 1 = e 1 e = e 1 , e^ = - e fl hervorgegangen ist. An Stelle ties Systems (1) konnte Clifford * Cayley, Cambridge Math. Journal, t. in. 1843 ; Philos. Mag. 1843, i. t Laguerre, Journal de VEc. Polyt., cah. 42, 1867. Cayley, Math. Ann. Bd. lo, 1879. J Stephanos, Math. Ann. Bd. 22 (1883). F. Klein, Vorlesungen iiber das Icosaeder (Leipzig, 1884); s. insbes. i. Abschn., 2. || (1873). S. Clifford, Collected Mathematical Papers, Lond. 1882. SYSTEME COMPLEXER ZAHLEN. 369 noch ernes der folgenden beiden Systeme von zwei Haupteinheiten setzen : (2) e 2 = 3 ist, lineare Transformationen, die zwar die Summe von n Quadraten (eigentlich) in sich selbst transformiren, sich aber der Cayley'schen Darstellung entziehen*^. Sodann ist die Zusammensetzung der ^ - unabhangigen Parameter, durch die Cay ley die fragliche Transformation darstellt, nicht "bilinear" wie der Referent sich ausdrtickt. Sowohl bei der Euler'schen Transformation einer Summe von drei Quadraten, als auch bei der erwahnten Cayley'schen einer Summe von vier Quadraten, kann man namlich sehr leicht zwei Transformationen hinter einander ausfuhren : Die vier, bez. acht homogenen Para- meter der zusammengesetzten Transformation werden lineare Functionen der Parameter einer jeden der beiden gegebenen Transformationen. Ahnliches ist bei den allgemeineren Formeln Cayley's nicht mehr der Fall. Hier setzt nun eine Unter- suchung von Lipschitz einj. Lipschitz zeigt, wie man mit Hiilfe eines bereits von Clifford entdeckten, aus 2 n-1 Hauptein- * Cayley, Crelle's J. Bd. 32, 1846; 50, 1855. t Die eben besprochenen, auf den Fall n=4 beziiglichen Formeln Cayley's ordnen sich seinen allgemeinen Formeln nicht ohne Weiteres unter, sondern gehen aus ihnen erst durch Einfuhrung eines iiberzahligen Hiilfsparameters hervor. J Lipschitz, Untersitchungen iiber die Summen von Quadraten. Bonn, 1886. SYSTEME COMPLEXER ZAHLEN. 371 heiten bestehenden Systems von complexen Zahlen die auto- morphen Transformationen einer Summe von n Quadraten so ausdrucken kann, dass die obigen Forderungen der Darstellbar- keit einer jeden Transformation und der bilinearen Zusammen- setzung erfiillt werden. Im Falle n = 3 kommt man auf die Formeln von Euler und Rodrigues, im Falle n = 4> (was Herrn Lipschitz entgangen zu sein scheint) auf die erwahnten Formeln Cayley's zuriick. Die Zahl der Einheiten, die Lipschitz benutzt, ist, wie gesagt, 2 n-1 , also eine Zahl, die mit steigenden Werthen von n viel rascher wachst, nicht nur als die Zahl 72. (fl ~~ 1 ^ ~ '- der unabhangigen Parameter einer orthogonalen Trans- formation, sondern auch als die Zahl ri* der Coefficienten einer allgemeinen linearen Transformation im Gebiet nter Stufe. Es bleibt daher die Frage offen, ob man nicht die automorphen linearen Transformationen einer quadratischen Form in noch einfacherer Weise mit Htilfe einer kleineren Zahl von Einheiten behandeln kann. Thatsachlich kann man in dem allerdings singularen Falle n = 6 mit Hlilfe eines Systems von 16 Einheiten die automorphe Transformation der quadratischen Form (4) / = x? - x* + x* - x? -t- x? - x* 6'5 durch 16 = 1+ -^- homogene Parameter mit bilinearer Zusarnmen- z setzung leisten*, und zwar ohne Auftreten irgend welcher Ausnahmefalle ; wahrend nach der Methode von Lipschitz 2 s = 32 Einheiten erforderlich sind. Hier ist also ein Punkt, wo kiinftige Forschungen einzusetzen haben werden. Mit den besprochenen Untersuchungen hangt nahe zusammen eine Reihe von Arbeiten iiber bilineare Formen und Matrices. Durch die lineare Schaar der bilinearen Formen Sa^iM* eines Gebietes ?iter Stufe wird in der einfachsten Weise ein System complexer Zahlen mit n 2 Haupteinheiten definirt, wenn das "Produkt" zweier Formen der Schaar durch die Formeln (5) (x i u k }(x k u j ) = (x i Uj), (xiU k } (xiUj) = O=H) erklart wird-f. Diese "Multiplication" der bilinearen Formen * F. Klein, Math. Ann. Bd. 4 u. ff. t Cayley, Phil. Trans, v. 148, 1858. Frobenius, Crelle's J. Bd. 84, 1878. Vgl. Sylvester, "Universal Algebra," Am. J. v. vi. 1884. Ed. Weyr, Prager 242 372 E. STUDY. lauft offenbar der Zusammensetzung der collinearen Transforma- tionen x^ = 'Za.ucXi des Gebietes nter Stufe parallel ; wir wollen i daher sagen, dass das System von n- Einheiten e^ mit den Multiplicationsregeln (6) eik . e hn (k 4= I), e ik ekj = eij zur allgemeinen projectiven Gruppe (der Gruppe alter collinearen Transformationen) des Gebietes nter Stufe gehort Fiihrt man zwei Transformationen Sa^a;^* = 0, ^by c xiUj e = Q hinter einander aus, so setzt sich die Matrix ...rj g theilen, derart, dass jedes ei6j ausdriickbar ist durch die e; und 6j vorhergehenden Einheiten ; dass rjtf = % und -q-^k = ist filr i^k ; dass endlich alle Produkte 7?^ und e^ fur k=l, 2,...s verschwinden mit Ausnahmeje eines einzigen, das gleich ei ist (77^; = ^-, ^77^ = 6,:). Auf Grund dieses und ahnlicher Satze gelingt es nicht nur, die Bestimmung aller Typen auch noch fur den Fall n = 5 durch- zufuhren, sondern auch die Falle k n 1 und k = n 2, und bis zu einem gewissen Grade den Fall k = 2 allgemein zu erledigen. Die Quaternions}'steme werden bis zu acht Einheiten hin bestimmt, ohne dass der oben erwahute Satz vorausgesetzt wiirde. Besonders bemerkenswerth erscheint die Rolle, die der * Engel, Per. d. k. sacli. Ges. d. W. 1887, 1893. t Der Satz lasst sich aus der spater zu besprechenden Theorie von Molien ableiten. 378 E. STUDY. bereits besprochene Process der " Multiplication" in dieser Unter- suchung spielt. Jedes Zahlensystem 8, das das System Q der Quaternionen enthdlt, und den Quaternionenmodul zum Gesammt- modul hat, ist das Produkt aus Q und irgend einem Zahlen- system P S = P.Q.- Was wird insbesondere aus dera System S, wenn man auch das System P mit dem Quaternionensystem identificirt ? Mit Riick- sicht auf den mehrfach besprochenen Zusammenhang der Qua- ternionentheorie mit den linearen Transformationen eines binaren Gebietes mogen wir die Frage zunachst noch etwas verallge- meinern, und dann die Antwort in den folgenden, bis jetzt allerdings wohl noch nicht ausgesprochenen Satz fassen : Das Pro- dukt aus den beiden Zahlensystemen S n i und $#, die zur allgemeinen projectiven Gruppe eines Gebietes nter und eines Gebietes mter Stufe gehoren, ist demselben Typus (wie auch derselben Gestalt) zuzurechnen, wie das System S (nm ^, das zur allgemeinen projec- tiven Gruppe eines Gebietes (nm)ter Stufe gehort. An die besprochenen Untersuchungen von Scheffers schliesst sich an eine Arbeit des Referenten, in der die Beziehung der aus dem System (2) und dem Quaternionensystem Q durch Multi- plication entstehenden Biquaternionen zur Euklidischen Raum- geometrie klargestellt wird*. Es wird verlangt, die Coefficienten der allgemeinen Transformation rechtwinkliger Parallelcoordinaten ini Raume durch eine moglichst kleine Zahl von Parametern in der Weise auszudriicken, dass fur diese Parameter " bilineare Zusammensetzung" besteht, dass also bei Zusammensetzung zweier Bewegungen die Parameter der resultirenden Transforma- tion ganze lineare homogene Functionen der Parameter einer jeden der gegebenen Transformationen werden. Die Lb'sung geschieht mit Hiilfe des erwahnten Biquatemionensystems durch ein System von acht Parametern, zwischen denen eine quadratische Gleichung besteht. Die gefundenen Formeln werden zur Grund- lage einer umfassenden Theorie der Bewegungen sowohl wie der symmetrischen Transformationen des Raumes gemacht. Die Methode lasst sich ausdehnen nicht nur auf den Nicht-Euclidischen Raum bei Annahme einer positiven Krlimmung kommt man * Study, Math. Ann. Bd. 39, 1891. SYSTEME COMPLEXER ZAHLEN. 379 dann auf die besprochenen Formeln Cay ley's fur die automorphe Transformation von vier Quadraten zurlick sondern, wie beilaufig bemerkt werden mag, auch auf die Theorie der Ahnlichkeits- transformationen des vierfach- wie des dreifach-ausgedehnten Raumes. Zur Parameterdarstellung dieser Transformationen namlich kann ein System von 3 . 4 Einheiten dienen, das durch Multiplication des Quaternionensystems Q mit dem System e 61 e 2 e e e 2 ti 6j 02 e, hervorgeht. Eine wesentliche Vertiefung unserer Einsicht in die Structur der Systeme von complexen Zahlen hat endlich eine Arbeit von Molien gebracht*. Hier werden eine Reihe neuer und wichtiger Begriffe entwickelt ; vor Allen der des begleitenden Zahlensystems eines gegebenen. Lassen sich die geeignet gewahlten Grundzahlen eines Zahlen- systems in zwei Gruppen e 1 ...e r , T^... rj s theilen, derart, dass alle eiejc sich durch die ei allein ausdriicken lassen, wahrend die Produkte e^jc, %*, ^i^k durch die rji allein ausgedriickt sind, so bilden die Grundzahlen e l ...e r ein Zahlensystem, von dem Molien sagt, dass es das gegebene " begleitet." Ein Zahlensystem, das kein kleineres begleitendes System enthalt, heisst ein " ursprung- liches Zahlensystem." Ein Hauptziel der Molien'schen Arbeit ist die Bestimmung aller dieser urspriinglichen Zahlensysteme. Jedes ursprilngliche Zahlensystem hat eine quadratische Zahl von Haupteinheiten, und ist identisch mit einem der Zahlensysteme, die, wie wir oben sagten, zur allgemeinen projectiven Gruppe eines Gebietes mter Stufe gehoren. Wenn ein Zahlensystem nicht urspriinglich ist, so bestimmen die oben mit %...7; g bezeichneten Zahlen eine invariante Unter- gruppe einer jeden der mit dem Zahlensystem verkniipften reciproken Gruppen (9). Ist das Zahlensystem dagegen ur- * Molien, Uber Systeme hoherer complexer Zahlen, Diss. Dorpat, 1892, oder Math. Ann. Bd. 41, 1893. 380 E. STUDY. spriinglich, so haben die zugehorigen Parametergruppen (9) iiber- haupt keine invarianten Untergruppen, da die allgemeine pro- jective Gruppe bekanntlich einfach ist. Durch den angefuhrten Satz sind also alle Zahlensysteme mit n Haupteinheiten bestimmt, deren zugehorige Parametergruppen (9) einfach sind. Die Bedeutung, die die Bestimmung der urspriinglichen Systeme fiir die allgemeine Theorie der Systeme complexer Zahlen hat, geht aus dem folgenden Satze hervor: Jedes System S n von complexen Zahlen enthdlt eine endliche Zahl p von begleitenden ursprunglichen Systemen, deren Hauptein- heiten sdmmtlich linear-unabhdngig sind. Seien e u ...e lri ; e. 2l ...e^; ...e pl ...r pr die Grundzahlen dieser p begleitenden ursprunglichen Systeme, 1)^... TI^ die ubrigen Einheiten des gegebenen Systems (r + . . . + r p + p = n), so werden alle Produkte &ik &ji 0, sobald i^j, und die ubrigen Produkte & *?* . Vi- e ik und r H^lm drilcken sich durch die Grundzahlen ^...tjn allein aus. Die Produkte e^e folgen den uns bereits bekannten Multipli- cationsregeln. Auf Grund dieser und anderer Satze, auf die wir ihrer verwickelten Natur wegen nicht eingehen konnen, gelangt Molien zu einer Classification sammtlicher Zahlensysteme. Die Systeme werden in Classen getheilt, deren jede einem der Scheffers'schen Nichtquaternionsysteme entspricht. Die ur- sprunglichen Zahlensysteme bilden fur sich allein eine Classe, die dem System der gewohnlichen Zahlen mit einer Haupteinheit zugeordnet ist. Als ein Vorzug der Molien'schen Untersuchung im Vergleich zu der von Scheffers muss es betrachtet werden, dass Molien sich nirgends auf Satze stiitzt, die nicht der Theorie der complexen Zahlen unmittelbar angehoren, sondern mit anderen, fremdartigen Hiilfsmitteln bewiesen sind. Zu bedauern ist es jedoch, dass Herr Molien es verschmaht hat, seine Theorie durch ausgefiihrte Beispiele zu erlautern ; zu bedauern nicht allein deshalb, weil das Heil der Wissenschaft nicht ausschliesslich in der Abstraction liegt. Dass die Bestimmung wenigstens der Quaternionsysteme nochmals aufgenommen und ein gutes Stuck weitergefuhrt werden mb'chte, erscheint im Interesse der geometrischen Anwendungen jedenfalls sehr wiinschenswerth. SYSTEME COMPLEXER ZAHLEN. 381 Wir schliessen dieses Referat mit einer Aufzahlung der zusammenfassenden Arbeiten, die der Leser, der sich naher iiber unseren Gegenstand zu unterrichten wiinscht, zu Rathe ziehen moge. H. Hankel, Theorie der complexen Zahlensysteme. Leipzig, 1867. W. Gibbs, An address before the section of Mathematics and Astronomy of t/ie American Association for the Advancement of Science, Buffalo Meeting, August 1886, Salem Mass. 1886. Cay ley, "On multiple Algebra." Quarterly Journal of Mathe- matics, v. 22 (1887), p. 270. Study, " Uber Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendung in der Theorie der Transfer rnationsgnippen." Monatshefte f. Math. u. Phys. i. (Wien, 1890), S. 283. Scheffers, "Zuriickfiihrung complexer Zahlensysteme auf typische Formen." Math. Ann. Bd. 39, S. 293. Molien, Uber Systeme Jwherer complexer Zahlen. Dorpat, 1892 ; oder Math. Ann. Bd. 41, 1893, S. 83. MARBURG, im Juni 1893. [Zu der vorliegenden Aufzahlung ist noch hinzuzufiigeu : Sophus Lie, Vorlesungen iiber continuirlic/ie Gruppen. Leipzig, 1893. Dieses Werk bringt in Abtheilung V hauptsachlich eine Ubersicht (iber die Arbeiten von Study und Scheffers. Ferner sind seit Abfassung dieses Referats noch zwei Abhandlungen von Scheffers erschienen (Sachs. Berichte, 1893 und 1894), in denen die Functionentheorie der commutativen Systeine entwickelt und auf einige wichtige gruppentheoretische Probleme angewendet wird. BONN, im October 1895.] SOME RESEARCHES IN SPHERICAL TRIGONOMETRY. BY E. STUDY OF MARBURG. I BEG your permission, members of the Congress, to give you an account of a book, which has just appeared in the Reports of the Saxon Academy (1893, vol. xx. Nr. 2)*. The matter is quite elementary ; I am to speak about Spherical Trigonometry. I do not know whether you will be interested in this subject or not ; certainly I have found some persons who think that Elementary Geometry must be nearly exhausted, that there can be almost nothing left in it, worth doing. My opinion, I confess, is directly the opposite ; and so I entered upon a research into Spherical Trigonometry, the results of which, I hope, will not be without interest. I began by considering the relations among the coefficients of an orthogonal substitution. Let the coefficients a w , a 11 ,...a 33 of such a substitution be expressed in terms of Euler's parameters, i.e., the four well-known homogeneous quantities introduced by Euler. It is the advantage of this method, as you know, that it reduces the relations just mentioned to identities. Would it not be likewise advantageous to express in the same way the sides and angles of a spherical triangle as symmetrically as possible by a system of three quantities, or better, by four homogeneous quantities, and so to reduce the formulae of Spherical Trigon- ometry to identities ? * Spharische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und elliptische Functionen. Published also separately at Hirzel's, Leipzig. SPHERICAL TRIGONOMETRY. 383 Sine and cosine of an angle may be expressed rationally in terms of the cotangent of the half angle and vice versa. We may therefore investigate the relations among the functions cotangents of the half sides and the half angles of the triangle. Fig.J. Let the sides be denoted by a 1} a 2 , o 3 , the angles by j, c^, 3 , as shown in the adjoined figures (1), which are understood to be stereographical projections of spherical triangles. Further denote ctg ^ by l it and ctg j- by A;. Starting from the formulae called Delambre's or Gauss', you will find after some 384 E. STUDY. reckoning, that these two sets of quantities are connected by the three following equations : /t \ I! "21 4" ^3^-1 + ''''- and the three equations, which result from these by interchanging the I's and X's. The remarkable characteristic of these equations is, that they are linear in terms of the products lil K , X^X*. Therefore we may easily express these products in terms of one set of four homo- geneous quantities X , X 1} X z , X. A . Indeed, supposing 2F = X + Xi + X 2 + X 3 , 2z = X Xi X 2 X 3 , 2 Fj = X + X 1 X z X s , 2Zi = X X l + X 2 4- X 3 , ( ) the said products may be expressed as follows : Z Y (3) lJa = -F, "o from which i _ ti _ = (4) - (etc.). _ When now we express the functions cos a t -, cosotf in terms of the quantities X it there appears a remarkable fact, not to have been foreseen, the fact that there is a very near connection between Spherical Trigonometry and the above-mentioned ortho- gonal substitutions : the cosines have the simple values dn% dfn ftjo COS Ctj = , COS a 2 , COS 3 = , /-\ #11 ^22 ^33 \) COS j = , COS Oj = , COS C 3 = , ftu &.& Ctga where the quantities af K are exactly the Eulerian expressions for the coefficients of an orthogonal substitution in terms of the parameters X^ SPHERICAL TRIGONOMETRY. 385 Therefore to each orthogonal substitution belongs a certain spherical triangle, given by the cosines of its sides and angles ; and vice versa, to each triangle appertains a certain orthogonal substitution. A great many consequences follow from this theorem. I must confine myself to giving you an idea of some of them ; a compre- hensive theory is developed in the book mentioned above. As a first application of quite an elementary character may be mentioned the research of the relations between the radii of the inscribed and circumscribed circles. Let the cotangents of the spherical radii of the four inscribed circles be denoted by p , p 1} p 2 , p s , and the reciprocal quantities, the tangents of the radii of the circumscribed circles, by r , r l5 r 2 , r 3 ; we have (6) R /o a, o." V 2 ' 2 ' 2 ' Eliminating the quantities Y t , Zi or X t , we find 2r = - p + p 1 + p 2 + p 3 , 2p t( = - r + r x + r 2 2n= po-pi + pt + ps, fyi= n,-n + r 2 (r r 2 + r 3 n) (r r 3 + n^) (8) = ^onrjr, . p pip 2 p 3 = (p /3! + p 2 /3 3 ) (p p2 As a second application we give by means of a construction of plane Geometry a solution of the following problem : To find the angles of a spherical triangle, when the sides are given, and vice versa. Write 2s = 2-Tr a l a 2 a 3 , 2 j - I") 2o-= c. P. a s , 2cr 3 = 25 386 E. STUDY. where the sum of the right members in each case is 2?r ; then we have (10) sin Si = &Z.Z&Z, R 2VF F 1 F 2 F 3 R Therefore we are able to construct two inscribed quadrilaterals, whose sides are proportional to the quantities F r -, Zi [Fig. 2]. We may choose the absolute size of the two figures in such a manner, that the relations between the sides of both quadrilaterals become exactly the same as the relations between the quantities Yi, Zi. Then the diagonals of both quadrilaterals have the same length*. Hence the one quadrilateral may be constructed, when the other is known. So we have the following construction: We seek first the angles 2f ; then we construct the first quadrilateral, of any size we choose; then the second quadrilateral is to be constructed, by means of the known length of its sides and diagonals ; and this second quadrilateral gives immediately the angles o-;. Besides, we find in our figure not only the angles Si and a- i} but also the angles a t - and Of themselves, as shown in the diagram [Fig. 2]. * Since we may change the order of the sides we have three diagonals for each quadrilateral. The three diagonals of the first quadrilateral are equal to the three diagonals of the second quadrilateral. SPHERICAL TRIGONOMETRY. Let us now consider the ratios 387 as coordinates of a point in space, and more particularly the quantities JLi A .^ A Z~ ' 1?" ' ~Y ' -A-o -Afl as rectangular Cartesian coordinates. Then we have made to correspond to each triangle of given shape a certain point in space, and vice versa. To every real triangle corresponds also a real point ; but not reciprocally. The space-locus of the points to which real triangles correspond is remarkable enough. Consider the linear equations Y t = 0, Z t = 0. Each of these two systems of four equations represents the faces of a regular tetrahedron. Both tetrahedrons constitute a simple figure, since their vertices are the vertices of a cube. They intersect each Fig.3. other so as to include a regular octahedron [Fig. 3]. To all the points in the interior of this octahedron correspond real triangles ; but not to these points only. There are still three other octahedrons (using the word in the sense of projective Geometry), to the points in the interior of which correspond real triangles. Consider any vertex of our regular octahedron, and let every face meeting in this vertex be continued, so as to form the second sheet of a cone with four plane sides. We have three 252 388 E. STUDY. pairs of such half-cones, each pair being opposite in the octahedron, [Fig. 4]. Now in projective Geometry every pair is to be considered as a regular octahedron, passing through infinity ; and to all points in the interior of any one of these four octahedrons, which we have thus constructed, corresponds a real triangle and vice versa. To the points of the 4 . 8 faces correspond triangles, which depend on only two constants: half of them represent triangles, Fig.5. whose angular points are in a great circle, [Fig. 5], the other half triangles, all the sides of which pass through the same two points of the sphere [Fig. 6]. SPHERICAL TRIGONOMETRY. 389 The edges and the vertices of the four octahedrons, the number of which is 12, are singular points of our representation of the spherical triangles by points of space. Every vertex represents oo 2 triangles, each of which has degenerated in such a manner, that one of its sides has a length congruent to zero, and in the same way the opposite angle a magnitude congruent to zero (mod. TT), as it is to be seen in the figure 7. Two angular points of such a triangle, which still depends on two parameters, are either coincident, or opposite points (poles) of the sphere. Flg.7. Now with every triangle is intimately connected an infinite series of other triangles, the whole of which may be called a group of neighbouring triangles. All of them belong to the same three- flat or three-edge. They are connected by linear substitutions: Let a/, a/ be the sides and angles of any one of them, then we have (11) where (12) TO! + e 2 + e 3 = 0, w 2 + e s + 61 = 0, == 0, 3 = 0, + e 3 + e l = 0, (mod. 2). 390 E. STUDY. To all these triangles correspond only 16 different points in space, that is to say, the ratios of the quantities Xi have only 16 different values, namely (13) X 3 '=X 3 X + z. X 3 O -X-i -^ a -As From this we deduce immediately a remarkable theorem : The 16 points of space, corresponding to a group of neighbouring triangles, constitute what is called the configuration of Kummer. There is, moreover, another remarkable configuration connected with our representation of the spherical triangles. We have already spoken of the two tetrahedrons F f = 0, Z t - = 0. Add the third tetrahedron, defined by the four coordinate planes X t = 0, with one vertex in the middle of our cube, and the three others at infinity, and we have the famous figure of three so-called desmic tetrahedrons. We will return to this point later on. Let me pass now to the most important application of our formulae. Lagrange noticed, as you know, that there is a certain connection between Spherical Trigonometry and Elliptic Functions. In reproducing and completing the theorem of Lagrange, we make use of the notation introduced by Weierstrass. Then the theorem in question can be established as follows.' We denote by DA, / a set of three half periods, two of which are independent, and the sum of which is zero : further we denote by u 1} u 2 , u s a set of three parameters, the sum of which is also zero : ^ + 1*2+^3 = 0. Then we have in ail four independent homogeneous quantities : SPHERICAL TRIGONOMETRY. Now it is possible to substitute : 391 (14) - e A a- (2 , where and Jb--, sm a * = ' In this manner to each set of given values of o> : u corresponds a certain triangle, and vice versa, to each triangle, given by the quantities 1 K , \ K corresponds a set of values of the ratios o> : u, or more precisely, an infinity of values of o> : u, connected by linear substitutions: (16) ( = 1,2,3), /3 + 7 = where (17) (a + 8) 2 = 2y8 7 , /3 + 7 = (mod. 2), that is to say (17) 2/8 = 27 = a + S = (mod. 4). This is the theorem of Lagrange, which has however not been given heretofore in this symmetric and comprehensive form. 392 E. STUDY. Now, by means of our theory, it may be changed into another theorem, orthogonal substitutions being introduced instead of spherical triangles. This theorem, which is. I think, entirely new, may be expressed as follows : The quantities (18) ov (2 3 ) A , w^, &> fixed, we obtain the points of a certain surface in space. This surface is of the 4th order and the 12th class, and it has 12 conical points in the vertices of our desrnic tetrahedrons X t = 0, F t - =0, Z t = ; it is nothing else than the desmic surface, a surface which belongs to the same pencil with the three tetrahedrons, and ivhich is the reciprocal of the surface of centres of an ellipsoid. Therefore we have a close connection between Spherical Trigonometry and the theory of this desmic surface. The theorem contained in the formulae (18) and (19) is a special case of a much more general theorem. Consider three sets of four homogeneous quantities, connected with one another by linear equations (21) = 2 7 ' = a - ft + 7 - 8, 2 7 " = -a- 28'= a -p- and form these products of functions a; namely n^ w = (e v - ej (e x - e M ) . then the quantities (liAAAA + 11^^ + '-l are always the coefficients of an orthogonal substitution. They do not change their values, when the quantities '...' or a"...S" are substituted for the quantities a ... 8. The latter part of this theorem, which is one of 256 similar theorems, can be derived algebraically from the famous addition- 394 E. STUDY. theorem due to Jacobi, communicated in the lectures published after Jacobi's death by Borchardt. There is finally another remarkable special case of this general theorem : The cosines of the sides and angles of a spherical triangle may be expressed in terms of elliptic functions also by means of the following formulae : a cos Oj = -- -r , cos x = r , x -- : , (v + w) in the rth row and sth column of its matrix, or square array of its coefficients, the sum or difference of two linear substitutions < and ty is defined as follows : ( +)rs = (\s + Wrs (r, S = 1, 2, . . . ). Multiplication is of course taken as equivalent to the composition of linear substitutions, and is consequently associative and dis- tributive. The linear substitution which is the reciprocal of < (such that the product by or into < gives the identical substitution) is denoted by . We have (<) = (<). (r, s - 1, 2, . . .n). In this notation Cayley's representation of the general proper orthogonal substitution of n variables is 396 HENRY TABER. in which 8 denotes the identical substitution and T an arbitrary skew symmetric linear substitution ; that is (8) rr =l, (8) rs = for r, s=l, 2, ... w. If 1 is not a root of the characteristic equation of <, namely *()-(*) =0*, < may always be given this representation. From the above expression for < in terms of T, we obtain Therefore (8) r , + (<) r ,| x \(B\. + (T) r .| = 2f. Consequently, if 1 is a root of the characteristic equation of , this orthogonal substitution cannot be given the above representa- tion in terms of the parameters (T) rg . Nevertheless, as shown by Frobenius in Crelles Journal for 1858, we can approach as near as we please to any one of the class of orthogonal substitutions, for which | (8) M + (<) =0, by increasing without limit one or more of the parameters (T) r ,, subject to the condition that I0V.+CTV.I+01 We may avoid the limitiog case and yet obtain a rational representation of any proper orthogonal substitution by doubling the number of parameters. Thus Kronecker has shown (Berliner Sitzungsber., 1890) that every proper orthogonal substitution is given by the composition or product of two of Cayley's forms. In this paper I show that we may also avoid the limiting case by taking the positive or negative square (or second power) of the substitutions given by Cayley's representation, and thus obtain a rational representation in the minimum number of parameters of all proper orthogonal substitutions of n variables, for any value of n if the substitutions are real, and for 71 = 2, 3, 4, or 6, if the substitutions are imaginary. But in this representation the para- meters cannot be expressed as rational functions of the coefficients * In what follows the determinant of a linear substitution will be denoted by |<*U t We have | (0f), | = j (*) | x | (f) n \. ON ORTHOGONAL SUBSTITUTION. 397 of the orthogonal substitution, whereas in Cayley's representation they can be so expressed. The method of proof is as follows. Let < be a proper orthogonal substitution of n variables the roots of whose charac- teristic equation are + 1 of multiplicity m , 1 of multiplicity m t *, and g r , g r ~ l of multiplicity m r (r=l, 2,...^). Corresponding respectively to the distinct roots of the characteristic equation of are certain polynomials in 8 and which may be denoted by , e , r> 3>/, (r = l, 2,.../4 If w = [(0 - $p. -(g 8 B- ay.]"" [(< - S)"* - (ffr 1 * - S) w ] m '' Q M = then ---- G ^~ (_l)^ e (m +i)2m m e [( ^ + g)^- ( g + 8)^. W " (_l)m o2 m e m () and for /= 1, 2, .../*, _ [( - ^8)- - ( - * - - - - while r is obtained from r by substituting throughout in the latter ^ r -1 for # r . The binary products of different polynomials is zero, and we have 4V = 3> , (- $)*.<& = 0, (r = 1, 2, . . . yu,). Moreover, 4o=3>0, ^e = 0e, 4=0/ (r and a = + e + < I ) i + ^ > i / +--- + * Since is proper m e is even. 398 HENRY TABER. If now we put , r + V-l in which c , Cj, C 2 , etc. denote the coefficients of 1, z, z*, etc., in the development of (1 + z}* by the binomial theorem, we have and A linear substitution SP can always be found such that = 0. If now (j> is such that the factor + B is contained linearly in the fundamental syzygy of (meaning by the fundamental syzygy of ^> the identical relation between 8 and powers of of lowest order in ), "^ is commutative with ; and if we have That is ^ is an orthogonal square root of . Moreover, 1 is not a root of the characteristic equation of ^r 1 . Therefore this orthogonal substitution is given by Cayley's expression, and by the square of Cayley's expression, that is by the expression (S - Ty U + 1V ' in which T is skew symmetric. A fortiori, if 1 is not a root of the characteristic equation of <, this orthogonal substitution can be given this representation ; for then 3> e = 0. Finally, if < is ON ORTHOGONAL SUBSTITUTION. 399 real, ^ can be taken real ; therefore if is real, the parameters which enter into this representation may all be taken real. From a theorem of Stieltjes* it follows that if 1 is a root of the characteristic equation of of multiplicity two, the factor + 8 enters linearly into the fundamental syzygy of . Therefore imaginary proper orthogonal substitutions of two or of three variables are given by the square of Cayley's expression, since for these substitutions 1 is a root of multiplicity at most equal to two. Again, if is an imaginary proper orthogonal substitution of four or six variables, then 1 is a root of multiplicity not exceeding two of the characteristic equation of or of . Therefore is given by the positive or negative square of Cayley's expression. If < is real, and if 1 is a root of the characteristic equation of <, the factor < + 8 in the fundamental syzygy of is linearf . Therefore, every real proper orthogonal substitution is given by the square of Cayley's expression, the parameters being all real. 2. The preceding theorems give rise to an exponential representation of any proper orthogonal substitution of n variables (for n = 2, 3, 4, 6, if the substitution is imaginary, and for any value of n if the substitution is real) in terms of a skew symmetric linear substitution J. 3. The theorems of 1 give a rational representation of any symmetric linear substitution of n variables in fyn(n 1) para- meters for any value of n if the substitution is real, and for n = 2, 3, 4, or 6, if the substitution is imaginary. Thus, let T denote an arbitrary skew symmetric linear substitution of n variables, but such that |(S) rs + (T) rs j4=0. Let = 8 and denoting by v the greatest integer in \ (n + 1), let the linear substitution ^ be defined as follows : * See page 400. t Frobenius, Crelle, 1878. J The exponential representation of real proper orthogonal substitutions was given by the author in a paper presented to the American Academy of Arts and Sciences, in May, 1892. From this representation, the representation of real proper orthogonal substitutions by the square of Cayley's expression follows at once. See Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, vol. 28, p. 212. 400 HENRY TABER. in which r is to take all values from 1 to n, and 0,= 1, 2 =1, ...0 V =1. Then, if < is any symmetric orthogonal substitution of n variables, for any of the values of n above enumerated, = If (j> is real, the parameters (T) rs can all be taken real. 4. Let (f> be an orthogonal substitution of n variables of which 1 is a root of multiplicity ra M of the characteristic equation. Let the nullities* of the first /u, powers of < + 8, namely be ra Then if w^ v_! = 1, /i is odd. From this follows at once the following theorem. Namely, let 1 be a root of multiplicity ra of the characteristic equation of , and let A denote the determinant \(\s + A = , that is let then if m = 1 + K (mod. 2 A;), and if the (K l)th minors of A are all zero, the /cth minors are all zero also. For K = 1, this is the theorem of Stieltjes mentioned above }*. Finally, if is an orthogonal substitution given by Cayley's representation, we have the following theorem. If all the (2w)th minors of A are zero, all the (2m + l)th minors are zero also. * If all the (m - l)th minors of the determinant of a linear substitution are zero but not all its mth minors, the nullity of tj> is TO. The term nullity is Sylvester's, t See Netto, Acta Mathematica, vol. 9, p. 295. ZUR THEORIE DER GANZZAHLIGEN ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. VON HEINRICH WEBER IN GOTTINGEN. DER beriihmte Beweis von Abel von der Unmoglichkeit der algebraischen Auflosung einer algebraischen Gleichung von hbherem als dem vierten Grad zeigt zunachst nur, dass es unmoglich 1st, eine von fiinf Veranderlichen a^, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 abhangige Function /(a 1; a,, a,, a 4 , a,) =/ nur durch die in endlicher Anzahl angewandten Zeichen der Addition, Subtraction, Multiplication, Division und des Poten- zierens mit ganzen oder rational gebrochenen Exponenten so zusammenzustellen, dass die Gleichung / 5 + aj/ 4 + 2 / 3 + 3/ 2 + aj+ a 5 = identisch befriedigt wird, wie es doch bei Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades moglich ist. Die Frage, von welcher Zahlenart die Coefficienten einer Gleichung sein miissen, wenn es moglich sein soil, durch die rationalen Rechenoperationen in Verbindung mit dem Radicieren die Wurzeln der Gleichung abzuleiten, ist damit nicht beantwortet. So vor allem liegt die Frage nahe, ob nicht etwa der Umstand, dass die Coefficienten der Gleichung rationale Zahlen sind, allem schon gentigt, die Gleichung algebraisch auflosbar zu machen. Abel hat spater noch von anderer Seite die Frage nach den algebraisch losbaren Gleichungen behandelt, wie in dem merk- wlirdigen Brief an Orelle vom 14ten Marz 1826, wo er die allgemeinste Form eines algebraischen Ausdrucks angiebt, der einer Gleichung oten Grades geniigen kann. An diese Betracht- ungen hat spater Kronecker angekntipft in der Abhandlung liber c. P. 26 402 HEINRICH WEBER. die algebraische Auflosung der Gleichungen in den Monats- berichten der Berliner Akademie vom 20ten Juni 1853, wo er die Aufgabe behandelt, den allgemeinsten Ausdruck ftir die Wurzeln einer algebraisch losbaren Gleichung von Primzahlgrad aufzustellen, und zwar in einer Form, die nichts anderes als solche Wurzeln enthalt. Neue Hilfsmittel zur Untersuchung algebraischer Gleich- ungen hat Galois geschaffen durch die Aufstellung des Begriffs der Permutationsgruppe einer Gleichung, aus der man, wenn sie bekannt ist, die wesentlichen Eigenschaften der Gleichung ablesen kann. So hat Galois gezeigt, wie die Permutationsgruppe einer Gleichung beschaffen sein muss, wenn die Gleichung algebraisch losbar sein soil, woraus sich jedenfalls soviel ergiebt, dass eine Gleichung nicht algebraisch losbar ist, wenn ihre Permutationsgruppe aus alien II (n) Permutationen der n Wurzeln besteht, oder, wie man sich auch ausdruckt, wenn ihre Gruppe die symmetrische Gruppe ist. Wenn die Galois'sche Gruppe einer Gleichung nicht die symmetrische Gruppe ist, so sagt man auch, nach Kronecker, dass die Gleichung einen Affect hat ; und es ist also sicher, dass die algebraisch auflosbaren Gleichungen, sobald sie den vierten Grad iibersteigen, einen Affect haben. Die Frage, die ich oben aufgeworfen habe, ob es algebraisch unlosbare Gleichungen mit rationalen Coefficienten giebt, ist also in der allgemeineren enthalten, ob es algebraische Gleichungen mit rationalen Coefficienten giebt, die keinen Affect haben. Man kann die vollstandige Lb'sung einer Gleichung nteii Grades abhangig machen von der Aufgabe, eine Wurzel der Galois'schen Resolvente zu finden, durch die sich sammtliche Wurzeln der gegebenen Gleichung und auch die iibrigen Wurzeln der Galois'schen Resolvente rational ausdriicken lassen. Hat die gegebene Gleichung wten Grades keinen Affect, so ist die Galois'sche Resolvente vom Grade II (n), und dieser Fall tritt ein, wenn die Coefficienten der Gleichung unabhangige Variable sind. Die Galois'sche Resolvente hat dann die Form G(t, a l} a 2 , ... a n ) = 0, wenn G eine rationale Function der Variablen t, a ly a 2 , ... a n ist. Setzt man aber ftir die Coefficienten irgend besondere Werthe, GANZZAHLIGE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN. 403 so kann diese Gleichung II (w)ten Grades in rationale Factoren zerfallen, und dieses Zerfallen ist das Kennzeichen fur das Eintreten eines Affectes. Die Galois'sche Resolvente ist dann eiri irreducibler Factor dieser Gleichung II (n)ten Grades. Unsere Frage wird also darauf zuriick gefuhrt : Kann man fur die Variablen a solche rationale Werthe setzen, dass eine gegebene unzerfallbare rationale Function G(t, a 1} a 2 , ...a n ) der Variablen t, a lt 2 , . n auch nach der Substitution dieser ratioualen Werthe fur die Variablen a nicht in Factoren zerfallt, die rational von t und von ratioualen Zahlen abhangen ? Die Frage ist in bejahendem Sinne allgemein beantwortet durch einen fundaraentalen Satz, den Hilbert in einer Abhand- lung im llOten Band des Journals fur Mathematik bewiesen hat, der noch mannigfache andere Anwendungen gestattet, und der sich kurz so aussprechen lasst. " In einer irreducibeln ganzzahligen ganzen rationalen Function von mehreren Verdnderlichen kann man fur einen beliebigen Theil der Verdnderlichen solche rationale Zahlen setzen, dass die Function auch nach dieser Substitution irreducibel bleibt." Der Beweis dieses allgerneinen Satzes ist aber schwierig und erfordert mancherlei Hilfsmittel, so dass daneben vielleicht noch ein ganz einfacher rein algebraischer Beweis fur die Existenz ganzzahliger Gleichungen ohne Affect einiges Interesse bietet, wenn er auch nicht so allgemein und namentHch bis jetzt nur auf Gleichungen von Primzahlgrad anwendbar ist. Ich habe den Grundgedanken dieses Beweises schon vor langerer'Zeit in einer Vorlesung auf Gleichungen 5ten Grades angewandt, und will ihn hier verallgemeinert mittheilen. Er beruht auf zwei Lemmen, die ich zunachst ableite. Ites Lemma. Es giebt unendlich viele irreducible Gleichungen beliebigen Grades : (1 ) x n + C.X 11 - 1 + c 2 x n ~ 2 + . . . + c n = mit rationalen Zahlencoejjicienten, und zwar so, dass die Coef- ficienten c lt c 2 ,...c n einem beliebig gegebenen reellen Zahlensystem beliebig nahe kommen. Beim Beweise dieses Satzes benutze ich einen Gedanken, den Eiseustein auf den Beweis der Irreducibilitat der Kreistheilungs- gleichung angewandt hat. 262 404 HEINRICH WEBER. 1st p eine beliebige Primzahl, a , a^, a 2 , ...,a n ganze Zahlen, von denen a nicht durch p theilbar ist, wahrend a^, a 2 , ..., a n durch p theilbar sind, aber a n nicht durch p 2 , so ist (2) f(x) = a x n + Ojtf"- 1 + ...+ a n ^x + a n irreducibel, d. h. nicht in Factoren von niedrigerem Grade mit rationalen Coefficienten zerlegbar. Ist eine ganze rationale Function mit ganzzahligen Coef- ficienten, wief(x), in Factoren mit rationalen Zahlencoefficienten zerlegbar, so ist sie nach einem bekannten Satze von Gauss (Disq. arithmeticae art. 42) auch in Factoren mit ganzzahligen Coefficienten zerlegbar. Wenn also f(x) = (a,,^ + a, a**- 1 + . . . + O (&ar + frx"- 1 +...+) ist, worin die a nnd ft ganze Zahlen sind, die den Gleichungen genugen (3) = so muss nach unserer Voraussetzung einer der beiden Factoren M , ft v durch p theilbar sein, der and ere nicht (weil sonst a n durch jp 2 theilbar ware). Sei also a M durch p theilbar, ft v nicht durch p theilbar. Dann folgt aus der zweiten Gleichung (3), dass a^_ a , aus der dritten, dass M _ 2 u. s. f., aus der i/ten Gleichung (3), dass a fl durch p theilbar sein muss. Dies aber ist gegen unsere Annahme, dass a = Oo/3 durch p nicht theilbar sein sollte ; also istf(x) miter den gemcichten Voraussetzungen unzerlegbar. Setzt man nun r _^i r -^ c - a I/! , 1/2 , . . . t/ n , a o o so entsteht aus (1) eine irreducible Function, und in den a bleibt noch Willkiirlichkeit genug, um diese rationalen Briiche jedem beliebigen Zahlensystem beliebig anzunahern. 2tes Lemma. Wenn in einer Permutations- Gruppe von n Ziffern. G, irgend eine einfache Transposition vorkommt, so ist die GANZZAHLIGE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN. 405 Gruppe entweder die symmetrische Gruppe, oder sie ist imprimitiv, oder endlich sie ist intransitiv *. Nehmen wir an, es komme in der Gruppe G die Transposition (1, 2) vor, und ausserdem mogen noch die Transpositionen (4) (1,3), (l,4),...,(l,v), darin enthalten sein, sonst aber keine Transposition mit der Ziffer 1. Wegen der Zusammensetzung (1,2) (1,3) (1,2) = (2, 3) enthalt die Gruppe G alle Transpositionen von zwei Ziffern aus der Reihe (5) 1, 2, 3, ...,1;, und damit die ganze Gruppe GI, die aus den II (v) Permutationen dieser Ziffern besteht. Dagegen kommt in G keine Trans- position vor, die eine der Ziffern (5) mit einer nicht in (5) enthaltenen Ziffer vertauscht. Denn ware etwa noch (2, v + 1) in G enthalten, so ware auch (1, 2) (2, v + !)(!, 2) = (l,p+ 1), darin enthalten, gegen die Voraussetzung. Wenn nun die Gruppe G transitiv ist, so kommt darin, wenn v < n ist, eine Permutation TTJ vor, durch die 1 in v + 1 tibergefuhrt wird, und die gleichfalls in G enthaltene transformirte Gruppe (6) irr'fliin-tf,, besteht auch aus alien Permutationen von v Ziffern, von denen keine in (5) enthalten sein kann. Diese Ziffern wollen wir mit (7) i/+l, v + 2, ...,2v bezeichnen. Ist damit die Gesammtheit der n Ziffern noch nicht erschopft, so konnen wir eine Permutation 7T 2 in G finden, durch die 1 in 2i/ -f 1 iibergeht, und (8) irr 1 ^*-,-*?, ist wieder eine in G enthaltene Gruppe, die aus den Permutationen der Ziffern (9) 2v + l, 2i/ + 2, ...,3i/ besteht ; und so fahren wir fort, bis alle Ziffern erschopft sind. * Dieser Satz findet sich als specieller Fall eines allgemeineren in der " Substi- tutionen-Theorie " von Netto 74, Leipzig 1882. 406 HEINRICH WEBER. Alle Permutationen von G haben also die Eigenschaft, die Ziffern der einzelnen Reihen (5), (7), (9),... nur unter sich zu vertauschen, oder die gesamrnten Reihen in einander iiberzu- fiihren ; d. h. G ist imprimitiv. Da v ein Theiler von n sein tnuss, so kann dieser Fall nicht vorkommen, wenri n eine Primzahl ist, und dies wollen wir jetzt voraussetzen. Es sei also (10) /()=<> eine Gleichung nten Grades mit rationalen Zahlencoefficienten, und G ihre Galois'sche Gruppe im Korper der rationalen Zahlen. Wenn G nicht die symmetrische Gruppe ist, wenn also die Gleichung /(#) = irgend einen Affect hat, so kann G nach dem zweiten Lemma keine Permutation von nur zwei Ziffern enthalten. Wenn wir also dem Korper der rationalen Zahlen irgend n '2 von den Wurzeln von f(oc) adjungiren, so muss sich die Gruppe (die ausserdem nur noch in der Permutation der beiden tibrigen Wurzeln bestehen kb'nnte) auf die identische Permutation re- ducieren, d. h. die beiden letzten Wurzeln sind rational durch die n 2 librigen ausdrlickbar. Wenn also n 2 von den Wurzeln von f(x) reell sind, so sind auch die beiden letzten reell, und es folgt der dritte Satz : 3tes Lemma. Eine irreducible Gleichung von Primzahlgrad mit irgend einem Affect kann nicht zwei imagindre und n 2 reelle Wurzeln haben *. Nun giebt es aber sicher Gleichungen mit reellen Coefficienten von jedem beliebigen Grade n, die zwei conjugiert imaginare und n 2 reelle Wurzeln haben, und dieser Charakter wird nicht geandert, wenn die Coefficienten innerhalb gewisser Grenzen stetig verandert werden. Folglich giebt es nach dem ersten Lemma auch irreducible Gleichungen mit rationalen Coefficienten von dieser Beschaffenheit, also, wenn n eine Primzahl ist, rationale Gleichungen ohne Affect. Sehen wir die n Coefficienten von f(x) als Coordinaten in * Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung eines Satzes von Kronecker, class eine rationale irreducible algebraisch losbare Crleichung von Primzahlgrad entweder nur eine oder lauter reelle Wurzeln hat. Monatsbericht der Berliiier Akadernie, 14. April 1856. GANZZAHLIGE ALGEBRAISCHE GLEICHUNGEN. 407 einem Raurne von n Dimensionen an, so reprasentirt jeder Punkt eine gewisse Gleiehung nten Grades mit reellen Coefficienten. In unmittelbarer Nahe eines jeden Punktes liegen nach dem Lemma 1, unendlich viele Reprasentanten von irreducibeln ratio- nalen Gleichungen. Aus diesem Raume wird durch Nullsetzen der Discriminante von f (x) eine Mannigfaltigkeit von n 1 Dimensionen, die " Discriminanten-Flache " ausgesondert. Diese Flache theilt den Raum in (n + l) Regionen (0), (2), (4),..., deren jede eine nicht verschwindende Ausdehnung in n Di- mensionen hat, in denen die Reprasentanten der Gleichungen f(x) = mit 0, 2, 4,... Paaren conjugiert imaginarer Wurzeln liegen. Wenn nun n eine Primzahl ist, so sind alle irreducibeln Gleichungen, deren Reprasentanten in der Region (2) liegen, ohne Affect, und damit ist wenigstens bewiesen, dass es rationale Gleichungen von Primzahlgrad ohne Affect giebt. GOTTINGEN, 15te Juli 1893. SUR L'EQUATION DES LIGNES GEODESIQUES. PAR M. EDOUARD WEYR A PRAGUE. LE carre de 1'element lineaire d'une surface ds- = Edu* + ZFdudv + Gdtf etant mis sous la forme (1) Edu? + ZFdudv + Gdv* = d0* + 0^ (F0, - ce qui permet de chasser de L les derivees secondes de et d'ecrire 2L = [Aj 2 - A 2 ^ + 0, (GJ? - 2F& Par cela n'entre dans 1'equation (4) que par ses derive'es premieres lt 0. 2 ; si done on les y remplace par leurs valeurs (7), la fonction se trouvera eliminee. Ecrivons d'abord 2AZ = [2 (OF) F - (60) E - (6E) G] (Edu* + ZFdudv + Gdv*) + ( 00) (Edu + Fdv)* - 2 (0F) (Edu + Fdv) (Fdu + Gdv) + (6E) (Fdu + Gdv)*, ou Ton designe par (0E),... les determinants 1 E 2 2 E 1 ,,.. Si Ton ordonne a droite par rapport a E, F, G, on trouve 1'expression - (EG - F*) [(0E) dv? + 2 (0F) dudv + (00) dv 2 ], de sorte que L = - $ [(0E) du* + 2 (0F) dudv + (0G) dv^. LIGNES GEODESIQUES. 411 L'equation (4) donne done [F, B^-E^-\ (6E)] du- ~ (du&v - dvd*u) = 0, ds ou, multipliant par ds et rempla9ant les produits 6 1 ds, 2 ds par leurs valeurs (7), 2A (dud z v - dvd*ii) = (FE 1 + EE 2 - 2EFJ du s + (GE l + 3FE 2 - 2EG, - 2FFJ du*dv - (EG, + SFG 1 - 2GE 2 - 2FFJ dudv* -(GG, + FG 2 - 2GFJ d*. C'est 1'equation differentielle des lignes geodesiques. PRAGUE, juillet 1893. Cambridge : PRINTED BY J. & C. F. CLAY, AT THE UNTVFtfKITY PRESS. THE EVANSTON COLLOQUIUM. LECTUEES ON MATHEMATICS Delivered from August 28 to September 9, 1893. BEFOKE MEMBERS OF THE CONGRESS OF MATHEMATICS HELD IN CONNECTION WITH THE WORLD'S FAIR IN CHICAGO, AT NORTHWESTERN UNIVERSITY, EVANSTON, ILL, BY FELIX KLEIN. Reported by ALEXANDER ZIWET. Cloth, 8vo. Price, $1.50, net. A HISTOEY OF MATHEMATICS BY FLORIAN CAJORI, FORMERLY PROFESSOR OF APPLIED MATHEMATICS IN THE TULANE UNIVERSITY OF LOUISIANA; NOW PROFESSOR OF PHYSICS IN COLORADO COLLEGE. Cloth, 8vo. pp. 421. $3.50, net. A TREATISE ON THE THEORY OF FUNCTIONS BY JAMES HARKNESS, M.A. ASSOCIATE PROFESSOR IN BRYN MAWR COLLEGE, PA., LATE SCHOLAR OP TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE ; AND FRANK MORLEY, M.A. PROFESSOR OF PURE MATHEMATICS IN HAVERFORD COLLEGE, PA., LATE SCHOLAR OF KING'S COLLEGE, CAMBRIDGE. Cloth, 8vo. pp. 507. $5.00, net. ELEMENTS OF GRAPHIC STATICS A TEXT-BOOK FOR STUDENTS OF ENGINEERING BY L. M. HOSKINS, C.E., M.S. PROFESSOR OF APPLIED MECHANICS, STANFORD UNIVERSITY, CALIFORNIA. Cloth, 8vo. $2.25. PHYSICAL AEITHMETIC BY ALEXANDER MACFARLANE, PROFESSOR OF PHYSICS, UNIVERSITY OF TEXAS. Cloth, 12mo. $1.90. MACMILLAN AND CO., 66, FIFTH AVENUE, NEW YORK. WORKS By NATHAN F. DUPUIS, M.A., F.R.S. Professor of Mathematics in Queen's College, Kingston, Canada. Principles of Elementary Algebra. 12mo. $1.10. Elementary Synthetic Geometry of the Point, Line and Circle in the Plane. I2mo. $1.10. Elements of Synthetic Solid Geometry. 12mo. $1.60. By LAENAS GIFFORD WELD, Professor of Mathematics in the State University of Iowa. A Short Course in the Theory of Determinants. 12mo. $1.90. By WILLIAM B. SMITH, Ph.D. Formerly Professor of Mathematics in the Missouri State University, now Professor of Mathematics in the Tulane University of Louisiana. Introductory Modern Geometry of the Point, Ray and Circle. I2mo. $1.10. By ALEXANDER ZIWET, Assistant Professor of Mathematics in the University of Michigan. An Elementary Treatise on Theoretical Mechanics. In Three Parts. 8vo. Part I. Kinematics. $2.25. Part II. Statics. $2.25. Part III. $2.25. By JAMES GORDON MACGREGOR, M.A., D.Sc. Munro Professor of Physics, Dalhousie College, Halifax. An Elementary Treatise on Kinematics and Dynamics. 12mo. $2.60. AMERICAN EDITIONS. Elementary Algebra. By CHARLES SMITH. Edited for American Schools by IRVING STRINGHAM, Professor of Mathematics, University of California. 12mo. Preparatory, $1.10 ; complete, $1.25. Arithmetic for Schools. By J. B. LOCK. Edited for American Schools by CHARLOTTE ANGAS SCOTT, Head of the Mathematical Department, Bryn Mawr College, Pennsylvania. 16mo. 70 cents. MACMILLAN AND CO., 66, FIFTH AVENUE, NEW YORK. This book is DUE on the last , UNIVERSITY OF CALIFORNIA LIBRARY Los Angeles This book is DUE on the last date stamped below. ANNEX DEC 12 1986 PSTL NOV 2 6 1986 IWO WEEKS FROM DATE OF RECEIPT NON-RENEWABLE RECEIVED DEC 31 1986 STACK ANNEX A 000797185 6 .TACK JI72 UNIVERSITY of CALIFORNIA i.OS ANGELES LIBRARY