UNTERSUCHUNGEN UBER DAS LOGARITHMISCHE UND NEWTOFSCHE POTENTIAL. VON DR. C. NEUMANN, PROFESSOR AN DER T7NIVERSITAT ZU LEIPZIG. LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER. 1877. Uebersetzungsrecht vorbehalten. Stack Annex ZUR ERINNERUNG AS DAS FUNFZ1GJAHRIGE DOCTOR- JUBILAUM MEINES LIEBEN VATERS AM 16. MAR2 1876. Vor wort. Bei wisseiiscliaftlichen Forschungen pflegeii specielle Untcr- uml allgcmcine Ueberlcgungcn mit einander Hand in Haud zu gehen , indem jede specielle Untersuchung allge- ineiue Ueberlegungen erweckt, und umgekehrt jede allge- nieine Ueberlegung zu neuen Specialuntersuchungen Veran- lassung giebt. , Audi scheint diese alternirende Methodc ich mochte sagen : diese bald mikroskopische, bald makrosko- pische Betrachtung des Gegenstaudes -- eine durchaus noth- wendige zu sein. Denn wer nur mit speciellen Unter- sucliungen beschaftigt 1st, ohne zur rechten Zeit zu allge- meiueren uud hoheren Gesichtspuncten sich zu erheben, wird bald die erforderliche Orientirung verliereu ; und dem Zufall preisgegeben seiu; uud wer umgekehrt das Specielle ver- schrnaht und nur im Allgemeinen sich bewegen will, wird bald die Mittel zum weiteren Fortschritt sich eutschwinden sehen, und von uniibersteiglichen Schwierigkeiten zu er- ziihleu haben. Nachdem ich lange Zeit mit spedellcn Untersuchungen iiber die Theorie des Newton'schen und Logarithmischen Potentials rfiich beschaftigt hatte*), erschien es mir noth- *) Die Resultate dieser Specialuntersuchungen oder wenigstens einen grossen Theil d^rselben habe ich publicirt in folgenden Schriften: I. Geometrisclie Methode, um das Potential der von einer Kugel auf inner e und ciussere Puncte ausgeiibten Wirkung zu lestimmen; 1860. - Toggendorff s Annalen, Bd. 109, Seite 629. II. Einfaches Gesets fiir die Vertheilung der Elektricittit auf einem Ellipsoid; 1861. Pogg. Annal., Bd. 113, S. 506. III. Ucber die Integration der partiellen Diff'erentialgleichung: 1861. Crelle's Journal, Bd. 59, S. 335. IV. Losung des allgemeinen Problems iiber den stationciren Tempc- raturzustand cincr homogenen Kugel, ohnc Hiilfe von Reihenentwick- lunycn; 1861. Halle, Verlag von Schmidt. V. Allgcmeine Losung des Problems uber den stationciren Tempe- VI Vorwort. wendig, gewisse allgemeine Betrachtungen , zu deuen ich hierbei gelangt war, einigermassen ubersichtlich zu .ordnen, und so weit als moglich zu vervollstandigen. In soldier Weise entstand das vorliegende Werk. Die 30 ersten Seiten geben eine kurze (meistentheils nur historisch gehaltene) Recapitulation der behannten Satze von Laplace, Green und Gauss. Im Uebrigen enthalt das Werk eine Reihe aufeiuander folgender neuer Untersuchungen, fiber welche die Einleitungen der einzelnen Capitel n'ahere raturzustand eines Jiomogenen Korpers, welcher von zivei nicUconcen- trischen Kugelflachen begrenzt ist ; 1862. Halle, Verlag von Schmidt. VI. Ueber das Gleichgewicht der Warme und das der Elektricitiit in einem Kb'rper, welcher von zwei nichtconcentrischen Kugelflachen be- grenzt wird; 1862. Crelle's Journal, Bd. 62, S. 36. VII. Ueber die Entwicklung einer Function mit imagindrem Argu- ment nach den Kugelfunctionen erster und ziveiter Art; 1862. Halle, Verlag von Schmidt. VIII. Theorie der Elektricitats- und Warme- Vertlieilung in einem Hinge; 1864. Halle, Verlag des Waisenhauses. IX. Ueber die Theorie der Kugelfunctionen ; 1866. Programm der Tubinger Uuiversitat. Von Neuem abgedruckt in Schlb'milch's Jour- nal, Bd. 12, S. 97. X. Theorie der BesseVsclien Functionen, ein Analogon zur Theorie der Kugelfunctionen; 1867. Leipzig, Verlag von Teubner. XI. Zur Theorie des Potentials; 1870. Math. Annalen, Bd. 2, S. 514. Diese kurze Notiz ist leider mit Fehlern behaftet. Man findet die ausfuhrlichere und zugleich correctere Behandlung der dort angegebenen Satze im 2. Capitel des vorliegenden Werkes. XII. Notiz uber die elliptischen und hyperelliptischen Integralc; 1870. Math. Annalen, Bd. 3, S. 611. Schliesslich mag es niir gestattet sein, der gekronten Preisschrit't Wangerin's zu gedenken: Reduction der Potentialgleichung fur gewisse EotationsJcorper auf eine geivohnliche Differentialgleichung ; 1875; in den Abhandlungen der Fiirstlich Jablonowski'schen Gesellschaft zu Leipzig. Diese Schrift handelt fiber Eotationskorper, deren Meridian- curve durch eine Lemniscate oder Cassini'sche Curve, oder durch eine noch allgemeinere Curve dargestellt ist, und steht zu meinen eigenen Untersuchungen schon insofern in einer gewissen Beziehung, als die Stellung jener Aufgabe von Seiten der genannten Gesellschaft aut meine Veranlassung geschah. Doch muss dabei ausdruoklich erwlihnt werden, dass die in jener Schrift angewandte elegante Methode, die daselbst benutzten eigenthumlichen Coordinaten Dinge sind , auf welche ich vor dem Erscheinen der Wangerin'&chen Arbeit nicht aufnierksam geworden war. Vorwort. VII Auskunft geben. Auch habe ich mich bemiiht, cliese Eiii- leitungen der einzelnen Capitel in soldier Weise zu schreiben, class sie einigerraassen einen fortlaufenden Faden bilden; so dass die Durch sicht dieser Einleitungen den Leser in den Stand setzen wird, iiber Inhalt und Tendenz des ganzen Werkes sich eine deutliche Vorstellung zu bilden. Docli mag es mir gestat-tet sein, hier noch einige Bemerkungen voranzuschicken , welche weniger die Gegenstande selber, als die Art und Weise ihrer Behandlung betreffen. Erste Bemerkung. Niemand wird die Richtigkeit der sogenannten Grcerisclicn Satze (welche iin vorliegenden Werk auf Seite 17 22 kurz zusammengestellt sind) fiir solche Falle verbiirgen wollen, wo die betrachtete gescblossene Flache von irgeud welcher singuldren Beschaffenheit, z. B. mit un- cndlich viclen Ecken oder Kanten behaftet ist. Ja es wiirde selbst noch einer besondern Untersuchung bediirfen, urn ent- scheiden zu wollen, ob diese Satze stets giiltig sind, wenn die gegebene Flache durch eine rationale Gleiclmng (zwischen den rechtwinkligen Coordiiiaten) dargestellt, resp. aus ein- zelnen Flachenstiicken zusammengesetzt ist, deren jedes durch eiue solche Gleichuug sich ausdriickt. Hingegeu wird man die Giiltigkeit dieser Satze mit voller Strenge zu beweisen im Staude sein, sobald die Flache aus lauter Flachenstiicken erster und zweiter Ordnung besteht*), vorausgesetzt , dass die Winkel, unter denen diese Flachenstiicke zusammen- stossen, allenthalben von Null verschieden sind. Aehnliches gilt in der Theorie des Potentials von alien Sateen, in denen von sogenannten ~belie~bigcn Flachen die Hede ist; und es bediirfen daher alF diese Satze, falls sie wirklich strenge sein sollen, hinsichtlich jener Flachen noch einer genauern Determination. Dass ich auf diese De- terminationen im vorliegenden Werke mich nicht naher ein- gelassen habe, wird man mir wohl schwerlich zuin Vorwurf machen konnen, wenn man bedenkt, dass ich in dieser Be- *) Dabei verstehe ich unter Flachenstiicken erster und zweiter Ord- nung seiche, welche durch eine rationale Gleichung ersten resp. zweiten Grades zwischen den rechtwinkligen Coordinaten sich dar- stellen; so dass also ein Flaclienstuck erster Ordnung nichts Anderes ist, als ein Theil einer Ebene. VI11 Vorwort. ziehuug uur dem Beispiele vou Green, Gauss uud Diriclilet gefolgt bin. Zweite Bemerkung. - Uebrigens konnen soldi e unzu- liiuglich dete"rminirte Flachen in der Theorie des Potentials in doppelter Weise auftreten, indern sie eutweder die ge- gebene Grundlage betreffen, von welcher die Untersuchung ausgeht, oder aber im Laufe der Untersuchung als Hillfs- mittel fur den weitern Fortgaug derselben in Auwenduug kommen. Kurz, sie konnen entweder als Anfangsglieder der Untersuchung gegeben sein, oder als Operationsmittel er- dacht werden. - - Als ein Beispiel des erstern Vorkommens ist die Aufgabe der elektrischen Vertheilung auf einem ge- gebenen Conductor anzufiihren; deun die Oberflache des Con- ductors repriiseutirt bier einen Theil derjenigen Data, welche direct zur Formulirung der Aufgabe erforderlich sind. Andrer- seits wiirde als ein Beispiel des letztern Vorkommens der Artikel 26 der Gauss'schen ,,AUgemeinen Lelirsatzc" anzu- fiihren sein; denn Gauss benutzt dort zur Untersuchung eines gewissen Potentials V diejenige geschlossene Fliiche, welche durch die Gleichung V = Const, dargestellt ist, also erne Flache, deren nahere Beschaffenheit eben so unbekannt ist, wie das Potential selber. Offenbar sind solche ganz ncbelhaft vorschwebende Flachen im zweiten Fall nicht minder unbequem als im ersten. Denii wenn z. 'B. Gauss a. a. 0. auf die Flache V Const, einen der Green'schen Satze *^ in Anwendung bringt, so wird man zu beachten haben, dass diese Satze (wie schon erwahnt) nicht ohne Weiteres auf jede beliebige Flache anweudbar sind, und dass also ihre Anwendung auf die Flache V= Const, nicht gutgeheissen werden darf ohue eine vorhergehende Uiitersuchuug derselben. Ja noch rnehr! Ueberall, wo solche unzulauglich defi- nirte Flachen nur als Anfangsglieder der Untersuchuug auf- treten, kauii die durch sie in den Resultaten erzeugte Un- *) Ich darf mich wohl der Kiirze willen so ausdriicken. Deun die Green'schen Satze sind, obwohl Gauss von denselben beim Schreiben seiner Abhandlung keiue Keuntniss hatte, bekanutlich alter als diese Abhandluusr. ' Vorworfc. IX sicherheit nacldraylich, (lurch Hiuzufuguug geeigneter De- termmationen, beseitigt werden, was offenbar nicht niehr moglich ist bei den als Opcrationsmittel eingefiihrten Flachen. Demi w'ahreud die ersteren uiiserer Willkiir unterliegen, haugen die letzteren wesentlich ab von dem ganzen Plane unserer Untersuchung, und sind also, ohne diesen 'Plan zu Linderu oder ganz umzustossen , keiner Modification fahig. A us diesem Grunde habe ich im vorliegenden Werke die Beuutzung unbekannter Flachen als eiues Operations- mittels zu vermeideu, und die betreffeuden Gass'schen und Dirichletfschen Argumentationeii durch audere zu ersetzen gesucht, welche von diesem Uebelstande frei sind. Hier- durch glaube ich in den einschlagenden Gebieten eine etwas grossere Sicherheit erreicht zu haben, als es bis jetzt der Fall war. Dritte Bemerkung. - Wenn trotzdem das vorliegeiide Work in Bezug auf Streuge und Gleichmassigkeit recht viel zu wunscheu iibrig lasst, so diirfte der Grund hiervon nicht in jneiner Behandlung, sondern in den vorhandenen inneren Schwierigkeiten zu suchen sein. In der That haben wir die Theorie des Potentials als eine im Werden und Wachsen be- griffene Disciplin anzusehen, zu deren strenger Gestaltuny und systcmatisclier Abrunduny mis nodi wichlige Puncte fehlen. Und denigemass besteht auch die Aufgabe des vorliegenden Werkes nicht etwa darin^ die einzelnen Zweige dieser Dis- cipliii in voreiliger Weise zu eiuem systematisch geordneten Ganzeu zu verbinden, sondern vielmehr darin, diese eiuzel- nen Zweige, jeden fiir sich, mit gehoriger Sorgfalt so weit als moglich zu verfolgen. Hierbei aber ergab sich die Noth- weudigkeit, bei den verschiedenen Zweigen (oder was das- selbe : bei den verschiedenen Capiteln des Werkes) einen ver- scliiedetien Grad von Strenye eintreten zu lassen. So ergab sich namentlich, dass die Potentiale der so- genannten Doppclbclcyunyen einer strengern Behandlung fahig sind, als die Potentiale der einfachcn Bcleyunyen. In der That diirfte aus nieinen Expositionen im 4. und 5. Capitel hervorgeheu, dass die Theorie dieser Doppelbcleyunyen und die derselben sich anschliessende Methode des aritlmietischen Mittels bei geeigneten Eiuschrankungeu den hochsten Grad X Vorwort. tier mathematischen Sicherheit, namlich die sogenannte arith- mctisclie Evident zu erreichen im Stande ist*). Ich driicke mich absichtlich in dieser Weise aus. Dcnn mein Bestreben in dem ganeen Werke ist uberhaiipt wenigcr darauf gericUet gewesen, einen mogliclist Iwlien Grad von Strcnge wirUicn eit erreichen, als vielmclir darauf, die- jenigen Wege einzuschlagen , auf dcnen man, lei Hinzufiigung geeigneter Einsclirdnkungen , einen mogliclist hohen Grad von 'Strenge zu erreichen im Stande ist. Dieses letztere Ver- fahren hat offenbar im Wesentlichen denselbeu Nutzen, wie das erstere, und vor diesem den Vorzug der grossern Kiirze. Vierte Bemerkung. - - Die Wichtigkeit des vorliegenden Werkes besteht - falls eine solche demselben iiberhaupt beizumessen ist - - vielleicht vorzugsweise in deii darin zu Tage tretendeii Lucken, resp. in der Anregung, welche durch dasselbe zur Ausfiillung dieser Lucken gegeben sein mochte. So z. B. ist die im 5. Capitel exponirte Methode des arith- metischen Mittels nur auf solche geschlossene Flacheu an- wendbar, welche uberall convex**} sind. Sollte es in Zu- kunft gelingeri (was ich lange Jahre vergeblich angestrebt habe), diese hochst unangenehme Einschrarikung durch eine geeignete Modification jener Methode, resp. durch die Sub- stitution einer neuen Methode zu beseitigen, so wurde da- *) Im 5. Capitel habe ich vorausgesetzt, dass die gegebetie ge- schlossene Flache zweiten Ranges und keine zweisternige sei (vgl. die Definitioneii Seite 167, 168), ferner vorausgesetzt, dass die auf der Flache vorgeschriebenen Werthe f daselbst stetig sind, und nachge- wiesen, dass die dort exponirte Methode des aritlimetisclien Mittels unter diesen Voraussetzungen zu einer Function Q (Seite 208) fuhrt, welche innerhalb der Flache die bekannten Potentialeigenschaften be- sitzt, und auf der Flache selber die vorgeschriebenen Werthe f besitzt. Bei diesem Nachweise ist offenbar jener hochste Grad der mathe- matischen Strenge , die sogenanute arithmcthische Ecidens noch keines- wegs erreicht. Doch wird dieselbe auf dem eingeschlagenen Wege er- reichbar aein, sobald man zu den schon genannten Voraussetzungen noch weitere Einschrankungen hinzutreten lasst, namlich annimmt, dass die gegebene Flache aus lauter Flachenstiicken erster und zweiter Ordnung zusammengesetzt ist, und ferner annimmt, dass die vorgeschriebenen Werthe f gleichmassig stetig sind. **) Genauer ausgedriickt: nur auf solche Flacheu anwendbar , welche zweiten Ranges uud keine zweisternigen sind (vgl. die betreflendeu Definitionen, Seite 167, 168). Vorwort. XI clurch nicht allein ein befriedigender Beweis des Dirichlet- schen Princips, sondern zugleich eine Position gewounen sein, welche fiir die ganze Theorie des Potentials von grosster Wichtigkeit ware. Mancher beschwerliche Weg, den ich im vorliegenden Werk einzuschlagen gezwungen war*), und den der Leser sofort als einen Umweg erkennen wird , wurde alsdann clurch einen directefn Weg ersetzt werden konnen. Ueberhaupt wiirde alsdann Aussicht vorhandeu sein, die ganze Theorie des Potentials in ein wissenschaftliches Ge- baude von einheitlichem Plan und gleichinassiger Strenge zu vervvaudeln. Fiinfte Bemerkung. Wenn die bisherigen Beraer- kungen sich ausschliesslich auf die Theorie des Newtwischen Potentials im Haume bezogen, so ist hinzuzuf iigeu , dass Analoges von der Theorie des Logaritlimischen Potentials in der Ebene gilt. Nur sind selbstverstandlich statt der ge- schlosseneu Flachcn in diesem letztern Fall geschlossene Cur- vcn zu denken. Sechste Bemerkung. Um die Theorie des Logarith- mischen Potentials mit der des Newton'schen moglichst con- form zu gestalten, habe ich mir erlaubt, die Zahl it in der Ebene und die Zahl 2 it im Raume mit ein und demselben Buchstaben, namlich mit "of zu benennen. Doch bin ich weit entfernt, hiermit irgend welche Neuerung, irgend welche Umanderung in althergebrachten Bezeichnungen anstreben zu Avollen. Vielmehr soil jener Buchstabe W nur ganz voruber- gchend) zur augenblicklichen Bequemlichkeit angewendet sein. Vielleicht ware es besser geweseu, statt des Zeichens 15 das Product lin einzufiihren , mit der Festsetzung, dass h = 1 sein solle in der Ebeue, und = 2 im Raume. *) Namentlich im 3. Capitel. Um die Existenz der fur jenes Capitel wichtigen Function y ausser Zweifel zu stellen, habe ich da- selbst schliesslich (Seite 107) meine Zuflucht genommen zu der be- kannten 6rass'schen Variationsmethode, welche, obwohl ebenfalls be- denklich, doch bei genauerem Nachdenken viel sicherer wenigstens erscheint als diejenige Variationsmethode, durch welche Dirichlet zu dem uach ihm benanuten Princip gelangt. Leipzig, 27. April 1877. Dr. C. Neumann. Iiih alts verzeicliniss. Erstes Capitel. Seite Die allgemeine Theorie .des Potentials, namentlich die Satze von Gauss und Green 1 1. Definition des Logarithmischen und Newton'schen Potentials 4 2. Die zum'ichst liegenden Eigenschaften des Potentials (unter Anderem fiber die Constanz des Potentials) 9 3. Das Potential eincr Masse, die iiber ein gegebenes Gebiet der Ebene resp. des Raumes stetig ausgebreitet ist .... 10 4. Das Potential eiuer "Masse, die iiber eine gegebcne Curve resp. Flache stetig ausgebreitet ist 13 5. Collectivbezeicbnungen 10 6. Die Green'schen Formeln 17 7. Verallgemeinerung der Green'schen Formclu "23 8. Der Gauss'sche Satz des arithmetischen Mittcls 24 9. Die Maxima und Minima des Potentials -11 10. Einige Bezeichnungen und Bemerkungen 30 11. Die extremen Werthe des Potentials fur ein gegebenes Ge- biet, und zwar zunachst fiir das Gebiet 2(. Die Theo- reme (A.), (A.'), (A. add ) 32 12. Analoges fur das Gebiet 3. Die Theorcme (J.)> (*') , r/. ad '')> (S. a E EP 2y 7 tim z y _ (im dE _ ~^~E &~dz " * wo zur Abkiirzung gesetzt ist: E = f(E) 4- Const. Analoges gilt fiir ein System von beliebig vielen Massen- puncten fi, j& 1; p 2 , . . . . Sind namlich X, Y , Z die.Com- *) Der Name ,, Logarithmisches Potential 11 , der von mir im Jahre 1861 in meiner Abhandlung iiber die Integration der partiellen DifFe- rentialgleichung g 2 . g 2 da? ' ^2/ 2 (Borchardt's Journal, Bd. 59, S. 335) eingefuhrt wurde, ist seit jener Zeit wohl allgemein adoptirt worden. Wenn ich damals den Ausdruck -f- [i m log E als Werth des Potentials festsetzte , gegenwartig aber (im log E, so wird diese kleine Aenderung dazu Leitragen, zwischen der Theorie des Logarithmischen und der des Newton'schen Potentials in vielen Puncten eine bessere Uebereinstimmuug hervorzubringen. Allgemeine Theorie des Potentials. 5 pouenten der von diesem System auf m (x, y, 0) ausgeiibten Wirkung, so ist offenbar: -) 8V oo (/ oc dV = m ! V ^ - - = m T-, , dy dy ' Z = - m v_\]!iwjrj!iiwr---) = _ m |I , fiz gz ' wo JE } E i} E 2 , . . . die Entfernungen- d?r Puncte p, f* t , von m bezeichneu. Den hier eingefuhrten Ausdruck nennen wir das Potential des gegebenen Systems p, fi, , fi 2 , .... auf die Masse m (#, y, ^); und g-leichzeitig neuuen wir.F selber das Potential des Systems auf den Punct (x, y, z\ das soil heissen auf eine in diesem Punct concentrirt ge- dachte MasseneinJicit. Das Logarithmische Potential. - - Fur g = 1 erhalten wir aus (1.)," (2.): E -=^ E > = log E+ Const., mil bin: also nach (3.): w F= m (plog^ + /i, log -^- oder kiirzer: dies ist das sogenaunte Logarithmische Potential, bei dessen weiterer Behandlung wir uns stets auf solche Massen be- scbrauken werden, die in ein und derselbcn Ebene liegen. Ist das System fi ; jt, u ft 2 , ... von unveranderlicher Lage, und bezeichnet man die Polarcoordinaten des beweglichen Punctes m mit r, o, so wird V eine Function von (r, o) sein. Die analytische Beschaffenheit dieser Function kann leicht naher angegeben werden unter Anwendung der be- kannten Formeln: 6 Erstes Capital. 5. a log g = logy + -- cos(o o>) + ~ cos2(o -)H ----- (falls 9 > r), / log^ = log ~ + -- eos(o ) + 2 ^.cos2(o - w) H ----- (falls Q < r). Hier bezeichnet E die gegenseitige Entfernung der Puncte /*, w; ferner sind 0, ea die Polarcoordinaten von ft ? und r, o diejenigen von m. Liegen z. B. sammtliche Puncte ^., p,, , t u 2 , . . . ausser- halb eines um den Anfangspunct beschriebenen Kreises, wah- rend m im Innern desselben sich beliebig bewegt, so'er- halten wir aus (4.) durch Anwendung von (5. ) : wo V , F, G, H, . . . die Werthe haben: XT _ "V7 ju, cos (0 f-l "^^ tl COS 2 (0 to) ~^_r 2^ ' rr _ "^"J ^ cos 3 (o M m M == W - j? + Const., inithin : f(E] = ^ , oder kiirzer: T7 - E dies 1st das Newtorische Potential, oder (genauer ausgedriickt) das dem Newton'schen Gesetz entsprechende Potential. 1st das Mass eiisy stem ^, p l} ju, 2 , . . . von unverander- licher Lage, uud sind r } o, t die Polarcoordinaten des be- weglicheii Punctes m, so wird V eine Function von r,o } t sein. Die analytische Beschaffenheit dieser Function kanii iiaher explicirt werden durch Anwendung der bekannten Formeln: E = 7 + ~^ P i ( cos V) + '-3 F i ( cos y) H ----- ( ^ = 7- + ,5 p i ( cos 7) + Jt -P 2 ( cos y) H ----- ( Hier bezeichnet .E die gegenseitige Entfernung der Puncte H ,-ni] ferner sind Q, w, O 1 und r, o, die Polarc.oordinateu dieser Puncte; und endlich ist: cos y = cos & cos -f sin # sin ^ cos (to o} } 10. mithin y selber der Neigungswiukel von Q gegen r.*) Liegen z. B. sammtliche Puncte /^, fi lt fi 2 , . . . ausser- lialb einer urn deii Anfangspunct beschriebeneu Kugelflache, m hingegen innerhalb derselben, so folgt aus (8.) uud (9. a): *) Ausserdem sind unter P, , P 2 , P 3 , . . . die bekannten Laplace- schen Functionen, die sogenannten Kugelfunctionen zu verstehen. $ Erstes Capitel. 11. m Y=.m(V Q + Fr+Gr* + Hr*- wo F , F, G, H, . . . die Werthe haben: PI (cos y) 13. Offenbar reprasentirt F denjenigeu Specialwerth, welchen F im Mittelpunct der Kugelflache besitzt; wahrend F, G, H, . . . Functionen von o, t sind. Liegen, um ein anderes Beispiel anzufuhren, sammt- liche Puncte n, ^t i /Lt 2 , . . . innerJialb einer um den Anfangs- punct beschriebenen Kugelflache, m hingegen ausserhalb, so folgt aus (8.) und (9./3): Tr /M , F . G , H \ 12 m y = m {-_- + - -j_ _ -f rr + J , wo M, F, G, H, . . . die Werthe haben: Es reprasentirt also M die Gesammtmasse des gegebenen Systems, wahrend F, G, H, . . . Functionen von o, t sind. Zusammenstellung der Formeln. Die soeben erhalte- nen Rasultate lauten fiir diis Logarithmische Potential || fiir das Newton'sche Potential im in der Ebene: Raume: r- u ^ log F S^ " ^ Tf 1 E = F +Fr wo (wie schon bemerkt) F den Werth von F im Mittel- punct der betrachteten Kreislinie oder Kugelflache, mid M die Gesammtmasse des gegebenen Systems bezeichnet. Allgemeine Theorie des Potentials. 9 Lassen wir, was die Formeln (15.) betrifft, den Punct m(x, y, z) ins Uuendliche riicken, so erhalten wir, falls M von versckieden ist: V x = 00 , V^ = 0. 16. wo s = -{- 1 oder = 1 ist, je- nachdem M positiv oder negativ. Fiir den speciellen Fall M = nehmen die Formeln (15.) folgende Gestalt an: v = 1 !Lj r c Lj r } y= + ^- + . , und hieraus ergiebt sich: und hieraus ergiebt sich: F_ =0. Abgesehen von diesem Specialfall : M = 0, zeigeu also das Logarithmische und Newton'sche Potential fiir unendlich ferae Puncte ein sehr verschiedenes Verhalten, indem das eine oc> das andere wird [vgl. (16.)]. Dieser Unterschied ist charakteristisch , und die Ursache von mancherlei Diver- genzen in den betreffenden Theorien. 8 2 Die zunachst liegenden Eigenschaften des Potentials. Hulfsatz. Ist die Function f(r) = A + Br + Cr* + Dr* + innerhalb eines beliebig kleinen Intervalles: r = r = r' constant, so wird sie iiberall constant seiii, so weit die au- gegebene Entwickluug giiltig igt.*) Ueber die Constanz des Potentials. - - Gestiitzt auf die Entwicklungen (14.) gelangen wir, unter Anweudung des eben genannteu Hiilfsatzes, zu folgendem Ergebniss: Ist ein ziisammenhangendes Gebiet der Ebene resp. des und V ein Potential, dessen Massen auss'erhalb is. *) Ich werde den Beweis dieses Hulfsatzes am Schluss des gegen- wartigen Capitels (in 15.) mittheilen. 10 Erstes Capitel. & liegen, so liann V in Iccinem nodi so klcinen Theil von constant sein; -- es sci denn, dass es in alknthalben con- stant ware.*} Dieser Satz gilt sowohl fur das Logarithmische Potential in der Ebene, als auch fiir das Newton'sche Potential im Raume. Im erstern Fall wird unter eine ebene Flache, mithin unter einem Theil vou ebenfalls eine Flache, irn andern Fall unter eiu Raum, mithin unter einem Theil von @ ebenfalls ein Raum zu verstehen sein. Die Stetigkeit des Potentials und die Laplace' sche Differentialgleicaung. 1st V das Potential beliebig ge- gebener Massen auf einen variablen Punct (x, y) resp. (x, y, e), so gelten [wie unmittelbar aus der Definition (13.) sich ergiebt] folgende Satze: V selber und seine sdmmtlichen Ableitimgcn 'beliebig holier Ordnung: _ dx bleiben stetig, so lange der variable Punct ausserhalb .jener Massen bleibt.. V genugt der Di/ferentialgleichuny : wiederum so lange, als der variable Punct ausserhalb der gegebenen Massen bleibt. 3. Das Potential einer Masse, die iiber ein gegebenes Gebiet der Ebene resp. des Raumes stetig ausgebreitet ist. Die Dichtigkeit. Diese ist (nach ublicher Definition) gleich dem Massenelement, dividirt durch das zu seiner Aus- *) Vergl. den 15 des gegenwartigen Capitels. Allgemeine Theorier des Potentials. 11 breitung dieuende Flachen- oder Raum-Element. Denkt man sick also die Masse M iiber ein gegebenes Gebiet der Ebene oder des Raumes in stetiger Weise ausgebreitet, und bezeichnet man irgend ein Element von mit dad ft resp. dKclfidyi ferner die in di^pein Element enthalteue Masse mit dM, so wird die daselbst vorhandene Dichtigkeit d den Werth haben: . _ dM _ JM ~ dccdp ' ~ d~> woraus folgt: vvoraus folgt: 2 2. bis Der gauze Betrag M der gegebenen Masse ist somit aus- driickbar durch : die Integration ausgedehnt iiber alle Elemente des gegebenen Gebietes l s \ Allgemeine Form des Potentials. - Bildet man das Potential V dieser Masse M auf einen variablen Punct (x, y) resp. (x, y, 2), so erhalt man [vgl. (13.)]: f( =los T ~ wo E die Entfernnng jenes Punctes von den einzelneu Massen- elenienten ddadp resp. ddccdfidy bezeichnet. Beispiel. Denkt man sich die gegebeiie Masse M gleichmassig ausgebreitet iiber eine Kreisflache oder iiber einen Kugelraum vom Radius A ; so bestimmt sich die Dichtig- keit d durch folgende Formel: ' 3 Bezeichnet nun V das Potential dieser Masse M auf einen variablen Punct, so findet man leicht*): 7 = M log - , oder : 7=- * r 2 + Const., oder: V=- ^,- 2 + Const., *) Man erhalt die Formeln linker Hand am BequemBten durch An- wendung der Entwickelungen (5. a, ft). Andererseits ist die Ableitung der Formeln recliter Hand allgemein bekannt. 12 Erstes Capitel. wo r die Centraldistanz des Punctes vorstellt; unrl zwar findct man den Werth (23. a) oder (23. i) jenachdem der Punct ausser- halb oder innerhalb M liegt. - Die in (23. i) vorhandene Const, ist leicht angebbar; man findet uamlich: Const, = Tt 8 A 2 (y + log - Const. = 2'dA 2 , Die Stetigkeit des Potentials und die Laplace' sche Differentialgleichung. - - Ist die Masse M iiber ein gegebe- iies Gebiet der Ebene resp. des Raumes in stetiger Weise ausgebreitet , und bezeichnet man ihr Potential auf den Punct (x, y) resp.. (a;, y, z} mit V, so werden . dV 8V 8V ' dx > cy _ x ' dy > dz im Allgerneinen stetig sein; auch wird im Allgemeinen die Gleichung stattfinden: o d die Dichtigkeit der Masse M im Puncte (x, y} resp. (x, y, z) bezeichnet. Strenger geuommeii lauteii diese Satze, wie namentlich Gauss und Dirichlet gezeigt haben, folgendermassen : Die Functionen (24.) svkd im Puncte (x } y} resp. (x, y, z] 27. stetig, falls die Dichtigkeit 8 im Bereich dieses Punctes end- lich ist. Die Laplace' sche Differentialgleidiung (25.) ist im Puncte 2>j. (x, y) resp. (x r y, z) gultig, falls die DichtigJceit d im Be- reich dieses Punctes endlich und stetig ist.*) Hier ist unter dem Bereich des Punctes eine, um den- selben beschriebene kleine Kreisflache resp. Kugel zu ver- stehen. *) Am Bequemsten gelangt man bekanntlich zu diesen Satzen (27.), (28.), indem man ausgeht von der Formel (23. i). Die strengeren Be- grundungen findet man, soweit sie den Raum betreffen, in Gauss' allgemeinen Lehrsatzen Art. 9, 10, 11; und soweit sie die Ebeiie be- treffen , durch ein analoges Verfahren. Allgemeiue Theorie* des Potentials. 13 4. Das Potential einer Masse, die iiber eine gegebene Curve resp. Flache stetig ausgebreitet ist. Die Dichtigkeit. Diese ist (nach tiblicher Definition) gleich dem Massenelemeut, dividirt durch das zu seiner Aus- breitung dienende Curven- oder FJ'achen- Element. Denkt man sich also die Masse M iiber eine gegebene Curve oder Flache 6 in stetiger Weise ausgebreitet, bezeichnet man ferner ein Element von a mit dff^ uud die auf da vorhandene, Masse mit rZM, so wird die daselbst vorhandene Dichtigkeit d den Werth haben: ,_dM ~ ^7 > woraus folgt: Demgemass ist der ganze Betrag M der gegebenen Masse ausdruckbar durch: 30. die Integration hinerstreckt fiber alle Elemente d6 der ge- gebenen Curve oder Flache. Allgemeine Form des Potentials. Bildet man das Potential V der betrachteten Masse M auf einen gegebeneu Punct (Xf y) resp. (x, y t s), so erhalt man: , 31. wo E die Entfernuug jenes Punctes von den einzelnen Ele- menten dda bezeichnet. Beispiel. Denkt man sich die gegebene Masse M gleichmassig ausgebreitet fiber eine Kreislinie resp. Kugel- flache a vom Radius A, so bestimrnt sich ihre Dichtigkeit d durch die Formel: Bezeichnet nun V das Potential dieser Masse M auf eiuen variablen Punct, so erhalt man*): *) Hier ist Analoges zu bemerken, wie in der Note auf Seite 11. 33. 34. 14 Erstes Capitel. 1 32. a 7 = M log r oder 7 = M log ~ oder wo r die Centraldistanz des Punctes vorstellt; *nan findet namlieh den Werth (32. a) oder (32. i) jenachdem der Punct ausserhalb oder innerhalb 6 liegt. Die Laplace'schen Relationen. - Es sei V das Potential einer Masse M, die auf einer gegebenen Curve oder Flache 6 in stetiger Weise ausgebreitet ist. Sind nun x, x zwei einander un- \ endlich nahe Puncte zu beiden Seiten V von 6, ferner v, v' die in diesen Puncten auf 6 errichteten Normalen, endlich V, V die daselbst vor- handenen Werthe des Potentials, so werden im Allgemeineu die Relationen stattfinden*): 7= 7', dT . d_V dv ' dv' V=V dv , dv' wo d die an der Stelle (#, x'} vorbandene Dichtigkeit be- zeichnet. Strenger ausgedriickt lauten die betreffenden Satze folgendermassen : Die Formeln (33.) sind gultig, falls G im Bereich der 35. Stelle (x, x'} st'etig gekriimmt, und d daselbst endlich ist. Mit anderen Worten : Die Stetigkeit des Potentials wird, falls diese Bedingungen erfiillt sind, in der gegebenen Curve oder Flache Iteine UnterbrecJiung erleiden. so. Die Formeln (34.) sind gultig, falls G im Bereich der Stelle (x., x'} stetig gekriimmt, und d daselbst endlich und stetig ist.*) Bemerkungen. - - Der Sa'tz (35.) ist richtig; doch ver- langen wir zu viel } wenn wir stetige Kriimmung fordern. Denken wir uns z. B. eine .gewohnliche Cycloide um ihre *) Am Bequerasten (aber allerdings nicht auf strengem Wege) gelangt man zu diesen Relationen (33.), (34.) auf Grand der Formeln (32. a, i). Allgemeine Theorie des Potentials. 15 Grundlinie gedreht, so wircl jener Satz (35.) fur die so ent- stehende Rotationsflache an -alien Stellen, auch in jedem der beiden Pole giiltig sein, trotzdem dass der Kriimmungs- radius in einem solchen Pole = 0, die Kriimmung selber dort also = oo ist. Allgemein darf in (35.) die Bedingung stetiger Kriimmung ersetzt werden durch die (Weniger hei- schende) Anfbrderung der stetigen Siegung, d. i. durch die Anforderung, dass die Richtung der Tangerite resp. der Tangential -Ebene im Bereich der betrachteten Stelle (x, x'} in stetiger W T eise variire. Ja noch mehr: Der Satz (35.) bleibt sogar giiltig, wenn die stetige Biegung der gegebenen Curve oder Flache in 'einzelnen Puncteu (Ecken), resp. in einzelneu Puncten und Linien (Ecken und Kanten) unter- brochen ist.*) Auch beim Satze (36.) verlangen wir zu viel, wenn wir. stetige Kriimmung forclern; doch wiirden wir zu wenig ver- langen , wenn wir nur stetige Siegung fordern wollten. Um der wahren Mitte uns mehr zu nahern, betrachten wir zunachst de"n Fall des Logarithmischen Potentials. Denken wir uns die ge- gebene Curve 6 auf ein Coordinatensystem p ; a bezogen, dessen Axen durch die rjt> O in (x, x") con- struirte Tan- gente und Nor- raale dargestellt sind , so kann in ^ \ (36.) die Bedin- B gung der stetigen Kriimmung ersetzt werden durch die (Weniger heischende) Anforderung, es solle die Gleichung der Curve im Bereich der Stelle (x, x') die Gestalt besitzen: wo A eine Constante bedeutet, die grosser als Null ist, und f (Q) eine stetige Function vorstellt. Andererseits ist irn Falle des Newton'scJien Potentials jene in (36.) ausgesprochene Bedingung der stetigen Krum- *) Solches ergiebt sich im Haum aus Gauss' allgemeinen Lehr- satzen Art. 12 ; und in der Ebene durch analoge Eetrachtungen. 16 Erstes Capitel. 38. mung ersetzbar durch die namliche Anforderung (37.), dieselbe bezogen gedacht auf alle Hauptschnitte der gegebehen Flache an der betrachteten Stelle.*) 5- Collectivbezeichnungen. Es wird zweekinassig sein, fiir unsere weiteren Betrach- tungen u'ber das Logarifhmische und Newtorische Potential folgende Collectivbezeichnungen festzusetzen : 7? = 2 dxdy , d z dx \dy "3F = 7t , d. i. gleich der halben Kreislinie vom Radius Bins. E x = (x, #, m) , dr == a 2 o- E ~ (L) + + "5T = 2 TT , d. i. gleich der halben Kugelftdche vom Radius Bins. In der That bemerkt man , dass viele der vorhin fur das Logarithmische und Newtorische Potential aufgestellten Satze durch Anwendung dieser Bezeichnungeri**) eine gemeinschaft- liche Form gewinnen wiirden. *) Man findet den Beweis dieser Behauptungen , soweit sie den Raum betreffen, in Gauss' allgemeinen Lehrsatzen Art. 13, 14, 15, 16; und, soweit sie die Ebene betreffen, durch ein analoges Verfahren. **) Reprasentirt ff(x, y, z] eine beliebig gegebene Function der Coordinaten, so versteht bekanntlich Lame unter Aj/" und A 2 /" die Ausdriicke: A f- I - m Y _L ( df ) +(^ Zugleich nennt Lame das A,/ 1 den Differential -Parameter erster Ord- nung. und ebenso A 2 / den Differential-Parameter zweiter Ordnung. Unsere Bezeichnungsweise ist einfacher und kurzer. Denn wir be- zeichnen das A 2 /' kurzweg mit A/", andererseits das Quadrat von A t f mit Ef. Allgemeine Thoorie des Potentials. 17 6. Die Green'schen Formeln.*) Wir beginnen mit einem bekaunten und leicht zu be- weisenden Formelsystem. Erstes System von Formeln. - - JJczcichnct 6 cine ge- sclilosscnc Curve oiler FUiclic mit der inncrn Normale v, imd lif'-cicltncf fcrncr f=f(x,y] oder f = f(x, y, z) cine inner- lialb 6 nberall stetige Function, so gelten die Formeln: irn in jcdcr Formcl das Integral ?/7.v? niter das von 6 um- scMosftcnc (1 clrict , das Integral rcclits iilrr ff srlbcr sielt aitsdelint. In dicson Formeln ist bekanntlicli : = COS C V cy - y - = ' = cos v . - -- = COR r , C v ov dz 7^ = cos ?r, Cv wo 11, v rcsp. 11, ?-, ir die Winkel vorstellen, unter denen die Normale v gegen die Ooordinatenaxen geneigt ist. Audi kann man, falls I irgend eine der Coordinaten rr, y rosp. x, ?/, z vorstellt, silmmtliche ffinf Formeln (39.) zusammenfassen in die cine Formel: wo dr die in (38.) genamite Bedeutnng hat. ; V<,'1. die GYefjfsclieu Abh. in Crelle's Journal, Bd. 39, 41, 47. Wir sincl leider gezwungen auf diese etwas monotonen Formeln genauer ein7,ugehen, well wir von densellien vielfachen Gebranch zu machen haben. Neumann, Potential. 2 18 Erstes Oapitel. Vermitielst der Form el n (39.) gclangt man sofort 7.11 weiteren wiclitigen Satzen, die folgendermassen xusammen- gestellt werden konnen: Zweites System von Formeln. Es sci 6 eine gesctilossene Curve oder Fldchc mit der inn cm Normole v. Ferner seien 7 = 7 O,T/), 7=7 (*,,*), W = W (x, ?/) W==W (x, y, z) zwei gegebenc Functionen der rechtwinkligen Coordinaten. Audi sei vorausgesetzt, dass dx ' dy ' dw dy w n ? ;w ' dV dV d_V_ ' dx ' dy ' dz ' dw dw dy ' 'dz. innerlidlb 6 allenthalben stetig sind. Alsdann gelten die Formeln : 40. ( J, d , ). Will man diese Aualogie noch deutlicher hervortreten lassen, so bezeichne man irgend eines der beiden Gebiete 31, 3 gleichgiiltig welches -- mit ( s j, und die innerhalb dieses Gebietes liegende, auf seiner Begrenzung tf.errichtete Normale mit n. Alsdann kaun man jene Formeln (41. y , d, f) und (42. y, d, ) zu- sammcufasscn, indem man sagt: Liegen die Massen der Potentiale F, W ausserhalb des gegebenen Gebietes &, und bezeichnet g irgeud einen Punct innerhalb C9, andererseits li irgend einen ausserhalb @ ge- legenen Punct, so gelten die Formelu: ;/] wo T<> } T h sich bezieheii auf die Entfemungen der Puncte y, h vom Element d<5. 7. Verallgemeinerung der Green'schen Formeln. In der Ebene. Die unendliche Ebene zerfallt durch eine geschlossene Curve G in einen innern Theil 3 und einen liussern Theil 31. Die Flache 3 besitzt nur eine Randcurve, ebenso 3(.*) Denken wir uns von der Flache 3 irgend ein in ihrem Innern liegendes Stuck abgesondert, so wird die zuriick- bleibende Flache zwei Randcurven haben. Aus dieser Flache kaim durch Wiederjioluug desselben Processes eine Flache mit drei Randcurveu abgeleitet werden u. s. w. Wir wollen all' diese Fl'achen mit 3, genauer etwa mit 3 ( ' bezeichnen, der Art, dass 3 (n) ini Gauzen n Randcurven besitzt. *) Die Flache 51 ist namlich iiusserlich wtbegrenzt, und hat also nach Aussen Inn Jceine Grenze. Und es ist also in der That die Flache 21 nur mit einer einzigen Grenze oder Randcurve versehen; dies ist die Curve a. 43. y r-T 1U.-0. . 43. e 24 Erstes Capitel. In genau derselbeu Weise konnen wir die Flache 51 be- handeln, indem wir von derselbeu eiu in ihrem Innern liegendes Stiick absondern; u. s. w. Die so entstehenden Flachen bezeichuen wir sammtlich mit 51 oder 5( w , der Art, dass 3l ( ") im Ganzen n Raudcurven besitzt. Der charakteristische Unterschied zwischen den Flacheu 2i (n) und W- n) besteht offenbar darin, dass 3 (M) nach Aussen begrenzt ist, wahrend 5l (ra) nach Aussen wwbegrenzt ist. Im Kaum. = Wiederholen wir dieselben Betrachtuugen im Raume, so gelangeii wir zu gewissen Raumgebieten ^ (!>) und 5t (n) von analoger Beschaifenheit. Die Green'schen Pormeln. Man ulterzeugt sicli nun ziemlick leicht, dass die Formeln (41. a, /S, . . . ) giiltig sind fur jedes Gebiet ^ (n \ und dass andererseits die Formeln (42. a, , . . . f) Gultigkeit besitzen fur jedes Gebiet 3l (n) . Der Gauss'sche Satz des arithmetisclien Mittels. Wir wolleu das Potential V eines mllkuhrlich yeyebencn Massensystems untersuchcn , uuter Anwendung eiuer Kreis- linie oder Kugelflache U11( ^ die innerhalb (? gelegenen mit P; P\) /*2> > so w ^ r d jenes Potential V in irgend einem Puncte*) a der Kreislinie oder Kugelflache den Werth haben: Multipliciren wir diese Gleichuiig mit d<5 (d. i. , mit deni *) Es kann wohl kein Missverstandniss hervorbringen , dass wir die Kreislinie oder Kugelflache mit a, und eiiien auf ihr gelegeuen Punct ebenfalls mit c bezeichnen. Allgemeine Theorie des Potentials. 25 Element jener Kreislinie oder Kugelnache tf), und integriren wir sodanii iiber samuitliche Elerneute (7(J, so folgt: fV,da = S (mfT ma de) -f 2 1st aber nach (32. a, i): fT ma da = (fda) \og~~, fT uia da = i = (fda) -[- , \vo / die Centraldistanz des Punctes m vorstellt. Durch Sub- stitution dieser Wertbe folgt sofort: J' V da \V i *"YiW'V l'\ S V " de =:L l1ul T -f- 24 iv- , 45. y f\ oder was dasselbe 1st: oder was dasselbe 1st: Entlialt das ycgcbene System Masscnpuncte } die ycrade auf d. i. = 7 C , wo V den Werth von F im Centrum c von (? bezeichnet. Besteht eudlich das System aus Massenpuncteu, die sammt- lich inncrhalb 6 liegen, so folgt aus (46.): fV a da , fV a d6 M f - * M lOff T . J - -f -- -JT , 48. fda A > fda A ' wo M die Gesarnmtmasse des Systems reprasentirt. Diese Formeln (45.), (46.), (47.), (48.) reprasentiren den Gauss'schen Satz des aritTimctiscltcn Mittds*') ; denu wir konnen mit Eicmann den Quotienten 26 Erstes Capitel. Jda das arithmetische Mittel derjenigen Werthe uennen , welche die Function V auf der Kreisliuie oder Kugelflache > so konnen wir schreibeu: /I da =0, /g' da' =0, Hieraus folgt, dass die auf G vorhandenen | entweder sammt- licli Null, oder thcils positiv tlieils ncyativ sind; dass ferner Gleiches gilt von den auf G' vorhandeneu Werthen |'; u. s. w. Uud hieraus erkennt man leicht, dass das Potential V im Puncte a entweder einen constanten Wertk, oder einen Ueber- Allgemeine Thoorie des Potentials. 29 gangswerth liabon muss. Doch wird es gut sein, die be- treffende Schlussfolge etwas umstandlicher darzulegen, und zngleich gewisse Bemerkungen beizufugen. Offcribar sind nur zivei Falle m'oylicli: Entiveder werclen die , nach gehoriger Verkleinerung von 6, innerhalb 6 allenthalben =0 sein. Oder es werden, wie weit man jene Verkleinerang auch treiben mag, innerhalb G stets noch Puncte enthalten sein , in denen von abweicht. Es ist nothig, jeden dieser beiden Fiille genauer zu betrachten. Erster Fall: Nach gehoriger Verkleinerung von 6 sind die innerhalb 6 befmdlichen J; sammtlich = 0. Alsdann ist offenbar V innerhalb f> constant, mitbin constant zu nennen im Bereich des Punctes K. Auch wird dieser con- stante Werth [nach bekanntem Satze (18.) Seite 9.] sich ebenso weit erstrecken, als jenes Bereich, unbeschadet seiner Massen- leere*), ausdehnbar ist, und folglich = V x , d. i. =0 oder oo sein**), falls jenes Bereich, unbeschadet seiner Massenleere, bis ins Unendlichferne erweitert werden kann. Den con- stanten Werth oo annehmen zu wollen, wiirde absurd sein; so dass also nur der Werth iibrig bleibt. Wir erkennen somit, dass in clem hier betrathteten ersten Fall V im Bereich des Punctes a eiuen constanten Werth hat; dass ferner dieser constante Werth sich ebenso weit erstreckt, als jenes Bereich, unbeschadet seiner Massen- leere, ausdehnbar ist, und dass derselbe = sein muss, falls eine solche Ausdehnung bis ins Unendliche stattfinden kaun. Zweiter Pall: Wie weit man die Verkleinerung von G auch treiben mag, stets bleibt innerhalb 6 noch irgend ein Punct /3 angebbar, in welchem | von abweicht, nach der positiven oder nach der negativen Seite hin. Nehmen wir zunJichst an, besitze in /5 einen positiven Werth; alsdann muss auf einer iim mit dem Radius auf einer nm mit clem Radius j3 beschriebenen Hiilfs-Kreis- (3 beschriebenen Hiilfs-Kugel- linie G' ; flache G' *) Das Bereich des Punctes existiren, in welchera | positiv ist. In clem hier untersuchteri zweiten Falle sinti also, wie weit die Verkleinerung von 6 auch getrieben seiu mag, inner- halb <7 stets sowohl positive als auch negative Werthe von anzutrefferr, so dass also V im Puncte a einen sogenannten Uebergangswerth besitzt. Zusammenfassung. Die beiden betrachteten Fiille sind, wie aus ihrer urspriinglichen Definition hervorging, die ehi::!;/ moglichen. Somit gelangen wir, Alles zusammengef'asst, /n folgendem Theorem. Das Potential cines gegebenen Massensystems wird fttcts w einem Punde, der ausserhall dieser Masse licgt, cntwcdcr einen Uelergangswerth besitzen, odcr daselhst constant sein. Im letztern Fall wird der im Bereich des Punctes ror- liandene constante Werth so weit sich crstrccken, als jenes Bereich, uribescliadet seiner Massenleere, erweitert tvcrden werden wir zuweilen auch den Buchstaben ,[ liegen. Oder genaner ausgedriickt: Wir wollen die Ge- sammtbeit der Wertbe V a , V a , also die Gesammtheit der in nnd an clcr Grcnzc von }( ausgebreiteten Wertbe in Betracbt zieben,' nnter der Voraussetzung, dass die das Potential er- /eugenden Massen theils cwsscrhalb 31 (d. i. innerbalb v \X theils auf der Grcnze von 3[ (d. i. auf (j) gelegen sind. Namentlich wollen wir unser Augenmerk richten auf die beiden Extreme K und G der genannten Wertbe, indeni wir unter K den Ideinsten der Wertbe V af V a , und nnter G den yrofistcn derselben versteben. - Siimmtlicbe Puncte a sind [nacb ibrer Definition, vgl. den vorbergebenden ] von a durch irgend welcbe, wenn nucb nocb so kleine, Entfernungen getrennt; so dass also jedweder Punct a ausscrlialb der gegebenen Massen Hegt. Znfolge des 'J'heorems (5.) wird daber das Potential V in jedem Puncte a entweder einen Uebergangswerth oder einen constanten Werth haben. Letzteres jedoch kann, wie eben- i'alls aus jenem Theorem folgt, nur dann stattfinden, wenn F im Gebiete 91 allcntlialljcn constant und zwar = ist. Schliessen wir also diesen trivialen Fall des Nullseins vorliiufig aus, so muss V in jedem Puncte a einen Ucbcr- Rede, so wird man darunter lediglich die F. zu verstehcn geneigt sein. Diese Unterscheidung ist in der gegenwsirtigen Schril't nicht nnr in den f'olgenden , sondern anch in den schon absolvirten nioisten- theils beobachtet. Allgemeine Theorie des Potentials. 33 gangswerth haben; woraus folgt, dass die gesuchten extremen Werthe K, G in keinem Puucte a, oder wenigstens in keinem endlidien Puncte a anzutreffen sind, dass sie also nur auf der Grenze von 51 (d. i. auf (?) oder im Unendlichen sick vorfinden konuen. Somit gelangen wir, Alles zusanimen- gefasst, zu folgeudem Satz*): Theorem (A.}. 1st V das Potential irgend welclier Massen, die ausser- Jialb des Gebietes 31 oder auf seiner Grenze liegen, so sind, teas die beiden Extreme K, G der Werthe V a , V a betrifft, zivei Falle moglick. Erster Fall: V ist in 31 nicht iiberall = 0. Alsdann Ttonnen jene extremen Werthe K, G nur auf der Grenze von 5( oder im Unendlichen sich vorfinden.**) Hieraus folgt einerseits, dass fur jeden endliclien Punct a die Formel gilt: K V^, wo K a den Ideinsten und G a den grossten der Werthe V a vorstellt. Zweiter Fall: V ist in 91 iiberall = 0. Alsdann wird die eben genannte Formel (9.) nicht melir gultig sein, indem die durch sie behaupteten Unterschiede der allgemeinen Gleicli- heit (ndmlicli dem allgemeinen Nullsein) Plate madten; so dass also an Stelle jener Formel folgende zu setsen ist: a. K = V a = G = 0. Unter alien Umstanden wird mithin, wie aus (9.), (11.) folgt, die Formel stattfinden: 12. K < V a < G . Beilaufiges. Wir wollen den speciellen Fall betrachteu, dass V auf der Grenze des Gebietes 51 constant, etwa = C ist. Alsdann sind die V a = C, mithin auch K a = G a = C. Hieraus aber folgt mit Eiicksicht auf (10.), dass K, G iden- tisch sein nriissen mit zweien der Grossen C, C, V M , dass also entweder KC, G=V^ oder umgekehrt : K-r., G = C ist. Die allgemein gultige Formel (12.) nimmt daher ini ersten Fall folgende Gestalt an? c einerlei Werthe, so wird U daselbst iiberall = sein. Hieraus aber folgt nach (13.), dass sammtliche U a zwischen und d. i. zwischen wendig zu sein braucht, son- dern auch sein kann [vergl. Seite 9]. und liegen, oder mit andern Worten, dass sammtliche U a = sind. W. z. b. w. Wiederaufnahme der Hauptuntersuchung. Wir kehren zuriick zu unserm Haupt - Theorem (-4.), indem wir gegen- wartig zu den dort gemachten Voraussetzungen noch die hinzu- treten lassen, dass die Summe der gegebenen (das Potential F erzeugenden) Massen =0 sei, was augedeutet sein mag durch die Formel*): (Gesammtmasse von F) = 0. Hieraus folgt sofort [vgl. Seite 9], dass F im Uneiidlichen verschwindet; d. i. r.-o. Die gesuchten extremen Werthe K, G liegen nach Theorem (A.} eutweder auf der Grenge von 31, d. i. auf a, oder im Unendliclien. Letzteres aber ist, wie wir sogleich erkennen werdeu , in Folge der neu hinzugetretenen Voraus- setzuug unmoglich. *) Unter den Massen eines Potentials verstehe ich stets die das Potential erzeugenden' Massen, und gleicbzeitig bezeichne ich die Summe dieser Massen als die Gesammtmasse des Potentials. 3* ir,. 36 Erstes Capitel. Abstrahiren wir namlich einstweilen vou dem trivialeu Fall, dass V in 51 allenthalben verschwindet, so muss irgendwo in 51 ein Punct x angebbar sein, in welchem V von Null abweicht, entweder nach der positiven oder nach der negativen Seite bin. Nehmen wir zunachst an, V be- sitze in x einen von Null verschiedenen positiven Werth, so muss auf einer durch x gehenden und 6 umschliessenden Kreislinie resp. Kugelflache ?c nothwendig ein Punct y existiren, in welchem V einen von Null verschiedenen negativen Werth hat, wie solches aus dem be- Xl kannten Satz des arithmetischen Mittels [Seite 26, (51.)], in An- betracht derVoraussetzuug(15.), sofort sich ergiebt. Und um- gekehrt wird sich zeigen lassen, dass, falls V im Puncte x einen negativen Werth hat, nothwendig ein Punct y existiren muss, in welchem V einen positiven Werth besitzt. Um die Hauptsache zusammenzufassen : Abstrahiren wir von jenem trivialen Fall, dass V im Gebiete 51 allenthalben verschwindet, so muss im Gebiete 51 ein Punct x angebbar sein, in welchem V von Null abweicht. Nach welcher Seite aber diese Abweichung auch stattfinden mag, stets muss in 51 ein zweiter Punct y sich vorfinden, in welchem eine Abweichung von Null nach der entgegengesetzten Seite stattfindet. Hieraus folgt, dass der Werth Null zwischen den iibrigen Werthen von V stets eine mittlere Rangstufe einnimmt. Nun ist aber die Null [vgl. (16.)] derjenige Werth, welchen V im Unendlichen hat. Sornit erkennen wir, dass V im Unendlichen eiuen Werth mittlcren Ranges, also keinen extremen Werth besitzt, und dass also in der That (wie schon obeu behauptet wurde) die extremen Wertlie des Potentials nicht im Unendlichen, sondern uur auf der Grenze von 5(, d. i. auf 6 zu suchen sind. Wir gelangen daher, wenn wir jeneii bisher beiseite- gesetzten trivialen Fall gegenwartig mit in Anschlag bringen, zu folgeiidem Resultat: Allgemeine Theorie des Potentials. 37 Theorem (A'.). 1st V das Potential irgend welcher Massen, die ausser- halb des Gebietes 51 oder auf seiner Grenze liegen, und deren Sum me = ist*}, so sind, was die beiden Extreme K, G dcr Werthe V a , V a betrifft, zwei Fdlle moglich: Erster Fall: V ist in 51 nicht iiberall =0. Alsdann miissen jene extremen Werthe K, G notliwendig auf tier Grenze von 51, d. i. auf a situirt sein.**} Aus dicscr Situation folgt einerseits, dass fur jeden beliebigen Puncta (endlichen wie unendlich fernen) die Formel stattfindet: K die Ge- stalt annimmt: K< V x K a < ^<2 ff . Betrachten wir nun den speciellen Fall, dass V auf der Grenze des Gebietes 51 constant, etwa =C ist, so sind die V a = C, mithin auch K a G a = C, wodurch die Formeln (20.) iibergehen in: <,C. Die letzte dieser Formeln zeigt, dass (7 = 0, imd sodaun die erste, dass V a ebenfalls = sein muss. Souiit gelaiigen wir zu folgendem Satz: 1st V das Potential irgend welcher Massen, die ausser- 22. halb des Gebietes 31 oder auf seiner Grenze liegcn, und der en Summe =0 ist, so Itann V auf 6 niemals constant sein, es sei denn, dass es im Gebiete 3t und ebenso auf G allenthalben = ware. Dieser Satz gewahrt die Mittel zum Beweise eines wich- tigen Theorems, welches so lautet: Theorem (A. }. Sollen die Massen eines Potentials V ansserhalb des Qe- 23. bietes 51 oder auf seiner Grenze (d. i. auf 0) liegen, und eine gegebene Summe M besitzen, und sollen ferner die V a von vorgeschriebenen Werthen f a nurdurch cine unbestimmte additive Constante differiren , - - so ist hierdurch V cindeutig bestimmt fur alle Puncte von 21. JBeweis. Existirteri zwei solche Potentiale V und V, so wiirde ihre Differenz U = V - V ein Potential sein, dessen Massen wiederum ausserhalb des Gebietes 51 resp. auf seiner Grenze liegen. Auch wiirde dieses U den beiden Be- dingungen entspreclien: (Gesammtmasse von U) = , 24 - U a == Const. Hieraus aber folgt mit Riicksicht auf den Satz (22.) sofort, AUgemeine Theorie des Potentials. 39 dass U iin Gebiete U und ebenso auf 6 allenthalbeu = sein mtisste. W. z. z. w. Schlussbemerkung. -- Man erkennt leicht, dass alle in diesem . angestellten Betrachturigeu nicht nur fur das Gebiet }[ (l1 , sonclern auch fur das allgemeinere Gebiet & (n > gelten [vgl. den 7, Seite 28]. Dabei sind allerdings hin und wieder kleine Zusatze erforderlich. So z. B. wird das Theorem (A. adcr ) fur das Gebiet 9l (w) nur dann gtiltig sein, wenn man ver- langt, dass die unbestimmte additive Constante fiir alle n Kandcurven resp. fiir alle n Begrenzungsflachen dieselbe sein solle. Fortsetzung. Die extremen Werthe des Potentials fiir ein gegebenes Gebiet (Gebiet 3). Ebenso wie wir im vorhergehenden das Gebiet 51 be- haudelteu, und dabei zu den Theoremen (A.} } (-4.'), (A.*"**') gelaugten, ebenso wollen Avir gegenwartig das Gebiet ^ be- handelu, und die analogen Theoreme (/".), (/.'), (J. add ] zu eutdecken suchen. Wir wollen zu diesem Zweck die Werthe betrachteu, welche ein gegebenes Potential V im Gebiete ^ besitzt, unter der Voraussetzung, dass die Massen des Potentials ausserJialb $ liegen. Oder genauer ausgedriickt: Wir wollen die Ge- sammtheit der Werthe V t , V a , d. i. die Gesammtheit der in und an der Grenze von 3 vorhaudenen Potential werthe in Betracht ziehen, unter der Voraussetzung, dass die Massen des Potentials theils ausserhalb 3 (d- i- innerhalb 21), theils auf der Grenze von % (d. i. auf 0) gelegen sind. Nament- lich wollen wir dabei uusere Aufmerksamkeit richten auf die beiden Extreme K und G der genannten Werthe, iudem wir unter K den Tdeinsten der Werthe V i} V a , unter G den yrossten derselben verstehen. Sammtliche Puncte i sind nach ihrer Definition [vgl. Seite 31] von 6 durch irgend welche wenn auch noch so kleine Entfernungen getrenut, so dass also jedweder Punct i ausserJialb der gegebeuen Massen liegt. Zufolge eines friiheren Theorems [Seite 30] wird daher das Potential V in jedem 40 Erstes Capitel. Puncte i entweder einen Uebergangswerth oder einen con- stanten Wertli haben. Uncl letzteres kaun, wie ebeufalls aus jenem Theorem folgt ; nur danu stattfinden , wenn V iiu Ge- biete ^ allenthalben constant 1st. Schliessen wir also diesen trivialen Fall des Constant- seins einstweilen aus, so rauss V in jedem Punct i einen Uebergangswerth haben , woraus folgt, dass die gesuchten extremen Werthe K, G nicht in den Puncten i, sondern nur in den Puncten G anzutreffen sind. Somit gelangen wir, indem wir jenen vorlaufig excludirten Fall des Constantseins nachtraglich wieder mit ins Auge fassen, zu folgendem Re- sultat*): Theorem (J.). 1st V das Potential irgend welchcr Masscn, die ausscr- halb des G-ebietes 3 oder auf seiner Grenze liegen, so sind, was die beiden Extreme K, G der Werthe V i} V a betrifft, zwei Fdlle mb'glich: Erster Fall: V ist in ^ nicht iiberall constant. Als- dann konnen jene extremen Werthe K, G nur auf der Grenze von $ sich vorfinden. Hicraus folgt einer- seits, dass fiir jeden Punct i die Formel gilt: 26. K < V t vollig bestiwmt sein, sobald nur seine Werthe auf der Grenze von ^ gegeben sind. Beweis. - - Sind V und V zwei Potentiale , deren Massen ausserbalb des Gebietes 3 oder auf seiner Grenze liegen, so gilt Gleiches auch von U = V V . Haben nun ausserdem V uud V auf der genannten Grenze d. i. auf (3 einerlei Werthe, so wird U daselbst iiberall =0 sein. Hieraus aber folgt nach (30.), dass U auch im Innern von ^3 iiberall =0 ist. VV. z. b. w. Wiederaufnahme der Hauptuntersuchung. - - Was nuii ferner das mit (A'.~) analoge 42 Erstes Capitel. 32. 33. NB. Es sei sogleich bemerkt, dassdieser Satz falscli ist, dass also das Theorem (J. add ) nicht exi- stirt. Theorem (/.') betrifft, so bemerken wir sofort, dass dasselbe mit dem schon aufgestellten Theorem (7.) sich confuudirt. - - Und was end- lich das Theorem (J. add ) betrifft, so miisste dasselbe offenbar, falls es .uberhaupt existirt, nach Analogic von (A. add ] folgender- massen lauten: Theorem (J. add ). Sollen die Massen eines Potentials V ausserhalb des Gebietes 5 oder auf seiner Grenze liegen, und eine gegebene Summe M besitzen, und sollen ferner die V a von vorgesckriebenen Werthen f a nur durch eine unbestimmte additive Constante diffe- riren } - - so ist hier durch V eindeutig be- stimmt fur alle Puncte von $. Dass ein solches Theorem in Wirklichkeit nicht existirt, lasst sich leicht durch ein Beispiel darthun, indem wir (A) annehmen, jene auf der Grense 6 vorgeschriebenen Werthe f a seien sammtlich = 0. Denken wir uns namlich das Gebiet ^ in irgend welcher Entfernung von zwei con- centrischen Kreislinien (A) und (A'), resp. von zwei concentrisrhen Kugelflacheu (A) und (A') umschlossen, uud denken wir uns die gegebene Masse M ein Mai auf (A) , das andere Mai auf (A') gleichformig vertheilt, und bezeichnen. wir endlich das von dieser Masse M hervorgebrachte Potential im ersten Fall mit V, im letztern mit V' } so erhalten wir [nach bekannten Satzen, Seite 14] fur sammtliche Puucte tf, i die Formeln: M V a = F, = M log ^ , V,- = v' Allgemeine Theorie des Potentials. 43 wo A , A' die Radieii der construirten Kreisliuien oder Kugel- flachen reprasentiren. v Beide Potentiate V und V entsprechen offenbar deu ge- stellteu Anforderungen ; denn ihre Massen liegen ausserhalb 3, die Gesammtmasse ist bei beiden = M, und ihre Werthe auf a unterscheiden sich, wie aus '(.), (/3.), (y.) ersichtlich, von den vorgeschriebenen Werthen f a nur duvch additive Constanten. Dennoch aber siud diese Potentiale von einander verschieden. W. z. z. w. Wir lassen auf diese Ergebnisse negativer Natur endlicli noch einen positiven Satz folgen, welcher so lautet: Theorem (**). Soil die Massenbelegung der geschlossenen Curve oder Fldche 6 von soldier Art sein, dass ihr Potential attf 6 selber von daselbst vorgeschriebenen Werthen f a nur durch eine un- 34 - bestimmte additive Constante differirt, und ist ausserdem die Gesammtmasse M der Belegung g eg el en, so wird liiedurch jene Belegung (d. h. ihre Dichtigkeit) eindeutig bestimmt sein. Beweis, - Bezeichnet F das Potential der in Rede stehenden Belegung, so muss zufolge der gemachten An- forderungen (Gesammtmasse von F) = M , V a = f e + Const. seiu. Hierdurch sind [nach Theorem (A. add J\ die F ein- deutig bestimmt. Durch die F a sind aber mitbestimmt die V a , und durch letztere sind mitbestimmt die F f [zufolge des Satzes (31.)]. Aus den V a und F,- ergiebt sich aber schliess- lich die Dichtigkeit d der Belegung vermittelst der bekannten Formel : W. z. z. w. Schlussbemerkung. Leicht erkennt man , dass die Be- trachtungen dieses nicht nur fur das Gebiet 3 (1) > sondern 35. auch fur das allgemeinere Gebiet 3 (n) Gultigkeit haben [vgl, deu 7, Seite 23]. 44 Erstes Capitel. 36. 13. Fortsetzung. Die extremen Werthe des Potentials in einem gegebenen Gebiet (Gebiet ). Es seieu G und s zwei ineinander liegende geschlossene Curven oder Flachen, und zwar sei G die kleinere, s die grossere. Durch G und s zerfallt die ganze unendliche Ebene resp. der ganze unend- liche Raum in drei Gebiete 3> 6, 5(, von denen das erste innerhalb , so muss also Q ffo entweder grosser sein als siimmtliche Werthe Q, Q s , Q c , oder aber Meiner sein als all' diese Werthe. Im ersten Fall miissen also die Formeln stattfinden : Q aa >Q, lf Qa >Q*, 38 . a und im zweiten Fall die entgegengesetzten Formeln: Q ao cr zu dem specielleren Fall, dass die Stimme der ge(fel>cncn Massen ==0 ist, so gestalten sich die in Jli'dt- atelimden Moglichkcitcn folgendermassen : Erste Moglichlieit: Die V sind nicht iiberall = 0. Ahdann liegen die gesucliten Extreme K, G noth- ircndiy auf 6, und sind also identisch mit den Grossen K a , G a . Hicraus folgt, dass fiir jeden beliebigen (end- 1 it-It en wul unendlicken) fund a die Edation stattfmdet: within ?. J>. auclt folgende: K a < V M < G a , d. ?:.*) K a <0< G a , iiberall die Zciclicn gcnommen in scnsu rigoroso. Zweite Moglichkeit: Die V sind iiberall = 0. Alsdann sind die verschiedenen Relationen nicht menr richtig, sondern zu ersetmn durclt: Ka = V a = G a = . *) Denn es ist V x nothweiulig =0, weil wir vorausgesetzt haben, dass die Sunnne der Massen = sei. Neumann, Potential. 4 50 Erstes Capitel. 15- Nachtragliche Bemerkungen. Ueber den auf Seite 9 erwahnten Hiilfsatz. -- Jener Satz kann folgendermassen ausgesprochen werden: Or E 1st die Function f(r) in Erstrecktmg*} eines gegebenen Intervdlles . . . . JR durch die convergente Reihe darstellbar: f(r) = A + Br + Cr* + Dr* + ..... , und ist ferner bekannt, dass die Function in Erstreckung des kleineren Intervalles . . . . / constant sei, so wird diese Constants stets sick ausdehnen iiber das ganze IntervallO ..... E. Beweis des Satzes. Die Function f(r) hat nach (1.) im Puncte den Werth A, und hat daher, weil sie in Er- streckung des Meineren Intervalles constant ist 7 den Werth A in sammtlichen Puncten dieses Intervalls. Folglich fiudet fur jedwedes der Bedingung $.... J?; - d. h. fiir alle Puncte des Intervalls, inclusive der beiden Endpuncte. **) Das zugefu'gte (sic!) soil die Aufmerksamkeit auf das daruber stehende Zeichen lenken , welches nicht <[, sonderu < lautet. Allgeineine Theorie des Potentials. 51 d. i. die Formel: Nun komien wir aber, unbeschadet der Bediugung (5.), das r beliebig nahe an herandrucken; also vermittelst der Formel (7.) nachweisen, dass die Constarite S kleiner sei als ein beliebiger Kleinheitsgrad . Folglich ist In ahnlicher Weise konnen wir nunmehr offenbar zeigeii, dass auch die folgenden Constanteu C, D . . . . sammtlich = sind. W. z. b. w. Ueber das auf Seite 9 genannte die Constanz des Potentials betreffende Theorem. - - Dieses Theorem ist, so weit es den Raum, d. i. das Newton'sehe Potential betrifft, in Gauss' allgemeinen Lehrsatzen Art. 21 auf einem anderen Wege bewieseu wordeu, der indessen weniger strenge sein diirfte. Gauss spricht jenes Theorem daselbst folgender- massen aus: Das Potential V von Massen, die sammtlich ausserhalb ernes zusammenltangenden Raumes liegen, Jcann nicht in einem 9 . Theile dieses Raumes einen constanten Werth und zugleich in einem andern Theile desselben einen verschiedencn Werth haben. Zugleich bemerkt Gauss daselbst, dass dieses Theorem f'olgende zwei Siitze in sich birgt: I. Wenn der die Massen enthaltende Raum einen massen- leeren Raum umschliesst, und das Potential in einem Theil 10. dieses (letstern) Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser fur alle Puncte des gansen eingeschlossenen Raumes. II. Wenn das Potential der in einen endlichen Raum eingeschlossenen Massen in irgend einem Theil des dussern u . Raumes einen constanten Werth hat, so gilt dieser fur den ganzen uncndlichen dusseren Raum. In analoger Weise kann man das in Rede stehende all- gemeine Theorem natiirlich auch zergliedern fur den Fall der Ebene, d. i. fiir den Fall des Logarithrnischen Potentials. Die Diriehlet'schen Vorlesungen. *) - - Wenn ich mich in siinimtlichen dieses Capitels fast ausschliesslich auf *) Herausgegeben von Dr. F. Grube. Leipzig, bei Teubuer. 1876. 4* 52 Erates Capitel. Allgemeine Theorie des Potentials. Gauss' allgemeine Lehrsatze gestiitzt habe, so ist doch nicht unerwahnt zu lassen, dass Dirichlet den Begriindungen jener Lehrsatze in vieleri Beziehungen eine grossere Einfachheit und Anschaulichkeit verlieheu hat. Um die Eleganz der Dirichlet'schen Methoden an einigen Beispielen zu zeigen, greifen wir zuriick zu den Satzen (27.) Seite 12, und (35.) Seite 14. Wollen wir den Weg verfolgen, auf welcheni Dirichlet zum erstern Satze gelangt, so haben wir zu beginneu mit folgendem (leicht zu beweisenden) Hulfsatz: Ist eine Kugelfldctie vom Radius A in ungleicliformiger Weise mit Masse erfilllt, der en Diditigktit zivisclien A und -f- A variirt, so wird das Potential V dieser Masse auf eincm Punct (x, y, 0) stets den Relationen entspreclien: -8jrA 2 A < F < - 87rA A < d d J < + 8jrA A, welche Lage man detn Punct im Innern der Kugelflaclie aucJi zuertlieilen mag. Sobald wir diesen Hulfsatz bewiesen habeu, erkennen wir alsdaun sofort auch die liichtigkeit des zu beweisenden Satzes (27.) Seite 12. Um andererseits den Weg zu verfolgeu, auf welchem Dirichlet zu dem zweiten Satz gelaiigt, haben wir ebenfalls einen gewissen Hulfsatz uns anzueignen, welcher lautet: Man denke sicli einen nacli beiden Seitcn ins Unendliche laufenden Kreiscylinder vom Radius A, ferner ein innerhalb dieses^ Cylinders gelegenes Flaclienstiicl', dessen siimmtliclie Normalen unter weniger als 60 gegen die Axe des Cylinders geneigt sind. Ist nun dieses Flachenstuck in beliebiger Weise mit Masse belegt, deren Diclitigkeit zivisclicn A und -j- A variirt, so wird das Potential V dieser I3elegung auf einen Punct (#, y, z) der Relation entspreclien: -SrcAA < F< + 87rAA ; ^velche Lage man dem Punct innerhalb des Cylinders auch immer zuertheilen mag. Sobald wir diesen Hulfsatz bewiesen haben, erkennen wir alsdann sofort auch die Richtigkeit des zu beweiseuden Satzes (35.) Seite 14. Zweites Oapitel. Einige Anweiulimgen der Green'scheii Satze. In der Theorie des Logarithmischen und Newton'schen Potentials gelten bekaimtlich folgende Satze: Die Wlrkung ciner gleichmdssig mil Masse bcleyfen Kreislinie ist uttf innere Puncte =0, und andererseits auf tiussere Puncte (Ixit so gross, als ware die game Masse der Belegung im Mittel- punct concentrirt. Diesen bekannteii und auch im ersten Capitel bereits er- wiihnten Satzen (vgl. Seite 13, 14) konneu zwei andere Satze beigefiigt werden, welche so lauteii: Die Wirkung einer gleichmassig mit Masse belegten Kugelflache ist auf innere Puncte =0, und andererseits auf a us sere Puncte eben so gross, als ware die game Masse .der Belegung im Mittel- concentrirt. Ist die Diclitiykeit der Belegung <:in<'>- Kreislinie wngekeJirt pfo- portional den Quadrat en der von irgcnd cincm inncrn Punct x nach der Kreislinie gezogenen Strahkn , so u'ird Hire Wirkung uuf a ussere Puncte eben so gross Ist die DicMiglccit der Belegung c'nicr Kugeljluche umgekelirt pro- portional den Cub en der von irgend einem inner n Punct x nach der Kugelflache gelegten Stralden, so wird ihre Wirkung auf a ussere Puncte eben so gross sein , als u'arc die game Masse sein , als ware die game Masse der Belegung in x concentrirt ; der Belegung in x concentrirt ; icdhrend gleicligeitig ihre WirJiioiy tciiJirend gleicnzeitig ihre WirJcung auf innere Puncte eben so grossl auf innere Puncte von solchcr ist, als ware jene Masse in dem \ G-rosse ist , als ware in dem zu x zu x conjugirten*) Punete x con- i; conjugirten Puncte x' eine Masse centrirt. concentrirt , icelche gleich ist der *} Ich nenne zwei Puncte x und x' zu einander conjugirt in Bezug auf eine gegebeue Kreislinie oder Kugelflache, weun beide auf derselben vom Centrum ausgebenden Linie liegen, und wenn ausserdem das Product ihrer Centraldistanzen gleich dem Quadrat des Radius ist. 54 Zweites Capitel. 1 gegebenen Masse, mvltiplitirt mit der Ccntraldistanz dcs Punctcs x', und dividirt durcli den Radius der Kiigclflaclic. Obwohl ich diese Satze bereits im Jahre 1861 aufgestellt, uud theilweise auch publieirt habe**), so mag es mir doch gestattet sein, hier von Neuem auf den Gegeustand einzu- gehen, und zu zeigen, dass die Ableitung der in Rede stehen- deii Satze durch unmittelbare Anwendung der Green' schen Formeln sich bewerkstelligen lasst. 1. Einige Aufgaben tiber die Kreislinie, unter Zugrundelegung des Logarithmisclien Potentials. Praliminarien. Es sei G eiue Kreislinie niit dem Centrum c, dem Radius A und der aussern Normale N. Fernet seien x und x' zwei in Bezug auf diese Kreislinie conjugirte Puncte (der eine das sogenannte Spiegelbild des andetn). Ferner seien R, R' die Entfernungen der Puncte x, x von c, und E, E f ihre Entfernungen von irgend einem Puncte tf, der auf der gegebeiien Kreisperipherie liegt. Endlich sei y der Winkel der Linie cxx' gegen d^n Radius c&. N Nach der Definition der Puncte x, x' 1st RR' = A 2 ] und hieraus folgt, dass die Dreiecke *) In einer kleinen Schrift: ,,L6sung des allg. Problems uber den stationdren Temper aturzustand einer liomogcnen Kugel olme Hiilfe von SeihenentwicJclungen nebst einigen Sdtzen 3ur Theorie der Antiehung" Einige Anwendungen der Green'achen Satze. 55 REA und AE'R' , 1 einander ahnlich , mithin ihre Seiten einander proportional sind. Somit erhalten wir: E = A = und zu diesen Formeln wollen wir noch folgende hinzufugen : E 2 = A* + R* -- 2AR cosy, E |^. = A R cos y , 3. jE," 2 = A 2 + R' 2 2 A R' cos y , E' |^ - = A R cos y . Setzen wir nun so ist nach (2.): r-r-iogf _iog|-iogf-', und ferner mit Riicksicht auf (3.): dT \_ dJS __ E cosy A aJV = E dN = E* ' dT^_ _ dE' _ E' coay A dN ~ ~ E~' dN = ~^E'* > _ (A cos y - E) E wo beim Uebergang von der vorletzteu zur letzten Zeile die Formeln (2.) benutzt sind.*) Hieraus folgt: Halle, bei Schmidt. 1861. Die PrioritSt der Entdeckung dieser Satze diirfte iibrigens (wenigstens so weit sie den Eaum betreffen) TJiamson zuzuschreiben sein. *) Dieser Uebergang bewerkstelligt sich am Bequemsten nach dem Princip der Homogeneitat. Es ist namlich der in der vorletzten Zeile stehende Ausdruck _F_ " A ' wo F die Bedeutung hat: _ (E' cosy A) A E"* Dieses F ist also eine homogene Function O ler Ordnung in Bezug auf A, E', E', und bleibt also ungeandert, wenn man diese drei Argu- 56 Zweites Capitel. d_T_ dT_ E* A Z JN dN = WA ' _ dN dN WA A ' imd hieraus folgt weiter*) mit Riicksicht auf (2.): d_r_ _ ajr _ A* E'* dN dN ~~ E'*A ' 8T_ , d_T_ _ J_ dN* dN = A Erste Aufgabe. Es sei V das Potential irgend welchcr s. unbekannten Massen, die theils ausserhalb 6, theils auf a ausgebreitet sind. Es soil V x ermittelt werd-en, falls die V n (d. i. die Werthe auf (?) gegeben sind. Nach den Green'sclien Formeln |(41. a, tf, ) Seite 19] ist: -'2&V f( X ~J \ - T ~- dN Durch Subtraction der beiden letzten Formelu erlialten wir sofort : ^ V, - -j'v (j* - |) A, +f(T- r) I? de , wo das letzte Integral , in welchem T T' einen constanten Werth hat [vgl. (5.)], auf l^jjdo sicb reducirt, und also [nach (9.)] gleich Null ist. Wir fiuden also: mente mit don proportionalen Argumcntcn M , E, A [vgl. (2.)] ver- tauscht. Wir konnen daher F auch so darstellcn: (^cosy w. z. z. w. *) Am Bequeinsten wicdcrum mit Hvilfc des I'rincipb der Homo- geneitat (vgl. die vorhergehendc Note). Einigc Anwciidungcn der Greeu'schen Satze. 57 Zur Elimination von ~ konnen wir nach Belieben entweder die Forinel (G.tf) oder die Formel (6.<7) benutzeu. In solcher Weise erhalten wir successive: Nun ist bekanntlich [vgl. (4.)]: i /.R\ A (A) cos y A i mitfain dT i "V i /.R\ ~ 1 also nach (14.): Die drei Formeln (13.), (14.), (15.) reprasentircn die Losung der gestellten Aufgdbe in drei verscliiedencn Gestalten. Bemerkung. - Setzen wir zur augenblicklicheu Ab- kiirzung : 16 2 A E*> so gewinut die Forniel (13.) folgende Gestalt: V x =fV a 8 a d<>. n. Diese Formel wird [ebenso wie die fruheren (13.), (14.), (15.)] gitltig seiii fiir jedes beliebige Potential V, dessen Massen ausserhalb a liegen. Bringen wir nun dieselbe z. B. auf ein Potential V in Anwendung, welches auf und innerhalb a constant, etwa = 1 ist, so erhalten wir: 1 =fd a( l(j. is. Und briugeii wir andererseits jene Formel (17.) auf das Potential 58 Zweites Capitel. V x = T ax in Anwendung, wo a em beliebig gegebeiier Punct ai(sserlialb 6 sein soil, so folgt: Die letzten Formeln gewinnen eine anschauliche Be- deutung, sobald wir dem Punct x eine feste Lage zuertheilen, und gleichzeitig uuter d a die Dichtigkeit einer auf a aus- gebreiteten Massenbelegung mis vorstellen. Alsdann namlich sagt die Formel (16.) aus*), dass diese Dichtigkeit proportional ist mit -j^. Sodann sagt die Formel (18.) aus, dass die Ge- sainmtmasse dieser Belegung = 1 ist. Und endlich sagt die Formel (19.) aus, dass diese Belegung fur alle Puncte a (cl. i. fur alle ausserhalb 6 gelegenen Puncte) aquipotential ist mit einer in x concentrirten Masse 1. Denkt man sich also die Masse 1 auf einer Kreislinie Hieraus aber folgt mit Riicksicht auf (22.) sofort: M= fvd, 2V A (log f)' und hierdurch ist die gestellte Aufgdbe in einfachster Weise gelosf. Dritte Aufgabe. Es sei V das Potential irgend wel- clicr unbekannter Masscn, die thcils auf tlieils innerhalb o ausgebreitet sind. Es soil V x - berechnct tverden, falls die V a 26 - gegeben sind. Dabei soil, genau wie bisher, unter x' irgend ein Punct aussernalb 6 verstandeu werden, urid gleichzeitig uuter x der coujugirte Punct innerhalb '60 Zweites Capitel. Alsdann ist nach den Green'schen Formeln [(42. d, e) ? Seite 21]: = hieraus folgt durch Subtraction: 2w F, = J V (| - ) da _ Oder weil [nach (5.)] T' T = log ~ ist: ( /d V fiffdG mit Hiilfe der Gleiclmng (24.) eliminirt: 2 ^ K, - T J - A dN A log A o m Wenii man in dieser Pormel das -^ elimiiiirt, mid zwar ein Mai durch (7. #), das andere Mai durch (7. T1 -i"') cos n/ y n * w ' 29. Nun ist bekanntlich: mithin: / A\ n A\E') <**> i _L 9 V ! (A\* COS H J ^ Z U' / also nach (29.): Einige Anwendimgen der Green'schen Satze. 61 Die drei Formeln (28.), (29.), (30.) reprdsentiren die der gestellten Aufgdbe in drei verscliiedenen Gestalten. Bemerkung. Setzen wir zur Abkiirzuug: * _ R'* A* J_ ff ~ ~ so geht die Formel (28.) fiber in: Nehmen wir nun beispielsweise V x > = T cx ' , wo c das Centrum von G bezeichnet, so erhalten wir: log - (log i)/*.rf + (log $, - log i-) , d. i. fd a da = l. 33. Nehmen wir feruer als zweites Beispiel V x - = T ix >, wo i einen beliebigen Punct innerhalb G vorstelleu soil, und be- achten wir dabei, dass / T io dG = 2 75 A log-^ ist [vgl. (32. a, i) Seite 14] , so erhalten wir: T ix . - -fT ia d a da + (log ^ - log J- *) Was dadurch geschieht, dass man die Formeln (31.), (33.), (34.) mit M multiplicirt. 34. Denken wir uns nun den Punct x' fest, und d a als die Diclitig- keit einer gcivissen atif a ansgebreiteten Masseiibelegung , so erkennen wir aus den Formeln (31.), (33.), (34.), dass diese Belegung cine mit -^ proportionale Dichtigkeit hat, dass sie feruer die Gesammtniasse 1 besitzt, und dass sie eudlich in Bezug auf alle innern Pnncte, abgesehen von eiuer additiven Constauten (log^ -- log rj , aquipotential ist mit einer in x' concentrirt gedachten Masse 1. Uebertragen wir dieses Er- gebniss von einer Masseneinheit auf M Masseneinheiten*), so gelaugen wir zu folgeudem Satz: Ist einc gegebene Masse M auf einer Kreislinie a der Art ausgcbreitct , dass ihre DichUgkett umgeJcehrt proportional ist mit den Quadra tea der ron irgend einem aussern Punct x' 35. 62 Zweites Capitel. nach 6 gezogenen Strahlen, so wird das Potential dieser Be- legung auf innere Puncte, abgesehen von einer additiven.Con- stanten, eben so gross sein, als ware die Masse M in jenem aussern Punct x' concentrirt. Jene additive Constante ist wo R' die Centraldistanz des gegebeneu aussern Puuctes, und A den Radius von 6 bezeichnet. Zusammenfassung. - - Der in der Relation (2.) : E= IE', enthaltene Factor A ist constant, sobald man die conjugirten Puncte x, x' als fest betrachtet; denn es ist [ebenfalls iiach (2.)]: ;l = | = ^- = / / i-- Somit tog* aus ( 36 -)> dass die in den Satzen (20.) und (35.) betrachteten Belegungen iden- tisch sind; so dass wir also jene S'atze folgendermassen zu- sanimenfassen konnen: Reprasentirt x einen gegebenen Punct innerhalb der KreislinieG, und x' den conjugirten aussern Punct, und ist ferner auf G eine gegebene Masse M in soldier Weise ausge- breitet, dass ihre .DicMigkeit mit den Quadraten der von x nach G gelegten Strahlen oder (was auf dasselbe hinauskonimt) mit den Quadraten der von x' nacli G gelegten Strahlen umtfekehrt proportional ist, so wird das Potential dieser Be- legung auf iiussere Puncte eben so gross sein, als ^vdre die Masse M in x concentrirt; und gleiclizeitig wird ihr Potential auf innere Puncte, abgesehen von einer additiven Constanten, eben so gross sein, als ware die Masse M in x' concentrirt. 2. Analoge Aufgaben iiber die Kugelflaclie, unter Zugrundeleguug des Newton'sclien Potentials. Praliminarien. Es sei G eiue Kugelflaclie , deren Centrum, Radius uud Jiussere Normale resp. mit c, A und N bezeichnet seiu mogen. Ferner seien x uud x' zwei in Bezug auf diese Kugelfliidie conjugirte Puncte. Ferner seien R, R' die Entfernungen dor Puncte x, x' von c, uud E,E' Einige Anwendungen der Green'schen Satze. (53 ihre Entfernungen von irgend eiuem Puncte a, der auf der gegebenen Kugelflache liegt. Endlich sei y der Winkel der Linie cxx' gegeu den Radius CG. Alsdann sind wiederum*) die Dreiecke ' EEA und AE'E einander ahnlich, mithin: Auch wird: "T7JO .4 9 I T~> 9 C\ 4 T> TTI G J* A -r\ Jar *= A 1 -f- R 2 2AE cosy , E 7^ = A E cos y, E'* = J. 2 + JR' 2 2 ^7?' cos y , E'~^ = A R'cosy, Setzeu wir nun T = -- ^ T--- JL ~^' so wird nach (2.) /TT Trt' A -r\f J. jfy ^1 XV F = ^ = R == A ' und ferner mit Rucksicht auf (3.): dT _ J_ 8_E _ E cosy A 8N~ ~ E* dN~ E ' _ dN E'* dN = E'* ' _ (^Jcosy R)E* E 3 A* Aus den beiden letzteu Formeln folgt sofort: *) Namlich ebenso wie auf Seite 54. Obwohl die Betrachtungen des gegenwiirtigen mit denen des vorhergehenden im Ganzen parallel lauf'en, so sind doch sowohl binsichtlich der Formela wie hinsichtlich der scLliesslichen Resultate niclit umvesentliche Unterscliiede vorhanden. Um diese Unterschiede moglichst deutlich hervortreteu zu lassen, werde icli die Formeln und Siitze des gegenwiirtigen mit genau den- selben Nummern versehen, wie die correspondirendeu Formeln und Satze des vorhergehenden . Von einigem Nutzen bei den gegen- wartigen Rechnungen ist iibrigens wieder das Princip der Homoge- neitat. (Vgl. die Note, Seite 55.) f " a 12. 13. 64 Zweites Capitel. dT A dT' _ IP - A"- dN R dN = E*A ' T , A dT' _ T t und hieraus durch leichte Umgestaltungen: A_dT dT' _ A* R' z Erste Aufgabe. -- Es sei V das Potential irgcnd welcher s. unbekannter Massen, die theils auf^ theils ausserhall) 6 ausgebreitet sind. Es soil V x ermittelt werden, fall* flie V a (d. i. die Werthe auf (?) gegeben sind. Nach den Green'schen Formeln [(41. a, d, e) Seite 19] ist: 10. Multipliciren wir die beiden letzten Forraeln resp. mit w und l t und addiren 7 und iiehmeu wir dabei Rucksicht auf die aus (5.) entspringende Relation T - - ^- T' = , so folgt: - Cv (d T A V T '\ 7^ - -J V (^ r - ^ jyj rfff. O ein Mai mit dA Hiilfe von (7. d), das aiidere Mai mit Hiilfe von (7. 0) be- werkstelligen, so erhalten wir successive: Einige Anwendungen der Green'schen Satze. Und hieraus endlich erhalten wir mit Anwendung der be- kanuteu Entwicklungen : <-. A n W ^^. I ** Tt f \ 1 = > Sro p .(cosy), 02" /> foci Fortneln (28.), (29.), (30.) reprasentiren die Losiwy der (jestellten Aufgdbe in drei versckieclenen Gcstalten. Bemerkung. Setzeu wir zur Abkurzung E * ~ AZ so geht die Formel (28.) fiber in Setzen wir nun beispielsweise: V x - = T CX ' , wo c das Centrum von a bezel chnet, so folgt: 29. 1 Pn (cos y) sofort : P n ( cos y ) | -jj- . 30 - d. i. /' _ ^ e/ *' Xehmen wir ferner als zweites Beispiel: V x - = T,-^- , wo oinen beliebigen Punct inncrliall> <7 bezeichnen soil, so er- luilten wir: TI r = /" T,- ff d ff (Z.(? . 34. Die drei Formelu (31.), (33.), (34.) fiihren uns nun (tilinlich wit> t'riiher, 8eite 61 1 zu folgendom Satz: 5* 68 Zweites Capitel. 1st eine gegebene Masse M auf der Kugelflache G der Art ausgebreitet , dass ihre Dichtigkeit umgekehrt proportional ist den Cub en der von irgcnd einem dussern Punct x' nach G gezogenen StraMen , so wird das Potential dieser Bdegung auf inn ere Puncte genau eben so gross -sein, als ware in jenem dussern Punct x' cine Masse vom Betrage --. concentrirt, wo It' die Centraldistans des Punctes x', und A den Radius der Kugelflache bezeictmet. Zusammenfassung. Setzen wir die beiden conjugirten Puncte x, x' als fest voraus, so ist der in der Relation (2.) E k E' enthaltene Factor A constant; und hieraus erkennen wir, dass die in den Satzen (20.) und (35.) besprochenen Belegungen unter einander identisch sind. Demgemass konnen wir jene beiden Satze folgendermassen zusamraenfassen : Beprdsentirt x einen gcgebcnen Punct innerhalb der Kugelflache G, und x' den conjugirten dussern Punct, und ist ferner auf G eine gegebene Masse M in solcher Weise aus- gebreitet, dass ihre Dichtigkeit mit den Cub en der von x nach G gelegten StraMen, oder (was auf dasselbe hinauslauft) mit den Cub en der von x' nach G gelegten Strahlen umgekchrt proportional ist, so wird das Potential dieser Belegung auf dusserc Puncte eben so gross sein, als ware die Masse M in x concentrirt; und gleichseitig wird ihr Potential auf inn ere Puncte eben so gross sein, als ware in x' eine Masse vom Be- ll' M trage ^ concentrirt^ wo H' die Centraldistanz des Punctes x', und A den Badius der Kugelflache bezcichnet. Drittes Capitel. Die Theorie der elektrischen Vertheiluug. Nach eiuem bekannteu, schou von Gauss aufgestellten Satz ist die elektrische Vertheilung auf einem gegebenen Conductor (falls keiiie tiussern Krafte influiren) stets eine gleicliartige. *) Wollten wir dieser Gauss'schen Ausdrucksweise uns an- schliessen, namlich die elektrische Schicht au der Oberflache eiues gegebeuen Conductors gleichartig oder ungleichartig nenneu, jenachderu das Vorzeicheu ihrer Dichtigkeit iiberall dasselbe, oder au verschiedenen Stellen eiu versckiedenes ist, so wiirden wir leicht zu Missverstandnissen Veranlassung gebeu. Deim wollteii wir z. B. vou zivei Conductoi'en mit gleichartigen Beleguugeii sprecheu, so wiirde unwillkuhrlich die Vorstelluug entstehen, als sollten die beiden Conductoren unter einander verglichen werdeii; wahreud wir doch nur auszudriicken beabsichtigen, dass das Vorzeichen der elektri- scheu Dichtigkeit auf jedem der beiden Conductoren constant sei, unbekiimrnert darum, ob diese beiden constanten Vor- zeichen uuter einander u'bereinstimrnen oder nicht. - - Zur Vernieidung solcher Missverstandnisse mogen die Worte ylcichartig uud unylciclwrtiy durch die griechischen Ausdrucke monogen und amphigen ersetzt werden. Ueber die Frage der Monogenitat oder Amphigenitat existirt nun, wie im gegenwartigen Capitel gezeigt werden soil, eine grosse Keihe einfacher allgemeiner Satze, von denen jener zu Anfang genannte Gauss'sche Satz nur das erste Glied ist. Wir nenuen beispielshalber die folgeuden: 1. Die elektrische Vertheilung auf einem gegebenen Con- ductor ist (falls keine aussern Krafte influiren) stets monogen. *) Gauss' allg. Lehrsatze, Art. 29. 7() Drittes Capitel. II. Sind swei Conductor en bclicbiy gcladen, so wird (falls keine aussern Krafte influiren) immcr wcnigstens auf einem derselben eine monogcnc Vcrthcilung staUfmdcn, Habcn insbesondere die Conductoren entgcgengesetzte La- dungen*}, so finden auf beiden monogene Vertlieilungcn statt, und zwar von entgegengcsetsten Vorzeicticn. Hat ferner der eine Conductor eine beliebige Ladung f der andcre die Ladung Null, so entstelit auf dem er stern eine monogene, auf dem letztern eine ampJiigene Vertlieilung. III. Sind beliebig vielc Conductoren mit belicbif/cn Ladungen gegeben, so wird (falls keine aussern Krafte in- fluiren) immer wenigstens auf einem derselben eine monogene Vertheilung stattfinden. - - Sind insbesondere jene Ladungen der Art, dass Hire Summe = ist, so warden mindestens auf swei Conductoren monogene VertlieHungen vorhanden sein. Auch fiir den bisher ausgesclilossenen Fall des Vorhanden- seius ausserer Krafte existiren derartige Satze, so z. B. fol- gender : IV. Die auf einem gegebenen Conductor durch einen aussern elektrischen Massenpunct inducirtc Belegung ist stets monogen, falls der Conductor zur Erde abgeleitet, hingegen stets amphigen, falls derselbe isolirt und mit der Ladung Null versehen ist. Vergegenwartigen wir uns den hohen Grad von All- gemeinheit, der in all' diesen Satzeii sich kundgiebt, ihre Unabhangigkeit von der Gestalt und relativeii Lage der ein- zelneu Conductoren, - - so gelangen wir zur Ueberzeugung, dass dieselben eine uumittelbare Consequenz der allgemeinen Eigenschaften des Newton' schen Potentials sein musseii, und demgemass zu der Vermuthung, dass analoge Satze in der Ebene existiren mochten unter Zugrundelegung des Loga- ritlimischen Potentials; wobei selbstverstandlich die leitenden Korper durch leitende ebene Flaclien, und die elektrischen Fluida mit dem Wirkuugsgesetz : +^ durch zwei fmgirte Fluida mit dem Gesetz + zu ersetzeii sein warden. *) Unter dor Ladung cines Conductors verstehc ich die Gesaunnt- niasse der auf ihm vorhandcneii Elektricitat. Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 71 Diese Vermuthuug bestatigt sich. In der. That konnen wir der gauzen Theorie der Elektrostatik eine im Ganzen analog verlaufende Theorie in der Ebene zur Seite stelleu, und z. B. fur die meisten (nicht fiir alle) der vorhin ge- nannten Satze die analogen in der Ebene angeben. Doch vvollen wir vorlaufig auf diese Dinge uns nicht tiefer ein- lassen, als zur Markirung unserer eigentlichen Hauptstrasse erfordert wird. Zu diesem Zwecke aber brauchen wir jene analoge Disciplin in der Ebene nur so weit zu verfolgen , als sie uiit den ersten Elementen der Elektrostatik Hand in Hand geht. Mit andern Worten: Wir brauchen zu diesem Zweck uur f'olgende einfache Satze uns anzueignen: In der Ebene. 1st eine leitendc ebene Fldche, die von der gescldossenen Curve a begrenzt wird, mit einer gegebe- nen Menge M des fingirten Flui- dums geladen, so wird dieses Pluidum zur Zeit des Gleich- Im Baum. 1st ein leitender Korper, der von der geschlossenen Fldche a begrenzt wird , mit einer gegebe- nen Menge M elektrischen Flui- dums geladen, so wird dieses Fluidum zur Zeit des Gleich- gewichts am Eande der Flache, ijgewichts an der Oberfldche des cl. i. auf ausgebreitot sein, II Korpers , cl. i. auf 6 ausgebreitet und zwar in solcher Weise, dassilsein, und zwar in solcher Weise, das (Logarithmische) Potential |i dass das (Newton'sche) Potential in alien Puncten der Flache con- in alien Puncten des Korpers stant ist. constant ist. Diese auf o ausgebreitete Be- |j Diese auf G ausgebreitete Be- legung wird*, falls M = 1 ist, und iiussere Krafte nicht vor- handen sind , monogen sein , und ledigUch ablidngen von der geo- metriscJien Bescliaffenlieit der Curve G. legung wird, falls M = 1 ist, und aussere Krafte nicht vor- handen sind, monogen sein, und kdiglich abhangen von der geo- metrischenBeschaffenhcit der Ober- flaclic G. Die in solcher Weise definirte Belegung mag die natur- liche Beleyung der gegebeueii Curve oder Flache (? heissen. Auch mag ihre Dichtigkeit uiit y , ihr Potential mit TT, und der constante Werth dieses Potentials fiir innere Puncte mit f bezeichnet sein, so dass also y eine der Curve oder Flache 72 Drittes Capitel. 6 eigenthiimljch zugehorige Function, urid f eiue ihr eigeu- thiimliche Constante reprasentirt. Unter Anwenduug dieser Grossen y, f werdeu wir nun im gegenwartigen Capitel einen wichtigen allgemeinen Satz beweisen, der fiiglich als die Verallgemcincruny eincs Ic- kannten Gauss' sclien Sattes*) anzusehen, und folgendermassen auszusprechen ist: 1st 6 tine geschlossenc Curve oder Flaclie, und V das Logarithmische resp. Newton'sche Potential irgcnd wclcher un- bekannten innerhalb 6 gelcgener Massen, so bcsitzt die Sum me M dieser Massen den Werth: fV aVa dc "~r die Integration ausgedclint uler allc Elemente do der yeyd>cnni Curve oder Flache.**} Hieraus folgt, dass die Sumnie der das Potential V Jier- vorbringenden Masseu durch Arigabe derjenigen Werthe, welch e V auf der gegebenen Curve oder Flache besitzt, voll- kommen bestimrnt ist, ausser wenn f = sein sollte. Denn in dicsem singuldren Fall konnte die vorstehende Forrael moglicherweise die Gestalt annehmen, mithiu zur Bestimmuug von M uiibrauchbar werdeu. Der in Rede stehende singulare Fall: f = tritt in der Ebene beim Logarithmischen Potential z. B. em, weun die gegebene Curve (5 eine Kreislinie vom Radius Eins ist. Aiidererseits aber erkennt man leicht, dass sein Vorkommen im Raume beim Newton'sehen Potential wwmoglich ist. Mit Hiilfe des eben genannten erweitcrten Gauss'schvn Satzcs werden wir nun leicht im Stande sein, fblgende Theoreme zu beweisen: *) 111 der That \vird man leicht erkennen, dass der von Gauss in seinen allg. Lehrsiitzen Art. 20 aufgestellte Satz niit deui luer fol- gendcn allgemeinern Satze ideiitisch wird, sobald man den leUtern auf den Specialf'all der Kugelfldche in Anwendung bringt. **) Es bedarf wohl kaum der Bemerkung, dass in der vorsteheuden Foruiel unter V g , y a diejeuigen Werthe zu verstehen sind, welche die Functionen V, y im Elemente do besitzen. Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 73 Im Raum, Beseichnet 6 eine geschlossene Flachc, und V das Newton' sdie Potential irgcnd ivclchcr uribe- kiiiiidcn- innerhalb s gelegener Masse n , so ivird dieses Potential V fii-r alle Puncte ausserhalb 6 vijUiy bestimmt sein, sobald nur seine Werthe auf 6 sdber gegeben stud; -- ohne Ausnalime. In dcr Ebene. lii'seichnet a einc geschlossene C/irn\ und V das Logarithmteche Irgcnd u-elclter unbe- i n >t c r It alb a gelegener Massen, so wird dieses Potential V fiir alle Punde ausserhalb G I'ilUig bestimmt sein , sobald nur Ki'iiH' Wcrtltc tiuf'a setiber gegeben tii/d; ausser im singular en Fallc. In der That ist dieser Satz im singularen Pall , d. h. wenn die der Curve 6 zugehorige Con- stante f == ist, nicht inehr richtig; wie sich solches leicht durch ein Beispiel zeigen liisst. Sobald wir diese Dinge absolvirt haben , wird das eigent- liche Ziel des gegeuwiirtigen Capitels erreicht sein. Denn wir haben alsdann zu dem Theorem rechter Hand, welches schon im vorhergeheuden Capitel (Seite 3 und 35) besprochen war, das analoge Theorem des Logarithmischen Potentials eutdeckt, und somit die in jenem Capitel noch offeii ge- bliebene Liicke ausgefiillt. Allerdings unterliegt der Weg, auf welchem wir dieses Ziel erreichen, insofern ein em gewissen Bedenken, als wir dabei von einer Function y Gebrauch niachen, deren Existent theils durch uusere physikalischen Anschauungen, theils durch eineu gewissen Analogieschluss, nicht aber durch mathematische Conclusionen verbiirgt ist. In manchen Fallen, z. B. fiir Kreislinie und Kugelflache, Ellipse und Ellipsoid, kann ein solches Bedenken durch die ivirkliclie Aufstdluny dor Function y beseitigt werden. Auch wircl die Anzahl der speciellen Falle, in denen man dem ge- ausserten Bedenken gegenuber in dieser besonders giinstigen Lage sich befindet, durch eines der spateren Capitel uoch be- deutend vermehrt werden. Will man aber jeiiem Bedenken nicht in speciellen Fallen, 74 Drittes Capitel. sonderu im Allgerneineu zu. begegneu suchen, so sei erinuert an die von Gauss gegebene Variations-Methods. Deim uiit Hiilfe dieser Methode kann man , wie am Schluss des gegen- wartigen Capitels gezeigt werden soil, nicht alleiu die Existenz der Function y im Kaume fiir eine gegebene ge- schlossene Flache , sondern ebenso auch ihre Existenz in der Ebene fiir eirie geschlossene Curve erweisen. - - Allerdings diirfte eiiier solchen Variations - Methode kein unbedingtes Zutrauen einzuraumen sein, wie Aehnliches ja betreft's der Dirichlet'schen Variation s-Methode (des sogeuannten Diriehlet- schen Princips) schon mehrfach mit vollem Recht bemerkt worden ist. 1. Die Poisson'sche Theorie. Es seien gegebeu beliebig viele uud mit beliebigeu Elektricitatsmengen geladene Conductoren uud Isolatoren, von denen jeder fest aufgestellt ist. Wir wollen die elektrischen Gleichgewichtszustande der Condudoren zu ermitteln suchen, unter der Voraussetzung , dass die elektrischen Zustaude der Isolatoren unveranderlich siild. Dabei sei dahingestellt , ob die Ladungeu *) der einzelneu Conductoren positiv, null oder negativ sind. Auch mag jeder Conductor von beliebiger Gestalt, z. B. von beliebig vielen Flachen begreuzt sein.**) Nur wollen wir voraussetzen , dass alle Conductoren isolirt, dass also ihre Oberflachen mit Luft oder iiberhaupt mit isolirenden Medien bedeckt seien. Es sei 6 einer der gegebenen Conductoren, i'erner tn eiu in (5 enthalteues Elektricitatstheilchen mit den Coordi- naten x, y, 8, endlich m V das auf m ausgeiibte Gesammt- *) Unter der Ladung eines Conductors verstehe ich die Gesarnmt- masse der ihm mitgetheilten Elektricitat. Und eben so verstehe ich auch unter der Ladung eines Isolators die Gesammtmassc der iu ihm enthaltenen Elektricitat. **) Bin Conductor wird uur eine Begrenzungsflache besitzen, i'alls er massiv, hingegen zwei, i'alls er schaalenformig ist. Den allgem einsten Fall von beliebig vielen, etwa n Begrenzungsflacheu erhalten wir, weun wir uns einen Couductor vovstellen , der in seiiiem Innern (n 1) llohlraurac besitzt. Die Theorie cler elektrischen Vertheilung. 75 potential, iitimlich dasjenige Potential, mit welchem m solli- citirt wird voii aller in dem System iiberhaupt vorhandenen Elektricitat; so dass also die auf m einwirkenden Krafte X, Y, Z folgende Werthe besitzen: v 8V , oy ' cV Soil daher das Theilchen m in Ruhe bleiben, so iniissen die Bedinguugen erfullt sein: dx und sollen sdmmtliche Theilchen des Conductors (5 in Ruhe bleibeu, so miisseii diese Bedingungen (l.)'iu 'alien Puncten von ($ erfullt seiu; woraus folgt, dass innerhalb Cv F= Const., uud , c?v . &v T dy* "" dz* sein mftsse. Die letzte Formel geht, mit Riicksicht auf die bekannte Laplace'ache Relation : ^- g - -(- ^ 2 - -f- x-^- = 2lXe (Seite 12], iiber in: -=0, wo die im Puncte (x, y, z) vorhandeue elektrisclic Dichtig- keit bezeichnet. Zur Zeit des Gleichgewichtszustandes wird also, wie aus (4.) folgt, die elektrische Dichtigkeit im Innern des Con- ductors (5 iiberall == 0, mithin alle clarin euthaltene freie Elektricitat an seiner Oberfltiche abgelagert seiu. Analoges gilt selbstverstandlich von jedem der iibrigeu Conductoren; uud wir haben also zur Zeit des Gleichgewichtszustandes 76 Drittes Capitel. eben so viele elektrische Schichten vor uns, als die gegebenen Conductoren Oberflachen besitzen. Diese unendlich diinnen elektrischen Schichteu sind, wie aus (2.) folgt, von solcber Beschaffenheit, dass sie in Ver- bindung mit den gegebeuen Isolatoren (deren elektrische Zu- stande unveranderlich sind) ein Gesammtpotential F liefern, ivelchcs im Innern von (, und also uberhaupt im Innern vines je den Conductors constant ist. Um die Eigenschaften jener elektrischeu Obernachen- Belegungen naher zu untersuchen, wollen wir zunachst die- jenigen Conductoren des gegebenen Systems betrachteu, welche massivj also uur von einer Flache begrenzt sind. Ist (7- die Oberfliiche eines solchen Conductors, ferner v die innerc und N die dusserc Normale von ,, (\ 2; . . . ($. p und q Isola- te reu v \j, v \ 2; . . . 3 un d bezeichnet man die constanten Werthe, welche das elektrische Gresammtpotential V nach Eintritt des Gleichgewichtszustandes in den einzelnen Con- ductoren besitzen wird , der Reihe nach mit 6', , 6 r 2 , . . . C p , 78 Drittes Capitel. 9.0 so pflegt man C l kurzweg die dclirisclte Spannung des Con- ductors (5,, ebenso C\ die elektrische Spannung von (v, zu nenuen, u. s. w. Man spricht haufig von einera zur Erde abgeleiteten Con- ductor. Ich werde mich der Bequemlichkeit willen dieser Ausdrucksweise ebenfalls bedienen, darunter aber cincn isolirten v.p Conductor verstelien, dessen Spannung gleicli Null ist. 2. Einige aus der Poisson'schen Theorie sich ergebenden Satze. Der Kiirze halber wollen wir diese Satze dem Funda- mentalsatz (8.) sich anlehnen lassen, indem wir die dort au- gegebenen allgenieineu Vorstelluugen beibehalten, und nur die jedes Mai hinzutreteiiden specielleren Pestsetzuugen zur Aussprache bringen. 10. Erster Satz. Bcsitzt einer von den Conductoren des Systems (8.) einen Hohlraum } der vollstandig erfullt ist mil einem isolirenden Medium, so wlrd zur Zeit des Gleicligewiclits- zustandes auf der Oberflache dieses Holilraums keinc Spur von Elektricitat vorhanden sein. Seweis. -- Bezeicbnen wir den Conductor mit (>, seiuen Hohlraum mit ^ 7 un d die Grenzflache zwischen (>, ^ mit a, so wird das elektrische Gesammtpotential V [nach Satz (8.)] in alien Puncten von 6, mithin auch in alien Pnncten von (? constant sein. Dieses V ist aber das Potential von Massen, welche theils ausserhalb ^\ ? theils auf der Grenze von ^ ausgebreitet sind; und es wird daher V, weil es auf dieser Grenze, namlich auf 6 constant ist, auch constant sein in sammt- lichen Puncten von 3 [Satz (30.), Seite 41]. Hieraus aber folgt mit Rucksicht auf (8. II), dass die auf (J vorhaudene elektrische Dichtigkeit d iiberall = ist. AY . , z. b. w. Zweiter Satz. -- Sind unfcr den Conductoren des Systems (8.) zwci vorhanden, ran denen der cine den andern scliaalen- 11. formig uHiseltliesst, so iverden die einander zugewnndte.n Flaelit'ii dieser Iciden Conduetoren mit ;/ lei eh en und enti/ec/en- gesetztcn Elektrititatsmengen 'bcladcn sein. Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 79 Erster Seweis. Bezeichnen wir den schaalenformigen Zwischenraum der beideii Conductoren mit <5>, ferner die beiden Greuzflachen von @ mit tf, G it mid die auf diesen Flachen vorhandenen elektrischen Dichtigkeiten mit d } 8 lf so ist nach (6.): ~A i ~ = 9N, ' wo N, Nj die in den Raum <3 hineinlaufenden Normalen der Flachen G, a l vorstellen, wahrend selbstverstandlich V das elektrische Gesammtpoiential bezeichnet. Hieraus folgt sofort: die Integrationen ausgedehnt resp. iiber 6 und 6 { . Durch Addition dieser beiden Formeln folgt: Hier aber ist die rechte Seite = 0, zufolge eines Green'scben Satzes [vgl. (44.) Seite 24J. Somit folgt schliesslich : W. Z. I). AY. Zweiter Be- iceis. Wir con- struiren eiue ge- schlosseue Flache s, welche urn den Raum sich herumzieht , und iunerbalb des an ; und bezeichnet man ferner mit M a und M s diejenigen beiden Theile von M, welclie respective auf o und auf s sich aus- breiten, so ist: M = M ff + M s? und ferner nach (12.): M = (ft, -f p, + ^ 3 + ) folglich: M.,= M + (^+^ + ^ + "-); w. z. z. w. Beweis der Beliauptung II. Zerlegen wir das elektrische Gesammtpotential V in zwei Theile V= W + Q, indem wir unter W das Potential von s, andererseits unter Q das Potential von G, x, , x 2 , x 3 , . . . . verstehen, so ist [uach (8.)] W -\- Q constant in alien Puncten des schaalenformigen Conductors (5. Hieraus folgt [nach einem fruheren Satz, Seite 47] sofort, dass TFund Q in jenem Gebiete (5 einseln constant sind, und dass insbesondere der constaute Werth von Q identisch mit Null ist. Dieses Null- sein von Q wird sich aber, weil die Massen von Q innerhalb G resp. auf G liegen, iiber die Grenze s hinauserstrecken, und sich ausdehneii auf den Raum G -j- 2X [vgl. den Satz Seite 9]. W. z. b. w. Fiinfter Satz. - - Das System (8.) enthalte einen schaalen- formigen Conductor ($ , dcssen inncre Bcyrenzungsflciche G } Xeumanu, Potential, 6 82 Drittes Capitel. dessen dussere Begrenzungsfldche s heissen mag; und von den sonstigen Korpern des Systems mogen einige x,, x 2 , x 3 , . . . . innerhalb G, die ubrigen k 1} & 2 , k B , . . . . ausserhalb s ge- legen sein. Nennt man nun Icurzweg 6, Xj, x 2} x 3; .... das innere System, und s, Jc i} & 2 , & 3 , . . . . das dussere System, so sind folgende Bemerkungen zu machen: I. Die Gesammtladung des' innern Systems ist = 0; II. Das Potential des innern Systems ist im Haume des dussern iiberall = 0. III. Das Potential des dussern Systems ist im Raume des innern iiberall constant. Hieraus erkennt man, dass das innere und dussere System hinsichtlich ihrer elektrisclien Zustdnde von einander unab- h an gig sind. Hat man ndmlich, mit Hulfe der Eegel I., die Ladung der Fldche 6 berechnet, so wird man weiterhin bei der Bestimmung des elektrisclien Zustandcs des innern Systems a, x 1? x 2; x 3 , .... von dem Vorliandensein des dussern Systems vb'ttig abstrahiren hb'nnen, wie aus III. folgt. > Und hat man andrerseits, mit Hillfe der liegel I., die Ladung der Fldche s berechnet, so wird man weiterhin bei der Bestimmung des elektrisclien Zustandcs des dussern Systems s, &, , Jc. 2 , & 3 , .... von der Existenz des innern Systems vollig abstrahiren diirfen, wie solches folgt aus II. Beweis der Behaupttmg I. - - Bezeichnet man die den Korpern (&, Xj ; X 2 , X 3 , . . . KI , AJ 2 , A' 3 , . . . . zuertheilten Ladungen resp. mit M> M-n ^^; f*> m i> m i> m ti - und bezeichnet man ferner mit M ff und M. diejenigen beiden Theile von M, welche respective auf G und auf s sich aus- breiten, so ist M = M ff +M,, und ferner nach (12.) M ff = - (^! + P 2 + /* 3 H ) . Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 83 folglich: M, + 01,+^ + ^, + - ) = <>, w. z. b. w. Beweis der Behauptungen II. und III. Zerlegen wir das elektrische Gesamratpotential V in zwei Theile: V= TF+ft, intleni wir unter W das Potential des anssern Systems s } A", , A* 2 , & 3 , . . . andrerseits unter ft das Potential des innern Systems > (? und 91, wo 3 den innern Hohlraum des Conductors, 6 den Raum des Conductors selber, und 3X den Aussenraum des Conductors bezeichuen soil. Die Massen des Potentials ft liegen im Gebiete 3- Folglich wird das Nullsein dieses Potentials ini Gebiete (5 sich erstrecken auf den grossern Raum ( -|- 5( [Satz, Seite 9]. Andrerseits liegen die Massen des Potentials W im Gebiete 5t. Folglich wird [nach demselben Satz] das Constantsein dieses Potentials im Gebiete (> sich erstrecken auf das gro.ssere Gebiet ($, -{- 3- \\ . z. b. w. 3. Die analoge Theorie der Ebene. Der Theorie der elektrischen Vertheilung im Raume kann, wie schon bemerkt wurde (Seite 70), eine analoge Theorie in der Ebene zur Seite gestellt werden, wobei als- dann die elektrische Materie durch eine gewisse fingirte Materie, und das Newton'sche Potential durch das Loga- rithmische zu ersetzen ist. In der That konnen wir zu sammtlichen Satzen der beiden vorhergehenden die analogen Satze der Ebene niit Leichtigkeit angebeu und beweisen. Und wir wollwi bei 6* 84 Drittes Capitel. unsern weiteren Betrachtungen so verfahren, als ware dies wirldich bereits geschehen ; indem wir in vorkommendcn Fallen auf jene Satze der Ebene uns berufen, gleicli als wciren sie wirklicJi hingestellt. Vom folgenden ab indess wolleu wir rait etwas grosserer Ausfiihrlichkeit verfahren. Denn wenn auch die beiden in Rede stehenden Theorieu der Hauptsache nach ziemlich gleich- laufeud sind, so treten doch Uuterschiede auf, sobald die Werthe der Potentiale fiir unendlich feme Puncte in Be- tracht kommen.*) Sobald derartige Discrepanzen eintreten, werden wir im Folgenden eine Spaltung des Papieres ein- treten lassen , indem wir (wie friiher) die -Satze der Ebene oder des Logarithmischen Potentials zur Linken, die des Raumes oder Newton'schen Potentials zur Rechten schreiben. Meistentheils jedoch wird es moglich seiu, die Satze der beiderlei Theorien mit einander zu verschmelzen durch An- wendurig folgender Collectivbezeicbnungen. Potential: das Logarithmiscbe resp. Newton'scbe Po- tential ; Conductor: eine leitende ebene FlSche resp. ein leitender Korper ; Beyrenzung des Conductors: die Randcurve der leitenden Flache resp. die Oberflache des leitendeu Korpers; Ladung des Conductors: die Gesammtmasse des in dem Conductor enthaltenen fingirten resp. elektrischen Flui- dums 5 Spannung des Conductors: der constante Werth, wel- cben das Gesammtpotential, nach Eintritt des Gleich- gewicbtszustandes, in alien Puncten des Conductors besitzt. 4. Betrachtung eines einzigen Conductors. Definition der sogenannten natiirlichen Belegung. - Wir habeu bier zunachst nur zu wiederbolen, was schon in der Einleitung (Seite 70) bemerkt worden war: *) Das Logarithmische Potential ist namlich fiir unendlich lerne Puncte bald =0, bald = , das Newton'sche Potential hingegen stets = 0. Vgl. Seite 9. Die Theorie der elektrischen Vcrtheilung. 85 Denkt man sich eine leitende, Denkt man sich einen leiten- ebene Flache, die von der ga-^dcn Korpcr, der von der ge- schlossenen Curve 6 begrenzt schlossenen Fliiche a begrenzt wird , mit einem Quantum Eins j wird ; mit einem Quantum Eins des fingirten Fluidums geladen, ! elektrischen Pluidums geladen, so kann die auf der Curve G so kann die auf der Flache G entstehende Belegung, falls keine j| entstehende Belegung, falls keine ausseren Kriifte influiren, lediglich jj ausseren Krafte influiren, lediglich von der gcometrisclien Bcschaff'en- heit der Curve abhangen. von der gcometrisclien Beschaffen- heit der Flache abhangen. Die in solcher Weise definirte Beleguiig soil ill Zukuiift die natiirUchc Belegung der gegebcnen Curve, resp. die natur- liclie Belegung der gcgebenen Flaclic heissen. Gleichzeitig mag ihre Dichtigkeit mit y, ihr Potential auf eiuen variableu Pimct mit TT, und der constante Werth dieses Potentials fur innere Puucte mit f bezeiclmet werdeu. Alsdanu reprasentirt also y eine .der gegebeneu Curve oder Flache eigenthihulich zugehorige Function, und f eine ihr eigeuthiimlich zugehorige Constante. Beispiel. - - Fur den specielleu Fall der Kreislinie oder Kugelflache sind die Werthe von 7, TT, f sofort angebbar. Mit Hiilfe bekannter Satze [(32. a, i), Seite 14] findet man niimlich: fur die Kreislinie: 1 y o 255 A IT = log -1 , wo A den Radius, und r die Centraldistanz des betracbteten Punctes vorstellt. Hieraus folgt, dass die der Kreislinie zugehorige Constante fiir die Kugelflache: 1 wo A den Radius, und r die Centraldistanz des betrachteten Punctes bezeichnet. Hieraus folgt, dass die der Kugelflache zugehorige Constante f positiv, negativ, auch Null sein\ f unter alien Umstanden po- kann, je nach der Grosse des \sitiv ist. Radius. So z. B. wird f = 0, falls der Radius = 1 ist. 86 Drittes (Japitel. Wiederaufnahme der allgemeinen Betrachtung. - - Be- zeichnen wir die gegebene geschlossene Curve oder Ober- flache nach wie vor mit 6 , ferner die Puncte ausserhall, auf und innerhalb 6 respective mit a, (? uud i } so ist nach (15.): 17; =r, oa n ff = r, und' ausserdem nach eiuem friihe- ren Satz [Theorem (A.), Seite 33, oder auch Satz (13.), Seite 34]: eutweder : T > TT a > TT^ , oder: r < n a < n^ . Diese Alternative konnen wir mit Hiilfe der Formel (6.): 2Wy = , (N die aussere Nonnale) noch einen Schritt weiter verfolgen, uamlich sagen: Ent- weder ist: a T > 17 > 17^ , und gleichzeitig y uberall positiv; oder es ist: p. T < TT a < TT^ , und gleichzeitig y uberall negativ. Ein uberall negativer Werth von y ist aber uiimoglich, weil die Gesammtmasse fy da der natiirlichen Belegung gleich Kins sein muss [vgl. (15.)]. Somit haben wir uns fur die erste Alternative, namlich fur (a.) zu entscheiden. Folglich ist fiir jeden Punct a: 17 . r > n a > n M , und y uberall positiv, die betrachtete Belegung also monogen. Auch wird y [zufolge eines friiheren Satzes (8. Ill), Seite 77] auf keinem noch so kleinen Theil von G verschwinden konnen. Somit gelangen wir, Alles zusammengefasst , zu folgenden Satzen : Die naturliclie Belegung einer geschlosscnen Curve oder Fldche 6 ist stets monogen. - - Oder genauer ausgedriickt: is. Die Dichtigkeit y der natiirlichen Bdeyung ist allenthalben positiv, und kann auf keinem noch so Meinen Theile von n a > n OT . In dieser Formel sind die Zeichen in sensu rigoroso zu nehmen, falls man jenem aussern Punct a die Beschrankung auferlegt, 'weder auf a noch im Uncndlichen liegcn zu diirfen. Letztere Bemerkung ist eine unmittelbare Folge des schoii genaimten Theorems (-4.), Seite 33. Bemerkung iiber die Constante TT^. -- Die sogeiiamite natiirliche Belegung der gegebeiien Curve oder Flache verschieden. In der That hat f In der That zeigt das Beispiel il den Werth .88 Drittcs Capitel. 24. des Kreises , dass all' diese drei Falle vorkommen konnen. Denn die der Kreislinie entsprechende Constante f hat nacb (16. a) den Werth log ^- , wo A den Radius bezeichnet, und ist also positiv, wo r die Entfernungen der Ele- mente d a von einera . beliebig gewahlten innern Puncte vor- stellen. Bezeicbnet man also unter all' diesen Entfernungen null oder negativ, je nachdem ^ gr6sgte mit ^ SQ igt . der Radius < 1 , = 1 oder > 1 ist. r> i C also nach (19-) : _ j_ woraus folgt , dass f nicht Null sein kann. Nennen wir also den Fall: f = kwrzwcg den singu- lar en Fall, so konnen ivir mit Riicksiclit auf (22.) sagen, dass dieser singiddre Fall wohl in der Ebene, niemals aber im Raume vorJcommt. 5. Betrachtung zweier Conductoren. Erster Satz. -- Besitzen zwei Conductoren (S und (5' be- liebige Ladungen, so wird (falls keine ausseren Krafte iu- fluireu) wenigstens auf e in em derselben elne monogene *) Ver- fheihmg stattfinden. Beweis. Es sei V das Gesammtpotential ; feruer seien C und C' die Spannungen der beiden Conductoren, d. i. die constanten Werthe von V innerhalb ( und (T. Bezeichnen wir nun sammtliche Puucte ausserhalb der beiden Conductoren mit a, so werden die Extreme der Werthe V a durch zwei der Zahlen dargestellt sein; also entweder clargestellt sein durch C, C', oder durch 6 T , V x , oder durch C", V^ ; [wie solches sich ) Vgl. Seite 69. Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 89 ergiebt aus clem ervveiterten Theorem (A.~), vgl. die Bemerkuug (25.), Seite 39]. Wie die Saclien also auch liegen mogen, eines jener beiden Extreme wird stets durch C resp. durch C' dargestellt seiu. Um die Vorstellung zu fixiren, nehmen wir an, es sei durch C dargestellt. Alsdann sind entweder sammtliche V a lileincr als C, oder umgekehrt: sammtUche V a grosser als C. Im erstern Fall aber wird offenbar die mittelst der Formel (8. II) 8 V 2lod = ^TJ (N die aussere Normals) C IN - zu bestiuiiueude Dichtigkeit d der Belegung des Conductors & alletithalbai positiv , uud im letztern allenfhalben negativ seiu. W. z. z. w. Zweiter Satz. Besitzen zwei Conductoren ( und (' entgegengesetzte Ladungen -j- M und M, so entstelien 25. (falls keiue ausseren Krafte vorhaudeu sind) auf beiden monogene Belegungen, die ubrigens unter einander entgegen- gesetztes Vorzeiclien lidbcn. Beiveis. - - Bedienen wir uns derselben Bezeiclmuugeu wie vorhin, so siiid im gegenwartigen Fall die Extreme der V a nothwendig durch die Zahlen C, C' dargestellt; [deun an Stelle des Theorems (A.) komnit gegen- wartig das Theorem (A'.) } Seite 37 zur Geltung]. Hieraus folgt dureh Amvenduiig der bekaunten Formeln sofort, dass d constantes Vorzeichen hat, uud d' ebenfalls. Nun soil aber fd da = + M , fd'de' = M sein. Somit erkennen wir, dass d allenthalben positiv uud d' allentkalben negativ sein wird, falls die gegebene Zahl M eineii positiven Werth hat; uud dass andererseits das Entgegeu- gesetzte stattfinden wird, falls M uegativ ist. 90 Drittes Capitel. Dritter Satz. -- Besitet der Conductor (5, eine beliebige 26, Ladling, und der Conductor (5' die Ladung Null, so ivird (falls keine ausseren Krafte influiren) auf dem erstern eine monogene, auf dem letztern eine amphigene Vertheilung sich etabliren. Beweis. -- Da (T die Ladung Null hat, so ist: J 29. so wird die auf ihm durch einen dussern Massenpunct 1 inducirte Vertheilung monogen sein, falls M ^ ist. Beweis. Fur M = haben wir den Satz bereits in Die Theorie der elektrischeii Vertheilung. 91 (28.) bewiesen. Es bleibt also nur noch iibrig, ihn zu be- weiseu fiir M > 0. Es sei F das Gesarnmtpotential, ferner C sein coustanter Werth im Innern des Conductors, und F^ sein Werth in dem gegebeueii aussern Massenpuuct ft = 1. Bezeichnen wir alle Puncte ausserhalb des gegebenen Conductors mit a, so werden [nacli Theorem (A.J] die Extreme der F a dargestellt sein durch zwei der Zahleu: c, v,, v x . Um indessen weiter hierauf eingehen zu konnen, mussen wir deu Pall der Ebeue von dem des Raumes trennen. In derEbene hat F u den Werth : F,, =>(-!) log |, darin r gesetzt. Somitfolgt: = oo. .Im Eaume hat F/* den Werth darin r = gesetzt. Somit folgt : =;= oo. mit folgt : V = log , darin * == oo gesetzt. Nach unserer Annahme ist aber M > 0; mithin : = ~ <*> Aus (30.), (31.), (32.) folgt, mit folgt: darin r oo gesetzt; d. i. Aus (30.), (31.), (32.) folgt, dass die Extreme der V a dar- , dass die Extreme der V a dar- gestellt sind durch zwei der Grb'ssen (7, oo , oo . igestellt sind durch zwei der Grossen : (7, oo, 0. Nun konnen offenbar jene Ex- Nun konnen jene Extreme nicht treme nicht dargestellt sein durch i dargestellt sein durch (7, 0, weil - oo , oo; denn sonst wiir- oo ausserhalb des Intervalls den die V a durchweg = oo |j (7, liegt. Auch konnen sie nicht 30. 31. Die Ladung des Conductors ist Die Ladung des Conductors ist = (M -f- 1), und die Masse des = (M -j- 1), und die Masse des Punctes ,ti = 1 , also die Punctes fi = 1 , also die Summe der Massen = M. So- Sumnie der Massen = M. So- 32. 33. 92 Drittes Capitel. sein. Folglich miissen tlieselben dargestellt scin clurch 0, oo. Folglich sind sammtliche V a klei- ner als G\ folglich ist die Ver- theilung auf dem Conductor eine monogene] w. z. b. w. dargestellt sein durch oo, 0; denn sonst wttrden sammtliche V a ncgativ sein ; wahrend sie doch fur sehr weit entfernte Puncte = , also positiv sind, (denn nach unserer Annahme ist ja M > 0). Folglich konnen jene Extreme der V a nur dar- gestellt sein durch C, oo. U. s. w. Sechster Satz. - - Sind zwei Condudoren 6 und (' bis 34> zu irgend ivelclien Spannungen C und C' geladen, so sind (immer vorausgesetzt ; dass keine ausseren Krafte influireu) folgende Behauptungen zu machen,*} Erste Behauptung. Ist C > C' > V^ , oder C < C' < V x , so ist die Vertheilung auf ($ mo- nogen, im erstern Fall positiv , im letztern negativ. Semerkung. Der Beweis ist analog dem Beweise des Satzes rechter Hand. Selbst- verstandlich reprasentirt V^ den Worth des Gesammtpotentials V ftir unendlich ferae Puncte ; und es ist daher dieses V^ je nach Umstanden -f- oo oder oo oder 0. Ist C> C' > , oder C < C' < 0, so ist die Vertheilung auf '($ mo- no gen, im erstern Fall positiv, im letztern negativ. Beweis. Bezeichnet man alle Puncte ausserhalb der bei- den Conductoren mit a, und das elektrische Gesammtpotential mit V, so sind die Extreme der V a [Theorem (-4.)] durch zwei der Zahlen: c, c\ v d. i. (7, C', dargestellt. Zufolge der ange- nommenen Relationen muss also das eine Extrem = (7, das an- dere = sein. U. s. w. *) Der Leser wird gebeten, init der Sjialte rechts zu beginnen. Die Theorie der elektriachen Vertheilung. 93 1st oder C=C' Zweite Behauptung. 1st C == C' > , ! oder C = C' < , so sind die Vertlieilungen auf \; so sind die Vertheilungen auf beiden Con du dor en mo no gen und von gleichem Vorzeichen. Im erstern Fall sind beide po- sitir , hn let stern beide negativ. BemerTvimg. Der Beweis ist ebenso wie beim Satze rechts. beiden Condudoren mo nog en, und von gleichem Vorzeichen. Im erstern Fall sind beide po- sitiv , im letztern beide negativ. Beweis. Die Extreme der 7 a sind dargestellt durch zwei der Zahlen: d. i. C, C', 0. Zufolge der angenommenen Re- lationen muss daher das eine Ex- trem = C = (7', das andere = sein. U. s. w. 7. < C" (genau dieselben 7s 0> oder C < so swd . . . Worte wie rechter Hand). Es ist aber 7^ gleich -f- oo, oo oder ; und es kann da- her der vorstehende Satz eine wirkliche Bedeutung nur in sol- chen Fallen haben, wo 7 =0 ist. Dritte Behauptung. C', oder C < < C", so sind die Vertheilungen auf beiden Condudoren monogen, wnd zwar von entgegengesetfr tern Vorzeichen. Im erstern Fall ist die Vertheilung auf (S positiv, die auf (S' negativ; im Idztern umgekehrt. Beweis. Die Extreme der 7 sind wiederum dargestellt durch zwei der Zahlen: d. i. C, C', . Zufolge der angenommenen Re- lationen ist daher das eine Ex- trem = C*, das andere = C'. U. s. w. 94 Drittes Capitel. 35. Vierte Behauptung. Hier ist Aehnliches zu be- j| Ist C > C' == , merken wie bei der dritten Be- 0( j, er C <^ C' [1 ^' so sind die Vertheilungen auf beiden Condudoren monogen und von entgegengesetztem Vorzeichen. Im erstern Fall ist die Vertheilung auf ( positiv, die auf (' negativ; im letztern umgekehrt. Beweis. Die Extreme der V a sind dargestellt durch zwei der Zahlen: C', C', V , d. i. /"Y /">' r\ Zufolge der angenommenen Re- lationen ist daher das eine Ex- trem = C, das andere = C' = 0. U. s. w. Siebenter Satz. - - Dieser Satis beschaftigt sich mit einem zur Erde abyeleiteten Conductor, und lautet folgendermassen: Die in einem zur Erde abge- leiteten Conductor durch einen elektrischen Massenpunct 1 in- ducirte Vertheilung ist stets mo- nogen, und Kwar positiv. Beweis. -- Verstehen wir un- ter a sammtliche Puncte ausser- halb des gegebenen Conductors, so sind die Extreme der V a dar- gestellt durch zwei der Zahlen: wo C die Spannung des Con- ductors und V u den Werth von f V in dem gegebenen Massen- : punct (A = 1 bezeichnet. Es Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 95 ist aber C '.== 0, weil der Con- ductor zur Erde abgeleitet ist; und andererseits F M = oo. Ausserdem ist V^ 0. Folg- lich sind jene Extreme darge- gestellt durch zwei der Zahlen: 0, oo, 0. Folglich muss das eine Extrem = 0, das andere =_ oo sein. U. s. w. BemerJcung. Man kann offenbar den vorstehenden . Sats auch so aussprechen: Wollte man zum Satze rech- j| Sind zwei fur sich allein vor- ter Hand den gleichlautenden ' handene Conductoren (, f.i ge- Satz der Ebene aufzustellen wa-lgeben, von denen p unendlich gen, so wtirde derselbe falschl^klein, und besitzt (5 die Span- sein, wie das Beispiel von Kreis-'\nung 0, andererseits ft die La- flaclie und Punct deutlich er- j dung -- 1 , so ist die Verthei- kennen lasst. Denn man ftndel ^lung auf & stets mo no gen. in diesem Beispiel (durch directejl Ausfiihrung der betreffenden Rechnungen), dass die Verthei- lung auf der Kreisperipherie, je nach der Lage des Punctes ft = 1 , bald monogcn, bald amphigen ist. Achter Satz. -- Befindet sich ein Conductor ( im Hohl- raum eines ring- oder schaalenformigen Conductors 6', so werden auf der a us s em Begrenzung von 6 und auf der innern von 6' monogene Vcrtlieilungen vorhanden sein'' von entgegengesetsten Vorzeiclien. *) *) Die gegebenen Conductoren sind leitende ebene Fldclien oder leitende Korper. Im ersten Fall soil angenommen werden, dass der Conductor (' eine ringformige Gestalt beaitze, z. B. begrenzt sei von zwei concentrischen Kreislinien oder zwei confocalen Ellipsen u. dgl. Im letztern Fall soil angenommen werden, dass ($.' eine schaalenformige Gestalt habe, etwa begrenzt sei von zwei concentrischen Kugel- n 1 lichen u. s. w. 96 Drittes Capitel. Bcweis. -- Es sei F das Gesammtpotential, ferner seieu C und C' die constanten Werthe, welche V in (5 und 6' besitzt. Bezeichnen wir nun die Puncte des swischen (5 und (' vorhandenen schalenforinigen Raumes mit i, so sind die beiden Extreme der F,- dargestellt durch C, (7'. U. s. w. Bemerliung. - Der vorstehende Satz ist offenbar auch 37. dann noch giiltig, wenn man den Conductor ( durcli eine unendlich kleine Kugel oder geradezu durch einen einzelnen Massenpunct ersetzt. 6. Betrachtung beliebig vieler Conductoren. Erster Satz. - - Sind n Conductoren (5,, ($ 2 , .... G w as. mit belicbigen Ladungen gegeben, so wird (falls keine ausseren Kriifte influiren) weniystcns auf einem dcrsdben eine mono- gene Vertheilung vorhanden sein. Beweis. Es sei F das Gesammtpotential, ferner seien .(7,, Gj, . . . C n die Spannungen der einzelnen Conductoren, d. i. die constanten Werthe von F im Innern derselben. Bezeiehnen wir samnitliche Puncte ausserhalb der Con- ductoren mit a, so sind die Extreme der F a dargestellt durch zwei der Zahlen: r r a v O| , O 2; . . . L/ M , ' a> Folglich muss wenigstens eines dieser Extreme unter den C zu finden sein. U. s. w. Z welter Satz. Sind n Conductoren (,, 6 2 , . . . (5 n 39 gegeben, und ist die Summe Hirer Ladungen =0, so iverclen (falls keine ausseren Krafte influireu) mindestens auf zwei en dieser Conductoren monogene Vertheilungen stattfmden. Beweis, - - Die Extreme der F siud dargestellt durch zwei der Zahleu: Cj , t/2 , . . . . C n ; [deun an Stelle des Theorems (^4.) kommt hier, wo die Summe der Massen = ist, das Theorem (A'.) zur Anweuduug]. Folg- lich mussen leide Extreme unter den C enthalten sein. U. s. w. Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 97 Dritter Satz. - Sind n Conductoren (Jj, ( 2 > @* bis zu beliebigen Spannungen C {) (7 2 , ... C n geladen, so gelten (falls keine ausseren Krafte einwirken) ahnliche Be- hauptimgen, wie in (34.). Icli will mich hier darauf be- schranken, die erste derselben namhaft zu maclien. Sie lautet: 1st-: C l >C.,...>C n >V^ O flpy \j ^* /* , <^** f^ ^* T/ so \si die Vertheilung auf (, monogen, und zwar im erstern Fall positiv, im letztern negativ. Bemerkung. Der Beweis ist analog dem Beweise rechter Hand. Selbstverstandlich re- prasentirt F^ den Werth des Gesammtpotentials F filr unend- lich ferae Puncte; und es ist daher dieses F^ je nach Um- stSnden -\- oo oder oo oder 0. Ist: C, > 2 ... >(7 n >0, oder: (7, < C, . . . < C n < , so wird die Vertheilung auf (5 monogen sein, und zwar positiv im ersten, negativ im letzten Fall. Beweis. Die Extreme der F a sind durcb zwei der Grossen C, , C 2 , . . . C n , F^ , d. i. durch zwei der GrSssen G| , C/2 C/ n , dargestellt. Zufolge der ange- nommenen Relationen muss also das eine Extrem = (7j , das an- dere = sein. U. s. w. 7- Erweiterung eines Gauss'schen Satzes. Es sei V das Logarithmische oder Newtou'sche Potential eines in der Ebene resp. im Raume beliebig gegebenen Massen- systems. Ferner sei 6 eine geschlossene Curve oder Flache von beliebiger Gestalt uud Lage. Bezeichnen wir die ausserhalb 6 befiudlichen Massen- elemente des gegebenen Systems mit m, m lt w 2 , . . . ., und die innerlialb 6 befindlichen mit p, u l; u 2 , . . . . ; so besitzt V in irgend eineni Puncte x den Werth: A Is Hiilfsmittel fur unsere Zwecke wolleu wir nun die sogeiiannte naturliche Belegung der Curve oder Flache a uus vergegenwartigen ; und diejenigen Grosseu y, TT, f benutssen, welche dieser natiirlichen Belegung entsprechen wiirden 40. Neumann, Potential. 98 Drittes Capitel. [vgl. Seite 85]. 1st d<5 irgend ein Element der Curve oder Flliche (?, und bezeiehnen wir die in diesem Elemente vor- handenen Werthe von V, y mit V a , y a , so wird offenbar: und hieraus folgt durch Integration: fV a y a da = 2(mfT ma y a da) + Nun ist aber nach der Definition von y, TT, l~: jT ma y a d(5 = TT m , well die Puncte m ausserhalb, die Puncte ft innerhalb wo r die Centraldistauz des Punctes m, uud A den Radius bezeichnet. Fiir diesen speciellen Fall der Kreislinie resp. Kugelflache gewinut daher die Formel (1.) folgende Gestalt: fV a dc = H (m\og J + U (p log 25JA 2 dies aber 1st der Gauss'sche Satz des arithmetischen Mittels [vgl. Seite 25], Und demgeraass sind wir also in der That berechtigt, unsern allgemeinen Satz (1.) als eine Erweiterung dieses Gauss'schen Satzes zu bezeichnen. Bemerkung. Fiir den Specialfall M = geht die Formel (3.) iiber in Da nun y a [ v gl- den Satz (18.), Seite 86] iiberall positiv und auf keinem noch so kleinen Theil von G Null ist, so folgt hierans sofort, dass die Werthe V a theils positiv, theils ne- gativ sein miissen. Oder genauer ausgedriickt: Reprasentirt G eine gescMossene Curve oder Flache, und lefmden sich theils auf, theils inner halb G 'irgend welche Massen, der en Summe = ist, so Mnnen die Werthe, welche das Potential dieser Massen auf G besitzt, nicht alle von einerlci Vorze-ichcn sein; - - es sei denn, dass sic sdmmtlich = sind. 7* 100 Drittes Capitel. Zweite Bemerkung. - Aus (3.) folgt ferner: M _/**.* r Neliraen wir nun an, die natiirliche Belegung der Curve oder Flache a und die dieser Belegung zugehorigen Grossen y a , f waren bekanut. Alsdann koniien wir vermittelst der Formel (G.) die Masse M berechnen, falls die Werthe V a gegeben sind; es sei deiin, dass P = 1st. Sollte namlich dieser sogeuannte singular e Fall: f = vorhanden sein, so konnte die Formel (6.) moglicherweise die Gestalt besitzen, inithin zur Berechnung von M unbrauchbar sein. Wir gelangen daher zu folgendem wichtigen Satz: Soften sdmmtliche Massen eines gegebmen Potentials V theils auf, theils innerhalb einer gegebenen gescldossencn Curve oder Flache 6 liegen, und sind ferner die Werthe von V auf G gegeben, so wird hierdurcJi die Summejencr Massen vollstandig bestimmt sein; ausser im singularen Fall. Das einfacbste Beispiel des singularen Falles : f = ist be- kanntlicb eine Kreislinie G vom Radius 1. Und in der That er- kennt man leicbt, dass der vor- stehende Satz (7.) fur eine solche Kreislinie nicht mehr giiltig ist. Setzen wir namlich: 1 und verstehen wir dabei unter W das Potential irgend welcher innerhalb der Ki'eislinie G ge- legenen Massen, und unter 1 das Potential eines im Centrum gelegenen Massenpunctes jt* , so haben die Pntentiale V und V Im Eaum kann der in Rede stehende singulare Fall : f == nietnals vorkommen, wie wir sol- ches schon friiher dargelegt ba- ben. [Vgl. (23.) Seite 88.] Die Theorie der elektris-chen Vertheilung. 101 auf der Peripherie a einerlei Werthe; und trotzdem ist die Summe der Massen fiir V eine andere als fiir V'. 8. Ueber die zur Bestimmung eines Potentials ausreichenden Bedingungen. Wir habeu im ersten Capitel gewisse Theoreme mit (A. add ), (J. add ) und (S. a(M ) bezeichnet, urn in solcher Weise anzudeuteu, dass dieselben von Potentialen handeln, deren Grenzwerthe bis auf unbestimmte additive Constanten vor- geschrieben sind. Wir werden gegenwartig zu andern Theo- remen iibergehen, die mit jenen eine gewisse Aehnlichkeit besitzen, die aber von Potentialen handeln, deren Grenz- werthe absolut d. h. vollstandig vorgeschrieben sind, und die wir dementsprechend mit (A. abs ), (J. abs ) und (<***) bezeichnen wollen. Allerdings sind wir mit einzelnen Bruchstiicken dieser Theoreme (A. ab *}, (*') und (S. abs } bereits bekannt durch ge- legentliche Excursioneu im ersten Capitel.*) Zu eiuer voll- standigen uud systeniatischen Darstellung der in Rede stehen- deu Theorie war uns damals aber noch der Weg verschlossen. Und erst gegenwartig haben wir uns diesen Weg eroffnet durch Aufstellung des eriveiterten Gauss'sclien Satzes (im vor- hergehenden ). Theorem (A. abs ~). Sollen die Massen eines Potentials V theils ausserhalb des Gebietes 91, theils auf seiner Grenze liegen, und sollen ferner die V a vorgeschriebene Wcrtlic haben, so ist kier durch V vollsUindiy bcstimmt fur alle Puncte von 91; ausser im singular en Fall. *) Es ist uns namlich schon von damals her derjenige Theil des Theorems (A. ab *) bekannt, welcher den Raum betrifft, desgleichen der zweite Beweis dieses Theorems [vgl. (14.) Seite 35]. Ausserdem ist uns bekannt das Theorem (J. abs ), nebst seinem zweiten Beweise [vgl. (31.) Seite 41]. 102 Drittes Capitel. Beim Beweise dieses Theorems ist es zweckmassig, in it dem Raum zu beginnen, und dann erst zur Ebene tiber- zugehen.*) Erster Bewels. Ein analoger Beweis in der Ebene ist nicht moglich, weil die betreffende Green'sche Formel [vgl. Seite 21] bier in der Ebene zur recbten Seite nicbt mehr die 0, sondern hat. oder oo Nehmen wir an, es existirten swei Potentiale V und V' der genannten Art. Alsdann wird offenbar die Diiferenz U = V V ein Potential sein ; desscn Massen ebenfalls theils ausserhalb des Gebietes 21 , theils auf seiner Grenze liegen; und iiberdiess wird U a = sein. Somit folgt durch Anwendung eines Green- schen Satzes [Seite 21]: oder, weil die U a = sind: Hieraus folgt weiter, dass ^J 7 ?E 3U dx ' dy ' dz in 2t ttberall = , mithin U daselbst constant ist. Dieser constants Werth von U kann aber, weil die U a = sind, kein anderer aJb der Werth Null sein. W. z. b. w. Zweiter Beweis. Ein analoger Beweis ist in der Ebene nicht moglich. Entsprechen Wir setzen wieder V V = U . naralich V und V den in un- j Die Massen der Potentiale F, F', U *) Der Leser wird demgemass gebeteii, diesefce Reiheufolge zu beobachten. Die Theorie der elektriscbeu Vertheiluug. 103 serm Theorem genannten Bo- dingungen, und setzen wir: V V = U, so sind F, F', U drei Poten- tiale, bei denen iiber die Summe der Massen nicht das Mindeste bekannt ist. Und wir wissen daher nicht, ob U x = oder = -f- oo sei. liegen alsdann ausserhalb 31 resp. auf tf. Oder (was dasselbe ist) sie liegen inncrhalb 3 resp. auf a. Somit folgt: Z7.=0j ausserdem ist: U a = 0, nrithin auch: K a = Cr a = , falls namlich K a und G a den kleinsten und gro'sstcnder Werthe U a reprasentiren. Nach bekanntem Satz [Theo- rem (J..), Seite 33] sind nun die Extreme der U a dargestellt durch zwei der Grossen: KO , &a U^ . Diese Grossen aber sind (wie eben gezeigt wurde) sammtlich = , folglich jene Extreme ebenfalls. U. s. w. Drifter Beweis. Die in unserem Theorem an V gestellten Bedingungen siiid folgeude: (I.) V soil das Potential von Massen sein, die atisserhalb 21, resp. auf 6, odcr (was dasselbe) innerhalb 3 resp. auf (5 liegen. (II.) Die V a sollen vorgeschriebene Werthe haben. Auf Grund dieser vorgeschriebeueu Werthe V a koniieii wir nun aber sofort die Summe M der Massen von F berechiien, mit Hiilfe der bekaunteu Form el (6.): M und wir konnen soinit nachfolgende dritte Bedingung (als unmittelbare Consequenz der beiden ersten) hinzuf iigen : 104 Drittes Capitel. (III.) Die Summe der Massen des Potentials V soil einen gegebenen Werth haben, Nehmen wir nun an, es existirten zwei Potentiale Fund F', welche diesen drei Bedingungen Geniige leisten, und setzen wir F V = U, so ist offenbar: und feriier: mithin auch: K a = G a = , falls namlich K a und G a den kleinsteu und grossten der Werth e U a bezeichnen. Nach bekanntem Satz [Theorem (A.} S. 33] sind die Ex- treme der U a dargestellt durch zwei der Grosseu Diese Grossen aber sind (wie eben gezeigt wurde) sammtlich = 0, folglich jene Extreme ebenfalls. U. s. w. Dieser dritte Beweis ist offeubar stets gultig, ausser im singuldren Fall. Denn in diesem Fall istf = ; mithin die zur Bestimmung von M beuutzte Formel nicht mehr brauchbar. Bemerkung. - - Auch ist stehende Theorem (A. abs ) nicht Um solches darzuthun, bedarf es nur eines Beispiels. Das ein- fachste Beispiel aber ftir den sogenannten singularenFallbietet eine Kreislinie 6 vom Kadius Eins. Setzen wir namlich: V = W, V' = W -f (i log -i- , wo W das Potential irgend wel- cher innerhalb a gelegener Massen vorstellen soil, und ft log das im singuldren Fall das vor- mehr richtig. Der sogenannte singuliire Fall kann im Raume niemals vor- kommen [vergl. (23.) Seite 88], so dass also die Gultigkeit dcs Theorems (A. abs ] im Maumc kei- nerlei Einschrankung unterliegt, Die Theorie der elektrischcn Vertheilung. 105 Potential eines im Centrum be- findlichen Massenpunctes f< be- zeichnet , so werden die Poten- tiale V und V auf der Peri- pherie 6 cinerlei Werthe haben, trotzdem aber verschiedene Werthe besitzen in den Puncten ausserhalb 6. W. z. /. w. ii Zweite Bemerkung. Bringeii wir unser Theorem (A. ab *} auf den speciellen Fall in Auvveudung, dass V auf der Grenze von 31 d. i. anf 6 constant ist, so gelangen wir zu folgeu- dem Resultat: Sollen die Massen eines Potentials V theils ausserhalb des Gebietes 31 , theils auf seiner Grenze liegen , und sollen die V a einen vorgeschriebenen constanten Werth C besitzen, so folgt hieraus mil Nothtvendigkeit, dass V in alien Puncten des Gebietes 21 identisch ist mil C7TT T ' - ausser im singular en Fall. Setveis. Dass den gestellten Anforderuugeii geniigt, erkennt man sofort. Zugleich aber folgt aus dem Theorem (A. abs } } dass dieses F, insoweit es sicli um die Puucte des Gebietes 21 haiidelt, die einzige Function ist, welche jenen Anforderungen entspricht. W. z. b. w. Theorem (J> 6 *). Sollen die Massen eines Potentials V theils ausserhalb des Gebietes 5 , theils auf seiner Grenze liegen , und sollen ferner die V a vorgeschriebene Werthe haben, so ist hierdurch V vollsta'ndig bestimmt fur alle Puncte von ^5, ohne Aus- nahme. Erster Seweis. Nehmen wir an, es existirten zwei Potentiale V und V der verlangten Art. Alsdann wird die Differenz U = V V 106 Drittes Capitel. ein Potential sein, dessen Masseii ebenfalls theils ausserhalb des Gebiets 3> theils auf seiner Grenze liegen, und iiberdies wird U a = sein. Somit folgt durch Anwendung eines Green'schen Satzes (S. 19): J I oder weil U a = ist: U. s. w. Zweiter Beweis. Bilden wir wiederum die Differenz U V - - V, so wird: mithin auch #, = = (), falls namlich K a den kleiusten und G a den grossten der Werthe U a bezeichnet. Nach bekanntem Satz [Theorem (J.), S. 40] sind nun aber die Extreme der U t dargestellt durch und folglich = 0. U. s. w. Bemerkung. - Wenden wir das vorstehende Theorem an auf den Specialfall V a = Const. , so gelaugen wir zu fol- gendem Resultat: Sollen die Massen eines Potentials V theils ausserhalb des Gebietes 3 , tneils auf seiner Grenze liegen , und sollen die V 12. einen vorgeschriebenen constanten Werth C haben, so folgt hieraus mit Nothwendigkeit , dass V in alien Puncten des Ge- bietes 3 identisch mit C ist. Theorem ($. a6 *). Soil die Masscnbelegung einer geschlossenen Curve oder Flache 6 von soldier Art sein, dass ihr Potential auf 6 selber n. vorgeschriebcne Werthe f a besitzt, so ist jenc Beleguny hi'er durch eindeutiy bestimmt, ausser im singuldren Fall. Beweis. Ist F das Potential der Belegnng, so sind [vgl. die Theoreme (A. abi ) und (J. abs )\ sammtliche F und V i} in Polge der getroffenen Festsetzung V a =f aj eindeutig be- stimmt, ausser im siugularen Fall, Und Gleiches gilt Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 107 daher auch von der Dichtigkeit d jeuer Belegung, welche sich bestimmt durch die bekanute Formel: 2 V. dV U * i . V w ft. W. z. b. w. 9- Nachtragliche Erorterungen. Die in den beiden letzten aufgestellten allgemeinen Satze unterliegen insoieru eiuein gewissen Bedeuken, als dabei von einer Function y Gebrauch gemacht wurde, dereu Existenz theils durch unsere physikalische Anschauung, theils durch einen gewissen Analogieschluss*), nicht aber durch mathematische Condusionen verbiirgt ist. lu manchen Fallen, z. B. ftir Kreislinie und Kugelflache, Ellipse und Ellipsoid, kann ein solches Bedenken durch die wirkliche Aufstellung jeuer Function y beseitigt werden. Auch wird die Auzahl der speciellen Falle, in denen man deni ge- ausserten Bedenkeu gegeniiber in dieser besonders giinstigen Lage sich befindet, durch eiues der spateren Capitel**) noch bedeutend vermehrt werden. Wollen wir aber jeuem Bedenken nicht in speciellen Fallen, sondern allgemein entgegenzutreten versuchen, so haben wir zu beweisen, duss die Masseneinhcit des fingirten Fluidums auf einer ge- sclilossenen Curve o stets in doss die Masseneinheit des dettrisclicn Fluidums auf einer gesclilossenen Flcichc o stets in *) Wir haben namlich (Seite 85) y die Dichtigkeit derjenigen Ver- theilung genannt, welche die Elektricitiltsraenge Eins auf einem ge- gebenen Conductor annimmt, falls keine ausseren Krafte einwirken. Und es beruht also die Existenz der Function y oder (was dasselbe) die Existenz der in Rede stehenden elektrischen Vertheilung nur auf unseren physikalischen Vorstellungen, nicht aber auf mathematischer Evidenz. Noch schlimmer sieht es in der Ebene aus. Denn hier beruht unsere Ueberzeugung von der Existenz der Function y nur auf einem Analogieschluss, namlich auf der Vorstellung, dass fiir dasfingirte Fluidum in der Ebene Analoges gelten mu'sse , wie fiir das elektrische Fluidum im Raume. **) Namlich durch dasjenige Capitel, welches von der Methode des arithmetischen Mittels haudelt. 108 Drittes Capitel. soldier Weise sich ausbreiten lasst, doss ihr Potential auf a uberaU constant ist. soldier Weise sich ausbreiten lasst, class ihr Potential auf 6 iiberall constant ist. Denn geliugt es uns , die Existenz einer solchen Massen- ausbreitifng nachzuweisen, so wird die Dichtigkeit derselben die in Zweifel gezogene Function y seiu, jener Zweifel also versehwindeii. Um nun die Existenz einer solcheu die Anforderungen (2.) erfiillenden Vertheilung nachzuweisen, werden wir - nach dera Vorgange von Grcmss*) - zuerst die Existenz einer gewissen (noch uaher zu bezeichuenden) Minimal-Ver- theilung darthuii, und sodann zeigen, dass diese Minimal- Vertheilung jenen Anforderungen (2.) entspricht. Die Existenz der Gauss'schen Minimal- Vertheilung. - Denkt man sich die M.asseneinheit auf der gegebenen Curve oder Flache (3 in stetiger Weise ausgebreitet , und bezeichnet man die Dichtigkeit dieser Belegung mit y, ferner ihr Po- tential auf einen variablen Punct x mit V x , so ist: 1 =fy a d(j, V x =/T xaVa d<>, oder, falls man x nach irgend einer auf 6 gelegenen Stelle s rucken lasst: Ist nun ferner Q das sogenannte Potential der Belegmig auf sich selbst, so wird: Q/f^ ff( to, oder, falls man den Buchstaben 6 durch s ersetzt: oder, falls man fur V s den Werth (5.) substituirt: Bezeichnen wir nun die gegenseitige Entfernung zweier auf der gegebenen Curve oder Flache <5 gelegeuen Puncte s } 6 mit r, und den grossten Werth, welchen diese Eutfernuiig *) Allg. Lehrsatze, Art. 29 32. Aus der iiachfolgenden Repro- duction dieser Gauss'schen Methode wird ersichtlich werden, dass die selbe nicht nur im Baume beim Newton'schen Potential , sondern ebenso auch in der Ebene beim Logarithmischen Potential anwendbar ist. Die Theorie der elektrischen Vertheilung. 109 bei einer beliebigen Bewegung der beiden Puncte anuehmen kann, mit R, so ist offenbar: i T ia > log T, a > r J^ R ' Setzen wir also zur augenblicklichen Abkurzung: so ist allgemein (in der Ebene und im Raum): T,o>K, 9. wo K eine der gegebenen Curve oder Flache eigenthihnliche Constante vorstellt. Wir wollen nun voraussetzeii ; die Dichtigkeit y sei 10 iiberall positiv, resp. null. Alsdann folgt aus (5.) und (9.) sofort : V. > Kfy a da, also nach (3.) V S >K. Und nunmehr folgt aus (6.) mit Riicksicht auf (10.), (11.): Q > KfradG, d. i. nach (3.) Q > K . 12. Halten wir also fest an der Voraussetzung (10.), oder (mit anderen Worten) beschranken wir uns auf sogenannte monoyene Belegungen*), so werden die diesen Belegungen entsprecheudeu Potentiale Q sammtlich grosser seiu, als eine gewisse der gegebenen Curve oder Flache zugehorige Con- stante K. Unter alien monogenen Vertheilungen, welche die gegelene Masse Eins auf unserer Curve oder Flache annehmen kann, 13. muss also eine existircn, der en Q jener Constanten K am nachsten kommt, mithin ein Minimum ist. *) Es ist namlich die Gesammtmasse der Belegung gleich Eins [vgl. (3.)]. Soil also die Belegung monogen sein, so folgt daraus vou selber, dass die Dichtigkeit y iiberall positiv resp. null sein muss. 110 Drittes Capitel. Nachdem die Eocistenz einer solchen Minimal-Vertheilung*) durch den Satz (13.) constatirt ist, handelt es sich nun gegen- wartig um die Untersuchung ihrer Eigenschaften. Die Eigenschaften der Gauss 1 schen Minimal-Vertheilung. - Die einer beliebigen Variation dy entsprechende Variation dQ lautet nach (8.): 6Q=ffT sa (y a dy s + y.dyjdsda, oder, etwas anders geschrieben: dQ = f(ds(dy s -)fday a T sa ) + f(dc(dy a )fdsy s T sa ), also mit Riicksicht auf (5.): dQ = fds(dy s ) V s +fde(dy a ) V a , oder, was dasselbe ist: Offenbar muss nun aber fur jene Minimal-Vertheilung der Ausdruck dQ stets positiv sein, falls man nur die dy ge- wissen Beschrankungeu unterwirft, die aus der Natur uuserer Betrachtungen sich leicht ergeben. Wir haben namlich [man blicke zuriick auf (13.)] nur solche Belegungen mit einander in Vergleich gebracht , welche die Gesammtmasse Eins uud den Charakter der Monogeneitat besitzen, also nur solche, dereji Dichtigkeiten y den Be- dingungen eutsprechen : Hieraus aber ergeben sich analoge Bedingungen filr die dy, namlich folgende. Erste Bedingung: dy muss der Relation entsprechen Zweite Bedingung: dy darf an solchen Stellen, wo die Curve oder Flache wnbelegt, mithin y == ist, keinen negativen Werth aunehmen, soudern nur po- sitiv resp. null sein. Jeue Minimal-Vertheilung wird also, wie schon bemerkt fvgl. (14.), (15.)], der Formel *) Es uiag namlich gestattet sein, jeue Vertheilung, deren Existenz durch (13.) coustatirt ist, kurzweg (Jic Minimal- Verilieilung zu uenneu. Die Theorie tier elektrischen Vertheilung. \ \ \ 8Q pos., 17. d. i. der Formel /V a (Sya}d6 = pos. is. zu entsprechen habeii, jedoch nur fiir solche 8y, welche den Bediugungen (16. a, /3) Geniige leisten. Nun sind, was die noch ganzlich imbekanute Beschaffeu- heit der in Rede stehenden Minimal-VertheiluDg betrifft, von vorue herein zwei Falle denkbar. Es werden namlich bei dieser Vertheiluug entweder sdmmtliche Theile von 6 mit Masse belegt, oder einzelne Theile wwbelegt sein. Erster Pall: Sammtliche Theile von 6 sind mit Masse belegt, mithin y iiberall > 0, das Zeichen genommen in sensu rigoroso. Alsdann muss V auf 0, hin- gegen auf <7 die Relation y = stattfindet. Alsdann muss V auf tfj constant, etwa = C sein, wie solches aus den Betrachtungen des vorhergehenden Falles unmittelbar sich -ergiebt; - - gleichzeitig aber muss alsdann V auf (? Werthe besitzen, die grosser als jene Constante (7, oder mindestens eben so gross sind. Denn ware V in irgend einem Element dG des Theiles (? kleiner als C, und be- zeichneten wir ein gleichgrosses Element des Theiles G l mit f70, , so wurden wir den Ausdruck (18.), ohne Verletzung der Bedingungen (16. a, /3), dadurch negativ machen konnen, dass wir dy auf d(J Q positiv, auf dti^ negativ, und sonst iiberall gleich Null nehmen. Um die Hauptsache zusammenzufassen: In dem hier be- trachteten zweiten Fall ist nur eine gewisse ?wgeschlossene Curve oder Flache tf ( mit Masse belegt, und das Potential 112 Drittes Capitel. F dieser Belegung auf ffj selber constant, namlich = C, hirigegen ausserhalb G i (namlich auf C sind. Solches aber widerspricht einem fruher gefundenen allgemeinen Satz [Theorem (a.), Seite 48]. Folglich ist dieser zweite Fall unmoglich. Resultat. Demgenuiss ist der erste Fall der einzig rnogliche. D. h. die in Rede stehende Minimal -Vertheilung hat die Eigenscliaft , ein Potential 0u besitzen, welches auf der gegebenen Curve oder Flache a uberall constant ist. Die Existenz dieser Minimal -Vertheilung kann aber nach (13.) keinem Zweifel unterliegen. Und durch ihre Existenz ist also dargethan, dass eine den Anforderuugen (2.) entspreehende Vertheiluug in der That existirt. Schlussbemerkung. - - Dass die im Vorstehenden repro- ducirte Gauss'sche Beweisfiihrung des Satzes (2.) auch dann noch giiltig sei , wenn die geschlossene Curve oder Flache 6 unendlicli vide Ecken besitzt, wird Niemand behaupten wolleu. Hiermit will ich keineswegs das Verdienst von Gauss schmalern, sondern nur auf das Ziel hinweisen, welches bei derartigen Untersuchuugen im Auge zu behalten ist. Dieses Ziel namlich kann nach meiner Ansicht nicht in dem Suchen uach einem absolut strengen Beweise fur gauz nebelliaft vor- schwebende Curven oder Flachen bestehen, sondern mir in einer genaueren Determination derjenigen Curven und Flacheu, fiir welche ein absolut stronger Beweis iiberhaupt moglich ist. Und selbst diese Aufgabe wiirde unfruchtbar sein , wenn man es dabei auf eine vollige Erscliopfung der bezeichneteu Curven und Flachen absehen wollte. Aussicht auf Erfolg wird man nur dann haben, wenn man unter diesen Curven und Flacheu moglichst wnfangreichc Classen festzustellen sich bescheidet. Yiertes Oapitel. Die Tlieorie der sogenannten Doppelbelegungen. Gauss hat irn Jahre 1813 einen Satz aufgestellt *) , den man folgendermassen aussprechen kann: IkzeicJmet da das Element einer geschlossenen Flache r ferner v die inner e Normale von da, ferner E den Abstand des Elementes da von einem beliebig gegebenen Puncte x, cnd- lich & den Wirikel, unter welchem diese Entfernung E (da 9 > x) gegen v gencigt ist**), so wird das iiber die ganze geschlossene Flache ausgedehnte Integral cos & . da den Wertn oder 2% oder 4n halen, je \nacMem der Ptmct x ausserhalb a, oder auf stetig sein fur die Gesammt- heit aller Puncte i, s. Sobald wir die in Rede stehenden drei Eigenschaften, welche den eigentlichen Kern des gegenwiirtigen Capitals ausmachen, constatirt haben werden, ergeben sich- alsdann ohne Miihe folgende weitere Satze: Soil W fur alle Puncte ausserhalb der Flache constant sein, so muss ft ebenfalls constant sein. Soil W fiir alle Puncte inncrhalb der Flache constant sein, so muss ft ebenfalls constant sein. Soil W auf der aussern Selte der Flache voryeschriebene Werthe besitzen, so wird hicrdurch ft bestimmt sein, bis auf cine unbestimmte additive Constantc. Soil W auf der innern Seite der Flache voryeschriebene Werthe haben, so ist hierdurch ft vollstdndiy bestimmt. Kehren wir zuriick zu dem zu Anfang geiiannten Gauss- schen Integral, und bezeichnen wir dasselbe niit w x : cos & da so ist, wie schon erwahnt wurde: w a ='J) , w, =2n, Wi = 4x . Von diesen Fonnelii bedarf die mittlere zuweilen einer ge- wissen Modification. Es ist namlich, wie Gauss selber schon bemerkt hat*), jene mittlere Formel w s = 2n nur insofern richtig, als die Stetigkeit der Krummung der Flache ira Puncte s nicht verletzt wird. Eiue solche Verletzung findet aber statt, weim der Punct s in eiiier Kante oder EcJce liegt; und dann v muss, wie Gauss sich ausdrttckt, anstatt 2n der Inhalt derjeniyen Figur gesetzt werden, welche durch die sliramtlichen von s ausgehenclen , die Flache tangirenden ge- raden Linien airs einer urn s als Mittelpunct mit dem Halb- messer Eins beschriebenen Kugelflache ausgeschieden wird. *) Gauss' Allgemeine Lehrsatze, Art. 22. Die Theoric der sogenannten Doppelbelegungeu. 117 l)cr Tnhalt dieser sphciriscJten Fiyur ist offeubar' nichts Auderes, als die Oeffnung desjenigen Kegels oder korper- lichen Winkels, welcher von der Flache im Puucte s gebildet wird. Demgemiiss mag der Inhalt jener Figur kurzweg das Wirikdmaass der Flache im Punct s genannt, und mit c5", bezeichnet werden, so dass also die in Rede stehende Form el w s 2n, falls sie alien Fallen entsprechen soil, in w s = Hf s umzuandern ist. Analoge Modificationen sind natiirlich bei der Theorie des illgemeinern Integrals do - C" ' J ebenfalls erforderlich , wie in der That im gegenwartigeu Capitel uaher explicirt werden soil. - - Uebrigeus werden wir dem von Helmkoltz'*} eingefuhrten sehr zweckmassigen Sprach- gebrauch uns anschliessen , indem wir sowohl das Gauss'sche Integral iv x als auch das allgemeinere Integral W x als das Potential einer gewissen auf der Flache ausgebreiteteu Doppcl- bdcyuny ansehen. Zu bemerken ist eudlich, dass wir im Folgenden auch die analogen Satze in der Ebcne entwickeln werden, wobei sich, abgesehen von dem schon friiher erwahnten sinyuliiren I Y '^**), eiue vollstandige Uebereinstimmung mit den Satzen des Raumes ergeben wird. I- Das Potential einer sogenannten Doppelbelegung. Positive Seite und positive Normale. Bei einer ge- gebenen Curve oder Flache pflegt man eiue bestimmte Seite als positiv festzusetzen , indem man alsdann gleichzeitig die auf dieser Seite errichtete Normale die positive Normale neimt. . Und umgekehrt: Hat man eine bestimmte Normale als po- sitiv festgesetzt, so pflegt man mit demselben Namen auch die entsprechende Seite zu bezeichnen. *) In seinem Auf'satz: Ueber die Gesetze der Vertheilung dektrischcr Striime in korperlichcn Leitern, mit Amcenduny auf die thierisch- clektrischen Versuche. 1853. Poggerid. Annal. Bd. 89. Seite 22422*?, **) Vgl. z. B. Seite 72 und 88. ]18 Viertes Capitel. Potential einer Doppelbelegung. - Denken wir uns auf alien positiven Normalen v einer gegebeneYi Flache 6 ein und dieselbe unendlich kleine Strecke A aufgetragen , so ent- steht eine neue mit 6 parallel lauf end e Flache G' . Corrcspon- dirende Puncte dieser beideii Flachen G und G' wollen wir solche nennen, die auf derselben Normale liegen, und cor- respondircndc Elemcnte solche, die aus correspondirenden Puncten bestehen*). Diese beiden Flachen G und G' mogen nun in coutinuir- licher Weise mit Masse belegt sein, und zwar der Art, dass die auf je zwei correspondirenden Eleraenten dG und dG' vor- handeneii Massen einander entgegengesctzt gleidi sind. Be- zeichnet man also die auf dG und dG' angehauften Massen respective mit so soil die Relation stattfinden**): *) In der obenstehenden Figur ist die positive Seite von c (auf welche die positive Normale v aufgesetzt ist) durch Schraffirung aus- gezeichnet. **) Die Dichtigkeiten ( J) und (+ ') der beideu Belegungen steheu Die Theorie der sogenannten Doppelbelegungen. HQ t.d(5 = ,' d()'. 3. Fiir das Potential W dieser beiden Flachen auf einen beliebigen Punct x erhalten wir die Formel: /Y -J\ _ E' d. i. in it Riicksicht auf (3.): wo 7:', E' die Entfernungen der Elemente rftf, da' von x vorstellen. Nun ist aber, weil A unendlich klciti angenonimeu wurde: E', E dv'> wo v die positive Normal e des Elementes da bezeiclmet. So- mit folt: C* - rJ -^ w wo xur Abkiirzung i |i gesetzt ist. Das betrachtete Flachenpaar o, &', dessen correspon- dirende Elemente entgegcngesetst ylciclie Massen habeii, imd dessen Gesqmmtmasse Holier stcts = ist, wolleu wir mit Helmholtz eine Doppelschicht oder eiiie Doppclbcleguny , zu einauder in eiaer Beziehung, die leicht nilher angebbar ist. Wir erhalten namlich aus (3.): : I' = do' :da . Die Elemeute da und da' sind aber von denselben Norinalen umhiillt, und verhalten sich daher zu einauder wie RiR 2 zu JJ,'JR 2 ', falls man namlich unter Ji,, K z die Hauptkriimmungsradien der Flache c, anderer- seits uuter B t ', H 2 ' diejenigen der Flache a' versteht. Somit folgt: ttf-Xt'aj'.SA, d. i. J.iiJi-1 -/i'i 2"! 2 D. h. die absoluten Wcrthc der Dichtigkciten verhalten sich zu eimmder wie die Gauss'schen Kriimmunysmaame der leiden Flachen. 120 Viertes Capitel. uiid gleichzeitig das Product (7.) A = ft das Moment dieser Doppelbelegung neimen. Boispiele. -- Elektrische DoppelschicMen treten bekannt- licli auf bei der Beriihrung heterogener Metalle. Noch ge- laufiger vielleicht ist uns die Vorstellung magnetisclier Doppel- schichten. Denn wir wissen, dass ein geschlossener elektrischer Strom durch eine maguetische Doppelbelegung der von ihm begrenzten Flache (der sogenaimten Stromflaclie) ersetzbar ist. Als drittes Beispiel kounen eudlich die Green'schen For- meln dienen, etwa die Formel (41. e), S. 19. Dieselbe lautet namlich: und zeigt also, dass 2 la Vi als Differenz zweier Integrate aus- driickbar ist. Von diesen beideu Integralen ist das cine das Potential einer einfachen Belegung (von der Dichtigkeit ?-) j das anderc das Potential einer Doppelbelegung (vom Momente F), wie letzteres durch einen Blick auf die Formel (6.) sofort erkannt wird. Aualoges in der Ebene. - - Ganz analoge Betrachtungen lassen sich otfenbar auch anstellen in der Eltcne. Doch wollen wir auf die betreffendeii Formeln erst eingehen am Schluss des folgenden . 2. Fortsetzung. Transformation des Potentials. Bezeichnen wir die Coordinaten des Punctes x und des Elemeutes da respective mit x } y, z und , /?, y, so ist: E 2 = (x a) 2 -j- (y /3) 2 -j- (z y}' 1 , mithiu : uud hieraus folgt: _ ,"_ d dv ' E* ' x) gegen v vorstellt*). Somit konuen wir die Formel (6.) auch so schreiben: Der hier mit (d6} x be- zeiclmete Ausdruck cos & da E 2 reprasentirt offenbar die scheinbare Grosse des Eie- mentes da fur einen in x befmdliehen Beobachter, ab- gesehen vom Vorzeichen. In der That ist dieser Ausdruck (11.) gleich der geuannten scheinbaren Grosse, dieselbe noch rnultiplicirt mit einem Factor = 4-1. Und zwar wird = -{- 1 oder = 1 sein, je naehdem cos O 1 positiv oder negativ, d. i. je jiachdem & zwischen ... 90 oder zwischeu 90 . . . 180 liegt, d. i. je naehdem der in x befindliche Beobacliter die positive oder negative Seite des Elementes da vor Augen hat. Bemerkung. Wir haben vor wenig Augenblicken be- merkt, dass der Ausdruck W als das Potential einer eleldrischen oder magnetisclien Doppelschicht angesehen werden darf. Aus der Formel (10.) aber geht hervor, dass diesem Ausdruck W noch eine andere physikalische Bedeutung bei- gelegt werden kann. Nehmen wir namlich an, die Flache 6 besitze an verschiedenen Stellen verschiedene Temperatur, und es sei fi das (von der Temperatur abhangeude) Warme- ausstrahlungs - Vermogen der Flache an der Stelle des Elementes d&; alsdann reprasentirt W, abgesehen von einem constanten Factor, diejenige Warmemcnge, welche einer in x befindlichen *) In der Figur ist wiederum die positive Seite der Flache a (d. i. die Seite derpositiven Normale v] durch Schraffirung kenntlich gemaclii, 10. 122 Viertes Capitel kleineu Kugel wahrend der Zeiteiriheit von der Flache zu- gestrahlt wird; wie solches aus Forrael (10.), auf Grund des bekanuten Fourier' sclien WdrmcaitsstraJtlungs-Gesetzes , sofort zu erkennen ist. Im Raum und in der Ebene. - - Ganz analoge Be- trachtungen lassen sich offeribar auch anstellen in der Ebenc, so dass wir ; Alles zusammengefasst, zu folgenden Resultatcn gel an gen : Ist 6 einc gegebene Curve oder Flaclie mit der posUiven Normale v, und ist auf 6 eine Doppelbelegung ausgebrcitet vom Momente fi, so besitzt das Potential dieser Doppelbelcguny auf cinen bcliebig gcgcbenen Punct x den Werth: w = cos & . d G E .f a -* ts v v W= / -a^^'i cos & . da ~^&~~ Hier *) bezeiclmct E die Entfernung t/es Punctes x vom Element do, ferner -9 1 den Winkel der Linie E (da ^-> x) gegen die Normale v; und demgemdss reprdsentirt der Ausdruck: COS& . E da cos & . da 1 E die mit e mtdtiplicirte scheinbarc Grosse des Elemcntes da fur einen in x befindliclicn Beobachtcr, wobci s = -f- 1 oder --= 1 ist, je nachdem jener Beobachter die positive oder nega- tive Seite des Elementes vor Augen hat. Dass die Formeln links und rechts unter Auwenduiig der schou fruher festgesetzten Bezeichnungen (Seite 16): 1, T 7, II ^ , sich leicht zusanimeuziehen lasseu, bedarf kaum der Be- nierkung. *} Vgl, die vorliergehemle Figur. Die Theorie der sogenannten Doppelbelegungen. 123 3. Fortsetzung. Ueber die Bestimmtheit der Potentialwerthe.*) Wir wolleii den Ausdruck (d6) x in (12. b) einer nahern Betrachtung unterwerfen, indem wir dabei beginnen mit dem Fall der Ebene als dem einfacheren. In der Ebene. - - Sind a, /3 die beiden Endpuucte des unendlich kleinen Curvenelementes do, so lassen sich durch , /3 unendlich viele Kreise legen, deren Mittelpuncte theils auf die positive, theils auf die negative Seite von do fallen werden. Da nun (dG} x die mit + 1 multiplicirte sclieiribare Grossc des Elementes d& fiir eineu in x befindlichen Beobachter vorstellt, so bleibt (do) x constant, sobald x langs einer solchen Kreisperipherie fortschreitet**). Und hieraus folgt, dass (da) x an der gemeinschaftlichen Stelle all' dieser Kreisperipherien, d. i. in d(J selber, unendlich viele Werthe hat. Um genauer hierauf ein- zugeheu, benutzen wir die Formel (21, b): s T ^> COS -9 1 7 (dG) x = E do . 1st (in nebenstehender Fi- gur) G der Mittelpunct des Elementes dti, ferner v die positive Normale von d<5 , und endlich 6 XT einer der vorhin genannten Kreise, so Avircl offenbar: (G x) (G r) cos -O 1 , d. i. E = ((?T) cos rnithin : E (or) Lassen wir also x fortschreiten langs des genannten Kreises, so bleibt die Function -gr- constant, namlich gleich - - , d. i. *) Ich habe diesen etwas beschwerlichen erst spater eingeschaltet; und der Leser wird wahrscheinlich gut thun, denselben zu Anfang zu iiberschlagen. **)Naeh dera bekanuteu Satz fiber die Gleichheit der Peripheriewiiikel. 13. 124 Viertes Capitel. gleich deni reciprokeii Durchmesser des Kreises. Ebenso wird sie , wenn wir x langs des in der Figur angegebeiien grossern Kreises fortschreiten lassen, den constanten Werth , r: be- (Of ), sitzen. U. s. w. *) Lassen wir also den variableri Punct x nach a (d. i. nach dem Ort des gegebenen Eleraentes do} rticken, so wird der Werth, init welchem die Function - daselbst eintritft, Mi 15. wesentlich abhangen von dem dabei benutzten Wege, und je nach der Natur dieses Weges alle Abstufungen zwischen und oo, sowie auch zwischen und oo darbieteu kouneu. Nehmeii wir z. B. zu solchen Wegeu die von uns coustruirten Kreislinien ? so eutsprechen die positiven Werthe . . . oo denjenigen Kreisliuien, deren Mittelpuncte auf der positiven Seite von dti liegen, und die negativen Werthe .... oo *) Es wird angemessen sein, hier sogleich auf die analogen Ver- haltnisse ira Raume aufmcrksam v.\i machen. Statt der Formel (13.) 8.) ( ( 1<>) X = $? d<5 i haben wir [vgl. (12. b)] im Raume die Formel: / 7 % cos & 7 OH.) (d', 0" uach s ge- langt, geht (GT) fiber in (sx). Die Werthe der Function cos sind, wie wir aus (16.) erkennen, dutckweQ endlicli, so lange der Punct x von der Curve entfernt ist. Doch miissen wir befurchten , dass diese Endlichkeit verloren geht, sobald x in die Curve hineinfallt, weil alsdann (sx) = 7 mithin , = oo wird. Eine ge- (SX) 19. 126 Viertes Capitel. 17. nauere Betrachtung wird indesseu zeigcn, dass dicse Be- furchtung unbegriindet ist. Wir konnen namlich, wenn x auf der Curve liegt (vgl. die folgende Figur) genau dieselbe Construction wie friiher ausfuhren, indem wir wiederum ein rechtwiukliges Dreieck (dessen Hypotenuse die in a errichtete Normale dar- stellt) um x sich drehen lassen; uud erhalten alsdann f'iir die Function - folgende Werthe: cos & E (ox)' (G'T') ' (a'V) ' D ' Denn in dem Augeublick, wo 6 iiber tf', Wir beschreiben um den gegebenen Punct a eine Kugelflache x vom Radius Ems, theilen dieselbe in unendlich kleine Elemente, und projiciren ein solches Element dfx von a aus auf 6. Die dabei anzuwendenden Projectionsstrahlen treffen die Flache G im Allgemeinen melirmals, und zwar (weil a ausserhalb G liegt) stets eine gerade Anzahl von^Malen. Demgemass sind die sich ergebeuden Projectiouen des Elementes d% der Reihe nach zu bezeichnen mit Eiu in a befindlicher Beobachter hat die negative Seite von fZ(?i, hingegen die positive von d0% vor Augen ; sodann wieder die negative Seite von dSeite von da l vor Augen, die negative von da. 2 , u. s. w. Somit folgt: (d )i = 4- dx , Die Surnme dieser 2n 1 Grossen ist offenbar gleich der ersten, d. i. dx, weil alle iibrigen sich paarweise zer- storen. Also : '(# . und (2"Sf "tT^) heisst die erstere das Wirikelmaass der gegebenen Fldclie 6 im Puncte s [vgl- (23.)]. Denken wir uns vom Puncte s unendlich viele Strahlen auslaufend, nach alien mogliehen Richtungen, so wird jeder solcher Strahl eine der beiden Calotten treffen. - - Trifft er die Calotte "ST., , so wird er seinen Ursprung (d. i. sein erstes unendlich kleines Element) im Gebiete .^' haben , und folglich die gegebene Flache 6 eine ungerade Anzahl von Malen durchbohren. Denn, da er in S, eutspriiigt, so gelangt er nach einer Durchbohrung in das Gebiet 9{, nach zwei Durch- bohrungen in das Gebiet $, u. s. w. Und er wird also, weil er schliesslich im Gebiete 51 endigen (namlich zu einem unendlich ferneii Punct dieses Gebietes gelangen) muss, im Ganzen eine ungerade Anzahl solcher Durchbohrungen auszu- fiibren haben. Trifft andererseits der von s ausgehende Strahl die Calotte (2 To to,.) , so wird er seinen Ursprung im Ge- biete 51 haben, und folglich die Flache <5 eine gerade An- zahl**) von Malen durchbohren. Denken wfr uns also die um s beschriebene Kugelflache x in unendlich kleine Elemente zerlegt, und bezeichuen wir die Projectiouen eines solcheri Elementes dx auf die gegebene Flache der Reihe nach mit so ist die Auzahl dieser Projectionen ungerade oder gerade , je nachdem dx der Calotte W s oder der Calotte (2"ET "BJ",) zugehort. Demgemass erhalten wir fiir jedes zu "af s ge- horige dx: (dOi) s + (d ; und hieraus folgt, dass die Function 43. W, + , ft, , ebenso wie p, (32.) und .F, (37.), innerhalb x stetig ist. Substituiren wir ferner den Werth C = /*, in die Formel (41.), so folgt: 44 TT, = ( W, + ,/*,) W is = (W, + *,;*.) ivodurch die Besiehungen dcr Grenzwerthe W as , Wi, zum directen Werth W 9 dargelegt sind*). F x (37.) reprasentirt das von irgend welchen ausserhalb x gelegenen Massen auf den variablen Punct x oder x, y, 2 f)Tf %W fiW ausgeubte Potential. Folglich sind F, ~ , ^- , ~- innerhalb x iiberall stetig. Und hieraus folgt mit Hinblick auf (39.), a a a dass die Ableitungeu ^^ , -^ - . -^- uiid . ^^ ^2/ ^ 2 i ,- ,. unter einander identisch werdeu, sobald man die Puncte a uud i nach s riicken lasst [vgl. die vorhergehende FigurJ. Es sind also um den Satz kiirzer auszudriicken die Grenz- dW 3W dW 45. werthe von -^ - , g - , ~^ - ebensoqross ivie die Grrem- ' ' . d W- werthe von -^ - , --^- , * Oder, was auf dasselbe hinaus- dx { ' dy { ' dz { kommt: Bezeichnet p eine beliebig gegebene liichtung, so sind dW . dis Qrenewcrfhe von " und ^- unter'cinander identisch. dp dp Die ebeu gemachten Bemerkungen (43.), (44.), (45.) be- ziehen sich auf das Innere der Kugel x, .und werden daher, weil der Mittelpunct von x auf der gegebenen Flache 6 ganz beliebig gewahlt war, giiltig sein fiir alle Stellen dieser Flache. Somit gelangeu wir zu folgenden Resultaten: *) Bei all' diesen Formeln ist es zwecktnassig , KU Ant'ang stets den Fall sich zu denken, dass die gegebeno Flache a ohne Ecken und Eanten ist. Denn alsdann sind die Grosseu u s (vgl. Seite 130) sammtlich Null, wodurch die Formeln sich bedeutend vereinfachen. Die Theorie der sogenannten Doppelbelegungen. 139 Erstens. Die Werthe W 3 -j- 6', ft, sind auf der gegebenen Fliiche 6 iiberall stetig. Ziveitens. Die Werthe W a bilden ein stetig zusammen- hiingendes System, dessen Grenzwerthe W as mit den directen Werthen W s durch die Relation verbunden sind: Drittens. Die Werthe TF, bilden ein stetiges System, desseri Grenzwerthe Wi S mit den W t verkniipft sind durch die Relation: so dass also, beilaufig bemerkt, W{ 3 W ai 27o(i s ist. Viertens. Bezeichnet jt> eine beliebig gegebeue Richtung, dW . so siiid die Grenzwerthe von -^ - und - - unter einander dp dp identisch. Im Raum und in der Ebene. Ganz analoge Satze werden , wie leicht zu iibersehen , in der Ebene sich ergeben. Und wir gelangen daher, Alles zusammengefasst, zu folgen- dem Resultat: Bezeichnet 6 eine geschlossene Curve oder Fliiche mit positiver inner er Seite, und denkt man sich auf (J eine Doppel- belegung ausgebreitet , der en Moment fi iiberall stetig ist, so ivird das von dieser Doppelbelegung auf einen variablen Punct x ausgeiibte Potential: folgende EigenscJtaften haben. Erste Eigenscnaft: Die von s abhangende Function: W s + *,f*, 48. a ist auf 6 Iiberall stetig. Z'weitc Eigenschaft: Die Werthe W a bilden ein stetig zusammenhangendes System, dessen Grenzwerthe W as mit den 48-/? directen Werthen W, durch die Relation verknupft sind: W as = ( W s + *,;*,) -tT^ . Dritte Eigenschaft: Die Werthe Wi bilden ein stetiges System , dessen Grenzwerthe W is mit den directen Werthen W s 4S - f durch die Relation verbunden sind: 140 Viertes Capitel. Vierte Eigenschaft: Bezeichnetp eine beliebig gegebene d W a 8 W. 48. 6 Richtung, so sind die Grenzwerthe von -- und - - unter einander identisck, was angedeutet werden. mag durch die Formel: dp dp Bequemere Bezeichnung. - Wir haben die W as und W is als Grenzwerthe der W a und W i} andererseits die W, als die direct en Werthe bezeichnet. Dock wird es in Zukunft 48 - * haufig bequemer sein , einer andern Ausdrucksweise uns zu be- dienen , indem wir die W as als solche Werthe bezeichnen, ivelche auf der aussern Seite von (5 , die W is als solche, die auf der innern Seite von (m + ,>'"+! wo (x%t) die gegenseitige Entfernung der Puncte x, x i be- zeichnet. Die variablen Puncte x, #, sollen stets ausserJialb der Kugelflache bleiben. Folglich unterliegen ihre Centraklistanzen r, r, den Bedingungen: r ~*> o <" 1 -^ *> r\ e Beweis der Formel (50. a). Um die Difterenz A = cos (r, JR) cos (r, , JR) zu untersuchen , bezeichnen wir die Puncte, in denen die ge- gebene um s beschriebene Kugel- flache von den Strahlen r, r^ ge- troffen wird, mit , , , und ferner die Halbirungslinie des Winkels r, rj mit h (vgl. die Figur). Als- . dann folgt durch Construction auf der Kugelflache*) sofort: cos (r, JR) = cos (r, h) cos (R, It) -f- sin (r, h} sin (R } h} cos f, cos (r, , R) = cos (r, h) cos (R, It] sin (r, h) sin (jR, A) cos s, wo den Neigungswinkel der Ebene rh gegen die Ebeue Rh *) Man wird diese spharische Figur, welche hier nicht gezeichnet ist, sich sofort vorstellen konnen. 9 (II.) Die Tbeorie der sogenannten Doppelbelegungen. 143 bezeichnet. Hieraus folgt durch Subtraction und mit Hinblick auf (52.): A = 2 sin (r, Ti) sin (R, h) cos f , folglich : abs A < 2 abs sin (r, ft) , abs A < 2 ' abs A < oder, weil die Entfernung (,) offenbar kleiner als (##,) ist: 1 A ^* I**' *K\ ) abs A < Q w. z. b. w. Beweis der Formel (50. /?). - - Wir bezeichnen die zu uutersuchende Differenz wiederum mit A, und setzen also diesmal : Hieraus folgt: , i Jj_ 1 , _J. _\ Denken wir uns [vgl. die vorhergehende FigurJ durch den Punct x eine mit der gegebenen concentrische Kugelflache gelegt, so reprasentirt offenbar r t r den kiirzesten Ab- stand des (andern) Punctes # t von dieser Kugelflache. Folg- lich ist: r, r <| (x #,); oder, falls wir uns genaner und in allgemein giiltiger Weise ausdriicken wollen: abs (r, r) <^ (^^i) Achten wir hierauf, und beachten wir ferner, dass [nach (51.)] und - kleiner als sind, so folgt aus (53.) sofort: r r t Q abs A < (a; a;,) -^T, Q w. z. b. w. 144 Viertes Capitel. Beweis der Formel (50. y). - - Die gegenvvSirtig zu untersuchende Differenz : A = cos (r, R) _ cos (r t , ~~~^~~ '" r m kann oifenbar auch so geschrieben werden: A cos (r, R) cos (TI , R) , Hieraus folgt mit Riicksicht auf (51.): i A ^ abs (cos (r. R) cos (r, , R)) , i / 1 1 \ abs A < *- " _j_ abs [ J , also mit Riicksicht auf die schon bewiesenen Formeln (50. K, ft] : abs A < m , t -j- ^rp 5 w. z. b. w. Zweiter Hulfssatz. -- 1st da em gcgebenes Curven- odrr Flachenelement , und sind x, x l irgend zwei Puncte, der en Ent- fernungen von jenem Element grosser als Q sind , so ist: abs ((d<5} x - wo (xx^) die gegenseitige Entfernung der genannten Leiden Puncte vorstellt. Selbstverstandlich soil It die friiher (Seite 16) eingefiihrte Zahl bezeichnen, welche = 1 ist bei Betrachtungen in der Ebene, = 2 bei Betrachtungen im Eawne. Beiveis. Bekanntlich ist [vgl. (12. &, c), Seite 122]: MrA _cos(r, v)-da (U0) x - -~ h , r wo r, r, die Entfernungen der Puncte x } x\ vom Element da, und v die Normale dieses Elementes bezeichiien. Somit folgt: / 7 \ / 7 " \ / COS (rf*), (dG) Xl = ( \ Da nun nach unserer Voraussetzung r und r, grosser als p sein sollen, die Puncte x, x\ also gezwungen sind, ausser- halb einer um da mit dem Radius Q beschriebenen Kugel- flache zu bleiben, so folgt mit Riicksicht auf den friiheren Hulfssatz (SO./) sofort: Die Theorie der sogenannten Doppelbelegungen. 145 abs ((**)* - (**)*,) < u f w. z. b. w. Dritter Hiilfssatz. Es sei a eine gegebene Curve oder Flache, und s ein auf G gelegener fester Punct*}. Denkt man sich nun auf 6 eine stetige Function fi ausgebreitet, und bezeichnet man den Werth clieser Function in jenem festen Punct s mit pi, so wird die von dem variablen Punct x db- luinyende Function 56. im Screich von s stetig sein. Bezeichnet ndmlich s einen beliebig gegebenen Kleinheits- grad f so wird sich um s als Mittelpunct stets eine Kreislinie oder Kugelflache von solcher Kleiriheit beschreiben lassen, dass fur alle innerhalb dieser Kreislinie oder Kugelflache gelegenen Puncte x die Formel stattfindet: abs(Q a; Q,) < e. Dabci sind unter alien" innerhalb der Kreislinie oder Kugel- flache gelegenen Puncten x sowohl diejenigen zu verstehen, wclche auf 6, als auch diejenigen , welche nicht auf a liegen. Bciveis im Rautne. Bezeichnet dti ein Element der gegebenen Flache G, 'und bildet man die Integrale: fd* =C, f(d,)((da) x (da) s ) , Die Theorie der sogenannten Doppelbelegungen. 147 das eine erstreckt sich fiber alle Elemente .da des Theiles a, das andere fiber alle Elemente dfi des Theiles j8*). Aus (62.) folgt sofort: abs J a < J abs (ft ^i s ) abs ((da) x (dec},) , also a fortiori: abs J a < G f abs ((da) x (da) s ) , wo G den grossten Werth von abs (yt, a (i s ~) bezeichnet. Aus dor letzten Formel folgt weiter: abs J a < 6r/(abs (da) x -\- abs (da) 3 ) , also mit Riicksicht auf (59.): abs J a < 2GM. ea. Die Function ^ 1st nach unserer Voraussetzung [vgl. den Satz (56.)] eine stetige. Ihre Werthe auf dem innerhalb der Kugelflache (A) gelegenen Flachentheile a sind mit fi, und ihr Werth im Centrum s der Kugel (A) mit (i s bezeichnet. Durch Verkleinerung der Kugelflache (A) konnen wir daher das Maximum G des Ausdruckes abs (p a fi s ) beliebig klein machen, also nack (63.) auch abs J a unter einen beliebig ge- gebenen Kleiriheitsgrad \s hinabdrucken; - - und zwar ohne ei ddbci die Lage des variablen Punctes x irgendwie zu beschrcinken. Solches ausgefiihrt gedacht, lassen wir jetzt die Kugel- flache (A) und die durch sie determinirten Theile a, ft er- 65 starren**), und gehen fiber zur Betrachtung von Jp . -- Nach (62.) ist: abs J ft < /abs (^ ;*,) abs ((dft) x (dp),) , also a fortiori: abs Jp < G^'/ a bs ((d?),, - (dp),) , ee. wo G' den grossten Werth von abs (^ fi s ) vorstellt. . Denken wir uns nun gegenwartig den Punct x eingeschlossen in eine mit (A) concentrische, aber noch kleinere Kugel *) Ebenso wie in (60.) der Werth der Function ju, im Elemente da mit ft ff bezeichnet ist, ebenso sind in (62.) ihre Werthe in den Ele- menten da und d& resp. mit n a und j^ benannt. **) Von diesem Augeublick an, wo die Operation (64.) vollendet ist, soil mithin der Radius der Kugelfliiche (A) bei unseren -weiteren Be- trachtungen constant bieiben; desgleichen also auch a und (3. 10* 148 Viertes Capitel. so ist nach unserm Hiilfssatz (55.): 69. 70. abs ((dfl. - (d&.) < ^ v/o h = 2 ist ; wahrend A, a die Radien der beiden Kugeifiachen (A) } (a) vor- stellen*). Somit erhalten wir aus (66.): Es ist aber: fdfi < mithin nach (57.): fdfi<0. Auch ist (xs) < C0' _^45- ( JL - a} h+1 Hier sind die Zahlen li, C ihrer Natur nach unveranderlich. Gleiches gilt aber auch von den Zahlen A, G' } weil wir die Kugelflache (^4) und die durch sie bestimmten Theile ; ft schon lange haben erstarren lassen [vgl. (65.)]. Hingegen ist der Radius a der Ideinern Kugelflache (a), in welche dor Punct x eingeschlossen wurde, noch vercinderlicli. Und d'urcli Vcrldeinerung dieses Eadius a konnen wir offeribar, wie aus (70.) ersichtlich, den Werth von abs Jp beliclrig Idein marficn, 0. B. Meiner als % s. Solches ausgefiihrt, ist alsdann fiir jedweden innerhalb der Kugel (a) gelegenen Punct x: abs J a < s , nach (64.) , und gleichzeitig auch: *) Die Puncte x, s liegen namlich innerhalb der Meinen Kugel (a), wahrend sammtliche Elemente dp [vgl. (65.)] ausserhalb der grossen Kugel (A) sich befinden. Folglich sind die Entf'ernungen jener Pmicte x, s von irgend einem Element dp nothwendig grosser als die Dittb- renz der Radien der beiden Kugeln , d. i. grosser als (A a). Die Theorie der sogenannten Doppclbclcguugcii. 149 abs Jp < %e, nach (71.); uud tblglich: abs (J tt -f- J*i) < s , d. i. iiach (62.): abs (Q x Q,) < ; 72. w. z. b. w. Seweis in der Ebene. Dieser ist offenbar vollig analog. Sogar die Formeln sind genau dieselbeii wie im Raume, nur mit dem Unterschiede, dass die in (68.), (69.), (70.) auftretende Zahl 1i in der Ebene nicht mehr = 2, son- dern == 1 ist. Strengerer Beweis fiir die allgemeinen Eigenschaften des Potentials einer Doppelbelegung. Da die fur diese allgemeinen Eigenschaften (48. a, /3, y, theils aus der Be- schaffenheit des Ausdruckes Q [Hiilfssatz (56.)] hervorgehfc. Gleiches gilt daher auch von der Differenz rechter Hand; w. z. b. w. Beweis der zweiten Eigenschaft (48. /S). Denken wir uns auf und ausserhalb 6 eine Function 9? ausgebreitet, ent- sprechend den Formeln: Die Theorie der sogeuaimten Doppelbelegongan. 151 alsdann besteht jeiie zweite Eigeiischaft in dem Satz, dans dicsc Function cp iiberall stetig sei, also stetig sei fur sammt- licJte Puncte s, a. Soil dieser Satz richtig sein, so miisseu die Differeuzen A ' = (p ai

und reprasentirt also das Potential einer gewissen auf 6 ausgebreiteten Belegung auf den variablen Punct a. Ferner entspricht die Differenz A" ebenfalls der ge- uannten Anforderung. Denn aus (82. , /3) folgt sofort:

Q = 9>* - woraus folgt: a - s = , unendlich klein werden, sobald man i v dem i, s t clem s, und i dem s sich nahern lasst. Dass die Differenz 0' dieser Anforderung entspricht, folgt unmittelbar aus der Definition von ^,- . Denn dieses ^, ist nach (82. y) identisch mit W, , und repraseiitirt also das Potential eiuer gewissen auf G vorhandeneu Masseubelegung auf den variablen Punct i. Die Differenz 0" entspricht ebenfalls der genannten Au- forderuug. Denn nach (82. cc , j/) ist : und wir wissen befeits, dass f s und [i s stetig sind, vgl. (74.) und (82. a). Was endlich die Differenz 0'" betrifft, so iiehmen die Formeln (79.), (80.) mit Rucksicht auf (82. /S) folgende Ge- stalt an: woraus folgt: Q t --Q,= ^ *}>,. Nach unserin Hiilfssatz (56.) kann aber die liuke Seite dieser Formel durch Annaherung von i an s beliebig klein gemacht werden; und Gleiches gilt daher auch von der rechten Seite. , W. z. b. w. Bemerkung. Man kann die eben besprochenen drei Eigen- schaften noch weiter verscharfen, indem man sagt: Ist die gegebene Function p auf der gegebcnen Curve oder Fldche 6 gleichmdssig stetig, so Tiaben die in (82. cc, /5 7 y) genannten Functionen f, 9), V analoge Eigenschaften. Es sa. wird namlicli alsdann f gleicnm,dssig stetig sein filr die Gesammfheit der Puncte s, ferner tp gleichmdssig stetig sein fur die Gesammfheit der Puncte s, a, endlich ty gleich- mdssig stetig sein fur die Gesammtheit der Puncte s, i. Die Theorie tier sogenamiteu Doppelbelegungeu. 1 53 In der That habe ich die Satze in dieser scharfereu Form durch sorgfaltige Rechnungen als richtiy erkannt. Doch mochte ich diese Rechnungen (schon ihres zu grossen Um- faugs willen) hier nicht weiter mittheilen. Ueber die vierte Eigenschaft (48. d). - - Fiir diese bin ich eineu Beweis von hinlanglicher Strenge mitzutheilen vor- laufig nicht im Stande. Gliicklicherweise ist indessen diese vierte Eigenschaft fiir raeine spateren Zwecke auch nur von untergeordneter Bedeutung. v 10. Die betreffenden Helmholtz'schen Untersuchungen. Helmholtz diirfte wohl der Erste gewesen sein, welcher die sogenannten Doppelbelegungen einer nahern Betrachtung unterworfen hat; und es niag mir daher gestattet sein, die betreffenden Helmholtz 'schen Untersuchungen hier wortgetreu folgeu zu lassen. Nur werde ich, um unnothige Discontinui- taten zu vermeiden , statt der von Helmholtz benutzteri Buch- staben diejenigen nehmeu, von deue.n in den vorhergehenden Gebrauch gemacht wurde. Helmholtz driickt sich folgender- massen aus [Poggendorff's Annalen ; Bd. 89, Seite 224, vom Jahre 1853]: ,,In einer friihern Abhandlung (Ueber die Erhaltung der Kraft. Berlin 1847. Seitfe 47) habe ich schon die Thatsache, ,,dass elektromotorisch differente Korper, welche sich be- ,,riihren, eine constante Spannungsdifferenz zeigen, mathe- ,,matisch so ausgesprochen, dass die Potentialf unction aller ,,freien Elektricitat in ihnen um eine constante Differenz ,,verschieden sein nnisse, unabhangig von der Gestalt und Grosse der beiden Leiter. " ,,Spater hat Kirchhoff dasselbe auf die elektromotorisch differenten Korper in geschlossenen Galvanischen Kreisen aus- ; ,gedehnt, und nachgewiesen, dass dasjenige, was man bisher ,,als verschiedene Spannung oder Dichtigkeit der Elektricitat J; in durchstromten -Korpern bezeichnet hatte, der verschiedene ,,Werth der Potentialf unction sei; und dass in constant durch- ,,stromten homogenen Leitern diese Function nur solcher freier 154 Viertes Capitel. ,,Elektricitat angehoren konne, welche auf tier OberHiiche und ,,ausserhalb der Leiter vertheilt sei." . n Gauss hat gezeigt (Resultate des magnet. Vereins 1839. Seite 27), dass wenn Elektricitat (oder Magnetismus) in einer Flache verbreitet sei, und zwar die Menge auf der Flachen- ,,einheit, die Potentialfunction auf beiden Seiten einer solchen Flache keine verschiedenen Werthe habe, wohl aber ihr ,,Differentialquotient, in der Richtung senkrecht gegen die O ~17 Flache geuomnien. Nennen wir dieseu ^ auf der eineri, 5 -y und g auf der andern Seite der Flache , wobei vorausgesetzt ,,wird, dass die Normalen der Flache von ihrem Fusspunct ,,in dieser nach entgegengesetzten Richtungen hin gemessen ,,werden, so ist nach Gauss: ,,Ein solcher Fall kommt gemass Kirchhoffs zweiter Be- ,,dingung fiir das dynamische Gleichgewicht der Elektricitat ,,in durchstromten Leitersystemen an den Beruhrungsflachen ;7 zweier Leiter von verschiedenem Widerstande und gleicher ,,elektromotoriscJier Kraft vor. Hier ist die Potentialfunction ,,auf beiden Seiten der Flache von gleichem Werthe, aber ihr Differentialquotient verschieden." ;; Denken wir uns dagegen eine Flache auf einer Seite ,,mit positiver Elektricitat, auf der andern mit eiuer gleichen ,,Quantitat negativer belegt, beide Schichteu in verschwindend ,,kleiner Entfernung von eiuander, so werden der Gleichung ,,(1.) entsprechend, die Differentialquotienten der Potential- ,,function auf beiden Seiten der belegten Flacheu gleicli*}, ,,die Werthe dieser Function selbst aber verschieden sein. ,,Nehmen wir an, um die Grosse ihres Unterschiedes zu be- ; ,stinimen, dass zunachst nur eine solche Schichfc da sei, welche in der Flache G selbst liege. Ihre Potentialfunction ,,in einem Puncte der Oberflache von der Dichtigkeit t, sei F, 8V ,,deren Differentialquotienten nach der einen Seite -^ , nach *) In solcher Art beweist Helmholtz die sogenannte vierte Eigen- (48. d) Seite 140. Die Theorie der sogenannten Doppelbelegungea. 155 S V ,,der and era - . Verlegen wir nun die elektrische Schicht 011% ,,in die verschwindend kleine Entfernung e von der Fliiche 6 ; ,nach der Seite der Normale n l bin, so entsteht dadurch ; ,eine verschwindend kleine Variation der Potentialf unction. ,,Der Werth dieser Function in der elektrischen Schicht selbst , 7 wird also nun V -f- sdV, und in einer unendlich kleinen Ent- ;; fernung Aw, von der Flache falls wir namlich die innere oder positive Normale von 6 init v, andrerseits die dussere Normale mit N bezeichnen. Solches vorangeschickt, wollen wir nun -ubergehen zur Aufstellung einiger neuer Satze, indem wir dabei die Be- zeichnungeu 21, a, a, 3, *> 3 un ^ s t G ^ n ^ em frtiher [S. 31] festgesetzten Sinne verwenden. Erster Satz. - - Die Gesammtmasse einer aiif 6 ausge- liri'itcten Doppelbelegung ist stets = 0. Seweis. - Die Richtigkeit des Satzes ergiebt sich un- mittelbar aus der Definition einer Doppelbelegung [vgl. S. 119]. Zweiter Satz. - - Ist das Potential W einer auf 6 aus- gclreiteten Doppelbelegung filr alle Puncte a constant (mithin *= 0), so wird ihr Moment ebenfalls durch eine Constante, aber durch eine Constante von yanz unbestimmtem Werthe daryrstellt sein. Beweis. - - Ist W a = Const. , so kann dieser constante Werth bekauntlich kein anderer sein als Null*}. Unsere Vor- aussetzung: W a = Const, ist also gleichbedeutend mit Hieraus folgt sofort: ^rp = 0, also mit Hinblick auf (3.) 8W- auch : '* = 0. Durch diese letzte bekanute Green'sche Formel [Seite 19]: 8W- auch : '* = 0. Durch diese letzte Relation gewinnt die *) Es kann namlich jener constante Werth kein anderer als W^, d. i. oder oo sein; vgl. Seite 9. Den constanten Werth oo annehmen zu wollen, wiirde aber absurd sein. 158 Viertes Capitel. 3 die einfachere Gestalt: Jl und hieraus folgt sofort: 7. Wi = Const., = C. Schliesslich folgt durch Substitution cler Werthe (6.), (7.) 8. in ( 2 : JL P* 25} ' w. z. b. w. Der Werth der Constanten C bleibt vollig uribcstimmt. Denn welchen constanten Werth das Moment der Doppel- belegung auch haben mag 7 stets wird ihr Potential auf aussere Puncte der verlangten Bedingung entsprechen, namlich = " sein [vgl. die Satze Seite 134] . Dritter Satz. - - 1st das Potential W cincr auf 6 aus- 9. gebreiteten Doppelbelegung fur alle Puncte i constant, etwa = K, so wird ihr Moment ebenfalls constant, und zwar = - sein. 20 Beweis. Aus der Voraussetzung 10. Wi = Const.. = K. dW. dW folgt sofort: -j~ = 0, also nach (3.) auch: -^ == 0. Be- achtet man diese letzte Gleichung, und beachtet man gleich- zeitig , dass die Gesammtmasse der Doppelbelegung = ist [vgl. (4.)], so nimmt die bekannte Green'sche Formel [S. 21]: das einfachere Aussehen an: v i */ woraus folgt: W a = Const. Dieser eonstante Werth von W a kanri aber offenbar*) kein anderer sein als Null. Wir erhalten also: W a = 0- *) Vgl. die vorhergehende Note. Die Theorie der sogenannten Doppelbelegungen. 159 uml nunmehr durch Substitution der Werthe (10.), (11.) in (2.): K P'-'-so-J w. z. b. w. Vierter Satz. -- Soil eine Doppelbelegung von G der Art scin, dass ihr Potential auf der aussern Seite von G vor- geschriebene Werthe fbesitzt, so ist hier durch ihr Moment bis auf eine additive Constante eindeutig bestimmt, ausser im singularen Fall. Beiveis. - - Existiren zwei Doppelbelegungen ft und ft' der verlaugten Art, so wird die Doppelbelegung ft ft' ein Potential besitzen, welches auf der aussern Seite von a Null ist. Hieraus aber folgt, wenn wir vom singularen Fall ab- strahiren, dass dieses Potential Null ist fur sammtliche Puncte a [Theorem (A. abs ), Seite 101]; und hieraus folgt weiter [mit Riicksicht auf (5.)]: rift' == Const. VV. z. b. w. Piinfter Satz. - - Soil eine Doppelbelegung von G der Art sein, dass ihr Potential auf der innern Seite von (? vor- geschriebene Werthe f besitzt, so ist hierdurch ihr Moment eindeutig bestimmt. Beweis. - - Existiren zwei Doppelbelegungeu ft und p' der verlangten Art, so wird die Doppelbelegung /i ft' ein Potential haben, welches auf der innern Seite von ermittelt werden, dessen Masscn auf oder innerhalb */* ; benannt werden. Es findet also, wie ich absichtlich zur leichtern Orientirung in den nachfolgenden Untersuchungen gleich von Anfang hervorheben rnochte, zwischen den beiderlei Functionen (24.) und (25.) nur ein hochst gerinyfilgiger Unterschied statt. Denn die Function W ( ^ geht durch Ab- anderung ihrer Werthe in gewissen einzelnen Linien und Puncten (Kanten und Ecken) in die Function f^ ' iiber. Die letztere Function ist iiberall stetig, die erstere hiugegeu (um einer Riemann'schen Ausdrucksweise mich zu bedienen) eine solche, deren Unstetigkeit hebbar ist durch Abanderung ihrer Werthe in einzelnen Linien und Puncten. Dritte Bemerkung. - - Ich werde bei den nachfolgenden Untersuchungen vorzugsweise die in (1.), (2.) genannten Probleme des Eaumes ins Auge fassen, bemerke aber, dass all' diese Untersuchungen (ohne die geringste Miihe) auf die analogen Probleme der Ebene ubertragbar sind. *) Vgl. die Ber. der Kgl. Sachs. Ges. d. Wiss., 21. April 1870, S. 53. **) Es soil hier nicht von den Functionen W a oder W i , sondern ausschliesslich von der Function W s die Eede sein. Mit anderen Worten : Es soil nur von deujenigen Werthen die Rede sein, welche W auf der gegebenen Flache a besitzt. Analoges ist zu bemerken iiber W s ', W s " Die Theorie des arithmetischen Mittels. 167 I- . Ueber den Rang einer Curve oder Flache. Wir konnen, falls es uns beliebt, zwischen Punct und Stelle unterscheideri , indem wir z. B. von der Ellipse sagen, dass dieselbe mit ihrer Tangente zwei Puncte, aber uur eine Stelle gemein babe, ferner von der Lemniscate, dass dieselbe niit ihrer Doppeltangente vier Puncte, aber nun zwei Stellen gemein habe. Ebeuso konnen wir aucb , was die Peripherie eines regulareu Polygons betrifft, sagen, dass dieselbe mit derjenigen unendlich langen geraden Linie, welche durch zwei aufeinander folgende Ecken gelegt ist, unendlich viele Puncte (namlich samintliche Puncte der betreffenden Seite), aber nur eine Stelle gemein habe. Daneben wiirde etwa zu erwahnen sein, dass die Peripherie eines solchen Polygons mit jeder durch seinen Mittelpuuct gelegten unendlich langen geraden Linie zwei Stelleu gemein habe. In der That wollen wir diesen Sprachgebrauch uns an- uignen, indem wir jedes Continuum von Puncten (einerlei, ob die Anzahl der darin enthaltenen Puncte endlich oder un- endlich gross ist) kurzweg als Stelle bezeichnen. Grleichzeitig wollen wir eine.gegebene Curve oder Flache vom jR ten Range nennen, ivenn sie mit einer unendlich langen geraden Linie, ivelche Lage man dieser Linie auch zuertlieilen mag, niemals mchr als R Stellen gemein hat. Von besonderer Wichtigkeit fur unsere weiteren Unter- sucliungen ist der Specialfall: R = 2. Eiue Curve oder Flache zweiten Ranges kann offenbar niemals einspringende Ecken oder Kauten haben. Oder genauer ausgedriickt: Welche Tangente roan an eine j| Welche Tangential-Ebene man Curve zwcitcn Banges auch legen mag, stets werden sammtliche Puncte der Curve auf derselben Seite der Tangente liegen. an eine Fliiche zweiten Ranges auch legen mag, stets werden sammtliche Puncte der Flache auf derselben Seite der Tangentiul- Ebene liegen. Als Beispiele von Curven oder Flachen eweiten Ranges warden zu erwahiieu seiii: 168 I'iinf'tes Capitel. die Kreislinie , die Ellipse ; die jj die Kugelfliicbe , die Ellipsoid- Peripherie eines Rechtecks*)' die jflacbe, die Oberfliiche eines Te- Peripherie eines regulSren Poly- j traeders , Wiirfels, Dihexaeders, gons , die Peripherie eines Kreis- segmentes, welches theils von Granatoeders, Ikosaeders u. s. w., ferner die Oberflache eines Kugel- einem Kreisbogen, theils von segmentes, welches theils von einer geraden Linie begrenzt ist. einer Kugelcalotte , theils von jjeiner Kreisflache begrenzt wird. Eiue geschlossene Curve ocler Plache zweiten Ranges wiirde man zur Noth als eine uberall convexe Curve oder Flaehe bezeichnen kounen**), nur miisste man alsdann hin/u- fugen, dass einzelne Theile der Curve oder Flaehe gerad- linig, resp. eben sein diirfeu. 2. Die mit sogenannten Sternen behafteten Curven und Flachen. Einsternige Curven und Fldclien. Lasst sich auf einer gegebenen Curve ein Punct M marlciren von solcher Lage, dass sdmmtliche Tangenten der Ou/rve durch M gehen, so mag die Curve ein- sternig, und M ihr Stern Eine einsternige Curve wird daher stets ein Wirikel sein, nam- lich dargestellt sein durch zwei von demselben Punct auslaufende (begrenzte oder unbegrenzte) ge- rade Linien. Lasst sich auf einer gegebenen Flaehe ein Punct M marl-'n-i u von solcher Lage , dass sdmmt- liche Tangentiale'benen der Flaehe durch M gehcn, so mag die Flaehe einsternig, und M ihr Stern lieissen. Eine einsternige Flaehe wird daher stets ein Kegelmantel sein, namlich dadurch erhalten werden, dass man einen von einem ge- gebenen Punct atfsgehenden (be- grenzten oder unbegrenzten) Strahl um seinen Ausgangspunct in beliebiger Weise sich drehen lasst. *) Ein beliebiges VierecJc dart' nicht als Beispiel aufgefiihrt werden. Denn deuken wir uns z. B. ein Viereck mit einspringendem Winkel, BO wird die Peripherie dieses Vierecks eine Curve vierten Eanges sein. **) Dieser Bezeichnung babe ich rnich friiher bedient, namentlich *z. B. in den Ber. d. Kgl. Sachs. Ges. d. Wiss., April 1870 , Seite 56. Die Methode des aritbmetischen Mittels. 169 von soldier Lagc, class jcdiccde Tangente der Curve durcli c'nicn dicser bcidcn Puncte geht, so mag die Curve zweisternig hcissen, und M, N Hire Sterne. Zweisternige Curven und FldcJien. Lasscn sich auf einer gegcbe- fl Lasscn sich auf einer gcgelc- nen Curve zivci Puncte M, N nen Flache zwei Puncte M, N markircn von soldier Lage , dass jedwede Tangentialeltenc der Flache durcli einen dieser beidcn Puncte gcht, so mag die Flache zwei- sternig heissen, und M, N Hire Sterne. Eine zweisternige Flache wird Eine zweisternige Curve wird daher stets aus zwei Winkeln jj daher stets aus zwei Kegelmdntcln zusammengcsetzt, mithin ein ,i zusammengesetzt sein. Als Bei- Vicrcck sein. Doch kann deri spiele wiirden anzufiihi'en sein eine Winkel des Vierecks 180 betragen, wodurch sich alsdann dasselbe in ein Dreieck verwan- die Oberflache desjenigen Kor- pers, der durch Rotation eines Rhombus urn eine Diasmnale delt. Beim Viereck liegen die jj entsteht , ferner die Oberflachen Sterne in zwei gegeniibcrliegen-j des Dilicxaedcrs , des Octacders, den Ecken, wk'hrend beim Dreieck des Rhomboeders , des Parallelc- der eine Stern in einer Ecke, {pipcdums, des Wurfels, und end- der andere in einem beliebigen jj lich auch diejenige des Tetraeders. . Punct der gegenuberliegenden | Bei der letztern Flache befindet Seite sich befindet. sich der eine Stern in einer Ecke, der andere in einem be- liebigen Puncte der gegenuber- liegenden Seite. Vielsternige Curven und FldcJien. In ahnlicher Weise konnte man allgemein w-sternige Curven und Flachen definiren. Doch 1st solches fur unsere Xwecke von keinem Belang. 3. Die Configurationsconstante einer geschlossenen Curve oder Flache zweiten Ranges. Voraussetzung : Es sei /*). 20 wo das Integral J(da) s fiber alle Elemente des Theiles , und das Integral C(dfi} Si fiber alle Elemente des Theiles ft ausgedehut sein soil. Wir stellen uns die Aufgabe, diese Ausdrucke , 97, ffir beliebige Lagen der Puncte s, s, naher zu untersuchen*). Da die Glieder der Integrale f(da\ , f(dft} Sl und J*(d6) s , f(d<5\ sammtlich positiv sind [nach (5.)], so ergiebt sich: f(da). ^ Hieraus aber erhalt man mit Kucksicht auf (10.): imd hieraus endlich durch Addition und mit Rucksicht auf (12.): ^ g ^ 2to, mithin : <^ rj ^ 1 , und folglicli: 1 > ^ 0; woraus hervorgebt, dass 77, positive dchte Brtiche sind. Von besonderer Wichtigkeit ist (fur unsere spatereu Untersuchungen) die Frage, ob |, y ihre untere Grenze, die 0, wirklich erreichen konnen. Die Grosse ist eine Sunime von lauter positiven Gliedern, zum Null- werden von | also erforderlich , dass sainmtliche Glieder ein- zeln = seien. Nun kann aber ein Glied von der Form (da) s offenbar iiur daun = sein , Kugelflilche die Karte unserer Erdoberflache aufgemalt, so konnen wir, falls es uns beliebt , unter a alle mit Wasser bedeckten Gebiete , andrer- seits unte* ^ den Continent und die Inseln verstehen. *) Vgl. die erste Note Seite 170. 172 Fiinftet Capitel. wenn die in da an die gegebene j wenn die in dee an die gegebene Curve gelegte Tangente durch s Flache gelegte Tangentialebene geht. durch s geht. Analoges gilt fiir die Glieder von der Form (dfi\ . Soil also verschwinden , so miissen sammtliche Tangenten resp. Tangentialebenen des Theiles a durch s, und andrerseiis sammtliche Tangenten resp. Tangentialebenen des Theiles durch s } gehen. Folglich werden , 77 ihre untere Grenze, die 0, nur dann erreichen konnen, weun die Curve resp. Flache (5 eine ein- oder sweisterniye ist*). Nehmen wir also an, a sei weder ein- noch eweistemig, so wird, was die Formeln (15.) betrifft, der positive aehte Bruch 77 nothwendig von Null, mithin der positive achte Bruch nothwendig von Eins verschieden sein, so dass also die letzte jener Formeln folgende Gestalt erhalt**): 16. 1 > > 0. (sic!) Der Fall der Einsternigkeit verbietet sich iibrigens vuii selber, weil er in Widerspruch steht mit der schon friiher gemachten Voraussetzung (3.), dass 6 geschlossen sei. Wir brauchen also nur den Fall der Zwcisterniykcit auszuschliessen, und gelangen daher, um die Hauptsache zusanimenzufassen, zu folgendem Satz: Zerlegt man eine yeschlossene Curve oder Flache 6 mit positiver innerer Seite in zwei Theile a und /3 (von denen jeder aus beliebig vielen einzelnen Stiicken bestehen kann), und versteht man unter s, s t zwei auf 6 frei bewegliche Puncte, so wird die Grosse 17. 2S5 *) 1st namlich G zweistcrnig, so wird | verschwinden konnen, wenn man s in den einen, Sj in den andern Stern hineinfallen lasst, tiud gleichzeitig die Zerlegung von a in die beiden Theile a und ft in ge- eigneter Weise bewerkstelligt. Ist andrerseits einsternig, so wird g verschwinden konnen, sobald man die Puncte s und s t beide in diesen einen Stern hineinfallen lasst. **) In der Formel (16.) soil das zugefugte (sic!) die Aufmerksamkeit auf das dariiber befindliche Zeichen lenken, welches nicht ^> sondern > lautet. Die Methode des arithmetischen Mittels. 173 variiren mit der Art und Weise jener Zerlegung, sowie auch mil der Lage der Puncte s, s, . Setzt man dber voraus, die Curve oder Fldche 6 sei zweiten Ranges und keine zweisternige , so wird dem Spielraum unter- ivorfen sein*): <: < 1. (sic!) Was von der Variablen gilt, gilt aber notliwendig aucli von jedem Spccialwerth dieser Variablen. Bezeiclmet man also den Maximalwerth von mit /, so folgt aus der vorstelienden Formel sofort: < g < A < 1 . (sic!) Dieses A, welches stets positiv und kleiner als Eins ist, reprdsentirt cine der gegebenen Curve oder Fldche G eigen- thiimliche Constantc, ivelche die Configurations const ante heissen mag. Wir wollen im Folgenden diese Coiifigurationsconstante naher zu bestimmen suchen fur einige mehr oder weniger specielle Falle. Nahere Bestimmung der Conflgurationsconstanten in einigen speciellen Fallen. Die Configuration sconstante eines Kreises. - - Ist 6 ein Kreis, so ist in Betreff des Ausdruckes (17.) zn beinerken, dass nach dem bekannten Satz uber die Peripherie- winkel die Relation stattfindet: f(d(l\ =C(dft) s . Somit folgt: d. i. also nach (7.): *) Ueber das in (18.) nnd (19.) zugefiigte (sic!) vergl. die vorher- geheude Note. 174 Fiinftes Capitel. t 1 *"*-> folglich auch*): 20. A = ^ . Die Configurationsconstante eines Kreises ist mithin stets = \ . Die Conflgurationsconstante einer geschlossenen Curve zweiten Ranges. - - Ob die Curve stetig gebogen oder mit Ecken behaftet ist, bleibt gleichgiiltig. Hingegen wollen wir voraussetzen ; dass sie keine geradlinigen Strecken enthalte, oder (scharfer ausgedriickt), dass alle Kreise, welche irgend drei (benachbarte oder nicht benachbarte) Puncte mit der Curve gemein haben, von endlicher Grosse sind. Zugleich 21. "wollen wir unter all 7 diesen Kreisen den grossten uns auf- gesucht denken, und seinen Durchmesser mit A bezeichnen. Wir beschreiben nun, w,as den Ausdruek /(<*)* +/WX betrifft, um jeden der Puncte s, s l einen kleinen Kreis, be- zeichnen den ausserJialb dieser Kreise befindlichen Theil der 23. gegebenen Curve 6 mit a', und denken uns die beideu Kreise (zur bessern Fixirung unserer Vorstellungen) von solcher a Grosse, dass a'==a ist, wo selbstverstandlich tf, tf die Bogenlangen sein sollen. Ausserdem bezeichnen wir die- jenigen Theile von a und /J ; welche zu (?' gehoren, mit a' und /3'. Alsdann wird: wo in den beiden letzten Integralen die Integrationen aus- gedehnt zu denken sind (iber alle Elemente da' des Theiles ', respective uber alle Elemente r?/3' des Theiles ft'. Nun ist bekanntlich fur jedes Element dti und fiir jeden Punct s (vergl. Seite 122): ( -j\ _ da cos -9- 25. > wo E die Entfernung (da *-> s), und & den Winkel dieser Entfernung gegen die Normale von dti bezeichnet. Denken wir uns durch den Punct s und durch die beideu Endpuncte des Elementes do einen Kreis gelegt, und den Durchmesser dieses Kreises mit D bezeichnet, so wird offenbar E= folglich : *) Denn K ist der Maximal werth von f, vgl. Seite 173. Die Wethode des arithmetischen Mittcls. 175 also, weil nach (21.) D < A ist: / 7-\ & . (**) > - 27. Es konnten Xweifel entstehen , ob diese Formel auch dann noch giiltig sei, wenn der Punct s im Element do (z. B. iu der Mitte des Elementes) liegt. Um solchen Erorterungen, welche inehr ermiidend als schwierig oder niitzlich sein wiirden, aus dem Wege zu geheii, wollen wir bei Anwendung der Formel (27.) auf solche Elemente dti uns beschranken, welche den Punct s nicht enthalteu. Dieser Bedingung ent- 4>rechen nach (23.) sammtliche da', also auch die dec' und nii;; also nach (17.): t^ \ --- 6 10 2 OA ' folglich auch (vgl. die Note, Seite 174): JL & die beiden Halbaxen der Ellipse, so ergebeu sich fur die in (29.) enthaltenen Grossen 6, A im gegenwartigen Fall die Relationen : 6 > 2-Sf , a ' A < 2 ~- ; denn es reprasentiren - - und -j- die Radien des kleinsteu und grossten Kriimmungskreises der Ellipse. Hieraus folgt sofort : _?_ > (i-Y, 2SA ' 2 \a / ' und hierdurch gewinnt die Formel (29.) folgende Gestalt: K < 1 -' 1 (A)'. 30. % 2 \a/ Die Methode des arithmetischen Mittels. 177 Bemerkung. Hieraus folgt fur den Fall des Kreises, d. i. fur a = b, sofort /I <^ ; was mit unserm friihern Er- gebniss A = [vgl. (20.)] in Einklang ist. Die Configurationsconstante einer geschlossenen Flache zweiten Ranges. - - Wir wollen dahingestellt sein lassen, ob die Flache mit Ecken und Kanten behaftet oder iiberall von stetiger Biegung ist, aber voraussetzen, dass sie keiae ebenen Theile enthalte, oder (genauer ausgedriickt) voraussetzeu, dass alle Kugelflachen, welche irgend vier (benachbarte oder nicht benachbarte) Puncte mit der gegebenen Flache gemein haben, von endlicher Grosse sind. Zugleich wollen wir unter all' diesen Kugelflachen die grosste uns aufgesucht, und dereu 3l - Durchmesser mit A bezeichnet denken. Wir beschreiben nun, was den Ausdruck betrifft, urn jeden der Puncte s, s l eine kleine Kugelflache, bezeichnen den ausserhalb dieser Kugelflachen befindlichen Theil der gegebenen Flache a mit (?', und denken uns die ss. beiden Kugelflachen von solcher Grosse, dass G' = 6 ist. Ausserdem bezeichnen wir diejeuigen Theile von a, /3, welche zu G' gehoren, mit a' } ]8'. Alsdann wird: f(da), + /W), > f(da*).+J(dp\ . * Neumanu, Potential. 35. 178 Funftes Capitel. Bekanntlich ist fur jedes Element d<5 und jeden Punct s (vgl. Seite 122): wo E die Entfermmg (d(3 -> s),.und & den Winkel dieser Entfernung gegen die innere Normale von dG bezeichnet. Denken wir uns nun durch den Punct s und durch irgend drei Puncte des Elementes do eiue Kugelflache gelegt, und den Durchmesser derselben mit D bezeichnet, so wird offen- bar E = D cos -9 1 ; folglich: / T \ da da also, weil nach (31.) D < A istr 37. (*} > ~^F Um etwaigen Zweifeln vorzubeugen , bringen wir diese Form el nur auf solche Elemente d<5 in Anwendung, welche den Punct s niclit in sich enthalten. Hierher gehoren z. B. die Elemente da' } so dass wir also mit voller Sicherheit schreiben konnen: woraus durch Integration iiber sammtliche dcx,' sich ergiebt: f( dtt '\>-%T- Desleichen wird offenbar: Durch Substitution der Werthe (38. a, b) in die Formel (34.) erhalten wir nun sofort: also mit Riicksicht auf (33.): f(* also nach (17.) 10 2 53 A 2 ' folglich auch (vgl. die Note, Seite 174): 10 Die Methode des arithmetischen Mittels. ]79 q Beachten wir nun, class wir statt des Bruches ebensogut 99 999 den Bruch oder - u. s. w. hatten wahlen konnen [vgl. (33.)], so gelangen wir also schliesslich zu dem Resultat, dass die Configurationsconstante A der letrachteten Flaclie dcr Formel cntsprcchcn muss: wo (3 die Grosse der gegebenen Flache (ihren Quadratinhalt), und A den Durclimesser der grossten Kugelflache vorstelU, die irgend vier Puncte mit der Flache gemein hat. 5. Die aufeinanderfolgenden Functionen W (n \ /"H Durch die geometrischen Betrachtungen der vorhergehen- den haben wir uns den Weg eroffnet zu einem tiefern Eindringen in die Natur der schon in der Einleitung (Seite 162 und 166) erwahnten Functionen W (n \ f (n \ Wir wollen [wie auch schon friiher geschehen, vgl. S. 160 (1), (2)] voraussetzen, dass die auf der geschlossenen Flache (? vorgeschriebenen Werthe f daselbst uberall stetig sind. Ueber jene Flache selber hingegen wollen wir vorlaufig keine Vor- aussetzung machen, also z. B. dahingestellt sein lassen, ob sie stetig gebogen oder mit irgend welchen Kanten und Ecken behaftet ist. Uebrigens mag ihre innere Seite als die positive festgesetzt sein. Setzt man nun: so ist W x das Potential einer auf a ausgebreiteten Doppel- s belegung vom Momente p = -~- , und entspricht den Re- lationen : [vgl. S. 139]. TT7" I T/fA I * I \ -f* d. i. den Relationen: 12* ]gO Fiinftes Capitel. W - f _ f '' as - Is /s w t . =/; + / wo alsdann /"/ die Bedeutuiig hat: wahrend n s das supplementare Winkelmaass der Flache <5 im Puncte s vorstellt. Auch besitzt dieses Potential W x (vgl. Seite 139] folgende E i gens chaf ten: 6 . Erste Eigenschaft: Die auf G aitsgebreiteten WertJie f t ' (5.) sind dasclbst uberall stetig. ZweUe Eigenschaft: Die ausserhalb 6 ausgebreiteten 7. Werthe W a sind inclusive Hirer Grenzwerthe W a , uberall stetig. Diese Grenzwerthe stehen zu den W s in der Beziehung (3.), (4.). Dritte Eigenschaft: Die innerhalb G ausgebreiteten 8 . Werthe W f sind inclusive Hirer Grenzwertlie W is uberall stetig. Diese Grenzwerthe stehen zu den W s in der .Beziehung (3.), (4.). 9. Vierte Eigenschaft: Bezeiclmet p eine beliebig gegebene Richtung, so ist immer: -~- = ** . Wir gehen fiber zur Bildung weiterer Functioneii. Ebenso namlich, wie aus den f die Functionen W, f eutstanden sind, ebeuso mogen nun aus den f zwei neue Functionen W } f", und sodann aus den f" wiederum zwei neue Functionen W" } f" abgeleitet werden, u. s. w. , u. s. w., entsprechend den Formeln : 10. w * ls (60 =W S = w; + Offenbar besitzen all' diese Potentiale W x n) analoge Eigen- schaften wie W x selber, und entsprechen also z. B. den mit (4.) analogen Formeln: Die Methode des arithmetischen Mittels. w a , = -f, + /;, w lt =/; +/;', w a . = -/;' + /;", w t f . = /;- + /;-, T^;; - - /r + /r, TF;; - /r + /;-, Hieraus folgt sofort: W a . = - f. + ', w.. + TTj. = - /; + /;", " n* ~T ^ * ~T "as = - /* ~f- fs t w a . 4- w fl '. + IF;; uud ferner: -wi. =/;-/;", + TF;; =/;+/;"', JF^- TF/.-f- TF/;- + (- 1)" Wtf = f s + (-\Yf ( s n+l \ Feruer folgt aus den Forrueln (11.) linker Hand durch Ad- dition aller geradcn, resp. aller unger -aden W as : und in aiialoger Weise aus den Formeln (11.) reclitcr Hand: Eudlich sind analog mit (6.), (7.), (8.), (9.) folgem'e Satze zu erwahnen: Erst ens: Die auf /* ..... /* ; ..... j abgesehen von einzelnen Linieii und Puncteii (Kanteu und Ecken) , identisch sind mit W W W" W {n) '' s ) '' s ) ' ' s ) ' ' ' ' s ..... In solcher Weise bestatigt sich, was schon in der Ein- leitung dieses Capitels (Seite 166) behauptet wurde. *) Es ist nur von den Functionen f s ' und W s , also nur von solchen Werthen die Eede, welche auf der gegebenen Flache a ausgebreitet sind. Dass diese Functionen aber das genannte Verhalten zeigen, ergiebt sich aus (10. ) sofort, falls man nur beachtet, dass das sogenannte supplementare Winkelmaass 8 S , mit Ausnahnie der Kanten uud Ecken, uberall = ist; vgl. Seite 130. Die Methode des arithmetischen Mittels. 183 Nahere Untersuchung der Functionen W (n \ f (n) fiir den Fall, dass die gegebene Flache zweiten Ranges und keine zweisternige 1st. Zu uuseren schon friiher gemachten Voraussetzungen [Seite 179 (1.)] wolleu wir jetzt noch die hinzutreten lassen, dass die gegebene geschlossene Flache 6 ziveiten Ranges und 21 - kerne zweisternige sei. Alsdann gelten fiir jedes Element d<5 und fiir jeden Punct s die Formeln [vgl. Seite 170 (5.), (7-), (90] (rfff), = pos., f(da) s = -ST, = or &, , 22 <^ Hf s <^ "oT, niithin : W s = pos., ^ MS ^ "t^i mithin : v s = pos., \vo lo s das Winkelmaass und das supplementare Winkel- maass von 6 im Puncte s bezeichnet. Was ferner die auf (? uberall stetigen Werthe f betrifffc, so wollen wir ihren kleinsten mit K, ihren grossten mit G, das arithmetische Mittel von K und G mit M , und endlich die sogeuannte Schwankung*} der Werthe /'mitD/'bezeichuen. Also: Miu f=K, Gleichzeitig wollen wir die Flache a in zwei Theile a und /3 zerlegen, von denen jeder aus beliebig vielen einzelueu Stiicken bestehen kann [vgl. die zweite Note, Seite 170]: *) Unter der Schwarikung einer gegebenen Function verstehe ich (nach Miemann's Vorgang) die Differenz zwischen ihrem Jcleinsten und grossten Werthe. 24 . 184 Funftes Capitel. und zwar in solcher Weise, dass alle auf a vorhandenen f zwischen K und M, audrerseits alle auf ft vorhandenen zwischen M und G liegen. Bezeichnet man also die auf a und ft vor- handenen f respective init f a und fp, so sind die Foruieln zu notiren : Ob dabei diejenigen Elemeute d<3 , in denen /' gerade gleicli M ist, zu a oder zu /3 gezahlt werden, bleibt gleichgiiltig. Nach den Formeln (10. a, ) ist: hieraus folgt durch Elimination von vf;-f. also nach (24.): Beachtet man nuii, dass die hier auf der rechten Seite auf- tretenden Grossen: nach (22.) lauter positive Grossen sind , so folgt mit Rucksicht auf (25.) sofort: Ks, oder, was dasselbe ist: Iff.' ^ G [. + f(da). + f(dfl,] + (M-G) f(da). , Wf.' > K [ a . + f(dcc\ + /(rf/8).] + (M - K) f(dfo . OfFenbar ist der in den eckigeu Klanimeru euthaltene Ausdruck also nach (22.): *= tar. Somit folgt: srf,' <. w G -f ( M - G) f(d\ , vf.' ^ to K + ( Jf - K) f(dfi. , oder mit Rucksicht auf (23.): Die Methode des arithmetischen Mittels. 135 f , / r (G-K)f(da\ 2SJ ' 28. f;^K+ ( 2ffl also a fortiori: Die hier entwickelten Formeln gelten fiir sdmmtliche Puucte s der Curve oder Flache G } d. h. fur sammtliche Werthe, welche f auf a iiberhaupt besitzt. Nehmen wir also an, der kleinste K' dieser Werthe sei vorhanden im Puncte 8^, und der yrb'sste G' im Puucte s l} so erhalten wir durch Auwenduzig der ersten Formel (28.) auf G': r ' f v i . ^ ~~ / * ^ A ' woraus durch Subtraction folgt: Die Curve oder Flache G ist nach unserer Voraussetzung (21.) gcsclilossen, zweiten Ranges, und Tieine ziveisternige. Wie also die Theile a und ft auch beschaffen sein mogeu, und wo die Puncte s und s, auch liegen mogeu, stets wird (vgl. Seite 173) die Relation stattfinden: wo A einen positiven acliten Snick, die sogenannte Configu- rationsconstante von (>, vorstellt. Somit erhalten wir: Die Formeln (29.) , (30.) nehmen , uuter Anweuduug der [zum Theil schon in (23.) erwalmten] Bezeichuuugen : K = Min /' , K' = Min f, G = Maxf, G' =Maxf, 3 i. G K=>Df, G' K' = Df", 186 Funftes Capital. folgende Gestalt an: 32 . Min f Df"i Df") der Reihe nach geometrisch dar- gestellt, so zeigt eiu Blick auf die Forinelu (33.) linker Hand, dass all' diese Schwankuugen in cinander gescliaclitelt sind, indem jede mnerlialb (oder wenigstens in Erstreclmng) der vorhergehenden liegt*): *) Hinsichtlich dieser Ausdrucksweise vgl. man die erste Note auf Seite 50. Die Methode des arithmetischen Mittels. 187 ^ 9 x i L i J r x^ JT* f( ff fr UT Cjr ^" 38. Uud hieraus folgt sofort, dass die in Rede stehende Con- stante (36.) eiue vollig bestimmte ist; sie mag hinfort mit C bezeichnet werden: /*** = C . 39. Weiteres tiber die Punctionen /. - - Denken wir uns in Figur (38.) auf der horizontalen Axe irgend zwei Puncte K imd a' markirt, von denen der eiue zwischen K und G, der audere zwischen K' und G' -Hegt, so wird offenbar der gegenseitige Abstand dieser beiden Puncte Kleiner als Df, hochsteiis glcicli Df sein. Diese Bemerkung aber konneu wir, weil die Puncte cc und ' irgend zwei Werthe der Functionen /' und /" reprasentiren, durch folgende Formel ausdriickeu : abs(f /") /()) < DfM , also nach (34.): abs (/<+*) /(>) ^ (D/ 1 ) fr ; 188 Funftes Capitel. wobei wiederum gleichgiiltig , ob die betrachteten Werthe f(n+p) U nd fW an derselben, oder an verschiedcnen Stellen der Flache <5 sich befinden*). Setzt man in dieser letzten Formel, in welcher selbst- verstandlich p eine positive ganze Zahl bedeutet, die Zalil p = oo, so folgt mit Riicksicht auf (39.): 43. abs (C /<>) < (I?/ 1 ) A; mid hieraus folgt weiter, rfass sammtliche Werthe, zuelche die Function fw auf der gegebenen Flache tf iiberhaupt lesitzt, der Formel entsprechen: 44. C (I)/") AW ^ /w ^ C +(!>/) A". Dieser Satz giebt iiber die Bescha/fenhcit der Function /"< n) eine anschauliche Vorstellung,. und ist zugleicli deshalb von Wichtig- ~keit, well er die friiheren Formcln (40.), (41.), (42.), (43.) iiberfliissig macht. In der That konueu jene Fornieln als eine unmittelbare Consequeuz des Satzes (44.) angesehen, uud niit Hiilfe dieses Satzes in jedeni Augenblick reproducirt werden. Untersuchung der Functionen W^. Nach (11.) ist: nA") _ f(n+\) An) t " as - /* ~ Is ) also nach (41.): 45. abs W < (Df)l*. Nun reprasentirt W* das Potential einer auf a ausgebreiteten Doppelbelegung , mithin einer Belegiing, deren Gesammt- masse Null. Hieraus folgt [Theorem (A.'} Seite 37], dass die Extreme der W^ auf a liegen, also dargestellt siud durch zwei Specialwerthe der W$ . Die fur sammtliche Wa n ? gultige Formel (45.) Avird offenbar auch gelten fiir diese beideu Specialwerthe, also gelten fiir die beiden Extreme der Wa n) , und a fortiori also auch gelten fiir die iibrigen W^ . Somit folgt: . abs W ( a ] *3 Jene Forrael (42.) wiirde also genauer so zu schreiben sein: aba ($+**- f) <, (Df)l*, wo s und s t zwei beliebige Puncte der Flache a vorstellen. Die Methode des arithmetischen Mittels. 189 Aus (45.), (46.) ' ergiebt sich sofort, dass sammtliche Werthe W ( a n] , Wa" s ] der Formel entsprectien : W (n) } ' 5J+WU". PT.j J Dieser Satz giebt eine deutliclie Vorstellung uber die Function W { a n) ; so zeigt er z. B. , dass W?> = W = 48 - ist. Audi madit dieser Satz die friilieren Formeln (45.), (46.) iib er flits si g, indem er jeden Augeriblick zur Reproduction derselben dienen Jcann. Untersuchung der Funetionen W,'"' . -- Nach (11.) ist: Trr(n+l) W (n) _ f (n+2) An) . ''is ''is -- /* Is ) und hieraus folgt rait Riicksicht auf (42.): abs ( W +l) Wff) < (Df) X 1 , uud folglich auch: abs Wi (n+l) - Wl n) < Dl n , 50. wo in Betreff des Uebergauges von (49.) zu (50.) Aehnliches zu-bemerken ist wie beim Uebergange von (45.) zu (46.). Ferner ist nach (11.): Tir() An) i f(n+l) '' is = Js T~ I * > oder, was dasselbe: 2c - w\? = (c- f^) + (c - /; ( " +J) ) , also mit Riicksicht auf (43.): abs(2C W^) also a fortiori: und folglich auch: abs(2C- TF/ n) ) < 2(Df)1l*, 52 wo der Uebergang von (51.) zu (52.) wieder in analoger Weise zu bewerkstelligen ist, wie der von (45.) zu (46.). - Aus (51.), (52.) ergiebt sich sofort, dass sammtliche Wertlie Wl n) , Tr/: der Formel untertlian sind: 190 Funftes Capitel. . 2C - 2 (I}/)*- < ' <2C + 2(Df)l* . Dieser Satz giebt iiber die Function ^V t - n) cine deutliche Vorstellung, und zcigt z. B., dass . Wr= T7/r ) = 2G' ist. Auch Itann man diesen Satz in jedem Augenblick ver- werthen zur Beproduction der friihercn Formeln (49.), (50.), (51.), (52.). Bemerkung. -- Die gefundenen Satze (44.), (47.), (53.) zeigen, dass die Functionen TXT(n) f(n) Tr^n) '' a ) fs ; '' i mit wachsendem n gegen die constanten Werthe 0, C, 2C convergireu, was sich z. B. bestatigt bei Betrachtung des Specialfalles f Const. 7. Ueber den kleinsten und grossten Werth, welchen das Potential . einer gegebenen Doppelbelegnng annehmen kann. Nach den Formeln (4.), (5.) ist: W -f 8 " f * w, I* - -- t 55. w as = /-;-/,, W is = f s ' + f s] ferner nach (22.), (23.), (29.): < 4- ^ l > 56. K <; f < G, K <> f <. G. Bezeichnet man die grosste der vier Zahlen - K, +JE", -Q t +G mit L, so folgt aus (55.), (56.) sofort: -2L ^ Ws ^ +2L, 57. -2L < W as ^ +2L, ~^2L < W i3 '. +2L. Die Methode des arithmetischen Mittels. 191 Aus den beiden letzten Formeln aber ergeberi sich [durch Anwendung der bekannten Theoreme (-4.') und (J.), vgl. den Uebergang von (45.) zu (46.)] sofort die weiteren Forraeln : -<2L < W a <: + 2L, -2L <; W t < + 2L. Nun reprasentirt W [vgl. (2.)] das Potential einer Doppel- f belegung vora Momente - . Beachten wir, dass dieses Mo- -rr ynr ment [nach (56.)] zwischen : - und liegt, seiri absolut grosster Werth also ist, so gelangen wir durch die For- meln (57.), (58.) zu folgendem allgemeinen Satz: Variirt das Moment der auf einer geschlossenen Flache G ausgebreiteten Doppelbelegung zwischen den Grenzen A . . 4- a a ' und bezeiclmet W x das von dieser Doppelbelegung auf einen beliebigen fund x ausgeubte Potential, so werden sdmmtliclie WcrtJtc W a , W s , Wi, W as , W is zwisclien - 2 L ..... + 2L gelcgen sein. Bei Ableitung dieses Satzes ist indessen vor- ausgesetzt, dass die Flache 6 zweiten Ranges und keine zweisternige sei, und ausserdem vorausgesetzt , dass das Moment der Ictrachteten Doppelbelegung auf 6 iiberall stetig sei [vgl. (l.).uud (21.)]. Bemerkung. Man kann leicht die Werthe W s , W as) W is in noch engere Grenzen einschliessen. Denn aus (55.), (56.) folgt direct*): K-G < W as <. G- K, eo. 2K : W is <: 2G; S *) Obwohl [nach (56.)] zwischen und 1 liegt, so wiirde es dennoch nicht gestattet sein, in der ersten Formel (60.) auf der linken u s Seite - G schlechtweg durch Gr zu ersetzen. Denn jener Ausdruck n s Cr wird ofFenbar bald kleiner, bald grosser als G sein, jenachdem O G selber positiv oder negativ ist. ]92 Fiinfies Capitel. woraus danii weiter folgt: K-G a (ebenso wie W a , TF a ' ; . . .) das Potential einer gewissen auf 6 ausgebreiteten Doppelbelegung in Bezug auf den Punct a, wahrend Y, das Potential einer gewissen andern daselbst ausgebreiteteu Doppelbelegung auf den Punct i darstellt. Die Grenzwerthe dieser Potentiale lauten: af = - w as - w s -w: s ..... - wff Vis = + w it -- w- s + wr. . ... + (-!) wK , und gewinnen mit Rucksicht auf bekannte Formeln (Seite 181) die einfacheren Gestalten: Die Methode dea arithmetischen Mittels. 193 Nun wissen wir aber, class die Function f 3 (n) mit wachsen- dem n gegen eine Constante convergirt: f^ == C. [vgl. Seite 187]. Und es kann daher kaum noch zweifelhaft sein, dass die durch die Formeln (3.) definirteu Potentiale a , Y,- die ge- suchten Losungen unserer beiden Probleme darstellen werden, sobald wir die in jenen Formeln enthaltene Zahl n ins Un- endliche anwachsen lassen. Hierbei aber haben wir die Wahl, ob wir diese ins Unendliche anwachsende Zahl als eine ungerade oder als eine gerade Zahl uns vorstellen wollen. Und jenachdera wir das eine oder das andere thun , gelangen wir zu verschiedenen Losungen. 9. Erste Losung der beiden Probleme. (Ungerades n.) Ftir ein ungerades n lauten die Formeln (3.) , (5.) fol- gendermassen : a = _. w a - Wa - w ( ; ...... - w ( :\ ur _ f /-OH- 1 ) is - Is Is ) oder, falls man n ins Uneudliche wachsen lasst und Riicksicht auf (6.) nimmt: $= -W a W;Wa- ----- in inf., H/, _ (W t - W-) + (W? - - WD + + -... in inf. , >, = f s -C, Die unendlichen Reihen (9.) schreiten fort nach Potenzen des achten Bruches A, und sind also convergent, wie solches aus den friiher gefundenen Formeln: abs TFi n) ^ (G K]K n , [vgl. (46.) Seite 188] , abs ( TF/" +1) TFJ n) ) ^ (G - K) A" , [vgl. (50.) Seite 189] sofort ersichtlich. Und die durch diese Reihen definirten Potentiale a; V,- besitzen Grenzwerthe, welche naeh (10.) Neumann, Potential. 13 15. 194 Fiinffces Capitel. mit den vorgeschriebenen Werthen /' bis auf eine additive Constante iibereinstimraen. Folglicli sind jene Potentiate a , Y t - die gesucliten. Transformation der gefundenen Potentiale. Bekannt- lich ist: v.WJPffW(d*\" f Jl [vgl. (10.) Seite 180], wwi^f^id^, und ferner: WM _/"("' _1_ /("+') ' ' [vgl. (11.) Seite 181]. * Wir konnen daher die gefundenen Potentiale a , Y,- (9.) mit Rucksicht auf (12.) auch so schreiben: oder mit Riicksicht auf (13.) auch so: + W- s + oder (was dasselbe) auch so: + w " + ^ + ' -1 yr f7<7 ' wo T a uad T*' den Entfernungen (da -> a) uud (d<5 -> i) entsprechen, und v die innere oder positive Normale von 6 vorstellt*). Nun ist ferner nach bekannten Green'schen Satzen: o -r.a Seite /YT 8T l SW \ I ( W as - - T l 5-: I d<3 = : [vgl. (42. d) Seite 21] ; J \ Cv (j v I *) Die innere Normale der Fltiche a ist zngleich die positive. Denn wir haben ausdrucklich [vgl. z. B. (1.)] die innere Seite dieser Fliiche alrt die positive festgesetzt. Die Methode des arithmetischen Mittels. 195 und ahnliche Formeln gelten fiir W , W", W", . . . Somit konnen wir unsere Potentiale (16.) auch so darstellen: wo die in den geschweiften Klaminern { } enthaltenen Aus- driicke einerlei Werth haben; denn es ist: -) Seite Weitere Betrachtungen. Da bekanntlich f(d(j} a = ist*) ; so konnen wir die Formelu (14.) auch so schreiben: ^ , i- [(/ - n + or - n + r v - r ) + ] wo (7 die bekaniite Constante (6.) bezeichnen soil. Setzen wir also zur Abkiirzung: so haben H, H folgende Werthe: ^-a [( a , Y,- se^ew werden als die Potentiale zweier Doppelbelegungen, deren Momente E, H sin^. In den Forraeln (18.) haben, wie schon bemerkt, die in *) Vgl. Seite 134. 13* 20. 21. a 23. u JL f W W W lv ... -l '' as '' as ''as J 24. 196 Funftes Capitel. den geschweiften Klammern enthaltenen Ausdriicke eincrlci Werth. Somit konnen wir jene Formeln auch so schreiben : wo alsdann P die Bedeutung hat: Gv 25. Folglich Jconnen ^.^V/r 1 ', oder falls man M ins Unendliche wachsen liisst , und Riicksicht auf (G.) nimmt: 28 -> a) und ((7 entsprechen, und v die innere Normale von , */ = Y, + wr\ oder, weil Wl x) = 2C ist [(54.) Seite 190]: , 4>t = Y, + 2C. In der That kann das dussere Problem*), so lauge wir uns auf Potentiate von Doppelbelegungen, also auf Potentiale, dereu Gesammtrnasse Null ist, beschranken, nur eine Lo'suug haben, zufolge des Theorems (A. add } } Seite 38. Und andrer- seits darf es nicht befremden, dass das innere Problem meJirere Losungen zulasst, denn das Theorem (e7. add ) existirt uicht, vgl. Seite 42. Einige Bedenken gegen die Zuverlassigkeit der erhalte- nen Losungen. -- Dass die Ausdriicke (7.): o> (l = - w a - w ( ; - - w: - w ( * , die Poteutiale gewisser Doppelbelegungen sind, uud dass diese Poteutiale den Relationen (8.): (n+l) w _ f f(-M) T j s - / * Is entsprecheu, kanu, so lange die Zahl n endlich bleibt, nicht bestritten Averden. Hiugegen konnen in der einen wie in der anderu Beziehuiig Bedenken entstehen , sobald man iiber- geht zu eiuem unendlich grossen n. Derartige Bedenken iibertragen sich von selber auf alle folgenden Formeln, und lasseu eine genauere Priifung der erhalteueii Resultate wiin- schenswerth erscheineii. 12. Sorgfaltige Priifung der gefundenen Losungen. Disposition. Wir werdeii zunachst die ini Vorher- geheudeu fur Z, H aufgestellten Reihen untersuchen , die Convergenz derselbeu darthuu, und uberhaupt uachweisen, *) Wir bedienen uns der schon auf Seite 160 eingefuhrten Nainen. 200 Funftes Capitel. dass die durch diese Reihen definirten Functiouen E, H auf der gegebenen Flache 6 iiberall stetig sind. Sodann werden wir auf der Flache tf uns zwei Doppelbelegungen von den Momenten E uud H ausgebreitet denken, und zeigen, dass die Potentiale dieser Doppelbelegungen den in unseren Pro- blemen gestellten Anforderungen Geniige leisten. Auf diese Weise wird alsdann das Resultat der ersten Losung in voller Strenge als richtig bewiesen sein; uud dass man hin- sichtlich der zweiten Losung Analoges durchfuhren konne, wird sodann keiner weiteren Erlauterung bediirfen. Die fur E, H aufgestellten Reihen (22.) lauten: H = -1- [(/ - n + (r - n + (f iv - r ) + * ^ . Wir wollen diese Reiheu folgendermassen darstellen: = == =() 4- P() 41. indem wir dabei den sogenannteu Hestgliedern P< n >, Z (n ^ die Bedeutung zuertheilen : i PI") _ r/'/T f(n-i-\\\ I lf~1 J*(n-L.9\\ I . i>~\ r* ' ^^ (O ri" 1 /] i i ij j v'T') i i in juf 42. Z ( "' = [(f {n+l) f<- n + 2 >) -j- (/"("-I- 3 ) /"(w-H)) -(-... in inf.] . Durch Anwendung der bekannten Formeln: abs (C /<">)< (G - K}fr, 40. abs ( f w - /-()) (0 folgt alsdann sofort: abs P() ^ ^^ [A+i 4. ;.+2 4. A+ 3 H in inf ] , abs Z') ^ ^rp^ [A+ + A+3 + l+ -j in inf.] , mithin a fortiori: n Tf 5 n-^-l abs P<) < ^rJL -A 43. I - A ' Die Methocle des arithmetischen- Mittels. 201 wo der Ausdruck rechts in beiden Formeln derselbe ist. Denkt man sich nun diesen Ausdruck (was offenbar stets moglich ist) durch Vergrosserung von n unter einen beliebig gegebenen Kleinheitsgrad hinabgedriickt, so sind die Restglieder P<">, Z (B) ihrem absoluten Betrage nach in sammtlichcn Puncten der Flache 6 kleiner als jenes e. Hieraus folgt sofort: nicht allein die Convergent der Reiheu (40.), sondern auch, dass die durch diese Reihen definirten Functionen E, H auf der Flache 6 iiberall stetig sind*). Die Potentiale ft , Y, der durch. E , H definirten Doppel- belegungen. Denken wir uns auf der Flache zwei Doppel- belegungen ausgebreitet, deren Momente resp. E und H sind, und bezeichnen wir die Potentiale dieser Doppelbelegungeu auf aussere resp. iunere Puncte mit a und Y, : und eriunern wir uns endlich an die schon bewiesene Stetigkeit von E, H, so ergiebt sich aus den allgemeinen Eigenschaften der Potentiale von Doppelbelegungen (vgl. Seite 139 uud *) Hat man namlich n so weit vergrossert, dass abs P^ fur sammt- liclie Puncte der Flache a kleiner als e ist , so werden z. B. fur irgend zwei solche Puncte s und s t die Formeln stattfinden: (a.) abs pW < e, (0.) absPf< e . Nun kann andrerseits kein Zweifel daruber stattfinden, dass der gc- schlossene Ausdruck - n) = -jf W ~ ft + ( c -/") + + ( - f w ft eine Function reprasentirt, welche (ebenso wie f, /", /"', . . .) auf a tiberall stetig ist; und man kann daher durch gegenseitige Annaherung der (bis jetzt beliebig gelassenen) Puncte s und ! dafiir sorgen, dass (7.) abs(=^-=W)< S wird. Sodann aber folgt aus (a.), (/?.), (y.) sofort: (*.) abs [(=?> + P W) - (=J" + Pf')] <*, , oder, was dasselbe ist: ( f .) abs (=, - = Si ) < 3 B . D. h. =. ist im Puncte s stetig; s war aber ein beliebiger Punct der Flache. W. z. z. w. 202 Fvinftes Capitel. namentlich 150), dass die Function 4> s -f- ,=, auf a uberall sfe% ist, und sodann, dass die O a inclusive der as ein stetig zusammenhangendes Werthsystem bilden. Gleiches gilt natiir- lich von Y, -f- jH, und von den V,-, Y,-, . Die Grenzwerthe (ts und Y is der Potentiale a und Y,- . - Nach (40.), (41.), (42.) ist offenbar: E = - [(c - /) + (c - n + iH ><] , =<> 4- K C ^ ft t (C -r ^" } + + ( c - /' W )J und ferner: P() = _ () . Somit folgt aus (43.): Q. _ J ^"+1 47. abs (=. -^} ^ ^ Y^ . Nun reprasentirt w das Potential einer Doppelbelegung vom Momente E (re) , mithin uuter O (n ' das Potential einer Doppelbelegung vom'Momeute E Z^ , so sind folgende Formeln zu notiren : 48 - =J'=(d(5} a , Solches vorangeschickt , kommen wir nun zu unserm eigentlichen Gegenstand. Nach den Untersuchuiigen der vorhergeheuden steht zu vermutheu, dass die Grenzwerthe ^as gleich f s C sein werden. Um uus hieruber zu ver- gewissern, wollen wir die Differeuz 0. - (f, - C) eiuer uaheru Betrachtuug unterwerfeii , wobei zunachst zu bemerkeu ist, dass diese Differenz in die beiden Theile zerlegt werden kaun. Was den ersten Theil betrifft, so repraseutirt cj>() (50.) das Potential eiuer Doppelbelegung, dereii Moment E E (re) der in (47.) genaimten Relation entspricht. Hieraus resultirt [nach einem allgemeinen Satz, Seite 191] eine entsprechende Relation fur das Potential selber, -namlich folgende : Die Methode ties arithuietischen Mittels. 203 abs (0 - d><)) <; 2(6? - K) -^- ; 53. Und zwar ergiebt sich [aus dem erwahnten Satze] die Giiltig- keit dieser Relation fur sammtlichc Puncte des ganzen un- endlichen Raumes, also z. B. auch ihre Giiltigkeit fur die Puncte a urid as. Mit Bezug auf letztere erhalten wir also: abs ( ( al = fs fs H+l , 55. cl oder, was dasselbe ist: und hieraus mit Riicksicht auf eine bekanute Formel [(43.) Seite 188]: 1 r^frfcCw) / .* /"I \~\ ^s* f /~1 "f\ 1 W~f"l abs [Vat (fs ^ )} ^ (Vf AJA . 55.f Schliesslich folgt*) durch Combination der Formeln (54.) und (55. f): abs [0 B , - (/; - C)] ^ (g-JO (3-^^*1 56 . Nun besitzen aber as und f s C fur jeden Punct s be- stimmte endliclie Werthe (44. a) , die selbstverstandlich durchaus *) Ist absa;as=f,-C. In . analoger Art wird man offenbar auch zeigen konneu, dass die Gleichung stattfmdet: *) Man wird vielleicht der Ansicht sein, dass diese Relation (57.) auf kurzerem Wege hatte hergeleitet werden konuen, dass es narnlich dazu nur der (von dem Uebrigen unabhangigen) Forineln (55. a, b., . . . f) bedurft hatte; denn aus der letzten dieser Formeln , namlich aus (55. f) ergebe sich, sobald man n = oo setze, sofort die in Rede stehende Relation. Um genauer hierauf einzugehen, sei zunachst bemerkt, dass die Functionen E, 0, nach (45.), (48.), ausfuhrlicher zu bezeichnen sein warden mit = (ao) , (00) . Unsere Aufgabe bestand in der Ermittelung derjenigen Werthe, welche die Function oder jedoch mit dem Unterschiede , dass die linke Seite von (a.)' denjenigen Werth bezeichnet, welchen dieser Ausdruck annimmt, sobald man darin zuerst n oo , und sodann a uuendlich nahe an s riicken lasst, wiihreud die linke Seite von (0.) deujenigen Werth bezeichnet, welchen der Aus- druck annimmt, sobald man die genannten Operationen in umgekehrter Reihenl'olge vornimmt. Die Methode dea arithmetischen Mittels. 205 Hiermit ist alsdann aber dargethan, dass die Potentiale a und V, die in unseren Problem en gestellten Anforderungen wirklich befriedigen. 13. ' Einigermassen iibersiclitliche Darstellung der Hauptresultate dieses Capitels. Ueber das aussere Problem. Ist 6 eine geschlossene Flache, imd bezeichnet man die Puncte ausserhalb , auf und innerlialb 6 respective mit a, s und i, so lautet das friiher besprochene Theorem (A."}, oder wenigstens ein specieller Fall desselben folgendermassen [vgl. Seite 38] : Sollcn die Massen eines Potentials O a auf oder inner- lialb 6 liegen, und die Summe Null haben, und sollcnferner die a eindeutig bestimmt. Das sogenanute aussere Problem besteht nun in der wirk- lichen BerecJmung des Potentials a , sowie der zugehorigen Const. Und diese Berechnung sind wir vermittelst der im Vorhergehenden exponirten Methode in der That auszufuhren iui Stande, falls die gegebene Flache a zweiten Ranges und Jceine ziveisternige ist, und falls ausserdem die vorgeschriebe- nen Werthe f auf (d.). ( w a ,=*f; -/;, w<. -/;-+/;, wi-ifrw,, W' - - f" f ' as /* Is ) WA^/r+isr, w^frw,, ''as = Js /* i TF;; = /;"' + /;", etc. etc. etc. etc. etc. etc. 206 Funftes Capitel. Hier ist zur Abkurzung gesetzt: Dabei bezeichiiet x einen ganz beliebigen Punct, und v die innere Normale der gegebenen Flache 6. Die in solcher Weise erhaltenen Functionen /"'"' haben alsdann die Eigenschaft, dass f( x) eine Constante ist: 3. f(^ = C. Vermittelst dieser Constante C und vermittelst der Functionen W^ konnen wir die Losung des Problems unraittelbar an- geben. Es ist namlich: 4. a = - W a - W a ' - W a " - Wa" ' 5. Const. = C = /( ), wo selbstverstandlich unter Const, die friiher in (1.) erwahnte additive Constante zu verstehen ist. Uebrigens konnen wir das Potential a =/E(d(7) a , wo =. den Werth hat: 7. z = -i- KC - /) + (c-n + (c- n + ] ,- = I [(2C- TF,.) + (2(7- W<".) + (2C- TF,7)+ - . ]. Hierdurch ist alsdann a dargestellt als das Potential eiiier auf 6 ausgebreiteten Doppelbelegung vom Momente E . Endlich konnen wir 4> a noch in einer dritten Form dar- stelleu, namlich so: wo P den Werth hat: wo wiederum v die innere Normale von 6 bezeichuet. Hier- durch ist alsdann a dargestellt als das Potential einer auf a ausgebreiteten einfachen Belegung von. der Dichtigkeit P. Die Methode des arithmetischen Mittels. 207 Bemerkung. - Sollte etwa zufalliger Weise die natiir- lichc Belegung von <5 bekanrit sein, so wurde man die Const. (5.), statt durch C, d. i. /W, noch in anderer Weise darzustellen im Staude sein. Bezeichnet namlich y oder y s die Dichtigkeit jener natiirlichen Belegung im Puncte s, und d<5 ein bei s liegendes Flachenelement, so ergiebt sich durch Multiplication der Formel (1.) mit y s da und Integration: /a , y t d G = ffsYsd a + (Const.) fy, d a . Nach dem erweiterten Gauss'schen Satz (Seite' 98) ist aber f^asysdG gleicli einer gewissen Coustaiiten f, multiplicirt mit der Gesammtmasse des Potentials a , also = 0; wahrend andrerseits fy s da = 1 ist. Somit folgt: =ff s y s d) eine Constante sein. Und zwar wird der Werth dieser Constanten ausdriickbar sein durch das Integral: wo y die Dichtigkeit der natiirlichen Belegung von G be- zeichnet. Nun ergeben sich aber offenbar die Functionen (11.) auch dann, wenn man, statt von den f, von den f oder von den f" u. s. w. ausgeht. Somit folgt: /(*>) =*ff tYt da =ff s 'r,d<> =ff;' rs da = - - , ^ ivo iiberall y die schon genannte Bedeutung hat. 18. 208 Funftes Capitel. Ueber das innere Problem. - - Ebenso wie das vorher- gehende Problem dem Theorem (A. add ] sich anschliesst, in ahnlicher Weise lasst das gegenwartige dem Theorem (J. abs ) sich anlehnen. Dieses lautet [vgl. Seite 105]: Sollen die Massen eines Potentials Q, anf oder ausser- halb liegen, und sollen ferner die Q,, irgend welche vor- geschriebenen Werthe f s besiteen: &-*/ so sind hierdurch sdmmtliche Werthe Q, eindeutig bestimmt. Das sogenannte innere Problem besteht nun in der wirk- lichen Berechnung des Potentials Q,- . Und diese Berechnung sind wir vermittelst der im Vorhergehenden exponirten Methode in der That auszufiihren im Stande, falls die gegebene Flache (7 zweiten Ranges und ~keine zweisternige 1st, und falls ausser- dem die vorgeschriebenen Werthe /"auf (? uberall stetig sind. Jene Methode zur Losung des innern Problems ist folgende*): Man bilde, von den vorgeschriebenen Werthen f ausgehend, wiederum die in (2.) genannten Functionen W (n) , /" (n) , sowie auch die in (3.) erwahnte Constante 0. Alsdann hat das ge- suchte Potential Q { folgenden Werth: Wir konnen, falls es uns beliebt, diesen Werth noch in anderer Form darstellen, namlich so : Q= oder (was auf dasselbe hinauskommt) auch so: wo (dG]i die schon bei (2.) erwahnte Bedeutung hat, nnd H den Werth besitzt: H = ~ EC/-- n + cr - n + (/" - n + -3 , *) Man beraerkt sofort, dass das gegenwartige $},. zu unserm friihern V f . in der Beziehung steht: Die Methode des arithmetischen Mittela. 209 Hierdurch ist alsdann & t dargestellt als das Potential eiuer n auftf ausgebreiteten Doppelbelegung , deren Moment = -f- H . Endlich konnen wir das Potential Q, (15.) noch in einer dritten Form darstellen, namlich so: Q i = C+fT i Pda, 19. \vo P den Werth besitzt: dv unter v wiederum die innere Normale von j uud s, 6 in dem friiher (Seite 31) festgesetzten 8inn. Offenbar gelteii fiir das unbekannte Potential TT die Be- diugungen : Neumann, Potential. 14 210 Ffinftes Capitel. ( (Gesammtmasse von TT) = 1 , ( TT r wo f eine noch unbekannte Constants ist. Trotz dieser mangelnden Kenntniss von f sind die Werthe TT a durch jene beiden Bedingungen vollstandig bestimmt [zufolge des Theo- rems (A. add ) Seite 38]. Durch Bestimmung der TT a ist f aber mitbestimmt; und wir konnen daher sageu, dass durch jene beiden Bedingungen (3.) sowohl die TT a als auch f eindeutig bestimmt seien. Wir wollen nun TT wirklicTi zu berechnen versuchen , mit Hiilfe unserer Methode des arithmetischen Mittels; wobei allerdings zu bemerken, dass wir vermittelst jener Methode immer nur Potentiale von Doppelbelegungen, also nur solche Potentiale ermitteln konnen, deren Gesammtmasse =0 ist: wahrend fiir TT die Gesammtmasse den Werth 1 hat [nach (3.)]. Um diesem Uebelstande abzuhelfen , f iihren wir statt TT die Differenz ein: 7J" __ y2 TT wo q irgend einen festen Punct innerhalb des Conductors vorstellen soil*). Dieses U a ist alsdann das Gesammtpotential der mit ( 1) multiplicirten naturlichen Belegung und eines in q gedachten Massenpunctes (-}- 1); und entspricht daher den beiden Bedingungen: (Gesammtmasse von U a ) = , TJ Ti r wo r eine unbekannte Constante vorstellt. Trotz dieser mangelnden Kenntniss von f sind die Werthe U a durch die Bedingungen (5.) eindeutig bestimmt [zufolge des Theorems (-4..**), Seite 38]. Denn wir konnen jenes Theorem mit Bezug auf die hier vorliegenden Verhaltnisse folgendermassen aussprechen : *) Der Ausdruck T% reprasentirt das Potential einer in q conccn- trirten Masse Eins. Doch konnen wir ebensogut diese Masse Jtins im Innern der Flache o beliebig vertheilen, oder auf der Flache selber nach einem beliebigen Gesetz ausbreiten. Stets wird das Potential P a dieser Massen dieselben Dienste zu leisten im Stande sein , wie T q a . In der That kann man in den folgendeu Betrachtungen durchweg jenes specielle Potential T q a durch dieses allgemeinere Potential P a ersetzen. Die Methode des arithmetischen Mittels. 211 Sollen die Massen ernes Potentials U theils awf, theils innerhalb ff liegen, und die gegebene Summe Null be- sitzen, und sollen ferner die U a von den vorgeschriebenen Werthen T$ nur durch eine unbekannte additive Constante differiren, so sind hier durch die U a eindeutig bestimmt. Gelingt es uns also, ein Potential U a zu ermitteln, wel- ches den Bedingungen (6.) geniigt, so werden wir sicher sein, das richtige zu haben. Ein jenen Bedingungen geniigendes Potential U a kann nun aber in der That gefunden werden, mit Hiilfe der Methode des arithmetischen Mittels. Setzen wir namlich: und bilden wir nun , von diesen vorgeschriebenen f ausgehend, in bekannter Weise die sich anlehnenden Punctionen: W, f", W-, r, so werden die Bedingungeu (5.), (6.) erfullt durch folgende Werthe : U a = - W a - Wa - Wa - ' W" - in inf. , r = /X) . [ V gl. Seite 206]. Hieraus aber ergiebt sich mit Riicksicht auf (4.) : TT fl - Tl + W a + W a ' + W a " + W a '" + -in inf. , -- Oder: - und schliesslich : wo N die aussere, und v die innere Normale vorstellt. Diese Formeln (10.), (11.), (12.) liefern sammtliche Grossen TT, f, y, um deren Berechnung es sich handelte. Bemerkung. Man kann mit Hiilfe der vorstehenden Pormeln sehr leicht die Dichtigkeiten derjenigen Belegungeii angeben, welche resp. die Potentiale TT a , U a und T a hervor- u 212 Funftea Capitel. rufen. Zunachst folgt aus (12.) durch Substitution des Werthes von TT(10.): is. y = ~ 2s dv ' so dass man also die Formel TT a =fT a yd0 folgeudermassen schreiben kann*): rr i ' C T d(T* + W+ w'+w" + W" + ...-) , *= m ^J 4a ~ ~~J^~ Was ferner das Potential U a (8.) betrifft, so kann man das- selbe nach den bei der Methode des arithmetischen Mittels entwickelten allgemeinen Satzen [vgl. (8.), (9.) Seite 206] auch so darstellen: ' Endlich folgt durch Addition von (14.), (15.) und mit Riick- sicht auf (4.): W + W-W" W" - - _ J_ " 20J Demgemdss reprdsentirt also t - - ~~~ die Diclitigkeit derjenigen Belegung, welche in Bezug auf alle dusseren Puncte dquipotential ist mit einer in q concentrirt gedachten Masse Eins. Die analytischen Ausdriicke der Dichtigkeiten y uud g [(13.) und (17.)] zeigen eine merk- wiirdige Aehnlichkeit. Zweite Aufgabe: Es soil die Vertheilung der Eleldricitdts- menge Null auf einem isolirten Conductor berechnet werden, falls von Aussen her unverdnderliche Krtifte einwirken, der en Potential F gegeben ist. Bei Behandlung dieser Aufgabe werden wir die in der vorhergehenden Aufgabe bereits berechneten Werthe von TT, r, y als bekannt voraussetzen diirfeu. *) Ob man in (13.) und (14.) unter W, W, . ., die dusseren Grenz- werthe W as , W as , . . . oder die inner en Grenzwerthe W it , W is ..... verstehen will, ist ganz gleichgiiltig, zutblge des Satzes (48.5), S. 140. Gleiches ist zu bemerken hinsichtlich der Formeln (15.) nnd (16.) Die Methode des arithmetischen Mittels. 213 Bezeichneu wir die Puucte ausserhalb, auf und innerhalb des Conductors respective mit a, den Gleichungen zu entsprechen: Ui + Fi = Const., 25. U a + F a = Const. ; so dass sich also fur U die Bedingungen ergeben: (Gesammtmasse von U) = M , a Durch diese beiden Bediugungen ist U a eindeutig bestimmt, zufolge des bekannten Theorems (A.^). Diesen Bedingungen (26.) wird aber geniigt, sobald man setzt: wie sich solches sofort ergiebt, falls man nur beachtet, dass Q und TT die Eigenschaften besitzen [vgl. (21.) und (3.)]: | (Gesammtmasse von Q) = 0, < (Gesammtmasse von TT) = 1 , Nachdem U a gefuuden ist, kann man nun leicht auch die Dichtigkeit der in Rede stehenden Belegung ermitteln. Vierte Aufgabe: Es soil die elektrische Vertheilung auf einem zw Erde abgeleiteten Conductor ermittelt werden, falls *) In Betreff der Formel (23.) ist dieselbe Bemerkung zu wieder- holen, wie in der Note auf Seite 212. U = - F a Const. Die Methode dcs arithmetischen Mittels. 215 auf denselben von Aussen her unveranderliche Krafte ein- tiir/icn, deren Potential F gegeben ist. Bei Behandlung dieser Aufgabe konnen wir wiederum die in den beiden ersten Aufgaben bereits berechneten Werthe von TT, f, y und Q, K, 6 als bckannt voraussetzen. Das Potential V der gesuchten elektrischen Belegung muss fur alle Puncte i, 6 den Gleichungen entsprechen: so dass sich fiir V die Beclingung ergiebt: V a = F a . 31. Durcli diese Bedinguug ist V a) ausser im singularen Fall*), c'tndeutig bcstimmt [zufolge des Theorems (A. at> *) } Seite 101]. Dieser Bediugung (31.) wird aber entsprochen, wenn man setzt: F Q - - H " a - " a r- ' a 5 <" wie eiu Blick auf die Formelu (28.) augenblicklich erkenuen lasst. U. s. w. 15. Weitere Anwendungen der Methode des arithmetisclien Mittels. Elektrodynamische Aufgaben.**) Wir wollen nach wie vor aniiehmen , dass die gesehlossene Flache 6 ztveiten Ranges und Jceine sweisternige sei. Zugleich 33. wollen wir ihre inner e oder positive Norrnale mit v, ihre iiussere Normale mit N bezeichnen. Auch die librigen Be- zeichnungen 3(, a, , 3> *' J uu ^ s r ** mogen in genau dem- selben Sinn wie frtiher uus dieneu (Seite 31). Solches vorau- geschickt, gehen wir iiber zu eiuer ueuen Classe von Auf- gaben. Erste Aufgabe. Auf 6 ist eine einfache Selegung von der Gesammtmasse ausgebreitet. Gesucht wird eine auf *) Selbstverstiiiidlich kommt diese Restriction nur danu zur Geltung, wenn es sich urn die analogen Betrachtungen in der Ebene handelt. **) In der That wird man leicht erkennen, dass die Aufgaben, welche wir in dieseni behandeln werden, in immittelbarer Beziehung steheu zu gewissen Problemen der Elektrodynamik. Vgl. iibrigens die nachstfolgende Xote. 21(3 Fiinftes Capitel. ausgebreitete Doppelbelegung, die mit jener in Bezug auf alle Puncte a dquipotential ist. 1st V das Potential der gegebeiien einfacheu Belegurig, so konnen wir mit Hiilfe der Methode des arithmetischen Mittels eiue Doppelbelegung fiuden, dereii Potential W der Bedingung entspricht: W as = V. + Const. Solches ausgefuhrt gedacht, haben die Potentiale W a uud V a einerlei Gesammtmasse (hamlich die Gesamrntmasse 0), uud bis auf eine additive Coustante auch einerlei Werthe an der aussern Seite von <7. Hieraus aber folgt, dass jene Potentiale fur alle Puncte a identisch sind [nach dem Theorem (A. a(l(t ), Seite 38]. Die von mis durch die Methode des arithmetischeu Mittels bestimmte Doppelbelegung, deren Potential W genannt wurde, ist also die gesuchte. % Zweite Aufgabe. Auf oder ausserhalb *) ; Seite 105J. U. s. w. Vierte Aufgabe. -- Auf oder innerhalb 6 sollen ire/end 40 - welclie Massen ausgebreitet werden, deren Potential U aijUf der aussern Seite von G der Bedingung entspricht: wo die f vorgeschriebene Werthe beeeichncn. Eine besondere Bedingung, wie friiher in (36.), in Be- treff der Werthe /' hinzuzufiigen , ist hier kein Grund vor- handen. Denken wir uns auf 6 eine einfache Belegung von der e Dichtigkeit - , und gleichzeitig eine DojjpeZbelegung vou noch unbestimmtem Moment ft ausgebreitet, und bezeichnen wir die Potentiale dieser Belegungen respective mit V und W, so ist: !!._. !Z.__f " * W === 5 [vgL(48.*),S.140]', und folglich: d(W- V) , d(W- V) __ - dv N -I" Nun konnen wir, nach der in (39.) angegebenen Methode, die noch disponible Doppelbelegung der Art bestimmeu, dass ihr Potential W fiir alle Puncte i identisch wird mit V. Solches ausgefiihrt gedacht, ist alsdann -^- = ; so dass die Formel (41.) tibergeht in: c(W-V) f 42 - - - - f gN I Folglich ist das gesuchte Potential U = W - - V. 16. Die analogen Probleme in der Ebene. Mit Bezug auf eine in der Ebene gegebene geschlossene Curve 6 konnen wir offenbar vier Probleme aussprechen, welche den im vorhergehenden behandelten analog, und, Die Methode des arithinetischen Mittels. 219 ebenso wie jene, vollstandig bestimmt sind. Zur Losung dieser Pro bl erne koiinen, wie leicht zu iibersehen, genau dieselben Methoden, und auch genau dieselben Formelii, wie irn vor- hergeheiideii beuutzt werden. Nur ist natiirlich darauf zu achten, dass die Grossen 2iT x to, T* t (da} x = da in der Ebene andere Bedeutuugen liabeii, als im Maume; wie solches aus unseren friiheren Festsetzungen (Seite 16) sofort ersichtlich. Unter den analogen Aufgaben der Ebene mag insbe- sondere eine erwahnt werden, welche eine gewisse physi- kalische Bedeutung besitzt und folgendermasseu lautet: Auf oder ausserhalb einer gcsclilossenen Curve sollen irgend welche Massen ausgebreitet werden, der en Logaritli- misclies Potential U auf der innern Seite von a der Be- dingung entspricht: d_U _ f dv = ~'> wo die f vorgeschriebene Werthe bezeichnen, und v die innere Normale von a vorstellt. In der That erkennt man sofort, dass diese Aufgabe in uumittelb^rer Beziehung steht zu einem bekannten Problems der Elektrodynamik*). Zugleich aber erkennt man, dass diese Aufgabe genau in derselbeu Weise behandelt werden kann wie die Aufgabe (35.). *) Dieses Problem besteht in der Bestimmung der Vertheilung des clektrischen Stromes in einer von 6 begrenzten leitenden ebenen Flache, falls die beiden Stellen, an denen der Strom in die Flache ein- und austritt, beliebig gegeben sind. Sechstes Oapitel. Ueber die von Beer angegefoeiien approximative!! Metlioden. Als Eiuleituug iu dieses Capitel mag es gestattet sein, den kurzen aber wichtigen Aufsatz, welchen Seer im Jahre 1856 veroffentlicht hat*), mit unbedeutenden Modificationen**) von Neuem zu reproduciren. In demselben heisst es: j; Eins der wichtigsten Probletne in der Statik der Elek- w tricitat und des Maguetismus besteht darin , die Vertheiluug ,,auf oder in eiuem Korper zu linden, der kerne Coereitiv- ,,krafte hat und unveranderlicheu inducirenden Kraften unter- ,,worfen ist; auf dasselbe lasst sich die Bestininiung der Ver- ,,theilung bei einem Systeme zuriickfiihren , das aus iudu- ,,cirenden und inducirten Korpern beliebig zusammengesetzt w ist. Ich habe uiich bisher vergeblich riach einer allgenieineii ;7 und directen Methode, jene Aufgabe zu loseii, umgeseheu, ,,uud theile daher hier eine solche mit, auf die ich durch das 7; Princip der elektrischen uud maguetischen Bilder hingefuhrt ,,wurde, mittelst dessen Thomson auf ausserst elegante Weise 7; die elektrischen Verhaltnisse zweier Kugelu, sowie die magnetische Vertheiluug in einer unbegrenzten ebenen Platte ; ,behandelt hat. Ich betrachte zunachst die elektrische In- ..duction." * *) Nainlich in Poggendorffs Annalen, Bd. 98 , Seite 137, unter dem Titel : Attgemeine Metlwde zur Bestimmung der elektrischen und magne- tischen Induction. **) Ich lasse diese Modificationen, welche sich namentlich auf die in den Formeln angewendeten Buchstaben beziehen, nur cintreten, um eine bessere Uebereinstimmung mit den iibrigen Theilen des vor- liegenden Werkes hervorzubringen , und durch diuse Uebereinstimmung unnothigen Schwierigkeiten vorzubeugen. Ueber die Beer'schen Methoden. 221 7; Es sei also G eine leitende Flache; eine solche verhalt 77 sich wie die Oberflache eines Conductors, wenn die indu- 77 cirenden Massen ausserhalb des letztern liegen, und sie verhalt sich, wenn sie abgeleitet wird , wie die Flache einer 77 Hohlung, welche inducirende Massen einschliesst. Das Potential des inducirenden Idioelektricums sei F. Die von 77 irgend eiuem Puncte ausgehenden Leitstrahlen mogen mit 77 r bezeichnet werden. Ferner sei v die innere, und N die , , } aussere Norrnale der Flache G." ,,Wenn nun erstlich der idioelektrische Korper ausserhalb 77 der Flache G Iiegt 7 so findet nach einem bekannten Green- 77 schen Satz fiir jeden Punct des von G uraschlossenen Raumes ,,die Formel statt: ' ,wo F' den Werth hat: i'/i nj , r F ^ d6 ' , 7 Die Function F' ist offenbar selbst wiederum eine Potential- function, und der Ausdruck A.F' verschwindet allenthalben 77 im Innern von G. Dabei leuchtet ein, dass F' welches 77 innerhalb G zwischen dem grossten und kleinsten Werthe ,,liegt, den die Function F auf der Flache G selbst an- 77 nimmt*) im Allgemeinen gleichformiger als F verlauft"**). 7 ,Wenden wir auf F' den Satz (1.) an, so kommt: F' = - -- f d -^- + F", 471.7 dv r *) Diese von Beer hier ohne Beweis aufgestellte Behauptung ist niclii allgemein richtig. In der That ist es leicht, bestimmte Beispiele anzugeben, in denen sie unrichtig ist. Beer hat wahrscheinlich still- schweigend die Voraussetzung gemacht, dass der in der letzten Formel 4 unter dem Integralzeichen enthaltene Ausdruck -^ fur alle Elemente da einerlei Vorzeichen habe, was ofFenbar im Allgemeinen nicht der Fall ist. **) Die Hinfalligkeit der vorhergehenden Behauptung iibertragt sich auf diese Behauptung der grossern Gleichformigkeit. 222 Sechstes Capitel. WO / n >.* / o 4 n iJ $ v ,,und die Function F" zeigt innerhalb 6 eine geringere Ver- w anderlichkeit als F'. u 7 ,Die Fortsetzung der bisher vorgenommenen Operationen J; und die Combination der allmahlig zum Vorschein kommen- ,,den Gleichungen liefert: dv ~7~ ' ;; Wenn die Anzahl der Operationen, d. i. die Zahl n wachst, ,,so n'ahert sich der letzte Ausdruck rechter Hand FW einer ' jjconstanten Grosse K, und somit ergiebt sich folgende be- v merkenswerthe Entwicklung der Potentialfunction : ..",.- T* v 1 Cd(F-\-F' -\-F" -\ ininf) da 4 - -^ === **- 7 / ~ ~y\ ) ,,wo man hat: - = + fr ' 4:r J K = Ohne Weiteres ergiebt sich aus Obigem fur die Dichtig- 7? keit H derjenigen particularen Ladung des Conductors, bei ,,welcher im Innern des Conductors das Potential den Werth n K> hat: u _ , 1 8(F+F' + F" + --. in inf.) n t - - 75 1 4;r cv w Und eben diese Ladung erzeugt in einem ausserhalb des 7 ,Leiters gelegenen Puncte das Potential: I H^ g J r ,,Wenn nun zweitens die inducirenden Massen innerhalb ,,der Flache 6 liegen, so findet man fiir die ausserhalb gelege- . ; nen Puncte mittelst eines (rreew'schen Satxes die Gleichung: Ueber die Bm-'schen Methoden. 223 F = - 1 - / ( - - - -}- FW , 8 - in J gN r ,WO a ' ' = / F ~ d<5 ^ ; ,Im Gegensatz zu dem vorhin behandelten Falle nahert sich ,,hier das .F (n) mit wachsendem w der Grenze JVwW. Es er- ;7 giebt sich also hier, wie dies auch zu erwarten war, nur 77 eine einzige Losung, namlich: j? = _j_ d(F+ F' + F" -\ in inl.) do r ,,Fiir die Dichtigkeit H der Elektricitat, die auf der Flache <} inducirt wird, wenn letztere abgeleitet wird oder als Be- ,,grenzung einer Hohlung anzusehen ist, findet man ferner: H. 1 d(F -\- F -f- F -}-) === -+- . . 4:71 0N ,,Und das Potential der inducirten Elektricitat fiir den ganzen ,,ausserhalb 6 befindlichen Rauni ist = F." ,,Zur Verification der obigen Resultate eignet sich vor- 77 ziiglich ein sphdrischer Conductor. Bei einem solchen lasst 7) sich F stets nach den Laplace' schen Kugelfunctionen ent- ,,wickeln, und kann man mit Hiilfe der fiir diese bestehenden ; ,Theoreme die sammtlichen Tntegrationen leicht ausfiihren." Eine besonders nahe liegende Anweudung findet die ,,gelieferte Entwicklung der Potentialfunction bei der Frage ,,nach der Anordnung der Elektricitat auf einem Systeme von ,,geladeuen Couductoren. So ergiebt sich z. B. Folgendes ,,fiir. einen eiuzigen isolirteu Conductor: Man denke sich die ;7 0berflache desselben gleichformig mit positiver Elektricitat , ? von der Dichtigkeit Eins belegt. Das aus dieser Belegung ,,entspringende Potential sei $. Alsdann driickt sich die Dichtigkeit r\ der Ladung, welche allenthalben im Innerti ; ,des Leiters das Potential 21 erzeugt, wie folgt aus: 12. 224 Sechstes Capitel. 0(5 "4" %' ~\~ 5" ~f- ' in inf-) J>L /I _l_ J_ " ~" St V ^ 4* 7; Hier bedeuten $', $", $'", .... und diejenigen Grossen, , 7 welche zu dem gegebenen Potential $ genau in derselben ,,Beziehung stehen, wie in (5.) F' } F", F'" .... und K , 7 zum Potential F. u ,,In Betreff der magnetischen Induction begniigen wir ,,uns hier niit der Mittheilung des Resultates, welches sich 77 in dem Falle ergiebt, wo der inducirte Korper nicht krystallinisch ist, und der inducirende Korper ganz ausser- ;7 halb des inducirten liegt." 77 Es sei wiederum F das inducirende Potential, a -die ,,0berflache des inducirten Korpers. Die Inductionsconstaute, ;? solche in dem Sinne genommen, wie sie Green in seinem Essay nimmt, werde durch g bezeichnet. Zunachst findet ;; man dann, dass Alles sich genau so verhalt, als ob das 7; einzelne Element des inducirten Korpers fur sich genommen, w lediglich dem folgenden Potentiale ausgesetzt ware: 13. ^ ; ,wo x, J*", jF", ... die Bedeutungen haben*); /> 1 8 tf 77* v *) An einer andern Stelle, niimlich iu seiner ,,Einleitung in die Elektrostatik , die Lehre vom Magnetismus und die Elektrodynamik" (Braunschweig 1865, Seite 169) bemerkt Seer, dass die Constante x zur Poisww'schen Magnetisirungsconstante k in der Beziehung stande: Zk so dass also offenbar ~~- = k 1st. t> Ueber die Beer'schen Methoden. 225 ,,Ferner ergiebt sich folgende einfache Darstellung der Wir- ,,kung des inducirten und des inducirenden Korpers. Man ,,belege die Oberflache 6 mit magnetischem Fluidum von der ,,Dichtigkeit: _x_ gfF+xJ 7 +xJ 1 "-j ---- ) 47i dv ' 1& - ,,und bezeichne das von dieser Belegurig herriihrende Potential ,,durch Q. Ausserhalb des inducirten Korpers herrscht als- ,,dann das Gesammtpotential : F+Q. ,,Und der magnetische Zustand des einzelnen Elementes im , ; inducirten Korper ist geuau derselbe, als ob das Element ,,keinem andern Einflusse unterworfen ware, als dem des ..Potentials: 3 2x ,,Die drei letzteu Formeln gehen naturlich, wenn x = I ge- ; ,setzt wird, in die der statischen Elektricitat iiber." ; ,Wendet man die obige Methode auf den Fall einer un- , ; begrenzten ebenen Platte an, so stosst man sofort auf die ,,von Thomson fur eine solche gelieferte Entwicklung." So weit Seer. Meine Untersuchungen im gegenwartigen Capitel werden nun der Hauptsache nach in zwei Theile zerfallen. Erster Theil : Ueber die Beer'sche Methode zur Bestimmung der elektrischen Induction. Diese Methode ist von der iin vorhergehenden Capitel exponirten Methode des arith- metischen Mittels wesentlich verschieden, wie sich z. B. deut- lich herausstellt bei Behandlung des sogenaunten ausseru und innern Problems (Seite 160). Denn wahrend man ver- mittelst der Beer'schen Methode nur da eine Problem auf das andere zu reduciren vermag, gelangt man, wie friiher gezeigt wurde, durch die Methode des arithmetischen Mittels zur wirMichen Lb'sung der beiden Probleme*). Vor alien Dingen ist nun aber die Unsicherlieit der Beer'schen Argu- mentationen zu urgiren**), und zu untersuchen , ob (trotz dieser Unsicherheit) die von Beer gegebenen Entwicklungen con- vergent und brauchbar sind. Ich werde zeigen, dass solches *) Man findet die betrefFenden Satze auf Seite 235 und 243. **) Vgl. die Noten auf Seite 221. N cumann, Potential. 15 226 Sechstes Capitel. 19. in der That der Fall ist, sobald die Oberflache des inducirten Korpers uberall convex und Tteine zweisternige ist*). Zweiter TheU: Ueber die JBeer'sche Methode zur Be- stimmung der magnetisclien Induction**}. Ich werde 20. nachweisen, dass die Convergenz und Giiltigkeit dieser Me- thode keinem Zweifel unterliegt, sobald die Oberflaehe des inducirten Korpers den eben genannten Bedingungen (19.) entspricht, welchen Werth die Magnetisirungsconstante***) des Korpers auch immer haben mag. Sodann aber werde ich weiter zeigen, dass diese Methode auf jede belielige Flache anwendbar ist, falls nur jene Magnetisirungsconstante einen gewissen, durch die Natur der Flache bedingten Kleinheitsgrad nicht iiberschreitet. Bemerkung. Alle Untersuchungen des gegenwartigen Capitels beziehen sich zunachst nur auf den Raum, siud aber leicht iibertragbar auf die analogen Probleme der Ebene. % I- Die elektrische Induction durch aussere Massen, behandelt nach der Methode von Beer. Erste Aufgabe. Es soil die Vertheilung der Elektricitdts- i, menge Null auf einem isolirten Conductor bestimmt werden, falls von Aussen her unverdnderliclie Krdfte einwir'ken , deren Potential F gegeben ist. Nach einem bekannten Green'schen Satz [(41. e), S. 19] ist der Werth des gegebenen Potentials F in irgend einem Puncte i darstellbar durch f): *) Es sind dies d^eselben Einschrankungen , wie bei der Methode des arithmetischen Mittels. Vgl. Seite 163, 164, namentlich auch die Note auf Seite 164. **) Der Kurze willen mag es mir gestattet sein, diesen Namen zu brauchen. Derm genau genommen ist die hier zu besprechende Methode allerdings mit der JBeer'schen nahe verwandt, aber doch nicht un- mittelbar identisch mit derselben. '**) Ich verstehe unter der Magnetisirungsconstante eine Constante K, welche zur Pm'sswz'schen Constante k in der Beziehung steht K ~4w (1 A) * f) Die Oberflache des Conductors mag a , ihre innere Normale v, Ueber die Beer'schen Methoden. 227 wo Fi die Bedeutung hat Dieses Fi ist das Potential einer gewissen auf G ausge- breiteten Doppelbelegung, und kann offenbar in gleicher Weise behandelt werden, wie jP, . Hierbei wird alsdann ein neues Potential F-' zu Tage treten, welches wiederum wie Fi behandelt werden kann. U. s. w. U. s. w. Wir ge- langen daher zu folenden Formeln: F > = - F < = - T > de da und finden hieraus durch Addition: Gleichzeitig ergebeu sich, ebenfalls auf Grund eines bekannten Green'schen Satzes [(41. a), Seite 19], die Formeln: ~d)^ = M; woraus ersichtlich, dass 21. H -f- My die Dichtigkeit der gesuchten Vertheilung vorstellt. Von Neuem aber ist zu bemerken, dass die Zuverlassigkeit dieses Resultates auf der noch fraglichen Beer'schen Annahme beruht. 2 Ueber die von Beer gemachte hypothetische Annahme. Denken wir uns die aufeinander folgenden Functionen gebildet: (a.) 22. (c.) etc. etc. etc. wo rechter Hand unter deu F, F', F", ... die Werthe auf der innern Seite von a zu verstehen sind [vgl. (11.)]. so besteht jene Beer'sche Annahme (8.) darin, dass die Function Fi n) mit wachsendem n gegen eine Constante convergire. - Um naher hierauf einzugehen, bezeichnen wir die Werthe des gegebeuen Potentials F speciell auf der Oberflciclie des Conductors mit f } indem wir setzen : Uebor die .Beer'schen Methoden. 231 und bilden sodann, von f aus, die bekannten Functiouen /", /", . . ., indem wir setzen: (a.) etc. etc. vgl. (2.) Seite 205. Substituiren wir diesen Werth von F is in die Gleichung (22. b), so ergiebt sich mit Riicksicht auf (24. a, b): *) Wir verstehen [vgl. (23.)] unter den f nur diejenigen Werthe, welche das Potential F speciett auf a besitzt. Die Schwankung Df ist daher = G K, wo G den grossten und K den kleinsten der- jenigen Werthe bezeichnet, welche F auf a besitzt. **) Wir unterdriicken den Index s, sobald solches unbeschadet der Deutlichkeit moglich ist, und schreiben also z. B. fur f , f t ' kurzweg: t,f. 24. 1st die Oberflache des Conductors eirie Flache ziveiten Ranges und Jceine ziveisternige } so ist bekanntlich : /() = Const., = C [vgl. Seite 206], 25. und ferner: abs (/W C) ^ *- n Df, [vgl. Seite 188], a6 . wo A die Configurationsconstante jener Oberflache , uiid Df die Sehwankung der Function /' vorstellt*). Die Formel (22. a) kann mit Rucksicht auf (23.) auch so geschrieben werden: F f ' -^ t f(d Hieraus folgt,- wenu man i nach s riicken lasst: Fi s ^-- I f(da) is , also mit f i f' Riicksicht auf (24. a): Ft, = T^ **). Demgemass ha ben wir die Formeln: 27. a 232 Sechstes Capitel. . Substituiren wir nun diesen WertH voii F{', in (22. c), so folgt mit Riicksicht auf (24. a, b, c) : s 8 U. s. w. U. s. w. Wir iibersehen bereits das einfache^ Gesetz, nach welchem diese Formeln fortschreiten, und werden also z. B. fur Ff? den Werth erhalten: *??-- [f+ $f+ ^^f" ...... +/"] - Hieraus folgt durch Subtraction der identischen Gleichung: sofort 29. TT.fa) C' = x: I ( f f*) I ( /'' C 1 } I n ( f" C} U |_ und hieraus mit Riicksicht auf (26.): i / Tn(ra) /~<\ ^- 1 |~1 i *^ 1 i **(*l l)io so. abs f.R (7)<- 1 + T * H * T . ' ^= o n I 1 1 a d. i. abs (JP 1 ^ C) < Wenn aber die inneren Grew^werthe des Potentials F^ C dieser Relation Geniige leisten, so muss nach einem bekannten Satz [Theorem (J.), Seite 40] Gleiches gelten von all' seinen inneren Werthen, also die Formel stattfinden: 32 - abs Bereits zu Anfang dieser Betrachtungen [bei (25.)] haben wir die Voraussetzung gemacht, die gegebene Oberflache 6 sei zweiten Ranges und keine zweisternige. Aus dieser Vor- aussetzung folgt, dass die Configurationsconstante A ein dcliter Bruch, mithin ~ '- ebenfalls ein dchter BrucJi ist. Und B mit Riicksicht hierauf folgt aus (31.), (32.), dass F}? und F$ n] mit wachsendem n gegen die Constante C convergiren. Also : 33- J#*> = F^ = C . Ueber die JSeer'schen Methoden. 233 Hiermit haben wir die Richtigkeit der Beer' schen An- nahme (8.) erwiesen, und nebenbei gefunden, dass K = Cist; - jedoch immer nur unter der Vorausseteung , dass die gegebene Oberfldche zweiten Ranges und Jceine zweisternige sei. 3. Behandlung des Mher betrachteten aussern Problems mit Hiilfe der Beer'schen Methode. Sollen die Massen eines Potentials as = f s + Const. ; so sind hierdtirch sdmmtliche Werthe a eindeutig bestimmt. Es soil sich hier nun handeln um die Losung des so- genannten aussern Problems (vgl. Seite 205), d. i. um die wirkliche Serechnung des Potentials O a . Zu diesem Zwecke wollen wir zuvorderst annehmen, dass irgend ein 35. Potential F dusserer Massen bekannt sei, welches auf (7 die vorgeschriebenen Werthe f besitzt: F.-=f.-f. 36. Solches vorausgesetzt, bilden wir, von diesen Wertlien (36.) aus , die aufeinander folgenden Functiouen F' t F", F'", , genau wie fruher (4.). Alsdann ist nach (5.), (7.): Fi = - /ZYH w dtf + Ff n) , 37. 0= /HWfte, wo H (n) die Bedeutung hat: 1 d(F+F' + F"---- + F(-") _ sy = 25J ~ dv Es sei nun U ( a n) das Potential der Belegung H (n) auf dussere Puncte : Lassen wir in (37.) und (40.) die Puncte i und a nach irgend einem auf 6 gelegenen Puncte s riieken, und addiren wir sodanu die beiden Formeln, so folgt: 234 Sechstes Capitol. p. _|_ 77 ( "> 7T.M -i- is | <~> as - 1 - is ) oder, weil F is = F s = f s (36.) 1st: 41 77 (n) -- 7^ n) /' Uas = -Pis Is Hieraus*) aber folgt fur n = oo und mit Rtteksicht auf (33.): u } = c-f.. Folglich reprasentirt U%* das gesuchte, den Bediugungeu (34.) entsprechende Potential. In der That erkennen wir aus (42.), dass dieses Potential auf 47 - e\fl I J. t i _jj wo der Kiirze willen bei f, f, /"', .... der Index s unter- driickt ist. Substituirt man hier fiir das allerletzte Glied rechter Hand, namlich fiir f, den damit identischen Ausdruck: so folgt: UK = -- [-f (f - n + - ( ~ 1} (r - /') woraus z. B. fiir n = 3 sich ergiebt : us = | [3 ( r - n + 3 (/" - n + (/"" - n] 236 Sechstes Capitel. Es ist fatal*}, dass die f, f, /'", f" hier nur iu Form ihrer Difl'erenzen sich vorfinden. Denu ware das nicht der Fall, besasse also Z7JJ die Form: so wiirden wir, nach Hinzufiigung der bekauiiten fruhereu Relationen : W as = f -f fvgl. S. 205], vier Gleichungen haben, die wir nach /', /'', /'", /"" aufloseu koimten. In solcher Weise wiirden wir z. B. fiir /' eiiien Ausdruck erhalten von der Form: / = AZTff + B W a . +VW^ S + A Wa' s , wo A, B, F, A (ebenso wie a, /3, y, d) bestimnite Zahlen waren ; und hieraus wiirden wir alsdann zu folgern haben, dass ^ d. i. Wenn aber die ausseren (rrew^werthe des Potentials .F< n > dieser Relation Geniige leisten, so muss nach einem bekannten Satz [Theorem (A.') f Seite 37] Gleiches auch gelten von all' seinen ausseren Werthen, also die Formel stattfmden: tleber die JSeer'schen Methoden. 241 Da nun die Flache (?, nach unserer bereits fruher [bei (16.)] gemachten Annahme, zweiten Ranges und keine zweisteruige ist, mithin A und y- aclite Brtiche sind, so folgt aus (22.), (23.), dass Fa n s und F^ mit wachsendem gegen Null con- vergiren. Also : F (:o) _ F ( * } s*- J- a -*- as - V . Hiermit haben wir die Bichtigkeit der Beer'schen An- nahme (9.) erwiesen, und nebenbei gefunden, dass die Con- stante K=0 ist; jedoch immer nur unter der Voraus- setzung, dass die Flache a zweiten Ranges und Jceine zwei- sternige sei. 6. Behandlnng des Mher betrachteten innern Problems mit Hiilfe der Beer'schen Methode. Sollen die Massen eines Potentials Q, auf oder ausser- liall) 6 liegen, und sollen ferner die Q,- 4 irgend welche vor- geschriebenen Werthe f s besitzen: ,,=/;, 25- so sind hierdurch sammtliche Wertlie Q,- eindeutig bestimmt. Es soil sich bier nun bandeln um die Losung des soge- nanuten innern Problems (vgl. Seite 208), d. i. um die wirk- liclie Berechnung des Potentials Q, . Zu diesem Zwecke wollen wir zuvorderst annehnien, dass irgend ein Potential 26. F innerer Massen bekannt sei, welches auf a die vorge- scbriebenen Werthe f besitzt: F s =f s = f. 27. Solches vorausgesetzt , bilden wir von diesen Werthen (27.) aus die aufeinanderfolgenden Functionen F', F", F'" . . . . , ebenso wie fruher (5.). Alsdaun ist nach (6.), (8.): M = J', 29. wo M die Summe jener das Potential jP erzeugenden Massen vorstellt, wahrend H (n) den Werth hat: 1 f)!F-\- F' -\- F" 4- F^"" 1 )) HW = 4- - ( ^ ' _ _ 30. ' 2S ^N Ne um an n, Potential. 16 33. 34. 242 Sechstes Capitel. Es sei nun Z7,- n) das Potential der durch H fn) bestimmten Be- legung auf innere. Puncte : Lassen wir in den Formeln (28.) und (31.) die Puncte a und i nach einem auf x) be- zeichnet. Ergebnisse der Theorie*). Die Theorie liefert zur Bestimmung des Potentials Q fur jeden beliebigen (aussern oder innern) Punct x die Formel: - -Tf/V d( x *M * x wo K eine dem Korper eigenthumliche, stets positive Con- stante, die sogenannte Magnetisirungsconstante vorstellt**), und T x den reciproken Werth der Entfernung (da &~> x] bezeichnet***). Aus (2.) folgt sofort, dass das Potential Q angcselien werden kann als das Potential einer gewissen fingirten Oberflachenbelegung von der Dichtigkeit K \, - ; und hieraus folgt weiter, dass Q der Relation Geniige leistet (vgl. S. 14) : 4 - a gN " welche auch so geschrieben werden kann: -|fi- + (i oder auch sof): *) Diese Theorie wurde bekanntlich 1824 von Poisson, und hiervon unabhangig, jedoch in ziemlich iibereinstiramender Weise im Jahre 1828 von Green entwickelt. [Vgl. die Mem. de VAcad. des sciences, tomes V et VI, und andrerseits die Mathem. papers of Green, London 1871.] Ich werde die Resultate dieser Theorie hier nur liistoriscli an- geben, und zwar in derjenigen Form, in welcher sie von meinem Vater in seinen Vorlesungen an der Konigsberger Universitat eutwickelt worden sind. Dass in der That die Eesultate, wie ich sie hier dar- legen werde, von denen, welche bei Poisson selber sich vorfinden, nur der Form nach verschieden Bind, soil im letzten des gegenwartigen Capitels naher dargelegt werden. **_) Wohl verstanden, die Constante K ist positiv f'iir die soge- nannten magnetischen Korper, auf welche wir uns hier beschranken. Hingegen ist sie bekanntlich negativ fiir diamagnetische Korper. ***) Selbstverstlindlich ist die Integration in (2.) ausgedehnt zu denken iiber die Oberfldche a des Korpers. Denn wir werden a, v, N, und ebenso auch die Buchstaben 3(, 3i un( i i s ? genau in derselben Bedeutung anwenden, wie friiher, vgl. die letzte Note Seite 226. t) Beim Uebergaug von (4. b) zu (4. c) ist zu beachten, dass F Ueber die Beer'schen Methoden. 245 Andererseits liefert die Theorie fur die an irgend einer Stelle , rj, g inducirten Momente A, B, f die Formeln: A- R- - r _ welche zur Bestimmung von A, B, f verhelfen, sobald Q bereits ermittelt ist. Schliesslich sei bemerkt, dass die Formel (2.) mit Rucksicht auf (4. c) auch so geschrieben werden kann : Weitere Bemerkungen iiber die Theorie der magnetischen Induction. Vor alien Dingen fragt sich's, in wie weit jene fingirte Oberflachenbelegung (3.), als deren Potential Q angesehen werden darf, durch die aufgefuhrten Formeln eindeutig be- stimmt ist. In dieser Beziehung gelten folgende Satze. Erster Satz. - Das Potential Q einer auf genannte indue irte Potential Q stets angesehen werden als das Potential einer gewissen fingirten einfaclien Selegung der Oberfldche des Kb'rpers, der en Dichtigkeit den Werth hat: 248 Sechstes Capitel. 16. so dass also fur sammtliclie Puncte i und a die Formeln gelten: ft -JT/T, <*>*,, Von diesen beiden Formeln ist bereits die erstere aus- rl() \-' V} reichend, um das Potential Q und die Dichtiglceit K -~j^~ eindeutig zu bestimmen. % 9- Behandlung des Problems der magnetisclien Induction nach einer gewissen approximativen Methode.*) Ist das inducirende Potential F gegeben, so besteht das Problem der magnetischeu Induction in der Herstelluug einer Formel von folgender Gestalt: Denn gelingt es, eine derartige Forrnel zu finden, so wird, nach (15.), Q das inducirte Potential sein. Aus diesem er- geben sich dann aber, nach (5.), sofort auch die inducirten Momente , ^, y. Um nun eine Formel von der verlangten Gestalt wirk- lich herzustellen, bilde man, von F ausgehend, die auf- einanderfolgenden Functionen : *) Icl\ habe die Resullate , zu deuen Beer bei Behandlung dieses Problems gelangt ist, bereits in der Einleitung zum gegenwartigen Capitel (Seite 224) mitgetheilt. Ausfuhrlicheres hieriiber findet sich in seinem posthumen Werk: ^Einleitung in die Elektrostatik , die Lefire vom Magnetismus und die Elektrodynamik", Braunschweig 1865, Seite 155 169. Ich mochte hier nur bemerken, dass diese JBeer'sche Behandlung des Problems mit derjenigen, welche ich im gegenwartigen geben werde, sowohl der Methode als den Eesultaten nach nicht un- mittelbar identisch ist. Um Genaueres hieruber zu sageu, wiirde ein sorgfaltiges Studium des eben genanuten Werkes nothwendig gewesen sein, wozu ich leider bis jetzt nicht die erforderliche Zeit gefunden habe. Ueber die Beer'echen Methoden. 249 etc. etc. wo (rechter Hand) unter deu F, F', F", ... die Werthe auf der i-nnern Seite von a zu verstehen sind. Alsdann finden die Relationen statt: /'- Ft) = ?i - d(S , [vgl. (4.) S.227], Bezeichuet nun x eine noch disponible Constante, und setzt man: = F -j- xF' -f- x*F" -\- X s F"' -j- . . . . in inf. , 19 . so entsteht aus (18.) durch Multiplication mit x, x 2 , x 3 , .. und Addition die Formel: 2 -co ((, Fi) x ,-) = x J T~ da . 20 . Diese hat mit der herzustellenden Formel (16.) bereits eine gewisse Aehnlichkeit; und diese Aehnlichkeit wird ver- grossert, wenn man statt eine neue Function Y einfuhrt vermittelst der Substitution: wo x' eine neue disponible Constante sein soil; denn hier- durch geht die Formel (20.) iiber in: 977i-n v\ \v _i_ 975- n u x'1 F x ~i VJ \ X ^^^ /v j T i I w \JL fit fv J J- j /v I Jene Aehnlichkeit mit (16.) wird nun offenbar noch weiter vergrossert, wenn man die Constanten x, x'den Bedingungen unterwirft : __ "^T " K ' 23. 1 _ x _ x' = 0, mithin setzt: 250 Sechstes Capitel 29 . dean alsdann geht die Formel (22,) iiber in: T, - KJT. 8 -2S do . In der That ist die gewiiiischte Uebereinstimmung mit (16.) gegenwartig eine vollstandige ; und man erkennt also, dass das gesuchte Potential Q L mit M^ identisch ist: 26. Qi~>Vi. Hieraus folgt mit Rucksicht auf (21.), (23.): mithin : d.v man m multiplicirt : oder, falls man mit der Constanten K == - (23.) -_ 8v 2s dv Substituirt man endlich in (28.), (29.) fiir seine eigentliche Bedeutung (19.) ; so folgt: so. Q t = (1 - x)(.F, -f 2 Hiermit ist die gestellte Aufgabe gelost. Denn die Formel (30.) liefert den Werth des inducirtcn Potentials Q fiir 32. alle Puncte i, wdhrend gleichzeitig die Formel (31.) die Dich- tigkeit K ^~ ' derjenigen fingirten Oberflachenbelegung liefert, als deren Potential Q angesehen werden darf. Dabei bezeichnet v. eine gewisse Constante, welclie zu der Magneti- sirungsconstante K in der Bezielmng (23.), (24.) stekt. Beachtet man, dass K, wie schou bemerkt wurde (2.), stets positiv ist, so ergiebt sich aus der ebengenannten Beziehung, 33. dass K ein positiver dchter Bruch ist. Ueber die .Beer'schen Methoden. 251 1st die Flache t^ 1 - ( 32 -)> Seite232], 34. wo C, 6r, K gewisse der Function F zugehorige Constanten vorstellen, und A die Configurationsconstante der Flache a ist. Hieraus folgt sofort, dass die Reihe (Ft C) + (Fi C} + (F- r C) + 35. convergent ist; und dass mi thin Gleiches auch gilt von der im Vorhergehenden benutzten Reihe Ft + xF t ' + x*Ft" + **Ft m H ; 36. denn es ist ja x ein positiver dchter Bruch (33.). Von selber tritt die Frage an uns heran, ob die Con- vergenz der Reihe (36.), mithin die Gultigkeit der gefunde- nen Losung (30.), (31.) nicht vielleicht auch dann noch Be- stand habe, wenn die Flache 6 von einem hohern Range als dem zweiten ist. 10. Fortsetzung. Ueber das Giiltigkeitsgebiet der angewendeten Methode. Um auf die zuletzt erhobene Frage naher einzugehen, be- zeichnen wir die Werthe, welche das Potential F speciell auf <5 besitzt, mit f: bilden, von f aus, die bekannten Functionen f, f", . . ., und erhalten alsdann, wie schon friiher dargelegt wurde (Seite 232), die Relation: | n /., , W( 1) f ,, , / T rrr ~ + / 1st nun die Flache 6 von beliebigem Range, etwa vom Range*) 2N f und bezeichnet man den kleinsten und grossten Werth, 38. *) Dass eine geschlossene Flache stets von geradem Range ist, folgt uiimittelbar aus der Definition des Ranges, vgl. Seite 167. 252 Sechstes Capitel. welchen f auf a besitzt, resp. mit K und G, ferner die Difte- renz r ~ m it L, und das arithmetische Mittel ^ mit M, so gelten, wie im nachstfolgenden dargelegt werden soil, die Formeln: abs (f, M)^L, abs(/;' M}^(2N- abs (/." M) ^ (2N- abs (f"'M} < Subtrabirt man von (38.) die identische Gleichung: 40. ~ so folgt: ~M= und hieraus mit Riicksicht auf (39.): (Fl?-M) ' L abs (J};> - oder einfacber: 43 - abs (F^ M ) ^ LN n . Etieraus aber folgt nach bekanntem Satz [Theorem (J.), Seite 40], dass dieselbe Relation auch fur die Fi n) statt- findet; also: abs(^ n) - M) <; -LN*. Solches vorangeschickt, wenden wir uns nun endlicb zu der zu untersucheuden Reihe (36.): 45 - E = F t + xF/ + x 2 F { ' + ...... Wir konnen diese Reihe, weil x ein positiver dchter Sruch ist (33 ), auch* so darstellen : (F/'- Jtf) + .. hieraus aber erbalten wir mit Riicksicht auf (44.) sofort: 47. a b Ueber die .Beer'schen Methoden. 253 Folglich ist R convergent, sobald die Relation stattfiudet: je_ZV < 1, eine Relation, welche mit Riicksicht auf (24.) auch so geschrieben werden kann: oder auch so: Folglich ist die im vorhergehenden entwickelte Methode auf einen Korper von ganz beliebiger Gestalt anwendbar, falls nur seine Magnetisirungsconstante K eine hinreichende Klein- heit hat. In der That konnen wir das Resultat unserer Untersuchungen so ausspreehen: Ist der gegebene Korper begrenzt von einer Flache (2 N) ien Ranges, so ivird die im vorhergehenden exponirte Methode stets convergent und gultig sein, falls nur die Magneti- so. sirungsconstante K des Kdrpers zur Zalil N in der Beziehung steht: K ^ ^ Ist mithin N=l, die Flache also vom zweiten Range, so wird jene Methode gultig sein fur jeden beliebigen Werth von K. 11. Allgemeine Betrachtungen iiber eine geschlossene Flache von beliebigem Range.*) Es sei f.-ar - Af(d$, - Bf((drf)\ . .3. Um die Untersucliung der in (12.), (13.) enthaltenen Integrale etwas zu erleichtern, wollen wir zunachst aunehmen, der Punct s ware nicht auf 6, sondern innerhalb 31 oder innerhalb ^ gelegen*). Von s lassen wir nach entgegengesetzten Richtungen zwei Kegel ausgehen von unen'dlich kleiner Oeff- nuug d%, und bezeichnen die innerhalb dieser beideii Kegel befindlichen Elemente d& , in dem schon angegebenen Sinne, theils init d%, theils mit dij. Ein in s befmdlicher Beobachter wird alsdann die inneren, d. i. positiven Seiten der d%, hin- gegen die tiusseren d. i. negativen Seiten der drj vor Augen haben. Oder, was auf dasselbe hinauskommt: die von s aus- laufenden Strahlen werden bei jedem d% von 3 nach 21, hingegen bei jedem dq von 21 nach 3 gehen. Auch stehen all' diese Elemente d%, dv\ zur Oeffnung d% der beiden Kegel in folgender Beziehung: *) Es mag ganz voriibergehend diese Abweichung von unseren all- gemeinen Festsetzungen [nach denen s stets einen Punct auf a be- zeichnen soil] gestattet sein. Uebrigens soil die Zerlegung a = | + *] nach der jedesmaligen Lage des Punctes s sich richten, der Art, dass ein in s befindlicher Beobachter von alien Elementen d % die positive, und von alien Elementen drj die negative Seite vor Augeu hat. 256 Sechstes Capitel. (dg), = dx , (dij), = dx , ((drj)\ = dx . Es handelt sich nun zuvorderst um die Werthe der beiden Summen : 2(d&, B ((**,, dieselben ausgedehnt gedacht iiber alle inuerhalb der beiden Kegel enthaltenen Elemente d%, dr] . Erster Hauptfall: der Punct s liegt ausserhalb A - N(G - K) + (G- A) , Ueber die -fieer'schen Methoden. 259 oder, einfacher geschrieben:^ r; ^ K + N(G - oder, was dasselbe ist: // < Nach (3.) gelten nun fiir W die Formeln: " f * == Is ~T~ Is ) VY as = fs fs . Hieraus folgt durch Substitution der Werthe (21.) und mit Riicksicht auf (5.): W is <; (G + K} + N(G - JT), W as <+ N(G - Jf), T7,- s > (6? + IT) - N(G - K) , TF a , ^ - ^(G^ - JT), und hieraus folgt weiter nach bekannten Satzen [Theorem (7.), Seite 40, uud Theorem (.4.'), Seite 37], dass genau die- selben Relationen auch fur TF,- und W a stattfinden. Also: Wi <(G + K} + N(G K), W a ^ + N(G - K} , Wi ^ (G + K) N(G K). W a ;> - N(G K} . Besultat. Ist also G eine beliebige geschlossene Fldche vom (22V) len Range und mit positiver innerer Seite, und derikt man sich auf dieser Fldche irgend welche Werfhe f ausge- breitet, die daselbst stetig sind, so gelten fiir die Functionen die in (21.), (22.), (23.), (24.) aufgefuhrten Formeln, in denen unter K der Jdeinste, unter G der grosste jener gegelenen Werthe f zu verstehen ist. Bemerkung. Wir wollen uns von f aus die bekanuten aufeinanderfolgenden Functionen /", f", /'", . . . gebildet vor- stellen, und annehmen, iiber die urspriinglich gegebenen Werthe f sei, abgesehen von ihrer Stetigkeit, nichts weiter bekannt, als dass sie der Relation abs (f A)<>B entsprechen , wo A , B zwei Constanten sind (von denen selbst- verstandlich die letztere positiv zu denken ist). 17* 260 Sechstes Gapitel. Alsdaun ergeben sich fiir den grossten G und kleinsten K der Werthe f die Formelu: G <; A + 23, K> A B, G K<;2B. Somit folgt aus (21.): // ^ A + (2N- /; ^ A (2N- oder beide Formeln zusammengefasst : 27. abs (f A) und steht als zur Poisson'schen Constante k in der Be- ziehung*): TT n/ " " """"* t ~ t *) Dies ist die schon fruher (Note auf Seite 224) erwahnte Relation. Siebentes Capitel. Weitcre Entwleklnng der Theorie der Doppelfoelegungeii. Bezeichnet 6 eine .Curve oder Flacbe mit festgesetzter positiver Seite, uiid denkt man sich auf 30 - Wi = (gih) -f- 2w =

(' Alsdann ist: oder, was dasselbe [vgl. (35.)]: *) L'dsst man die Annaherung des variablen Punctes t nicht liings der geraden Linie tgc, sondern langs irgend einer (durch g gelegten) Curve erfolgen, so gilt ebenfalls die Form el (37.). Nur hat man als- dann unter A das Azimuth dieser Curve, d. i. denjenigen Winkel zu versteheu, unter welchem diese Curve im Puncte g gegen die positive Seite der gegebenen Curve a geneigt ist. Weitere Entwicklung der Theorie der Doppelbelegungen. 273 (A w g } -f -f-

jedesmal, wenn sie durch Null gehen, ihre Zeichen wechseln sollen. Alsdann aber wird A zwischen und 275" , ferner ft zwischen B und -f" B variiren, und q> identisch sein mit ?,, sodass man die Pormel (38.) auch so schreiben kann: (A w g ] -f -f w t = tr, d. i. : (w t w g ) (To A) = /3 . 4 o. Hieraus folgt mit Riickblick auf (39.): abs [(w t Wg) (Sf A)] < B . u. Durch Verkleinerung von x kann man offenbar B beliebig klein macheu. Somit folgt aus (41.), dass man durch Ver- Tdeinerung von K den absoluten Betrag der Different (W t Wg) (W A) 42 _ fur alle innerhalb x befindlichen Puncte t unter jeden beliebigen Kleinheitsyrad hindbzudruclten im Stande ist. Der hier eingefiihrte zwischen und 2 "5" variirende Winkel A mag das Azimuth des Punctes t in Bezug auf g, G heissen. 3. Betrachtung einer ungeschlossenen Curve von beliebiger Beschaffenlieit. Wie die Curve auch beschaffen sein mag, stets wird man von dem einen Endpuncte aus - ein Stuck der Curve ab- schneiden konnen, welches frei vonEcken, also stetig gebogen ist. Folglich werden die geometrischen Verhaltnisse im Be- reich eines solchen Endpunctes genau dieselben sein, wie im vorhergehenden , wo die ganze Curve stetig gebogen war. Neumann, Potential. 18 274 Siebentes Capitel. Mit Riicksicht hierauf ergiebt sich aus (28.) und (42.) fol- gender Satz: Es sei 6 eine yans beliebige (z. B. mit irgend welchen Ecken behaftete) von y nacli h laufcnde Curve mit bestimmt festgesetzter positiver Seite, und 43. W x das Potential einer auf G ausgebreiteten Doppelbelegung vom Momente Eins. Alsdann wird sich, falls irgend ein Klein- heitsgrad s gegeben ist, stets um g ein Kreis x von soldier Kleinheit beschreiben lassen, dass fur alle innerhalb x be find- lichen Puncte s und t die Formeln gelten: abs (w t w g ) < , 44. abs [(w t w g } (of A)] < s , wo A das Azimuth des variablen Punctes t in Bezug auf g } (?, d. i. denjenigen Wirikel bezeichnet, unter welchem die Linie g t gegen die positive Seite der Curve 6 geneigt ist*}. Wichtige Bemerkung. Dieser Satz bildet den eigent- lichen Trdyer der weiter folgenden allgemeinenUntersuchungen. Dies ist die Ursache, welche mich bewogen hat, die Grund- 45. steine (28.) und (42.), auf welene dieser Satz basirt ist, im Vorhergehenden der genauesten Priifung zu unterziehen. 4. Das Potential einer Doppelbelegung von beliebigem Moment, dieselbe ausgebreitet gedaclit auf einer ungeschlossenen Curve von beliebiger Beschaffenheit. Es sei (S eine ganz beliebige (z. B. mit irgend welchen Ecken behaftete) von y nach h laufende Curve, mit bestimmt festgesetzter positiver Seite; ferner seien 9 die Potentiale zweier auf tf ausgebreiteter Doppelbeleguugen, deren ' Momente respective Eins und [i sind. Es solleii die *) Die Bezeichnungen s, t sind angewendet in dem zu Anfang dieses Capitels [(2.), Seite 263] festgesetzten Sinne. Weitere Entwicklung der Theorie der Doppelbelegungen. 275 Eigenschaften von W untersucht werden, unter der Voraus- setzung, dass p auf i wird z. B. die MetJiode des arithmetischen Mittels sein, falls die Flache a zweiten Ranges und keine zwei- sternige 1st. 280 Achtes Capitel. im Stande ist, welche auf und beachten wir. dass die Fl'ache G 2 n nach unserer Voraussetzung (2.) von stetigcr Biegung ist, so erkeunen wir leicht, dass die Werthe U von der Unstetig- keit der f s in keinerle'i Weise afficirt , sondern trotzdem stetig siiid**). Auch erkennen wir, dass die C/,- zu den U s in der Beziehung stehen: U it = U s + f s ; [vgl. Seite 115]; so dass also die Stetigkeit der U s sich unmittelbar auf die (f, Uit) iibertragt. Folglich werden wir mit Hiilfe der be- kannten Methode Wl (2.) diejenige Potentialfunction Vi des Raumes 5 zu construiren im Stande sein, welcbe auf (? die Werthe (f s J7,-,) besitzt, also der Relation entspricht: 'it === /* - Uf't Geben wir dieser Relation aber die Gestalt: *) Ob diese Unstetigkeitscurven geschlossen oder ungeschlossen sind, ferner ob sie einander schneiden oder nicht schneiden , mag vollig dahingestellt bleiben. **) Um diese Behauptung zu rechtfertigen , beschreiben wir um irgend einen Pimct s der Flache ff eine kleine Kugelflache, durch welche das Potential irgend welcher auf oder innerhalb 6 ausgebreiteter Die Theorie der kanonischen Potentialfunctionen. 283 Massen von der Summe Null sein, und soil dieses Potential auf G selber von daselbst vorgeschriebenen Werthen f nur durch eine unbestimmte additive Constante sich unter- scheideu : a, = f, + Const. , so sind hierdurch sammtliche Werthe a eiudeutig bestinimt. - Setzt man $> a Const. = W a , so gewinnt dieses Theo- rem folgende etwas bequemere Form: Eine Function W a , ivelclie, dbgeselien von eincr unbe- stinimten additiven Constante, das Potential irgend welcher auf odcr innerhalb G ausgebreiteter Massen von der Summe Null vorstellcn, und auf G selber vorgeschriebenc Werthe 'besitzen soil: rr as = f, , ist durch diese Bedinyungen fur sammtliche Puncte a ein- deutig bestimmt. Andererseits konneu wir das Theorem (J. a ' J5 } in folgeuder Weise ausdriicken (vgl. Seite 208) : Eine Function W i} welche das Potential irgend ivelcher auf oder ausserhalb G ausgebreiteter Massen vorstellen, und auf G selber vorgeschriebene Werthe besitzen soil: Wit fa ist durch diese Bedingungen fur sammtliche Puncte i eindeutig bestimmt. In wie weit nun aber diese Theoreme (1.), (2.), bei deneu wir stillschweigend die vorgeschriebenen f als stetig vorausgesetzt haben, auch noch gelteu fur unstetige f, be- darf einer nahern Untersuchung, bei der wir beginnen werden mit moglichst einfachen Fallen. - 2. Potentialfunctionen mit unstetigen Grenzwerthen. Die auf G vorgeschriebeuen Werthe f mogen, bis auf einen gewissen Punct g, daselbst uberall stetig sein. In g aber mogen von beiden Seiten verschiedene Werthe /*, und f 2 zusammenstossen, sodass also in g ein sogenannter Stufen- punct oder Differenspunct vorhanden ist. 284 Achtes Capitel. Soil nun diejenige Function W a ermittelt werden, welche mit Bezug auf diese f den Anforderungen (1.) entspricht, so ist vor alien Dingen zu bemerken, -dass durch diese f die Grenzwerthe von W a nur unvollkommen gegeben sind. Deun wir wissen nicht, ob in g das f v oder das / 2 oder vielleicht irgend eine dritte Grosse als Grenzwerth anzusehen sei*). Es bedurfen daher die an W a gestellten Anforderungen, weil sie in ihrer gegenwartigen Gestalt an Undeutliclilieit oder (besser gesagt) an eiuem innern Widerspmch leideu, irgend welcher Modification. Es sei, um die Vorstellung zu fixiren: fi <; fa **) und ferner sei, der grossern Allgemeinheit willeri, y ein Eck- punct., von 6. Man beschreibe um g eine kleiue Kreis- peripherie: x -\- A. von variablem Radius, wo x den auf 91, und A den auf 3 gelegenen Theil der Peripherie vorstellen soil. Ferner be- zeichne man mit r den ausserhalb dieser Peripherie gelege- nen Theil von a; so dass also K -f- X eine geschlossene Curve vorstellt, deren Beschaffenheit bei einer Verkleinerung des genannten Kreisradius von Augen- blick zu Augenblick sich andert. - - Solches vorangeschickt, lehaupten wir nun , dass die Function W a eiudeutig bestimmt sei, sobald man sie folgeuden drei Bedingungen unterwirft: I. Die Function W oder W a soil, abgesehen von einer uribestimmten additiven Constanten, das Potential irgend wel- *) Allerdir%s soil W a , abgesehen vou einer additiven Constanten, das Potential irgend welcher auf oder innerhalb G ausgebreiteter Massen von der Summe Null sein. Folglich miissen die Extreme der W a [nach dem Theorem (A.'), Seite 37] auf der Grehze von 2t, d. i. auf a liegen. Doch kann man hieraus, weil die Angabe jener Grenzwerthe eine sehr undeutliche reap, eine aich selber widersprechende ist, keinen weitern Schluss ziehen, also nicht etwa behaupten, dass jene Extreme unter den vorgeschriebenen Werthen f anzutreffen seien. Denn es konnte ja z. B. ein solches Extrem in g liegen, und daselbst dargestellt sein durch jene (oben genannte) dritte Grosse, welche vb'llig unbekannt ist. **) Wir wollen namlich den speciellen Fall /", = f z keineswegs aus- schliessen. Die Theorie der kanonischen Potentialfunctionen. 285 cher auf oder innerhalb den Be- dingungen (1.) entsprechende Function, was angedeutet sein mag durch das Schema: o i Potentialbedingung, 26 * \ Q a wo' E(x) = (x) + *'( x )' a ^ so e ^ ne ^unction von x ist, die wiederum durch Verkleinerung von K beliebig klein gemacht werden kann. Aus der Analogic der Schemata (25.) und (28.) ersehen wir, dass die Bedingungen (8. I, II, III) fur den speciellen so. Fall stetiger Grenzwerfhe gleichbedeutend sind mit den friiheren Bedingungen (1.). - - Sodann aber erkennen wir ferner mit Hinblick auf (29.), dass wenn zwei Functionen W a und Q a jenen Bedingungen respective fur die G-renzwerthe si. f und q) Geniige leisten, alsdann Gleiches auch gilt von der Function (W a + 8) fur die Grenzwerthe (f -\- *> * s *att 51, , v. gesetzt. Bezeichnet man die den Bedingungen (36. I, II, 111) entsprechende Function mit 37. W t = Pot ( M ) , indem man unter M die Summe der betreffenden Massen versteht, so kaun man dafiir offenbar auch schreiben: as-. Wi = Pot (M + M) K , vorausgesetzt , dass die Masse M fiber eine das Gebiet 5 (i beliebiger Entfernung) unischliessende Kreisperipherie gleich- formig vertheilt ist, und K das constante Potential dieser Masse M auf innere Puncte vorstellt. Denkt man sich nun nachtraglich M so gewahlt, dass M + M = ist, und K dem entsprechend , so ist die Function Wi durch (38.) in das 39. Potential von Massen verwandelt, deren Summe NuU ist, unter Hinzufiigung einer gewisseii additiven Constante. Folg- lich kann man die Bedingung (36. I) auch so ausdrucken: Die Function W oder Wi soil, abgesehen von einer addi- tiven Constante, das Potential irgend welcher ausserhall) $ . auf der Grenze von ^ ausgebreiteter Massen von der Die Theorie der kanonischen Potentialfuactionen. 293 Swnme Null sein. -- Hierdurch ist alsdann diese Bedingung (36. I) in vollstandige Aualogie versetzt mit der beim Ge- biete 51 angegebenen Bedingung (35. I). 5. Allgemeine Eigenschaften der kanonischen Potentialfunctionen. Um diese allgemeinen Eigenschaften, welche aus den vor- hergehenden , namentlich aus (20.), (23.), (24.), (31.), (32.) leicht ersichtlich sind, in anschaulicher Weise zusanimen- zustellen, wird es zweckmassig sein, die Reihenfolge ein wenig zu andern. Wir gelangen alsdann, was zunachst Die kanonischen Potentialfunctionen des Gebietes 51 betriffb, den Satzen (24.), (23.), (20.) und (32.), (31.) ent- sprechend, zu folgendeii vier Eigenschaften. ' Erste Eigenschaft. Sind am Eande der Flache 51, d. i. auf 6 irgend welche Wcrthe f vorgeschrieben , die daselbst entweder uberall, oder docli wenigstens bis auf einzelne Differenzpuncte stetiy sind, so wird die diesen Werthen entsprechende kanonische Potential- function W a des Gebietes 51 eindeutig bestimmt sein. Zweite Eigenschaft. Sind insbesondere jene f constant, etwa = C, so wird W a allenthalben = C sein. Dritte Eigenschaft. Sind jene auf 6 vorgeschriebenen Werthe f nicht uberall constant, und bezeichnet man den Tdeinsten und grossten der- sclbcn resp. mit K und G, so wird fur jedweden zur Flache 5C (jeliorigen Punct a, der innerhalb 51 (uicht etwa hart an der Grenze voii 51) liegt, die Eelation stattfinden: K 180, namlich nach dortiger Bezeichnung: y = A, - A, . Achtes Capitel. 51. 53. 54. 55. 296 d. i. das Potential einer auf gh ausgebreiteten Doppelbeleguug vom Momente Bins. Alsdann kann man bekanntlich, wenn irgend ein Kleinheitsgrad d gegeben 1st, um g eine Kreis- linie x von solcher Kleinheit beschreiben ; dass fur alle inner- halb x befindlichen Puncte a die Formel gilt: abs (u a (ft A )) < d , [vgl. Seite 268] , wo A a das Azimuth des Punctes a in Bezug auf y, gh vor- stellt. Hieraus ergiebt sich, wenn man den variablen Punct a unendlich nahe an g rucken lasst, die Pormel: U ag = TH A^a, wo A^ a das Azimuth der unendlich kleinen Linie ga be- zeichnet; also z. B. [vgl. (49.]: hierfiir mag ktirzer geschrieben werden: W = ^ A, , % 2? = -sr- A 2 , Die Theorie der kanonischen Poteutialfimctionen. 297 wo alsdann A,, A 2 die Azimuthe der Linien gg^ gg^, d. i. der Linien #6?,, gCr z vorstellen. Man nehme nun statt u selber eiue lineare Function von u mit constanten Coefficienten : U=BU+C, 56. wodurch an Stelle der Formeln (55.) folgende treten: Diese Grossen (57.) lasse man durch passende Wahl der Con- stanten B, C identisch werden mit den gegebenen Grossen f i} /" 2 , unterwerfe also jene Constanten den Bedingungeu: Alsdann wird U auf der Curve a im Puncte g } genau ebenso wie /", die Werthe f { und f 2 besitzen. Ueberhaupt wird als- dann die Differenz f a U a auf 6 allenthalben stetig, urid 5u. iiberdies im Puncte g gleich Null sein. Aufstellung einer Function W } welche den Bedingungen (35. 1, II) entspricht. Da f a U a (59.) auf 6 iiberall stetig ist, so sind wir vermittelst der bekannten Methode ^ (48.) die den Grenzwerthen f a U a entsprechende kano- nische Potentialfunction der Flache 31 wirklich zu bilden im Stande. Bezeichnen wir dieselbe mit V, so ist: V aa f a U a , oder was dasselbe: Vaa + U a =f<, ', 60. und hieraus scheint zu folgen, dass die eigentlich gesuchte den Werthen f entsprechende kanonische Potentialfunction den Werth habe : W a = V a + U a . ,. In der That tinterliegt es kcinem Zweifel, dass diese Function W hinsiclitlich der f den Bedingungen (35. I, II) entspricht. ea. Fraglich ist jedoch ihr Verhalten gegen Die Bedingung (35. III). Um hierauf naher einzugehen, werden wir um g eine kleine Kreisperipherie K beschreibeu, das innerhalb x gelegene Stuck der Flache 31 mit 91* be- zeichnen, und nachweisen, dass alle auf 3C X vorhandenen Werthe W a -durch gehorige Verkleinerung von x in das Intervall 298 Achtes Capitol. 63. f } -4 <; W a < /2 + 4f hineinyepresst werden Iwnnen, wo 4e einen lelicbiy yeyeltenen Kleinheitsgrad bezeidmet*}. Hiermit wird alsdarm erwieseii seiu, dass W der Bedingung (35. Ill) Genuge leistet. Nach (61.) und (56.) ist: 64 . a = a Was die hier auftretenden Grossen B, C, V a) u a betrift't, so sind B, C die durch (58.) bestimmten Constanten; also: 7? ft ft n f \ (f* fi)(Q AQ -' = '< H - ~ Perner ist V a eine kanonische Potentialfunctinu des Gebietes 21 mit den Grenzwerthen f a U a , also [\gl. (59.)] eine kanonische Potentialfunction , deren Grenzwerthe Idngs +E. Hieraus folgt, weil /' 2 jfj positiv ist (50.): - *=- E ^ ^ l a < =* (y + E) , *) Man erhalt einen solchen Fall z. B., wenn man statt der Figur Seite 296, bei welcher die in g zusammenstossenden Bogeii nach 2t convex sind, eine andere zeichnet, bei welcher jene Bogen nach 21 concav sind. 300 Achtes Capitel. also durch Substitution des Werthes E (71.): Mit Riicksicht hierauf aber ergiebt sich ; dass die auf dem gegenwartigen Plachenstiick 2l x vorliandenen Werthe W u (69.) der Relation entsprechen: fi ~ 4* < W a < /i + (/ 2 - /I) + 4e, d. i. der Relation /i 4f ^ TF a /2? V Const ant en sind, wahrend %, if] von der Lage des variablen Punctes a abhdngen. -- Die Constanten f i} f 2 reprasentiren die in g zusammenstossenden Werthevonf. Ferner reprdsentirt y den im Puncte g von der Flaclie 31 gebildeten Winkcl , so dass also y im Allgemeinen = To ist, und eine Abweicliung hiervon nur dann eintritt, wenn a im Puncte g 302 Achtes Capitel. eine Ecke Jiat. Endlich sind , rj die Azimuthe des variablen Pu'ndes a in Bezug auf die Schenkel von y , oder (anclers ausgedriickt) die beiden Tlieile, in welche der Winkel y durch den variablen Sir did ga zerfallt, so dass 1 + n = 7 ist*). Will man in Betreff der mit einem unendlich kleinen Fehler behafteten Formel (80.) sich genauer ausdrttcken, so hat man um g eine kleine Kreislinie x zu beschreiben, und zu sagen, dass die Different fur alle innerhalb x befindlichen Puncte a durch gchb'rige Ver- Tcleinerung von x unter jeden beliebigen Kleinheitsgrad hinab- gedriickt werden kb'nne. Bemerkung. Man konnte die Grossen /"j und/l 2; weil sie mit den am Rande gegebenen Werthen f in stetigem Zu- sammenhang stehen, also bei einem Fortschreiten langs des 83 - Randes sich ergeben, die pardbatischen Grenzwerthe nennen. Ausser diesen besitzt die Function W a im Puncte g noch unendlich viele andere Grenzwerthe, die alle Zwischen- stufen von f^ bis f 2 darbieten. Diese letzteren Grenzwerthe *) Sind gG i und gG 2 die beiden Schenkel des Winkels y, mithin so werden gG i und gG t zugleich die beiden extremen Lagen der variablen Linie ga vorstellen. Giebt man dieser letztern Linie die ex- treme Lage gGt, so folgt mit Riicksicht auf (80.): 1 = 0, 7, = y, W a = ff, und giebt man derselben andrerseits die extreme Lage gG 2 , so wird: g = y , n = o, w a =f t . Demgemiiss stehen f t und f% , ebenso wie | und 77 , in Correspondenz resp. mit g Gr, und ; falls die f positiv und nicht sammtlich Null sind; und ferner: W%'* < 0, falls die f negativ und nicht sammtlich Null sind. Lasst man den Punct a irgend einem Puncte s der Curve G sich unendlich nahern, so erhalt man, falls s ein Stetigkeits- punct von f ist : Was f =f* [vgl. etwa (27.) Seite 289], und , falls s ein Differenzpunct von /' ist : W%; f = ^-^~/ 8 ^ [vgl. (80.) und (82.) Seite 301] . y Beachtet man , dass IHL+ ts no thwendig zwischen /", und /" 2 liegt, so folgt aus (8.), (9.) sofort, dass sammtliche Grenz- werthe W%' s f der Relation unterworfen sind: welche mit (7.) zusammengefasst die Formel ergiebt: !W a ' f \ I < Max/". W' f \ ' as ' Die den vorgeschriebeuen/'entsprecheude kanonische.Potential- *) In Betreff der Bezeichnungen c, s, 21, a; %, i soil festgehalten werden an unseren friiberen Determinationen (Seite 31). Die Theoric cler kanonischen Potentialfuuctlonen. 305 function der Fliiche 31 besitzt also die Eigenschaft, (lass ihrc sdmmtliclien Wertli-e und Grengwerthe zicisclicn Min f und Max f liegen. Vierte Eigenschaft. Bezeichnet C eine beliebige Constante, so ist: imd dcnld man sicli ausser denfnoch irgend ivelclie*) anderen Wcrtlic

v = W a a ' f+lf . is. Denkt man sich die Curve 6 in zwei Theile G' imd G" zer- legt, uud die diesen Theilen entsprechenden Werthe von /j cp respective rait /"$ cp' und /"', 99" bezeichnet, so wird man die Forrael (13.) auch so schreiben konnen: Ti/-a', /' nncl a", /" i Tiro', q>' und a", ' *' _L W"> f " W a 'f und ""' tf> ''a ~\~ rr a - rr a '> Hieraus folgt z. B. ; falls die f und cp" sainmtlich Eins sind: W a ' l + W a a "' l =W a >\ d. i. nach (3.) w a a + wf=w a a =i-, donn Wa hat [vgl. (6.)] stets den Werth Eins. Funfte Eigenschaft. Ist W a eine kanonisclie Potentialfunction des Gebietes 31, so gilt Grleiehes von W a mit Bezug auf jeden Theil von 3t, J8 . gleichviel ob der Eand dieses Theiles vollstdndig innerhalb 31 l/iyt, oder vielleidit tlieilweise mit dem von 31 zusammenfattt. Die kanonischen Functionen der Plache ^. In Be- treff dieser mogen aualoge Symbole adoptirt werden; so dass 19 sammtliche Formeln und Satze von (1.) bis (18.) von Neuem wiederholt werdeu konnen, nur iiberall 3> * s *att 3t, a gesetzt. *) Stillschweigencl setzen wir allerdings bei den cp, wie bei den /; stets voraus, dass sie auf c kerne andereu Unstetigkeiten haben, als solche, die in einzelnen Dift'ereuzpuncten bestehen. Neumann, Potential. 306 Achtes Capitel. 10. Ueber Entwlcklungen nach kanonischen Functionen. Ein Satz iiber die kanonischen Functionen des Ge- bietes 21. Es sei tf eine Iteliebig gegebene geschlosseno Curve, durch welche die unendliche Ebene in zwei Theile 21, 3 zerfallt, es seien femer auf irgend welche Wertlie f vorgeschrieben, die daselbst, abgesehen von einzelnen Differenz- puncten, iiberall stetig sind, und es werde die diesen f ent- sprechende kanonische Potentialfunction der Flache 21 ge- sucht. Man nehme an, diese Aufgabe ware approximativ gelost durch die Summer 20. TfW = WW -f- ;() . - . + W W ; denn eirnerseits seien w^ , w^, ....-{- ^(0 kanonische Po- tentialfunctionen der Flache 3t resp. rnit den Grenzwerthen jf(i) ? f(2) } . . /*("), so dass also [vgl die vierte Eigenschaft] WW ebenfalls eine kanonische Potentialf unction von 21 ist, mit den Grenzwerthen: 21. FM = /"(I) -f /X2) [_ f() 5 und andrerseits sei erwiesen, dass die Differenz 22. FW f fiir die Geaammtheit der Puncte s durch Vergrosserung von n unter jeden beliebigen Kleinheits- grad hinabgedriickt werden konne. Ferner mag angenommen werden, dass die Anzahl der Diiferenzpuncte fiir sammtliche 28. fW, / (2 >, f^ } in inf. eine endliche ist. Diese Puncte, welche alsdann zugleich auch die Differenzpuucte von FW sind, mogen mit g be- nannt sein*). Definirt man nun W oder TF() durcli die unendliclie Reihe 24. W = wW + W& + .... in inf. , und lasst sick ecigen, dass die Different 25. WW W fii r (Jie Gesammtheit der Puncte a *) Allerdings konnen von den Diff'erenzpuncten der /'' 1) , f^ , /''"' einige sich gegenseitig zerstoren, so dass jf' (n ' nicht mehr all' jene Pnnct.e , sondern nur einen Theil derselben ?.u Difl'erenzpuncten hat. Die Theorie der kanonischen Potentialfunctionen. 307 dwell Vergrb'sserung von n miter jeden beliebigen KlcinJieits- grad hinabgedriickt werden kb'nne, so wird dieses W die strengc Losung der gestellten Aufgdbe sein*'). - - Was den Beweis dieses Satzes betrifft, so wird vor Allem dabei festzuhalten sein, dass w^ , iv^ , . . . wW , W (n] resp.iur die /"<'), f {2) , . . . fW, F (n ^ den Bedingungen I., II., III. [das soil heis.sen den Bedingungen (35. L, II., III.) Seite 291] entsprechen, mid von dieser Basis aus zu zeigen sein , dass die Function W die- selben drei Bedingungen erfiillt mit Riicksicht auf die vorge- schriebenen f. Die Functioiien w w , w (2) , . . . w^, PP (n) geniigen der Bedingung L, und sind daher stetig fiir alle a. Gleiches gilt somit, weil [nach (25.)] W(n) _. ffl~ f(j r (ji e Gesammtheit der a 2n beliebig klein gemacht werden kann, auch**} von W. Sol- ches constatirt, ergiebt sich aber aus (24.) sofort, dass W, ebenso wie w (1) , w^\ . . . 7 das um eiue additive Constante vermehrte Potential irgend welcher theils ausserhalb 31, theils auf der Grenze von 31 ausgebreiteter Massen von der Surmne Null ist. - - Es entspricht also W der Bedingung I. Man wiihle nun eineu beliebigen Kleinheitsgrad , und mache die Zahl n so gross, dass ]/J7"() _. "I/P" fQr die Gesammtheit der a *>7 und jfw f fur die Gesammtheit der S kleiner als s wird [was nach den Voraussetzungen (22.), (25.) stets moglich ist]. Sodann markire man auf a irgend einen von den g verschiedenen Punct s, und presse den Werth W ( a n} durch Annaherung des Punctes a an s in das Intervall hinein : jpM < W^ ^ F ( s n) -{- , 28 - [was stets moglich, weil TF (n > der Bedinguug II. entspricht]. *) Es ist festzuhalten , dass wir bier alle Buchstaben c, s, ?l, a, 3, i in dem friiher (Seite 31) festgesetzten Sinne brauchen. **) Diese Bebauptung beruht auf einer bekannten Schlussfolgerung, von welcher im vorliegenden Wcrke bcreits einmal Geb ranch geniacbt ist, ulinilich in der Note auf Seite 201. 20* 308 Achtes Capitel. In dieser Forruel kann man, nach (27.), W (n) durch W uud fM durcli f ersetzen, ohne dabei einen Fehler von mehr als 2s zu begehen. Somit folgt: a f. Ze < W a - Hierauf bestimme man diejenige Belegung A' a ', welche durch die Belegung A,* auf dem Conductor a hervorgerufen werden wiirde, falls derselbe zur Erde abgeleitet ware. Das Potential U" dieser Belegung A wird alsdann auf a, abgesehen vom Vorzeichen, identisch mit U' sein, also der Formel ent- sprechen : UZ = -Ua. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens ergiebt sich folgendes System von Form el n : U a = A, Up -=- U?, U' a ' = Ua, Uf = - Up r T7 IV ff> TfV JT f v Ua = Uff Up = Vff t Und mit Hulfe dieser Formelu erkennt man leicht, dass das eigeutlich gesuclite Potential V den Werth hat: V = U -f U' + U" -j- U'" -f- -in inf. ; demi aus jenen Formelu (4.) folgt sofort % dass V auf a den Werth A, andrerseits auf ft den Werth Null hat. Zugleich erkennt man, dass die gesuchten Belegungen E a und E^ der beiden Conductoren die Werthe haben*): Ea = A a + A' c ; +A^ + - -in inf., E,, = A> + A^" + AJ + -in inf. Schlicsslich erkennt man mit Hulfe der beiden Satze (1.), (2.), *) Es bedarf wohl kaum der Bemerkung, dass die Grossen A, E die Diclitigkeiten der iii Eede stehenden Beleguugen sein sollen. 312 Neuntes Capitel. class die Reihen (6.) unter alien Umstanclen convergent sind*), und dass mithin Gleiches auch gilt YOU der Reihe (5.). Diese Murphy'sche Methode ist auf die analogen Probleme der Ebene nicht mehr amvendbar, weil daselbst die Sake (l.) ; (2.) unrichtig werden. Aus .diesera Grunde werde ich *) Ohne auf die weitere Ausfiihrnng der hier erforderlichen Argu- mentationeu mich naher einzulassen , will ich iiur zur Erleichterung derselben bemerken , dass die Belegungen A , A', A", A'", . . . sammt- lich monogen sind. Ist z. B. die gegebene Constante A positiv, KO wird auch A a auf der gegebenen Oberflache a allenthalben positiv sein [vgl. den Satz (18.) Seite 86J. Hieraus folgt weiter durch An- wendung des Satzes (1.), dass A,; auf der Fl'ache ft allenthalben negativ, sodann dass A^ auf a uberall positiv ist; u. s. w. Diese Bemerkung kann dazu dienen, um die in Betreff der Murphy'schen Methode von Lipschitz angestellten Betrachtungen (Crelle's Journal, Bd. 61, Seite 12) ein wenig zu vereinfachen. In analoger Weise , wie die Aufgabe (3.), kann man iibrigens auch die allgemeinere Aufgabe behandeln, dass das Potential V auf a be- liebig vorgeschfiebene Werthef besitzen, auf ft aber wiederum Null seiu soil. In diesem Fall sind offenbar die Belegungen A, A', A", . . . nicht mehr monogen. Doch kann man A = H + , A' = H ' + 0', A" = H " + 0", etc. etc. setzen, indem man die Zerlegung A = H -f- in solcher Weise aus- fiihrt, dass H allentJuilben positiv , und allenthalben negativ ist, sodann aber unter H ' die durch H , unter H " die durch H ' inducirte Belegung versteht, u. s. w., wahrend antlrerseits 0' die durch 0,0" die durch 0' inducirte Belegung vorstellen soil, u. s. w. Alsdann sind diese Partialbelegungen H, H', H" . . . und 0, 0', 0", . . . [zufolge des Satzes (1.)] durchweg monogen; und zwar: Hpos., H'neg. , H" pos., H'"neg. , etc. etc. neg. , ' pos. , " neg. , '" pos. , etc. etc. Mit Rucksicht auf diese Bemerkung [und mit Hu'lfe des Satzes (1.)] ergiebt sich alsdann der Convergenzbeweis in ahnlicher Weise, wie bei der vorhin behandelten einfachern Aufgabe. Wirft man also einen Blick in den schon citirten Aufsatz (Crelle's Journal, Bd. 61, Seite 12), so findet man, dass die dortigen Betrachtungen von Lipschitz, welche bei der vorhergehenden Aufgabe durch einfachere ersetzt werden konnten, im gegenwartigen Fall wirklich zur Anwendung kommeu. Dass endlich die eben behandelte Aufgabe den Weg bahnt zur Losung der noch allgemeinern Aufgabe, wo das Potential V scrwolil auf a wie auf ft beliebig vorgeschriebene Werthe besitzen soil , bedarf keiner niihern Darlegung. Combinatorische Methoclen. 313 ira gegenwartigen Uapitel eine etwas anclere Methode ent- wickeln , welche von diesem Uebelstande frei ist, namlich in ganz conformer Weise Anwenduug findet auf die Problerae des Raumes wie auf die der Ebene. Uud zwar werde ich, in Anbetracht dieser Conformitat, bei meinen Expositionen auf die Probleme der Ebene niich beschranken konneu. Sodann werde ich eine im Ganzen ahnliche Methode (oder vielmehr zwei solche Methoden) fur den Fall angeben, dass die beiden Flachen und /3 einander schneiden. Es handelt sich alsdann, falls z. B. a, und /3 KugdR&cken. sind, urn die Losung der elektrostatischen Probleme fur den von diesen beiden Kugelflachen begreuzten fo'nsewformigen Con- ductor. Aber auch hier mag es mir, der Einfachheit willeu, gestattet seiu ; mich auf die analogen Probleme der Ebene zu beschranken. I- Erste Methode. Es seien uud /3 zwei geschlossene Curven, die eine ausserhalb der andern; und zwar zerfalle die ganze unendliche Ebene ( durch a in einen innern Theil und einen aussern Theil , ebenso durch |8 in die beiden Theile /? und 2^; was angedeutet sein mag durch die Formeln: ferner sei: so dass also a/ j deujeuigen Theil der Ebene bezeichnet, wel- cher ausserhalb der beiden Curveii liegt. In Folge dieser Festsetzungeu ist oifenbar ; a/ * ein Theil von a , und ebenso auch eiii Theil von S^ . Wir denken uns auf a. und /3 irgend welche Werthe vorgeschrieben , uud stellen uns die Aufgabe, diejenige kano- nische Potentialfunction der Fldche 3: a p zu fmden, iveldie am Eunde der Fldche, d. i. auf a und /3 jene vorgeschricbenen *) Man bemerkt, dass die Indices die Eandcurven andeuten. Denn X a/i ist begrenzt von a and |J, hingegen X a nur von a, ebenso @ a nur von a; u. s. w. 314 Neimtes Capitel. Werthe besitzt. Bei Behaudlung dieser Aufgabe setzen wir voraus, dass irgend welche Methode bekannt sei zur Bildung der kanonischen. Poteutialfunctionen der einfachern Flache X a fur beliebig vorgeschriebene Grenzwerthe *) , ferner, dass eine zweite Metbode bekannt sei , um Analoges zu leisten fur die Flache 2^ . Diese zu unserer Disposition stehenden Methoden bezeichnen wir mit Wl a und 9Jfy , und die verraittelst der- selben eonstruirbaren kanonischen Functionen der Flachen Z a und Zp respective mit U und V. - - Ausserdem setzen wir voraus, dass die Curve a wirklich ausserlialb ft liege, dass also die beiden Curven Jceinen Punct gemein -haben. Disposition. Wir werden zunachst gewisse den Curven a, /3 eigeiithiimliche Constanten x ; /I, sowie auch die Be- schaffenheit der Functionen U, V (2.) zu besprecheu haben. Sodann erst kounen wir iibergehen zur Behandluug der ge- stellten Aufgabe (1.), oder vielmehr zur Behandlung einer Reihe aufeinanderfolgender Aufgabeu, von denen jene das letzte Glied ist. Die SituationSconstanten K, I. Man zerlege die Curve a in zwei Theile a' und a", von denen jeder aus be- liebig vielen einzelnen Stiicken bestehen kann, und bilde so- dann vermittelst der bekannten Methode Wl a (2.) die Function U a , d. i. diejenige kanonische Potentialfunction der Flache Za f welche auf a,' Eins, auf " Null ist. Desgleichen bilde man vermittelst jener Methode die Function U a " } welche um- gekehrt auf a" Eins, auf a' Null ist' und setze endlich: wo &, /3 zwei beliebige Puncte der Curve /3 vorstellen sollen *) Eine solche Methode wurde z. B. die Metliode des arithmetischen Mittels sein, falls die Randcurve a der Flache Z a zweiten Ranges und keine zweisternige ist; vgl. (77.) Seite 301. -- Uebrigens werdeu wir auch in diesem Capitel, obenso wie fr fiber, stets voraussetzen , dass die vorgeschriebetien Grenziverthe keine anderen Unstetigkeiten liaben als solche, die in einzelnen Differenzpuncten bestehen. **) Unter U"' und U" siud die Werthe der Functionen U a ' und U a in & und ^, d. i. in. zwei beliebigcn Puncten der Curve & zu ver- gtehen. Pass hierbei der Buchstabe in zwei verschiedenen Bedeu- Combinatorische Methoden. 315 Alsdann ist uach der dritten Eigenschaft der kanonischen Fuiictionen (vgl. Seite 293 und 304): <^ TJb <^ 1 , *) o <: u tt i <, i , uud folglich: i>clo! Von besonderer Wichtigkeit fiir uusere Zwecke ist die Frage, ob 77 seine untere Grenze, die 0, wirklich erreidien kann. Nach (4.), (5.) ist 17 eiue Summe von zwei positive*), Gliedern , zuin Nullwerden von rj also erforderlich , dass diese Glieder einzeln Verschwinden. Nun ist aber zum Verschwinden des Gliedes U" erforderlich, dass a' = sei**), ebenso zum Verschwiuden des Gliedes Up erforderlich, dass " = 0sei; also zum Verschwinden von rj erforderlich, dass gleiclizeitig a' = und " = sei, was offenbar immoglich. Folglich kann t] seine untere Grenze, die 0, niemals erreichen, so dass also den Formelri (6.) die strengere Gestalt zukommt: o ^ 0. Um die Hauptsache zusammenzufasseu: Zerlegt man die % tungen figurirt, kann kein Missverstandniss bewirken. In ahnlicher Weise ist ja friiher auch z. B. der Buchstabe a in verschiedenen Be- deutungen gebraucht, indern ein variabler Punct der Curve e bald mit s, bald mit a selber bezeichnet wurde. *) Das strengere Zeichen < ist in den Forrneln (5.) unstatthaft. Denn die Theile a', a" sind ganz beliebig, so dass also z. B. a' = sein kann; alsdann aber wurde U a ebenfalls =0 sein. **) Die beiclen Curven a und |3 sollen [nach (3 )] keinen Punct ge- mein haben. Folglich wird z. B. der auf gelegene Punct & von alien Puncten der Curve a durch irgend welche (wenn auch noch so kleine) Zwischenraume getrenut seiu. Zufolge der dritten Eigenschaft der kanonischen Fuiictionen findet daher, wenn a' von Null verschieden ist, stets die Formel statt: die Zeichen genommen in sensu rigoroso. So lange also a' von Null vcrschieden ist, kann U"' niemals verschwindeu. Mit anderen Worteu: Ein solches Verschwiuden wird nur daun moglich sein, wcnu a' = ist. W. z. z. w. 316 Nenntes Capitel. Curve cc in zwci Tlieile a' und a" (von deuen jeder aus be- liebig vielen einzelnen Stiicken bestehen kann), und ver- steht man unter b, ft zwei auf der Curve ft frci betvegliche Puncte, so wird die Grb'sse variircn mit der Art und Weise jener Zerlegung , sowie atich mit der Lage der Puncte b, ft, dabei abcr stets der Formel unterworfen bleiben: 9. < g < 1. (sic!) Was von der Variablen gilt, gilt notliwendig aucli vonjedem Specialwertli derselben. Bezeiclmet man also den Maximal- wertli derselben mit x, so ergiebt sicli: 10- <; <; x < 1 . (sic!) Dieses x ist eine den beiden Curven a, ft eigenthumliche Con- stante, und mag etwa die Situationsconstante von ft in Bezug auf a lieissen. In analoger Weise wird umgekehrt die Situationscon- 1 1- stante von a in Bezug auf ft definirt werden; sie mag K lieissen. Ueber die Functionen U, V (2.). - - Man denke sicli auf der Curve a irgend welche Werthe f vorgeschrieben, und vermittelst der bekaunteu Methode $R (2.) diejenige kano- nische Potentialf unction der Flache T gebildet, welche am Rande der Flache, d. i. auf a jene vorgeschriebenen Werthe f besitzt. Urn diese Function 12. U = Ifcc , f naher zu untersuchen, zerlege man die Curve a in zwei Theile ' und a", und zwar in solcher Art, dass die zuge- horigen f, namlich /" und f" den Relationen eiitsprechen : 13 ' & I r I #,' wo Df=G K die Schwankung von f, und M =^(G-\-K) sein soil. Alsdann ist*) nach der vierten Eigeuschaft der kano- uischen Fuuctionen: U = U a '' f ' -f- U a "' f ", also z. B. aucli: wo ft eiu beliebiger Punct der Curve ft seiu soil. Was die *) Man beachte in diesem Capitel stets die Note Seite 309. Combiuatorische Methoden. 317 beiden Glieder rechts betrifft, so ist nach der dritten Eigen- schaft der kanonischen Functionen: i oder mit Riicksicht auf die vierte Eigenschaft: oder, was dasselbe: u;'' f '- Dieser Form el, welche die f und ihr Minimum K betrifft, wird, wie leicht zu iiberseheu, eine audere zur Seite stehen, welche die /" uiid ihr Maximum M (13.) betrifft, und so lautet: Durch Zusammenfassung beider Formelu erhalt man: KUf ^ U?' f> "") -(G-M) Uf , n " U t1 ^ K(U; +U?) + (M~ K} Uf , oder, weil (G M] = (M - K) = { (G K} ist, und mit Riicksicht auf bekamite Eigenschafteu der kanouischen Func- tion en**): *) Die Anwendung des rigorosen Zeichens > ist hier imstatthaft, so lange iiber die f keine speciellere Voraussetzung vorliegt. Denn sind z. B. diese f constant, etwa = C, so wird /'' 7i = 0, so dass also in diescm Fall die Function U a ' } " ~ A allenthalben Null sein wvirde. **) Es ist namlicli nacli der dritten Eigeuschaft : - } Seite 305> 318 Neuntes Capitel. also a fortiori: Up< G, 20. Up ^ K. In all' diesen Forraelu bezeichnet ft einen Iclieligen Punct der Curve ft . Befindet sich nun der kleinste der Werthe Up in /3 07 und der grosste derselben in /3, , so ist die soge- 21. nannte SchwanJmng D Up = Up L Up a ; und hieraus folgt, wenn man 77^, durch die erste, andrerseits Up a durch die sweitc der Formeln (19.) ausdruckt: D Up <: (a - K] [i - i (#;; + cj,")] , also mit Riicksicht auf (8.), (9.), (10.): 23. DUp < (G - K}x. Setzen wir schliesslich Df oder (was dasselbe) Df a statt G K , so gelangen wir durch (20.), (23.) zu dem Satz, doss die von uns betrachtete der Fldche H a cntsprccJicnde kano- nische Function .a U = U a >s auf der Curve ($ den Formeln entspriclit: D Up in Erstreckung von Df a , DUp ^ (D/a), wo x einen dchten Bruch, ndmlich die Situationsconstante von ft in Bezug auf a vorstellt [vgl. (10.)]. Und denken wir uns andrerseits auf /3 (statt auf a) irgend welche Werthe f vorgeschrieben , so wird sich offcnbar fur die der Fldche Xp entsprechende kanonische Function 25. a V = VP'f der analoge Satz ergcben: D V a in Erstreckung von Dfp } wo A die Situationsconstante von K in Bczuy auf /3 ist [vgl. (11.)]. Erste Aufgabe. Es soil eine Ttanonisclie.Potentialfundion der Fldche tap ermittelt tvcrden, ivelchc cincrseits auf K von den dasclbst vorgcschriebcnen Wcrthcn f nur durch eine unlc- stimmte additive Constantc sich untersclicidc.t , innl /rclihr andrerseits auf ft vcrschwindct. Wir haben die kanonischen Potentialfunctionen der Combinatorische Methoden. 319 Flache mit U bezeichnet (2.). Hieraus folgt, nach der fiinften Eigenschaft, dass tliese U zugleich auch kauonische Potentialfunctioneii fur jeden Theil von also z. B. fur I r(A? sind. Analoges gilt von den F. Bildet man also verrnittelst der bekaunteii Methoden 9)t a und 3)fy (2.) die aufeinauder folgenden Functionen: m = * V ', 27. und setzt man: so 'sind all' diese Functionen y, =f,,-^" +l> , 4"' = - Fur ein sehr grosses n wird daher % (n) die approximative Lo- suny der gestellteu Aufgabe sein, falls sich nur nachweisen lasst, dass ^ 2n + 1) mit wachsendem n gegeu eine Constante convergirt. Bringt man die Satze (24. a, b) und (25. a, b) auf die Functionen (27.), und zwar zunachst auf die Functionen erstcr Zeile in Anwendung, so folgt: Da < und hieraus durch Elimination von Depp: Dcpa in Erstr. von Df a , 320 Ncnntes Capitel. Analoge Resujt'ate ergeben sich fiir die Functionen (27.) sweitcr Zeile, u. s. w. ; und man gelangt daher /u der Tabelle: Dy a ' in Erstr. von Df a , D

= ^ 2ra + 2 . Aus den Formeln (31.), (32.) erkennt man, dass die Schwan- kuugen Df a , D(p a , Dcp a '", Dcp^, . . . . sammtlich in einander geschachtelt sind, ferner, dass die Schwankung Dcp^ n + l ) niit wachsendem n zu Null convergirt, also schliesslich , dass die Function (33.) mit wachsendem n gegen eine bestinimte, in Erstreckung des Intervalls Df a gelegene Constante c con- vergirt*): 34. tp( ) = C . Hiermit ist dargethan, dass die Function %^ (28.), (30.) in der That eine approximative Losung unserer Aufgabe sein wird, falls man uur n sehr gross macht. Zugleich entsteht die Vermuthung, dass Die strenge Losung der Aufgabe durch # = X (oc) , nara- lich durch die Reihe 35. i = (cp y'} -f- (S" + 1) 37.b 4"> ~o = o, die gewiinschte Auskunft zu erhalten, kehren wir zuriick zu den Formeln (31.), (32.), (33.). Aus diesen folgt sofort**): abs (q>(* + *P + _ g>(S* + l)) ^ (Df a )(xl}+ 1 , 38. wo p eine beliebige positive Zahl ist. Hieraus folgt weiter fiir p = oo , mit Riicksicht auf (34.) : abs (c 9>~+ 1 >) ^ (Dfa) (x A)"* 1 , 39. und audrerseits fiir p = 1 : abs ( < 2/1 - +1) ) < (DfaK**)* +1 > 40 - oder rait Riicksicht auf (33.): Ausserdem ist, wie unmittelbar aus (29.) ersichtlich: abs ( (2 "+ 2) ) < (JD f tt } (% ty n + 1 fur die Gesammtheit der . 42 Ebenso wie diese Formel (42.) das erste Glied der uneudlichen Reihe (37. a) betrifft, ebenso gelten offenbar analoge Formeln fiir das zweite Glied, fiir das dritte, u. s. w. Und durch An- wendung all' dieser Formeln gelangt man hinsichtlich jenfcr * Reihe oder (was dasselbe) hinsichtlich des Ausdrucks %W % zu folgeudem Resultat: abs (yW y) < (Dfa) ^^ fu>r die Gesammtheit der t . o.a .'*' A// - - \ J ^ /, H: ) Die Formel (37. a) folgt aus (28.) und (35.). Andrerseits ergeben sich (37. b . c) direct aus (30.). **) In der That ist die Schlussfblgerung, welche von den Formeln (31.), (32.) zur Formel (38.) hinleitet, eine iiusserst einfache. Wir baton dieselbe fruher (Seite 187) miher dargelegt. Neumann, Potential. 322 Neuntes Capitel. Ferner folgt aus (37. b, c) mit Riicksicht auf (39.): 43. b abs (%W (f a C)) ^J (Df'a) ( x A) n + l fiir die Gesammtheit der a } 43. c abs (yL") 0) == fur die Gesammtheit der . Somit erkennen wir, dass die in (37. a, b, c) genannten An- forderungen wirklich erfiillt sind, und dass also in der That 1 die strenge Lb'sung der Aufgabe ist.. Um die Hauptsache zusarnmenzufassen : Bildet man, von den vorgeschriebenen f a aus, vermittelst der bckannten Me- fhoden -JJla, -JJfy (2.) die aufeinander folgenden Functionen q>, y>', cp", cp'" } .... (27.), so wird die aus diesen Functionen zusammengesetzte Reihe 44 - I = (

" 323 wo -f- oo ein positives Unendlich vorstellt, zufolge (48.). Auch bemerkt man, dass die drei Functionen W, VP< w uiid F nicht nur kauonische Potentialfunctioneu der Fliiche 1 a/ ?, sonderu ebenso auch kanonische Potentialfunctionen der- jenigen neuen Flache * ( * sind, welche aus ^ a(i entsteht, sobald man die Curve a zu einer uuendlich kleinen urn in beschriebenen Kreisliuie x zusammenschrumpfen Hisst. Nach der dritten Eigenscbaft der kauouischeu Functionen fiudet daber fiir jeden innerhalb Z x p gelegenen Punct, z. B. fiir jeclen Punct a die Forme! statt: & > F a > K, 61 . die Zeicheu genommen in sensu rigoroso, wo G deii grossten der Werthe F X) Fp, namlich den grossten der am Rande der Flache x/ 9 gelegenen Werthe vorstellt, wahrend K den kleinsteu derselben bezeichnet. Ein Blick auf die Formeln (50.) giebt uns eine deutliche Vorstellung fiber diese Werthe Y'' x , F*, und zeigt uns, dass Cr eine ungehcuer grosse positive Zald, und K gleich Null ist. Soniit folgt aus (51.): + oo > F a > , 52. die /eichen genommen in sensu rigoroso. Schliesslich folgt, um die Hauptsache herauszuheben , aus (50.) und (52.): F > 0, (sic!) F ? =0. M. Denken wir uus nun auf Grund der Randwerthe F a die Functionen O, 0', 0", .... X gebildet, genau in derselben Weise, wie vorhin [vgl. den Satz (44.), (45.)] auf Grund der Randwerthe f a die Functionen tp, (sic!) 56- unterworfen ist. Bilden wir nun schliesslich die Differenz: A = F - X , 57. 21* 58. freuntes Capitel. so wird A, ebenso wie F, X, eiiie kanonische Potential- function der Flache Zap sein, und zugleich deu aus (53.), (55.) sich ergebenden Formeln: entsprechen. Folglich reprcisentirt ^ die Losung der gestellten Aufgabe (47.). Bemerkung. -- Eingedenk der zweiten Eigenschaft der kauonischen Functionen, erkennt man aus (58.), dass die Function A auf der Flache Zap allenthalben verschwinden wiirde, falls zufalliger Weise (7=0 sein sollte, und dass alsdaun die gefundene Losung ^- gleich , mithin illusorisch sein wiirde. Doch kann ein soldier Zufall, wie durch (56.) constatirt ist, niemals eintreten. Dritte Aufgabe. Es soil diejenige kanonische Potential- ad. function der Flache Zap ermittelt werden, welche auf a. beliebig vorgeschriebene WertTie f a besitzt, und auf fi Null ist. Die schon gebildeteii kanonischen Poteutialfunctioneii % und A der Flache Z a p besitzeu nach (45.) uud (58.) die Grenzwerthe : %**=fa c, Z/? = A=(7, A^^O. Setzt man also: co. Q = % + C c & , so wird Q die Grenzwerthe haben: Gl. Q = fa , ~ Qp = , folglich die Losung der gestellten Aufgabe (59.) seiu. Vierte Aufgabe. Es soil diejenige kanonische Potenticil- c2. function der Flache Z a p ermittelt werden, welche auf a be- liebig vorgeschriebene Werthe f a , und andrerseits auf ft ebcn- falls beliebig vorgeschriebene Werthe fp bcsitzt. Wir haben soeben diejenige kanonische Potentialfunction Q (60.) der Flache a/ ? gebildet, welche auf a die Werthe f a hat, uud auf /3 verschwindct. In analoger Weise kouneu 63. Avir offenbar eine kanonische Potentialfuuction Q' der Flache Zap construiren, welche umgekehrt auf a verschwindet , hin- Combinatorische Methoden. 325 gegen auf ft die daselbst vorgeschriebeuen Werthe fp hat. Solches ausgefuhrt gedacht, wird offeubar Q -(- Q' die Lo- suny der gestellteu Aufgabe sein. Allgemeinere Aufgaben. In ganz analoger Weise kaun eine von zwei Curven a und ft begrenzte ringformige Fliiche Z a p behandelt werden. In diesem Fall ist ; wenn den aussern, ft den innern Rand vorstellt, fiir Z a diejenige Fliiche zu nehmen, in welche Z a p durch ein allmahliches Zusammenschrumpfen und schliessliches Verschwinden von ft iibergehen wiirde, andrerseits fiir Zp diejenige, in welche Zap durch fortgesetzte Erweiterung und schliessliches Uii- sichtbarwerden*) von sich verwandeln wiirde. Ganz analoge Betrachtungen sind aber auch auf solche Flachen auwendbar, die von drei, vier, beliebig viden Curveu l^egrenzt werden. Um den allgemeinsten Fall zur Sprache zu bringeu, denke man sich eiue von n Curven begrenzte Fliiche gegeben , und bezeichne irgeud eine Anzahl dieser Curven mit , die noch ubrig bleibende Anzahl mit ft, und die Flache selber mit Z a p Lasst man diese Flache Zap fiber die Curven ft hinaus mehr und uiehr anwachsen, so entsteht schliesslich eine Flache Z a , welche nur noch von den a, be- grenzt ist. Und lasst man audrerseits Zap iiber die hinaus mehr uud mehr anwachsen ; so wird schliesslich eine gewisse Flache p eutstehen, die nur iioch von den ft begrenzt ist Von diesen Flacheu Z a p , Z a , Zp gilt alsdauii Analoges wie friiher. In der That erkennt man leicht, dass man die kano- nisclien Potcntialfundiunen der Flache Z a p fur vorgesdiricbene Grenziverthc aufzustdlcn vermag, sobald man nur im Bcsite irgend wclchcr Methoden ist zur Losung der cntsprcchendcn Aufgaben fiir jcde der leiden Flachcn Z a und Zp. Aller- dings ist dabei, ahulich wie friiher, die Voraussetzung er- forderlich, dass die Curven a von den Curven ft vollstaudig getrennt seien, dass also sammtliche Puncte des Curveu- complexes a von denen des Curveucomplexes ft durch irgeud welche Zwischenriiume geschieden sind. *) Ich verstehe hier unter deui Unsichtbarvrcrden der Curve K ihr VerBchwinden in uneudlicher Feme. 326 Neuntes Capitel. 2. Zweite Methode. Es seien a, /3, y, 8 vier von g nach h laufende , eiiiantler nicht schneidende Curven. Wir bezeiclmen die von a -(- y umschlossene Flache mit 51, die von /3 -f- 8 umschlossene mit 33 , endlich die von a -f- /3 umschlos- y, sene mit a/ j, und stellen uns die Aufgabe , diejenige Jcanonische Potentialfunction der Flache Zap su finden, welche am Rande der- selben, d. i. auf a -f- /3 vorge- schriebene Werthe besitzt. Dabei setzen wir voraus, dass irgend welche Methode bekannt sei zur Bildung der kauo- nischen Potentialfunctionen der Flache 5t fur beliebig vorge- schriebene Grenzwerthe*); ferner, dass eiue zweite Methode bekannt sei, um Aualoges zu leisten fur die Flache 23. Diese Methoden bezeichnen wir respective mit -Jfta und ?)c^ , und die vermittelst derselben construirbaren kanonischen Functionen der Flachen 51 und ( Q respective mit U und V. -- Ausser- dem setzen wir voraus, dass die Curven K, (5, y, d in den Puncten g, Ji einander nicht beriihren, also daselbst Winkel bilden, die sammtlich von Null verschieden sind**). Vorlauflge Bemerkungen. Was die vier Curven a } /3 ; y, d betrifift, so mogeu z. B. bei der Curve /3 folgende Bezeich- uungen eingefu'hrt werden : (/) ftg W y h V ft Es mogen namlich alle Puncte der Curve, welche von den beiden Endpuncten durch irgend welche, wenn auch uoch so kleine, Entfemungen getrennt sind, durch ein eingcklammertcs *) Eine solche Methode wird z. B. die Methode des arithmetischen Mittels sein, falls die Randcurve + y der Flache 2( zweiten Ranges und keine zweisternige ist. **) Im Uebrigen sind diese Winkel beliebig. Und es ist also z. B. fiir unsere Betrachtungen vollig gleichgiiltig , ob die Summe der bei g vorhandenen Winkel ( also mit Riicksicht auf (7.): a < Uf 9 < 1 . In analoger Weise jerhalt man: 9 - < Uj h < 1 , also durch Zusammenfassuug der Formeln (6.), (8.), (9.) und mit Riicksicht auf die in (4.) festgesetzteCollectivbezeichnung*): < U p < 1 , immer die Zeichen genommen in sensu riyoroso. Diese Formel (10.) gilt' fur sammtliche Puncte /3, also z. B. auch fiir clen- jeuigeu speciellen Punct /3, in welchem U^ sein Maximum hat. Bezeichnet man also dieses Maximum mit x, so er- giebt sich: n. < Up < X < I (sic!). In analoger Weise wird man offenbar, was die kano- uischen Potentialfunctionen V der Flache 3$ betrifft, eine Formel erhalten, die so lautet: 12. < V ? a < A < 1 (sic!). Die in solcher Weise definirten Coustanten x, A liangen oflfenbar, ebenso wie die Functionen U a , V? , nur von den geomctrisclien Verhaltnissen ab, und mogen die Situations- constanten der gegebenen Curven heissen. ITeber die Functionen U, V (2.). Man denke sich vermittelst der bekamiteii Methode s l)t (2.) die Function is. U=U>f gebildet, d. i. diejenige kanonische Potentialfunction der Flache 21, welche auf beliebig vorgeschriebene Werthe /' oder / besitzt, und auf y verschwindet. Um die Function (13.) naher zu untersuchen, setze man: K = Min f tt , G = Max f a , M= Max (abs /) , **) *) Nach (4.) 1st namlich |3 Collcctivbezeichniuig f'iir samtutliche Puncte (|3), $g und (Ih. **) Wir bezeichuen die auf a vorgeschriebenen Werthe bald mit f, bald genauer mit f a . Combinatorische Methoden. 329 mid betraclite zuvorderst die Function U a > G ~S. Fiir diese ergiebt sich aus der dritten Eigensehaft der kanonischeu Fuiictioiien : ^ Up' ~ f , [vgl. (11.) Seite 304]; mid hieraus folgt mit Riicksicht auf die vierte Eigeiischaf't: 0^ GUp- U^ f , mi thin: U?*'^ GU a p. In aiialoger Weise ergiebt sich oflenbar: uud clurch Zusammenfassung der beiden letzten Formelu: KU a p ^ Up tf < GUp . Hieraus folgt, weil Up nach (11.) stets positiv ist, mid K, G zwischen M imd -j- M (14.) gelegen sind: also mit nochuialiger Rucksicht auf (11.): oder, falls man fiir M seine eigentliche Bedeutung (14.) sub- stituirt : k abs Up f = (9> - 9O + (9" ~ O - ' so sind all' diese Functionen

= fa , . 9ft = - *P Fiir ein sehr grosses w wurde also ^l re ) die approximative L6- sung der gestellten Aufgabe (18.) darstellen, wenn sich zeigen liesse, dass 9?^"+ 1) mit wachsendem n gegen Null convergirt. Nun entsprechen, um hierauf naher einzugehen, die Functionen y, y>' (19.) den Hulfssatzen (15.), (17.), d. i. den Formeln : abs tpp ^ x Max (abs /") , abs qp <^ A Max (abs tpp) , woraus durch Elimination von qp^ folgt: abs g? ^ x A Max (abs /") . In aiialoger Weise ergiebt sich: abs fpa" <. uk Max (abs qp) , abs 99^ ) die strenge Losung ist, oder (anders ausgedruckt) , dass die Eeihe % = (

') + (9" ~ 9'") + in inf- eine lianonisclie Potentialfunction der Flache . ist mit den Gremwerthen : fa=f<*> Xft = . 26. Bemerkung. -- Die Functionen ad -- i cy ,n ,r 03 27 = (pay ; *) Es folgt namlich aus (23.), dass qD^ 2n + 1) mit wachsendem zu Null convergirt. Gleiches gilt daher, mit Riicksicht auf (21.), auch von f < ntial function der Flaclie ~Z a p, tvelchc auf a. -f- /5 bclieliy vorgcschriebene Werthe f besitzt. Man erkermt sofort, dass diese Aufgabe auf die vorber- gebende (18.) reducirbar ist. Die Reduction ist analog der in (63.) Seite 324 angegebenen. Allgemeinere Aufgabe. - - Es sei X eine in der Ebene beliebig gegebene, von beliebig vielen Curven (J, tf' ; (?", . . . begrenzte Fliicbe. Man denke sich eiuige dieser Curven durch irgeud welcbe Puncte in Segmente zerlegt, so dass alsdaim die Begreuzung von I ilieils aus gesMosserien } tbeils aus un- 35. 3C. 37. 38. 39. 40. 41. 334 Neuntes Capitel. geschlosscnen Curven besteht. All' diese Curven bringe man nach beliebiger Auswahl in zwei Gruppen, inxlem man die einen mit , die anderen mit /3, und X selber mit K/ j be- zeichnet. Man lasse nun diese Flache X ay ? tiber die Curven ft hinaus in beliebiger Weise anwachsen, bezeichne die in sol- dier Weise erweiterte Flache mit 31, und die bei dieser an Stelle der /3 vorhandeue Begrenzung mit y\ so dass also der Hand voii % a p durch a -}- /3, der Rand von 3( hingegen durch a -J- y reprasentirt ist. In analoger Weise mag eine Fliiche 33 entstandeu gedacht werden durch ein beliebiges Anwachseu der Flache % a p iiber die K hinaus; und der Rand von 33 be- zeichnet sein mit /3 -f- 8. Von diesen drei Flacheu a/ ?, 31, 33 gilt alsdann Aehn- liches wie von den spccielleren Flachen X a/ y, 3t, iB, deuen unsere vorhergehenden Betrachtungeii gewidmet waren. In der That erkennt man leicht, dass man die Jcanonisclicn 4-2. Potentialfundionen der Flache Z a p fur vorgesdtriebene Grcnz- wertke aufsustellen vermay, sobald man nur im Besitz irgend ivelcher Methoden ist zur Losuny der entsprechenden Auf- gaben fur die. Flachen 31 und 33 . Allerdings ist dabei, ilhn- lich wie friiher, die Voraussetzung erforderlich , dass die Curven a, ft, j>, d iiberall, wo sie zusammenstossen, einander nicht beriihren. 3. Modification der zweiten Methode. Die im vorhergehenden exponirte Methode ist eiuer gewissen Modification fahig, durch welche sie an Einfachheit gewinnt. Man denke sich von Neuem die Aufgabe (41.) vorgelegt, und bilde, von den vorgeschriebenen f (d. i. f a und /]*) aus, die aufeinander folgenden Functionen: 43. f- v-v -f Cotnbinatorische Methoden. 335 vermittelst der bekannten Methoden Wi a und $)fy (2.). Als- dann ist offeubar: oder, was dasselbe: f H -1>a = l(f tt - ?*'). Hieraus folgt mit Riicksicht auf (17.): abs (f a - #) <; [Max (abs f a ) -f A Max (abs /] , oder, falls man 6 als Collectivbezeicbmmg fiir , /3 wjihlt: abs (f a - D ^ 1L Max (abs f a ) . In ahnlicher Weise erhalt man: abs (/> - ty) < -IJL Max (abs f a ) , also beide Fornieln zusammeugefasst : abs (f, - 4>a) < ^ Max (abs f ) , wo fi die grossie der Constanten x, yl vorstellt. Ebenso \\ ie diese Relation (44. a) aus der erstcn Formel (43.) ent- standen ist ; ebenso wird man auf Grund der zweiten Formel (43.) folgende Relation erhalten: abs (f a - 4> a - v a ') ^ il? Max (abs (f a 1> )) , und auf Grund der dritten Formel (43.) folgende: abs (f a il> a fa' $"} < i ^ Max (abs (f a il> a *l>a)) , u. s. w. u. s. w. Durch Multiplication dieser Relationen (44. a, b, c, . . .) folgt sofort: abs (f, - ^ ff - t,' . . . - ^>) ^ l -- B+1 Max ( abs A) wo - t-^-, ebenso wie x, A, ft, ein achter Brucli ist. 8 man also: &() = ^ -f iff' -f- #" + ^ n > , so mnZ (fiir ein sehr grosses w) -S 1 ^) einc approximative Losung der gcstdlten Aiifyale (41.) sw. t/wr7 folglich wird, 44 a 44. Neuntea Capitel. wie sich durch Auwendung eines bekaniiteu Satzes (Seite 306) leicht ergiebt, 47 9- = ij> -f- #' + ^" + ' ' ' ' in inf - die strenge Losung sein. 4. Andeutung einer dritten Methode. Es mogen g, li, a, /3, y, tf, 31, 93, a/ * genau die- selben Bedeutungen haben wie friiher (Seite 326); ausserdem sei Z Y j die von y -+- d unischlos- sene Flache. - - Wir stelleu uns die Aufgabe, diejenige Jcanonische Potentialfunction der Flache 3. Y 3 zu finden, welche am Rande 'der- selben, d. i. auf y -\- 6 vorge- schriebene Werthe besitzt. Dabei setzen wir voraus, dass irgend welche Methode bekannt sei zur Losung der aualogcn Auf- gabe fur die Flache 31, und dass irgend welche zweite Me- thode bekannt sei zur Losung derselben fiir die Flache 23. Diese 2. Methoden bezeiclmen wir resp. mit 3ft a und 9ft^, und die vermittelst derselben construirbaren kanonischen Functiouen der Flachen 3( und 23 resp. mit U und V. Auch setzeu ,wir voraus, dass die Curveu a, /3, y , d in den Puncten g, li einander nicht beriihren, also daselbst Winkel bilden, die 3. sammtlich von Nidi verschicden sind. Da diese Voraussetzungeu mit unseren friiheren Voraus- setzuugen (Seite 326) ideritisch sind, so ergebeu sich, genau wie damals, die Formeln (vgl. Seite 329): 4 . abs Vf f < x. Max (abs /") , 5. abs V?' f < A Max (abs fy), wo die f (d. i. f a und fp) beliebig vorgeschriebene Werthe bezeiclmen, wahrend x, A zwei den Curven , /3, y } d eigenthiiuiliche Constantcn vorstellen, deren jede ein adder Bruch jst. Urn nun auf die Losung der gestellten Aufgabe (1.) naher einzugehen , bezeichue man -die auf y-f- # vorge- Combinatorische Methoden. 337 schriebenen Werthe init f (oder genauer mit f Y , /j) , uncl bilde von diesen f aus, vermittelst der bekannten Methoden "))(. tt , yip (2.) ; die aufeiuanderfolgenden Functionen: ^ =UY,f+U a > F , 1> = F J '/+ F<*''', ^' = tf -\- U a > v-

V'-V' } iff" = if)' -}- V?' V' V, wo die F (d. i. F a und JF 1 ^) vollkommen willkiirlich gewahlt sein mogeu, also, falls es uns beliebt, auch Null sein kounen. Aus diesen Foruieln (6.) folgt so fort:

=

a -

)<;* Max [abs (t^ a ?>)] , nnd sodann durch Zusamnienfassung beider Formel n : abs ((pa ipa) ^ f* Max [abs (tp a il> )] , wo (7 als Collectivbezeichimng fur , |3 fungirt, und ^ die Neumann, Potential. 338 Neuntes Capitel. Combinatorische Methoden. grosste der Constauten x, A vorstellt. - - Analog mit (11. a) wird sich offenbar ergeben: u . b abs ((pa - tya") < ^ Max [abs (cp a - - ^)], n.c abs ((fa" - il>a") < f* ' Max [abs (

- 1>J\ . Das gestellte Problem (1.) wird zufolge (8.) seine Losung finden durch die Functionen 13 g>(") und ^(*> , falls sich nur nachweisen lasst, dass dieselben durch Ver- grosserung von n unter eiuauder identisch gemacht werden konnen in Erstreckuug des den beiden Flachen 91 und $$ ge- meinsamen Gebietes Zap Dass solches aber wirklich der Fall sei, folgt aus der Formel (12.) Bemerkung. Die hier angewendete Methode kanu leicht auf allgemeinere Aufgaben ausgedehnt werden , vgl. die analogen Betrachtungeu auf Seite 333. Bemerkung. - - Die in diesem angedeutete Methode diirfte, wenn auch nicht der Begrundung, so doch den For- meln nach, im Wesentlichen identisch sein mit der von Schwarz mitgetheilten Methode [Programm der Polyt. Schule in Zurich 1869/70, vgl. auch Borchardt's Journal, Bd. 70, Seite 120]. Anhaiig. Er welter ung einiger Untersuchungen von Green und Thomson. Der im dritten Capitel besprochene erweiterte Gauss' sche Sate (vgl. Seite 72 und 98) betrifft die sogenannte natiirliche Belegung (j>) eines gegefcenen Conductors. In analoger Weise lassen sich, wie ich gegenwartig zeigen werde, analoge Satze aufstelleu fur die durch einen gegebenen Massenpunct indu- cirten Belegungen (if) und (#), wo (17) diejenige Belegung bezeichneii soil, welche entsteht, wenn der Conductor zur Erde abgeleitet, andrerseits (#) diejenige, welche entsteht, wenn der Conductor isolirt und mit der Ladung Null ver- sehen ist. Diese Satze stehen in unmittelbarer Beziehung zu bekannten Untersuchungen von Green. Sodaim werde ich iibeTgehen zur Thomson' schen Methode der sphcirischen Spiegelung, oder (was dasselbe ist) zur Me- thode der red/broken Radien, und zeigen, dass dieselbe nicht nur fur das Newton'sche Potential im Raume , sondern ebenso anch fiir das Logarithmische Potential in der Ebene zu wich- tigen Satzen hinleitet. Die Green'sche Belegung und die Nullbelegung, gebildet mit Bezug auf einen aussern Punct. . Bezeichnungen. Es sei 6 eiue geschlossene Curve oder Flachc von beliebiger Beschaffeuheit. Wir bezeichnen die auf G gelegenen Puncte mit G oder s, desgleichen die Ele- mente von G mit dG oder ds, ferner die Puncte aitsscrhalb G mit a oder a, encllich die Puucte innerhalb G mit i oderj. 22* 340 Anhang. Ausserdem sei i irgend ein specieller unter den Puncten ?, etwa cler Mittelpund von 6, falls ein solcher vorhanden ist*). Die natiirliche Belegung. - - Mit diesem Nanien liabeu wir diejeuige Belegung von 6 bezeichnet, deren Gesammt- masse Eins, und deren Potential auf innere Puncte constant ist (Seite 85 und 107). Auch haben wir die Dichtigkeit dieser Belegung mit y, ihr constantes Potential fur innere Puncte mit I", uud ihr Potential auf aussere Puncte mit TT a benannt. Folglich ist: Die letzte dieser Formeln nimmt, falls man a ins Unendliche riicken lasst, die Gestalt an: (fd*) , Seite 101 ergiebt. Ueber die inducirten Belegungen. 341 also mit Riicksicht auf (6.): Gf = T ai und G" a =T aa . Foruer ist nach dem erweiterteii Gauss'scheu Satz [vgl (3.) Seite 99]: rM also uach (8.): rtA* oder, mit Riickblick auf (3.): rM a = n. *) Was ferner G" betrifTt , so ergiebt sich aus (6.) , falls mail i uach s (d. i. uach irgend eineni Puiicte der Curve oder Flache (?) riicken lasst: oder, falls man deu Punct mit irgeud welchem auderu iiussern Ptincte a, und gleichzeitig 6 mit s vertauscht: Dar.ch Substitution dieses Werthes vou T na in die dritte Formel (7.) folgt: *) Zufolge friihercr Untersuchungen (Seite 86) istlurjede beliebige Lage des Puuctcs K: Die Werthc von f und TT^ sind aber in der Ebene und im Eaume von sehr verscbiedenem Charakter. Es ist namlich, ebenfalls auf Grund friiherer Untersuchungen (Seite 87 und 88): in der Ebene: im Equine: f bald positiv, bald null, bald ue- f stets positiv und verschieden von gativ , je nach der Beschaft'euheit | Null ; und TT^ = 0. Somit gcht clcr Curve c; und TT^ = oo . die Formel (1.) fiber in T > TT a > ; II. und hieraus folgt mit Rucksicht auf die Formel (9.): 1 > M > . in. 342 Anhang. woraus ersichtlich , dass 6r" in Bezug auf a und a symmctrisch ist. Auch lasst sich die Gestalt dieser symrnetrischen Function naher angeben fur den speciellen Fall, dass einer der beiden Puucte a, K unendlich weit entfernt ist. Aus der dritten Formel (7.) folgt namlich: Cr" (JdGrjo) T ioa , fur a = oo , wo die in (2.) genannte Bedeutung hat. Das hier auf- tretende Integral fdGrj'Z ist aber uach (7.) gleich M", also nach (9.) gleich -=^; und andrerseits ist in dem hier be- trachteten Fall a = co die Grosse Ti oa , zufolge (4.), identisch mit TT a . Folglich : c\ a '*a*'a f .. 6r a = - p , fur a = oo . Durch Zusammenstellung der eben erhalteneii Resultate gewinnen die Formeln (7.) folgende Gestalt: wobei alsdann noch hinzuzufiigen ist, dass die Functioii . 6r oder 6r die Form des in (1 1.) genannten Productes auninimt, sobald einer der beiden Puncte a, K ins Uuendliche riickt. Man pflegt diese Function die Green'sche Function zu nennen. Bemerkung. - Man kann die erste und zweite der Formeln (12.) offenbar auch so schreiben: Beachtet man, dass die rechte Seite der letzten Formel [vgl. (4.)] fur a = oo in die Constante f iibergeht, so erkennt man sofort, dass der Ausdruck 14. "/= Ueber die mducirteo Belegungen. 343 nichts Anderes ist, als die Dichtigkeit y der sogenannten natiirliclien Belegung. Hieraus aber ergiebt sich, wenn man den in (14.) euthaltenen Bruch -j- durch das Integral f(d und ausserdem drei mit (32.) analoge Formeln, die von jenen nur dadurch sich unterscheideji, dass iiberall &> a , statt E a , M stehen. Die dem Punctc j entsprcctiende Null- belegung ist daher, ebenso ivie die demselben cntsprectiende Green' sclie Belegung, von soldier Art, dass das von ihr auf irgend einen Punct i ausgcilUe Potential in Bezug auf i, j symmetrisch 1st, ' 3. Die physikalischen Bedeutungen der betrachteten Belegungen. .Bedeutung von 1 ist [vgl*(29.) Seite 90]. III. Die Function &% ist von wechselndem Vorzeichen, ndmlich an einigen Stellen von a positiv, an anderen negativ ; wie sich solches unmittelbar aus dem Umstande ergiebt, dass die Gesammtmasse der Belegung 9% Null sein soil. Schliesslich sei, der Vollstandigkeit willen , daran erinnert, dass die Function y a , im Eaum ivie in der Ebene, stets positiv ist [vgl. (18.), Seite 86]. **) Ob derselbe zur Erde abgeleitet oder isolirt ist, und ob der- selbe im letztern Fall von Hause aus mit Elektricitat geladeu ist oder nicht, mag dahingestellt bleiben. Ueber die inducirten Belegungen. 349 etwa in j befindlichen elektrischen Punct von der Masse p. - Im Allgemeinen werden sich alsdann zwei elektrische Be- legungen bilderi, eine auf der innern Flache G } die audere auf der aussern Flache <>'; und nach Eintritt des Gleich- gewichtszustandes wird das von als die durcti einen Punct j von der Masse ( 1) inducirte Belegung, und Gi als das Potential dieser inducirten Belegung auf einen innern Punct i bezeichnet werden *). 4. Einige Satze, die dem erweiterten Gauss'schen Satze ahnlicli sind. Ebenso wie der erweiterte- Gauss'sche Satz (Seite 98) die natiirliche Belegung y betrifft, ebenso gelten ahnliche Satze hinsichtlich der Belegungen rj tt , 9 tt uud" ^, & . *) Durch Anwendung fruhercr Betrachtungen folgt sofort, dass I. die Function rj j a , im Eaum wie in der Ebene, stets positiv ist [vgl. (37.), Seite 96]. Hieraus und mit Riicksicht auf das bestandige Positivsein von y ff [vgl. (18.) Seite 86]. folgt weiter, dass II. die in (31.) aufgefiihrte Function E g = r} j a -\- (M \ ) y ? , im Haum wie in der Ebene, stets positiv scin u-ird, falls M>_ 1 ist. - Endlich ist zu bemerken, dass III. die Function & J a eine Function von ivcchselndem Vorzeichen ist. Diese drei Satze eutsprecheu den kurz vorher erwahnten, Note Seite 348. 350 Anhang. Es sei naeh wie vor 6 cine geschlossene Curve oder Fliiche von beliebiger Beschaffenheit; ferner sei V das Po- tential eines beliebigen Massensystems, dessen einzelne Massen- elemente theils mit m, theils mit [i bezeichnet werden rnogen, je nachdem sie ausserJialb oder innerhalb 6 liegen; dem- gemass seien die Werthe dieses Potentials V in zwei Puncten O x und 6 angedeutet durch: as. V x = Sm T mx -f- wo x einen gauz beliebigen Punct vorstellt, 6 hingegen einen auf der gegebenen Curve oder Flache liegenden. Solches festgesetzt, ergeben sich die in Rede stehenden Satze dadurch, dass man die Formel (39.) respective mit 40. y g dct, rf o d<5, & a o dG, rf a d<3, & a d und & j . -- Durch Mul- tiplication der Formel (39.) mit ^dG und Integration entstdit: fVa^lG = 2m (jT ma V a dG} + oder, mit Rucksicht auf (29.): und hieraus endlich folgt durch Subtraction der Formel (41 .) und mit Rucksicht auf (33.): so dass z. B. V a == ^^T^ a wird. Und mit Rucksicht hierauf folgt alsdann aus (41:), (42.), (43.): >> = X*n(T mJ - nj + 1> (G,j - . Wiederum konnen in diesen Formeln (44.), (45.) die auf a gelegenen Massenelemente nach Belieben zu den m oder ft gerechnet werden; denn es ist: TL = f, und nach (29.): TJ = G sj . 5. Behandlung einiger Aufgaben. Das Potential V x (38.) niinmt, falls die m = sind, mithin sammtliche Massenelemente des betrachteten Systems innerhalb, resp. auf G liegen, die Gestalt an: 40. " a dG=v tt , adG= V a MTT. Ausserdem ist nach (3.), (12.), (20.): = 352 Anhang. Mit Hulfe dieser Formeln wollen wir nun einige Aufgaben behandeln, indeni wir dabei die der gegebenen Curve oder Flache 6 eigenthiimlichen Functionen y, rf' , & a , TT , sowie auch die Constante f als bekannt voraussetzen*). Erste Aufgabe. -- Es soil ein Potential V a irgcnd wel- cher innerhalb oder auf 6 ausgtbreiteter Massen ermittclt werden, tvelclies auf 6 vorgeschriebene Werthe besitzt, also der Gleichung entspricht: 49. V a f a , wo die f a gegeben sind**}. Aus dieser Gleichung (49.) folgt durch Multiplication mit i]0d6 und Integration, mit Riicksicht auf (47.), sofort: V a=ffa1 tt a **> womit die Aufgabe gelost ist. Zweite Aufgabe. -- Es soil ein Potential V a irgend wel- cher innerJialb oder auf 6 ausgebreiteter Massen von der gegebenen Summe M ermittelt werdeft, welclies auf 6 von daselbst vorgeschriebenen. Wertlien f a nur durcli eine un- bestimmte additive Constante sich untersclieidet , also der Glei- cliung entspriclit: 51. V a + K = f a , wo K eine noch unbekannte Constante bezeiclinet***}. Aus dieser Gleichung (51.) folgt durch Multiplication mit y a d6 und Integration, mit Riicksicht auf (47.), (48.), sofort: Mr + K = ff a r a d6, mithin : 52. K= -M *) Im Grunde geuommon wird dabei nur eine Function als bekannt vorausgesetzt , d. i. -r\ a . Denn aus i\ tt ergiebt sich y vermittelst der Relation (15.); aus y ergeben sich alsdann weiter f und TT a vermittelst der Gleichungeu (3.'); und schliesslich ergiebt sich % a durch die be- kannte Formel (21.): **) Durch diese Bedingungen sind die V a , abgesehen vom sinyult'iren fall, eindeutig bestimmt, zufolge des Theorems (A. a '' s ), Seite 101. ***) Durch diese Bedingungen sind die V a jederzeit eindeutig be- stitnmt, xufolge des Theorems (A." fltl ), Seite 38. Ueber die inducirten Belegungen. 353 Andrerseits folgt aus (51.) durch Multiplication mit & a a d6 und Integration, mit Riicksicht auf (47.), (48.): (F mithiu : F Diese Formeln (52.) , (53.) geben sqwohl den Werth von V a , als auch den Werth der additiveu Constanten K. Bemerkung. Betrachtet man insbesondere den Special- fall M = 0, so folgt durch Addition der Formeln (52.), (53.): V a + K = ffo(&o + y a )dG. Diese Function ( V a -f- K} ist alsdann , abgesehen von der additiven Constante K, ein Potential irgend welcher inner- hall oder auf a ausgebreiteter Massen von der Summe Null, imd besitzt, nach (51.), auf 6 die vorgeschriebeuen Werthe f a . Folglich wird diese Function V a + K zu nennen sein *) : die den Werthen f a entsprechende kanonische Potentialfunction des Gebietes 31. 6. Weitere Aufgaben. Das Potential V x (38.) nimmt, falls die p = sind, mithin samnitliche Massenelemente des betrachteten Systems ausserhalb resp. auf 6 liegen, die Gestalt an: V x = 2mT mx ] woraus z. B. folgt: Vj = 2mT mj . Mit Rucksicht hierauf erkennt man, dass die Formeln (41.), (44.), (45.) im gegen- wilrtigen Falle ubergeheu in: Ausserdem ist nach' (3.), (29.), (34.): *_) Wenigstens wird ihr dieser Name znkommen , wenn die f auf a stetig %\n(L Auf eiue weitere Discussion fur dem Fall wtstetiger f wollen wir uns hier aber nicht einlassen. 98 Neumann, Potential. 354 Anhang. Wir wollen nun annehmen, dass die der gegebenen Curve oder Flache G eigenthiimliche Function ^ bekannt sei, urid folgende Aufgabe behandeln: Aufgabe. - Es soil ein Potential Vj irgend welclier ausserhalb resp. auf 6 ausgebreiteter Massen ermittelt werden, welches auf 6 vorgeschriebene Wcrtlic bcsitzt, also der Glei- chung entspricM: 58. V a = fa , wo die f a gegeben sind*}. Durch Multiplication dieser Gleichung (58.) mit ti^dti und Integration folgt, mit Riicksicht auf (56.), sofort: rj-fW, womit die Aufgabe gelost ist. Zweite Aufgabe. -- Eine gegebene Masse M soil auf der Curve oder Flache a in soldier Weise ausgebreitet werden, GO. dass das Potential dieser Belcgung auf 6 selber von gewissen daselbst vorgeschriebenen Werthen f a nur dwell cine unbe- stimvnte additive Constante differirt**}. Bezeichnet man das unbekannte Potential dieser Be- legung mit F, so soil also V a + K = f a sein, wo K eine unbekannte Constaute vorstellt. Durch Multiplication dieser Gleichung (61.) mit y a dG und Inte- gration folgt mit Kiicksicht auf (47.), (48.): 62. K = tAr+Jf a y a d , V a =Sf a ^dG } r i ~Jf a W, durch welche sowohl das Potential V als auch die Masse M der unbekannten Belegung sich bestimmen. 7. Die sogenannte spharische Spiegelung. Es sei gegeben eine Kugelfldclie (o, H) } d. i. eine Kugel- i. fliiche mit dem Mittelpunct o und dem Halbmesser H. Lasst man von o einen Strahl ausgeheii, und markirt man auf demselben irgend zwei der Relation**): *) Diese Aufgabe lilsst, abgesehen vom singular en fall, nur eine Losung zu. Vgl. das Theorem (#."'"), Seite 106. **) Die in Parenthese gestcllten kleinen Bnchstaben, wie (ox), (0), (x |) u. s. w. sollen die Entfcrmmgen der betreft'enden Puncte audeuten. Soniit ist z. B. (ox) = (xo). 23* 356 Anhang. (OX)(0$=H'> entsprechende Puncte x, , so heisst bekanntlich jeder von diesen beiden Puncten das Spiegelbilcl des andern in Bezug auf jene Kugelflache (o, H). Audi pflegt man die beiden Puncte kurzweg correspondircnde oder conjugirtc Puncte zu neunen. Sind zwei Paare correspoudirender Puncte x, % und y, i] gegeben, so ist nach (1.): (ox)(o%) = (oy)(oy] = H~, und folglich: oxy ~ 01}%. Aus der Aehnlichkeit dieser Dreiecke folgt sofort: (y) (oy) (oa?) . (gj) (og) (OT?) ' und hieraus folgt weiter die durcli Hire Symmetric ausge- zeichnete Formel: _ (ojc) (oy)_ Briugt man diese Formel in Anwendung auf drei Paare cor- respondirender Puncte: x, |, ferner ?/, ^ 7 und jsr ; ^, und be- zeichnet man dabei zur Abkiirzung die Entfeniungen dieser Puncte von o resp. mit X, =., Y, H, Z y Z, so ergiebt sich: (xy) _ r XT (yz) _ 1 /YZ~ **/ HZ (g,) EH ' Denkt man sich nun das Dreieck xyz unendlich kleiu, mithin das correspondirende Dreieck |^g; ebenfaljs uuendlich klein, so Avird X=r=Zund E = H=Z follich: . (fiiz) (it) ~"g) " H' woraus ersichtlich, class die Dreiecke einander ahnlich sind. e vow correspondirenden Linienelementen gcbildetcn Whtl'fl also einander gleicJi; oder anders ausgedriickt: cor- respondirende Figuren sind in ihren kleinsten Theilen einander dlinlicn. Bezeichnet man in (6.) die covrespon- direuden Lw/eweleraeute (xy), (|/) mit ds', do', so lautet jene Formel: ds' _ X 8 - a ~de' """="' wo X, ~~. die Abstande der beiden Elemente vom Puncte o Ueber die Methode der reciproken Eadien. 357 vorstelleu. Hieraus ergeben sich, rait Riicksicht auf den Satz der gleiclien Winkel (7.), weitere Formeln: ds" _ X* da" = ~ =* > dS" X^ da"' ~ = 3 ' die eine giiltig fiir zwei correspondirende JTac/ienelemente ds", da", die andere fiir zwei correspondireude liaiimelemeuie ds'", do"'. Sind also, um die Hauptsaclie zusammenzufassen, ds (n) , d<5 w zwei cinander correspondirende Elemcnte n lcr Di- mension, so ftndct die Relation statt: ds (n) _ _ (os) n de w ~ (oa) n ' ivo (os), (00) die Entfernungen der Elemente vom Puncte o bezeiclmcn. Beilauflge Bemerkung. Siud x, c zwei beliebige Puncte, uiid |, y die correspondirenden Puncte, so ist nach (3.): (xc) _ (oc) W) oder, was dasselbe: dies ist aber bekauutlich ebenfalls die Gleichuug eiiier Kugel- flache. Eincr gegebenen Kugelflache . correspondirt also stets wiederum eine Kugelflaclie*). - - Auf der Linie oc correspondirt, nach (2.), dem Puncte der unendlich feme *) Doch sind die Centra der beiden Kugelflilchen keinesvsegs cor- respondirende Puncte. Denn das Centrum der einen (11. a) liegt in c; das Centrum der anderii hingegeu ist, wie man aus (ll.b) erkennt, verschieden vom Puncte y. Sind also c, y unveranderlich gegeben, uud bewegt sich x auf der Kugelflache (xc) Const., n. a so wird, nach (10.), die gleichzeitige Bewegung von ^ der Formel entsprechen: 358 Anhang. Punct eo. Geht also die eine Kugelflaclie durch o, so wird die andere durch diesen unendlich fernen Punct gehen. Mit anderen Worten: Gelit die eine Kugelflache durch o, so ivird die andere cine Ebene scin. Zweite beilauflge Bemerkung. Die Relationen (3.), (4.) gelten auch dann noch, wenn man statt zweier correspon- dirender Puncte y , ^ zwei correspondirende Kugelflachen s, 6 nimmt; es ist namlich: (xs) _ (os) __ (ox) (l^y = - c^iy = ~ (^y ' Qgg) __ -./(ox) (os) (S) r (o|Xoo) ' nur sind in diesem Fall unter (xs), (os), (<>), (00) die Langen der von x, t,, o an die Kugelflachen gelegten Tangenten zu verstehen, jede Tangente gerechnet von ihrem Ausgangs- punct bis zum Beruhrungspunct. Seweis. Da ich fur diesen (bisher wohl noch nicht bemerkteu) Satz einen rein geometrisclien Beweis augeiiblick- lich nicht zu geben vermag, so mag eiii analytisclier Beweis dienen. Ist c [c lf c. 2 , c 3 ] der Mittelpunct*), und R der Radius der Kugelflache s, so gelten fiir die von o [0, 0, 0] und von einem beliebigen Punct x [x l) X 2) a? 3 ] an die Kugelflache s gelegten Tangenten T = (os) und T = (xs) die Formeln: T 2 V 2 T? 2 /-2 T)2 o = 2iCt H = C R , 17 T 2 == ^ (xt - -CiY R 2 = C 2 - -R 2 + X 2 2SciXi . Zur Abkiirzung mag namlich gesetzt werden: is. 2c t - 2 = (7 2 , Stf=X*, Vtf = -E?, 19 . und ferner : H = h T , wo | [^,, | 2; 3 ] der zu a; [^, # 2 , a; 3 ] correspoudireiide Punct sein soil. Zwischen diesen beiden Puucteu findeu, mit Riicksicht auf (2.) und weil beide auf demselben von o aus- gehenden Strahl liegen, die Relationen statt: 20. XE = # 2 und - = *) Die in den eckigen Klammern enthaltenen Grossen solleri die Coordinate* der betreffenden Puncte vorstellen , in Bczug auf irgend ein rechtwinkliges AxeusyBtein, dessen Anfangspunct in o liegt. Ueber die Methode der reciproken Radien. 359 woraus mit Riicksicht auf (19.) sich ergiebt: h z T z Xo , = = und Xi = . 21. Durch Substitution dieser Werthe in (17.) folgt mit Rucksicht auf (16.): li T ' ''/i 2 T z Zr t rr-y _ 773 I o C ** - '* "T - =1 - - , oder, mit abermaliger Rucksicht auf (16.): T l = T Die Formel (17.) verwandelt sich fiir T=Q in die Glei- chung der gegebenen Kugelflache s\ folglich muss die Formel (22.) fur T == iibergehen in die Gleichung der correspou- direnden Kugelflache be- stehende System mit M bezeichnen, und die Potentiale dieser beiden Systeme auf correspondirende Puncte in Betracht ziehen. *) Man kann Linien-, Flachen- und Eaum- Elemente respective als Raumelemente erster, zweiter und dritter Dimension bezeichnen. Occu- piren nun die Massen m und ft zwei correspondirende Raumelemente w ler Dimension: ds^ und d a^ , und setzt man: wo D^ n) und A (n * die betreffenden Dichtigkeiten vorstellen, so nimmt die Relation (27.) folgende Gestalt an: K D^ds (n) = A {n) da (n ^ wo (os) und (off) die Entfernuugen der Elemente vom Puncte o bezeichnen. Diese Formel aber kann man, weil [nach (9.)] ds (n) : do (n) = (os) ra : (oe) n ist, auch so schreiben: V- Sollen also die in zwei correspondirenden Eaumelementen n ler Dimension enthaltenen Massen correspondirende Massen sein, so rnussen ihre Dichligkeiten der vorstehenden Relation (y.) entsprechen. Ueber die Methode der reciproken Radien. 361 Bringt man die fur zwei correspondirende Punctpaare x, % und y, y gviltige Formel (4.): V(ox)(oy) ~~ V( auf die Puncte x, | und die Elemente w, ft in Anweudung, so ergiebt sich: (asm) __ (gp) uud hieraus folgt weiter durch Division von (27.), (29.): Summirt man endlich diese Gleiehung iiber sammtliche Ele- mente der beiden Systeme, so eutsteht die Formel: K-/(ox) W x = K /(^|) Qg, wo W x = U und Q = U ^ die Potentiale der beiden (f*) Systeme resp. auf x und | vorstellen. Somit ergiebt sich folgeuder Fundamentalsatz. Sind unter Zugrundelegung der Formel: TT m _ K ft H und M zwei einandcr correspondirende Massensysteme , so tverden die von dcnselben auf correspondirende Puncte x und ausgeiibtcn Potentiale W x und Q% in der Besiehung stehen: 32. K l/ (ox} W x = K ]/(oJ) Q s . 33. Uebrigens ist nach (2.): J/(o #) (0 ) = H\ so dass man also die Formel (33.) auch so schreiben kann: oder aueh so: 33.b Beispiel. Sind s und 6 zwei correspondirende ge- schlossene Flacheii, so gelten fur je zwei einander correspon- dirende Puncte s und (3 dieser Flachen nach (33. a, b) die Formelu : KoGV a 34.a 362 Anhang. Nimmt man fur M die sogenannte natiirliche Belegung der Flache 5, so wird: W s = Const. , also nach (34. a) : Q _ Const'. y = ~(^T5 was zu folgendem Satze fiihrt: Sind zwei correspondirende gescJilossene Flachcn gegebcn, 35. und ist die eine derselben mit ihrer naturlichcn Belegung beliaftet, so wird die -- nach Massgabe der Formel (32.) - correspondirende Belegung*) der andern Flache dieEigcn- schaft haben, fur alle Puncte dieser letztern aquipotential su sein mit einer gewissen in o concentrirten Masse. - - Durch diesen Satz wird die Aufgabe, die einem gegebenen Punct o entsprechende Greerische Belegung**) einer gegebenen Flache zu ermitteln, reducirt auf die Aufgabe, die naturliche Be- legung der correspondirenden Flache zu finden. Zweifes Beispiel. - - Betrachtet man die mit dem Radius H um o beschriebene Kugelflache (1.), und nimmt man fur M eine ganz beliebige, im Allgemeinen also unglcichformige Belegung dieser Kugelflache, so wird, nach (32.), M identisch mit M sein, falls man der Einfachheit willen K K setzt. Gleicjizeitig wird alsdann nach (33.): wo x und i; der Relation entsprechen (ox)(o) = H 2 . Sornit ergiebt sich der Salz: Ist eine Kugelflaclie mit irgend wclcher gleichformigen oder ungleichformigen Masseribelegung behaftet, und sind x und | zwei in Bezug auf diese Kugelflache conjugirte Puncte ***) , so werden die von jener Belegung auf diese Puncte ausgeubten Potentiale W x und Q^ der Relation entsprechen: *) Bei den in Eede stehenden Belegungen werden die auf cor- respondirenden Elementen ds und da der beiden Flachen ausgebreiteten Massen m = Dds und p = Ada der Relation (32.) zu entsprechen haben. Folglich wird [vgl. die vorhergehende Note] zwischen den DiclitigJceitcn D und A der beiden Belegungen die Beziehung stattzu- finden haben: **) Vgl. Seite 340 und 344. ***) Vgl. die Note auf Seite 53. Ueber die Methode der reciproken Radien. 363 Y i/(f)\ O> ' x V I " 5 ; Jt i "*> so class man also das Potential der Selegung auf dussere Puncte sofort anzugeben vcrmag, falls das Potential auf tune re Puncte bekannt ist, und umgekelirt. Selbstver- staiidlich gilt dieser Satz auch dann ; wenn em Theil der Kugelflache tmbelegt ist, also z. B. fiir die Belegung einer Kugclcalotte. Wiederaufnahme der Hauptuntersuchung. Sind &, /3, ebeuso wie m, ^ und x, correspondirende Puncte, so ist uach (28.): (6m) y(ob)(ox) V(o$}(og) Multiplicirt man nun mit der ersten Relation die Formel (32.), mit der zweiten die Formel (33.), so folgt: K (6m) K (Pit) ' AM \^ ~ || V(ob) (om) V(o$) (Q(i) >(P) Setzt man daher K=Y(oV) und K = J/(o/3), so gewinut der Satz (32.), (33.) folgende Gestalt. Andere Form des Fundamentalsatzes. Sind I, /3 zwei einander correspondirende Puncte von unverdnder- liclier Lage, und sind ferner, unter Zugrundelegung der Formel: (bm) __ (Pn) ^ (om) (Oft)^ ; *) Erfiilleu die Massen m und (i zwei correspoudirende Raum- elemente ter Dimension ds^ und da^ , und setzt man wo D (n) und A (n) die betreffenden Dichtigkeiten vorstellen, so nimmt die in (37.) festgesetzte Relation folgende Gestalt an: (os) (oo) wo (6s), (os) und (@c), (OG) die Abstiinde der Elemente von den Puncten 6, o, resp. p, o vorstellen. Diese Formel aber kann, weil ds (n} : do (n} =(os) n :(oa) n ist [vgl. (9.)] auch so geschriebeii werden: Sollen also die in zwei correspondirenden Raumclementen n ler Dimension 364 Anhang. M , M zwei einander correspondirende Massensysteme, so werden die von diesen Systemen auf correspondirende Puncte x, | aus- geilbten Potentiate W x , Q in der JBezieliung stehen: 38. (bx)W x = (ftt)Qt. Beispiel. -- Siud-mithin s und 6 zwei correspondirende geschlossene Flachen, so vvird fiir je zwei correspondirende Puncte s und a dieser Flachen die Formel stattfinden : 1st also W s = 7 , so vvird Q a = -pr- . Mit anderen Worten: Sind s, 6 zwei correspondirende geschlossene Flachen f fcrner b, ft zwei correspondirende Puncte von unvcranderliclicr 3. Laye, und ist irgend cin Massensystem M bcJiannt, welches fiir alle Puncte der Flache s aquipotential ist mit einer in b concentrirten Masse Eins, so wird das -- nach Massgabe der Formel (37.) - - correspondirende Massensystcm M in alien Puncten der Fliiclie 6 aquipotential scin mit einer in ft con- centrirten Masse Fins*}. Aufgabe. -- Es sei ein beliebig gegebener Raum mit 40. der Grenzflache s, ferner M ein noch unbestimmtes Masseu- system mit dem Potential W, und es handele sich darum, enthaltenen Massen correspondirende Mas sen sein, so miissen Hire Dichtigkeiten in der vorsteJienden Beziehung (^.) stehen. *) Beschrankt man sich auf solclie Massensysteme , welche den ge- gebenen Flachen s und a unmittelbar aufgelagert sind, so vvird zwischen den in zwei correspondirenden Elementen ds und do dieser Fiachen vorliandenen Dichtigkeiten D und A die Relation stattfindeh: (bs)(os)D = (/Jff)(oo)A [vgl. die vorhergehende Note]; BO dass also in diesem Falle der Satz (39.) folgende besouders an- schauliche Gestalt gewinnt: Sind s, e zwei correspondirende gcsclilossenc Flachen, ferner b, (3 zwei correspondirende Puncte von unvcrdnderlichcr Lage, und denkt man sicli diese Flachen der Art mit Masse belegt, dass die Dichtig- keiten D und A an correspondirenden Stellcn in der Beziehung stehen: (6s) (os) D = (|3(;) (oo) A, so wird, falls die cine Bclegung fur alle Puncte der Flache s aqui- potential ist, mit einer in b concentrirten Masse Fins, Analogcs auch yelten fur die an der e Belcgung mit Bczug auf die Flache a und den Punct . Ueber die Methode der reciproken Radien. 365 dieses Massensystem ausserhalb ,, resp. auf der Grenze von t. in soldier Weise zu fixiren, dass das Potential auf der Flaclie s mit daselbst vorgeschriebenen Werthen f s identisch werde, also der Bedingung entspreche: W f rr s Is- 41 . Mit Hiilfe des vorliergeheudeu Satzes (37.), (38.) kann man diese Aufgabe reduciren auf die aualoge Aufgabe fiir den correspondirenden Raum ff mit der Grenzflache a. - Bezieht man namlich die allgemeine Formel (38.) auf zwei correspondirende Puncte s und a der beiden Begrenzungs- flachen s und wo T a p, ebenso wie friiher, zur Abkiirzung steht fiir log -- . Durch Multiplication von (45.), (46.) und Integration er- giebt sich: W x - MT OX ^W = Q^- -\MT nl : Q,,, wo W x = mT mx und Q|^^Sfi2^^ die Potentiale der beiden Systeme M und M auf die Puncte x und i; vorstellen, wahrend W und Q die speciellen Werthe dieser Potentiale fiir den Punct-o sind; ausserdem bezeichnet das in (47.) auf beiden Seiten vorkommende M die Gcsammtmassc des Systems M, oder [was dasselbe, vgl. (45.)] die Gesammtmasse des Systems M. Dabei sei bemerkt, dass nach (2.) 48 . rnithin: T ox + T ^ = T on + T ^ = - 21og H ist; woraus sofort folgt, dass die Potentialwertbe W = 2mT mo und Q = SiiT^ in der Beziehung stehen: 49. W + Qo= -2M\ogH. Betrachtet man die Puncte x, | als varidbel, alles Uebrige aber als constant, so kann man der Formel (47.) die ein- fachere Gestalt geben: 50. (W x % MT OX ) = (Qg - $ M T of ) + Const. ; und gelangt daber zu folgendem Fundament alsatz. -- Sind, unter Zugrunddegung der 51. Formel: m = ft , M, M zwei einandcr correspondircndc Masscmystcmc , so wer. , und M = \ , *) also nach (53.) : Q a = T oc + Const* 2 ).; wodurch man den Satz erhalt: Sind zwei eorrespondirende gesclilossene Curven gegeben, und ist die eine derselben mit Hirer natilrliclicn Bclegung IxJiaftet, so wird die -- nach Massgabe der Form el (51.) - 54. eorrespondirende Belegung der andern Curve die Eigen- scliaft lesitzcn, fur alle Puncte dieser letztern, dbgesehen von einer additivcn Constante, aquipotential zu sein mit einer in o r-onccntrirten Masse Eins. Zweites Beispiel. Betrachtet man eiue mit dem Radius H urn o beschriebene Kreislinie [vgl. (1.)], und iiirnmt man fur M eine ganz beliebige, im Allgemeinen also ungleicli- fnrmige Belegung dieser Kreislinie, so wird nach (51.) M mit M identisch sein. Gleichzeitig wird alsdann nach (52. a): W x = (Q| --MT $ + Const. , wo x und % der Relation entsprechen: (px)(o%) = H*. Somit ergiebt sich der Satz: *) Die Gesammtmasse der naturlichen Belegung ist stets = 1. Vgl. die Definition dieser Belegung, Seite 85. In den obigen Formeln sollen die den Canst, beigefiigten Nummern, ebenso wie f'n'iher die Acceute, nur andeuten, dass die betreftenden Constanten von einander verschieden sind. 368 Anhang. 1st eine Kreislinie mit irgcnd welclier gleichformigen oder ungleicliformigen Massenbelegung bcluiffct , und Kind x und zwci in Be.~ug auf diese Kreislinie conjugirte Puncte. so werden die auf diese Puncte von jencr Belegung ausgeubten Potentiate W x und Q% in der Bezieliung stelien: 55. W x = (Q| MT ) -f- Const. , wo die Const, von der Lage der Puncte x, | unabliangig ist, und M die Gesammtmasse der Belegung vorstellt. Wiederaufnahme der Hauptuntersuchung. Sind b } ft, ebenso wie x, und m, ft correspoudirende Puncte, so ist analog mit (46.): Multiplicirt man diese Pormel mit M, und subtrahirt man dieselbe sodann von (47.), so folgt: | (W f MT t ,)\__( (Q- Betrachtet man also die Puncte x, | als variabel, alles Uebrige aber als constant, so gelangt man zu folgendem Resultat : An der e Form des Fundament alsatzes. Sind />, ft zwei einander correspondirende Puncte von unrcrander- liclier Lage, und sindferner, unter Zugrundelcgung der Formel: 58. Mi = ft , M, M zwci einander correspondirende Masscnsystemc , so werden die von denselben auf correspondirende Puncte x, % ausgc- iibten Potentiate W x , Qs in der Bezielmng stelien: w. (W x MT bx ) = (Q 5 ~ MTp$ -f Const., ivo die -Const, von der Lage der Puncte x } | unalmdngig ist, und M die Gesammtmasse eines jeden der beidcn Systemc be- zeichnet. Dieser Satz (welclier fur den Specialfall M = eine noch einfacliere Gestalt aunimmt) kann in almlicher Weise verwerthet werden wie der analoge Satz des Raumes (37.), (38.). So z. B. erkenut man, dass mit Hillfe dieses Satzes GO. die Bchandlung eines Gelnetes von der Form 51 auf die Be- liandlung eines andcrn Gebietcs von der Form x \ rrducirbar ist.