hie den Abhandlungen der aatheinaesh = ~physisehen Classe der Koéniglich Sichsischen. Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. LEIPZIG, WEIDMANN’SCHE BUCHHANDLUNG. ; 1849. . es x THE UNIVERSITY OF ILLINOIS LIBRARY B\S.66 32 N\W4u0 MATHEMATICS UEFARTMENT Return this book on or before the Latest Date stamped below. Theft, mutilation, and underlining of books are reasons for disciplinary action and may result in dismissal from the University. University of Illinois Library L161—0O-1096 UBER DIE GRUNDFORMEN DER . LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG VON A. F. MOBIUS. Abhandl, d. K. S. Ges. d. Wissensch, I. 1 ae i Vid Le 7 ¢ = oth wn v9 é vale a si 77 g. 4. Seitdem Descartes die Algebra auf die Theorie der krummen Linien an- gewendet hat, und in Folge dessen die algebraischen Linien nach dem Grade der einer jeden zukommenden Gleichung in Ordnungen eingetheilt worden sind, ist es allgemein bekannt, dass, waihrend zur ersten Ordnung bloss die gerade Linie gehort, alle Linien der zweiten Ordnung aus einem und demselben Kegel mit kreisférmiger Basis geschnitten werden kénnen und somit keine andern, als die schon von den alten griechischen Geo- metern betrachteten Kegelschnitte, die Ellipse, die Hyperbel und die Parabel, sind. Nach den Erérterungen, die ich in meinem cbarycentrischen Cal- cul» iiber die Verwandtschaften geometrischer Figuren gegeben habe, sind je zwei ebene Figuren, welche sich aus demselben Kegel schneiden lassen, oder — mit andern Worten — je zwei ebene Figuren, von denen die eme das perspectivische Bild der andern ist, einander collinear verwandt. Und umgekehrt kiénnen je zwei emander collmeare ebene Figuren in eine solche Lage gegen eiander gebracht werden, dass alle Geraden, welche je zwei einander entsprechende Punkte der eimen und der andern Figur verbinden, sich in Einem Punkte O, der Spitze des Kegels oder dem Orte des Auges, schneiden. Dabei liegen die den un- endlich entfernten Punkten der einen Ebene entsprechenden Punkte der andern in einer im Allgemeinen endlich entfernten geraden Linie. — Riickt der Punkt O in die Unendlichkeit hinaus, und verwandelt sich da- mit der Kegel in einen Cylinder, so entsprechen den unendlich entfernten Punkten der emen Ebene die unendlich entfernten der andern, und die zwei Figuren stehen in der engern Verwandtschaft der Affinitat. Alle Linien der zweiten Ordnung sind hiernach einander collinear verwandt. Und da aus einem und demselben Cylinder, dessen Basis eine Ellipse (Hyperbel) ist, jede andere Ellipse (Hyperbel), oder, wo nicht sie selbst, doch eine ihr ahnliche geschnitten werden kann, so sind 1* Se bs > > 4 A. F. Mopius, von den zwei Hauptarten, in welche die Linien der zweiten Ordnung zerfallen, alle zu einer und derselben Hauptart gehérigen Linien einander affin. Ausserdem giebt es noch eine Uebergangsart, die Parabel, und alle zu dieser gehdrigen Linien sind, wie man weiss, einander ahnlich. §. 2. Nach dem, was jetzt iiber die Linien der zweiten Ordnung bemerkt worden, kénnte man sich versucht fiihlen, auch bei den Linien der dritten oder einer héhern Ordnung die verwandtschaftlichen Beziehungen, in denen sie zu einander stehen, zur Eintheilung jeder Ordnung in Arten zu benutzen. Einen Versuch dieser Art in Bezug auf die Linien der dritten Ordnung, wenigstens den Anfang zu einem solchen, beabsichtigt die vor- liegende Abhandlung. Es weichen namlich die Linien der dritten und hoherer Ordnungen von denen der zweiten darin ab, dass nicht eben so, wie die letzteren, auch alle Linien einer und derselben héheren Ordnung einander collinear sind. Ehe man es daher unternimmt, sie in Arten zu sondern, wird man sie zuvor nach einem hédheren Collectivbegriff — nach Gattungen — einzutheilen haben, so dass alle einander collinearen Linien derselben Ordnung zu einerlei Gattung dieser Ordnung, und hier- auf alle einander affinen Linien derselben Gattung zu einerlei Art dieser Gattung gerechnet werden. Der Hauptzweck der nachfolgenden Untersuchungen ist nun die Kintheilung der Linien dritter Ordnung in Gattungen. Die alsdann vorzu- nehmende Eintheilung jeder Gattung in ihre Arten ist ein zwar gehérige Umsicht erforderndes, aber durchaus mit keimer Schwierigkeit verbun- denes Geschaft, und bleibt hier ausgeschlossen. Sei | irgend eme Linie der dritten oder einer hoheren Ordnung, O ein ausserhalb ihrer Ebene beliebigwo legender Punkt, und werde die Kegelfliiche construiert, von welcher O die Spitze und / die leitende Linie ist. Alle Schnitte dieser Fliche mit Ebenen werden, als einander col- lineare Linien, mit J zu einerlei Gattung gehdren. Und umgekehrt: ist 1’ eine mit 1 zu derselben Gattung gehérige Linie, so wird, wenn auch nicht l’ selbst, doch eine mit 1’ zu einerlei Art gehérige, d. i. eine mit 1’ affine Linie 1", aus der Kegelflache geschnitten werden kénnen, Denn weil, wenn J“ mit l’ affin sein soll, die unendlich entfernten Punkte in der CBER DIE GRUNDFORMEN DER LINEN DER DRITTEN OrnpNUNG- 3 Ebene von l" den unendlich entfernten Punkten in der Ebene von l’ ent- sprechen miissen, so hat man, wenn g die Gerade in der Ebene von t ist, deren Punkten die unendlich entfernten Punkte in der Ebene von l’ ent- sprechen, die Ebene, welche den Kegel in 1” schneiden soll, so zu legen, dass in ihr die yon O aus projicierte Gerade g in die Unendlichkeit fullt; d. h. die Ebene von l" muss mit der durch O und g zu legenden Ebene parallel gelegt werden. Alle zu einerlei Gattung gehdrigen Arten kénnen hiernach immer als Schnitte eines und desselben Kegels vorstellig gemacht werden, und es hat daher jede der zu emerlei Ordnung gehérigen Gattungen von Linien eine gewisse Kegelflache als Reprasentantin. Da aber schon bei den Linien der dritten Ordnung es einige Schwierigkeit hat, eme solche Kegelflache sich klar vorzustellen, so wollen wir an die Stelle derselben die immer leicht zur Anschauung zu bringende Curve setzen, in welcher eine um die Spitze O des Kegels als Mittelpunkt mit emem beliebigen Halbmesser beschriebene Kugelflache von der Kegelflache geschnitten wird; oder, was dasselbe ausdriickt : wir wollen als Reprasentantin jeder Gattung die spharische Curve 4 betrachten, welche die Centralprojection irgend einer zu der Gattung gehérigen Linie / ist, indem man durch cen- trale Projection von 4 auf eine mit der Ebene von / nicht parallele Ebene, wenn auch nicht jede andere mit / zu derselben Gattung gehérige Linie 1’ selbst, doch eine mit l’ zu einerlei Art gehérige J" erhalten kann. S. 4. Eine Kegelflache wird, wenn sie yon emer, und damit auch von jeder andern Ebene in einer Linie der nten Ordnung geschnitten wird, eine Kegelflache der nten Ordnung genannt. Den Schnitt einer Kegel- fliche der nten Ordnung mit einer um die Spitze derselben als Mittel- punkt beschriebenen Kugelflache wollen wir eine sphirische Linie der nten Ordnung nennen, welche daher auch als die Centralprojection einer ebenen Linie der nten Ordnung auf die Kugelfliche definiert werden kann. Weil die verschiedenen Arten derselben Gattung von ebenen Linien durch eine und dieselbe sphirische Linie vorstellig gemacht werden, so wird bei spharischen Linien irgend einer Ordnung zwar derselbe Unterschied zwischen Gattungen, wie bei den ebenen Linien von gleicher Ordnung, bestehen; die spharischen Linien Einer Gattung werden aber nicht, gleich den ebenen, in Arten zerfallen. 6 A. F. Méniws, Es diirfte nicht iiberfliissig sem, die Natur der sphirischen Linien uns vorliufig an denen der beiden ersten Ordnungen in etwas zu erliutern. Jeder Punkt P des Raums hat zu seiner sphirischen Projection zwei Punkte P und P’, diejenigen nimlich, in welchen eine durch P und den Mittelpunkt O der Kugel gelegte Gerade die Fliche derselben schneidet. Ist nun die zu projicierende ebene Linie von der ersten Ordnung, also eine Gerade, und bezeichnen A und B die zwei nach entgegengesetzten Richtungen liegenden unendlich entfernten Punkte derselben, so wird, waihrend P in dieser Linie von A bis B fortgeht, P die eine und P’ die andere Hilfte des Hauptkreises beschreiben, in welchem die Kugelflache von der Kegelfliche, welche O zur Spitze und AB zur leitenden Linie hat, d. i. von der Ebene OAB, geschnitten wird. Eine sphiirische Linie der ersten Ordnung ist demnach immer ein Hauptkreis. — Man bemerke noch, dass die Punkte, in denen jene zwei Halbkreise zusammenstossen, oder die Endpunkte des mit der Geraden parallelen Durchmessers des Kreises, die Projection sowohl von A, als von B, also iiberhaupt des unendlich entfernten Punktes der Geraden sind. Um uns ferner einen Begriff von der Gestalt einer sphirischen Linie der zweiten Ordnung zu bilden, diirfen wir uns nur des Satzes erinnern, dass zu einer Kegelfliche, welche irgend eine ebene Linie der zweiten Ordnung zur leitenden Linie hat, eme Ebene sich mmer so legen lisst, dass sie die Fliche in einem Kreise schneidet, und dass daher auch dieser Kreis als leitende Linie betrachtet werden kann. Von einer Kegel- fliche mit kreisformiger Basis wird aber eine um ihre Spitze als Mittel- punkt beschriebene Kugelflache offenbar in zwei gesonderten Curven ge- schnitten, deren jede in sich zuriickléuft, und von denen die eine die Gegencurve der andern ist, d.h. die Gegenpunkte der andern enthalt. Wihrend es also drei verschieden geformte Arten von ebenen Linien zweiter Ordnung giebt, haben die spharischen Linien derselben Ordnung nur die eben beschriebene Eime Form, — iibereinstimmend mit dem schon Bemerkten, dass bei sphérischen Linien der Unterschied zwischen Arten weefillt. §. 5. Sei / eine ebene Curve und g eine in ihrer Ebene gezogene Gerade ; 4 und y die sphirischen Projectionen von / und g, also y ein Hauptkreis. Wird nun / von g in mPunkten geschnitten, so wird, weil jeder Punkt UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. ‘| der Ebene auf der Kugel sich doppelt abbildet (vor. §.), 4 von y in 2mPunkten geschnitten, welche paarweise einander gegeniiber liegen. Gehen zwei Durchschnitte von J mit g in emen Beriihrungspunkt zu- sammen, so wird 4 von y in den zwei Gegenpunkten, welche die Pro- jectionen des Beriihrungspunktes sind, beriihrt. Und wenn mit zwei ein- ander unendlich nahen Punkten der Curve / noch ihr nichstfolgender dritter Punkt in emer Geraden g liegt, so dass die Curve an dieser Stelle eine Wendung macht, und die diesen drei Punkten nichst vorhergehen- den und folgenden Theile von J auf entgegengesetzten Seiten von g liegen, so werden auch die dieser Stelle entsprechenden zwei Gegen- punkte auf der Kugel Wendepunkte in 4 sein und y zur gemeinschaft- lichen Tangente haben. Auf gleiche Art wird jeder in 1 vorkommende Knoten oder Doppelpunkt, jede Spitze u. s. w. als ein Punkt von der nimlichen Beschaffenheit doppelt in 2 vorhanden seyn. Hieraus, und weil eine ebene Linie der nten Ordnung von einer in ihrer Ebene gezogenen Geraden in n, oder n—2, oder n—4, u. Ss. w. Punkten geschnitten wird, folgern wir: Eine sphirische Linie der nten Ordnung wird von einem Hauptkreise in 2n, oder 2n—4, oder 2n—8, u.s.w. Punkten geschnitten, welche paarweise einander gegen- iiber liegen; und so viel, als eine ebene Linie der nten Ordnung Wende- punkte oder andere merkwiirdige Punkte haben kann, eben so viel Paare merkwiirdiger Punkte *) von gleicher Beschaffenheit kénnen emer sphia- rischen Linie der nten Ordnung zukommen. 8. 6. Wie wir in §. 4. sahen, ist auf der Kugel eine Linie der ersten Ordnung immer ein Hauptkreis, und eine Linie der zweiten Ordnung ein System zweier geschlossener Curven. Auf gleiche Art besteht nun auch jede sphiarische Linie héherer Ordnung oder die spharische Projection einer ebenen Linie héherer Ordnung aus einer, oder zwei, oder auch mehreren Curven, deren jede in sich zuriickliuft. Um dieses zu zeigen, gehe ich von dem bekannten Satze aus, dass eine ebene algebraische Linie / an keiner endlichen Stelle ihres Laufs plotzlich abbricht. Sollte daher ihre sphirische Projection 4 irgendwo unterbrochen sein, so *) Unter einem Paare von Punkten auf der Kugel soll hier und im Folgenden immer nur ein Paar einander gegeniiber liegender Punkte verstanden werden. 8 A. F. Moéstus, konnte dieses nur an einer Stelle! A sein, welche, um mich so aus- driicken zu diirfen, dem letzten Punkte A eines unendlichen Astes von / entspricht. Dass aber auch hier keine Unterbrechung’ statt finden kann, erkennt man sogleich, wenn man / oder 4, welches gleichviel ist, vom Mittelpunkte der Kugel aus auf eine andere Ebene projiciert, die mit der Richtung, nach welcher der unendliche Ast von / fortgeht, nicht parallel ist. Heisse 1, diese Projection von J oder 4. Wire nun 4 in A unterbrochen, so miisste es auch J, in Ay, als der Projection von A oder A auf die andere Ebene, sein, welches aber, weil A, ein endlich gelegener Punkt im Laufe von J, ist, dem aufgestellten Princip widerspricht. Hine sphirische Curve aber, welche nirgends abbricht, kehrt noth- wendig im sich zuriick, — sie miisste denn, was gleichfalls noch denk- bar wire, sich einer andern geschlossenen sphirischen Curve oder auch einem Punkte mit unendlich vielen Windungen asymptotisch niahern. Allein dieser Fall kann hier nicht stattfinden, weil alsdann ein Haupt- kreis offenbar so gelegt werden kénnte, dass er die Curve in unendlich vielen Punkten schnitte, was gegen die Natur einer sphirischen Curve von bestimmter Ordnung streitet. in Schon aus dem Bisherigen mag man einigermassen ersehen, wel- chen Nutzen es hat, die ebenen algebraischen Linien auf die Kugel zu projicieren. Man entkleidet sie dadurch von ihren unwesentlichern Higen- — schaften; die wesentlichern Eigenschaften, d. i. diejenigen, welche die projicierte Linie mit allen andern zu derselben Gattung gehodrigen gemein hat, bleiben ungeidndert. Wahrend eine ebene Linie durch die unend- lichen Aeste, welche ihr meistentheils zukommen, entstellt und zerrissen erscheint, ist die sphiérische Curve ganz und unzertheilt auf einer end- lichen Fliche enthalten, und somit das Zusammengehérige ungleich leichter, als in der Ebene, zu iiberschauen. Auch kénnen die Eigen- schaften, welche emer ebenen Linie in Bezug auf ihre unendlichen Aeste zukommen, nicht zu den wesentlichern gerechnet werden, da, je- nachdem man die sphirische Curve bald auf diese, bald auf jene Ebene zuriick projiciert, diejenigen Theile der Curve, welche zufillig von dem mit der Projectionsebene parallelen Hauptkreise getroffen werden, sich in der Ebene als unendliche Aeste abbilden. Der Vortheil, den die Betrachtung der sphirischen Curven gewihrt, UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN OrRDNUNG. 9 zeigt sich aber besonders noch darin, dass man auf solche Weise, wenigstens bei den Linien der zweiten und der dritten Ordnung, die wesentlich verschiedenen Formen dieser Linien zu bestimmen im Stande ist, ohne etwas Anderes, als den Satz von der méglichen Anzahl der Durchschnitte einer sphirischen Linie mit einem Hauptkreise (§. 5.) be- riicksichtigen zu diirfen. Die folgende rein geometrische Discussion wird diese Behauptung rechtfertigen. Von den Grundformen der algebraischen Linien iiberhaupt. g. 8. Nach §. 6. ist eine spharische Linie von irgend welcher Ordnung entweder eine einzige in sich zuriicklaufende Curve, oder ein System von mehreren dergleichen. Weil, wenn P ein Punkt der sphirischen - Linie ist, immer auch der Gegenpunkt von P in der Linie liegt, so werden die verschiedenen das System bildenden Curven in der Regel paarweise, als Curve und Gegencurve, zusammengehéren. Indessen kann es auch geschehen, dass eine der Curven mit ihrer Gegencurve coincidiert, wie dies z. B. bei einem Hauptkreise der Fall ist. Hine solche in sich zuriicklaufende Curve, welche von jedem ihrer Punkte den Gegenpunkt mit enthalt, werde eine einfache Curve genannt. Dagegen wollen wir eine geschlossene sphirische Curve, welche von ihrer Gegencurve verschieden ist, in Verbindung mit letzterer gedacht, eine Zwillingscurve nennen. Beispiel einer solchen ist das System der beiden Polarkreise der Erdkugel. §. 9. Aus dem jetzt aufgestellten Begriffe einer einfachen Curve ergeben sich unmittelbar nachstehende Eigenschaften derselben : 1) Sind A, B, C,... Punkte einer einfachen Curve, und werden, wie dies in der Folge immer geschehen soll, die Gegenpunkte von andern durch die naémlichen, nur accentuierten, Buchstaben bezeichnet, so liegen auch A’, B’, CG’, ... in der Curve. Dabei sind die Theile der Curve von A bis B, von B bis C, u.s.w. resp. denen von A’ bis B’, von B’ bis C’, u. s. w. gleich und ahnlich, kénnen aber mit letztern nicht zur Deckung gebracht werden, eben so wenig, als ein sphirisches Dreieck mit seinem 40 A. F. Méstus, Gegendreiecke. Ist daher A irgend ein merkwiirdiger Punkt der Curve, so ist A’ ein merkwiirdiger Punkt von derselben Beschaffenheit. 2) Eine einfache Curve wird durch jedes Paar in ihr liegender Gegenpunkte in zwei einander gleiche und uhnliche, aber nicht con- gruirende Hilften getheilt. Dabei stehen die Theile einer und derselben Halfte in keiner aus dem Begriffe einer einfachen Curve folgenden gegenseitigen Abhingigkeit. Um daher eine solche zu bilden, lasse man einen Punkt von irgend einem Punkte A der Kugelfliche auf dieser auf beliebigem Wege bis A’ fortgehen, — nur dass, wenn A und A’ keine Ecken oder Spitzen der Curve werden sollen, die Richtungen der Be- wegung beim Fortgange von A und beim Eintreffen in A’ einander direct entgegengesetzt sind. — Hiermit ist die eme Hialfte der einfachen Curve construiert, und man hat, um die ganze zu erhalten, zu dieser Halfte nur noch die Gegencurve hinzuzufiigen. 3) Sind auf eimer Kugelfliche eine einfache Curve und ein Haupt- kreis verzeichnet, so liegen irgend zwei Gegenpunkte der Curve, wenn sie nicht Punkte des Kreises selbst sind, auf entgegengesetzten Seiten desselben. Hieraus aber und aus der geschlossenen Gestalt beider Linien ist weiter zu folgern, dass eine einfache Curve und ein Hauptkreis wenigstens ein Paar Gegenpunkte gemein haben miissen. 4) Stellen wir uns vor, dass ein von A aus in der Curve fortgehen- der Punkt, ehe er darin bis A’ gelangt, den Curvenpunkten B,C, D,...M der Reihe nach begegnet, und daher auf der zweiten Halfte seines Weges von A’ bis A die Punkte B’, C’, D’,...M’ in derselben Ordnung trifft. Nehmen wir ferner an, dass die genannten Punkte, und ausser ihnen keine andern, die Durchgangspunkte eines Hauptkreises mit der Curve sind. Alsdann werden, wenn wir uns, um die Ideen zu fixieren, den - Hauptkreis w horizontal denken, und wenn der Curvenbogen AB iiber yu, folglich BC unter wu, CD iiber w, und so fort hegt, die Curvenbégen A’ B’, B’C’, CD’, u.s.w. abwechselnd unter und iiber w fallen. Damit aber der Bogen A’ B’ unter w fallen kann, muss der niichstvor- hergehende MA’, eben so wie AB selbst, iiber w liegen. Dieses ist offenbar nicht anders moéglich, als wenn die Anzahl der zwischen A und A’ begriffenen Durchgangspunkte B,...M gerade, —= 2m, Null mit ein- begriffen, ist. Hiernach ist die Anzahl aller Durchgangspunkte ABs C;...M; 7A BEGeAIM Ae 2m Le A LRRD m = 2 (142m). tiper pie GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 4A Eine einfache Curve wird demnach von einem Haupt- kreise in einem, oder in drei, oder fiinf, u.s.w., iberhaupt in einer ungeraden Zah! Paare von Gegenpunkten durch- gangen. §. 4.0. Beriihrt em Hauptkreis yz eme einfache Curve in einem Punkte A, so beriihrt er sie auch im Gegenpunkte A’ des erstern. Sei A kein merkwiirdiger Punkt der Curve, und liegen daher ihr dem A niachstvor- hergehender Theil ZA (Fig. 1.) und ihr nachstfolgender Theil AB auf einerlei Seite von yw. Alsdann werden auch die Curvenbégen Z’ A’ und A’B’ auf einerlei Seite von mw liegen, aber auf der entgegengesetzten von derjenigen, auf welcher ZA und AB sind. Weil die Bogen ZAB und Z’ A’ B' ihre erhabenen Seiten dem Hauptkreise w zukehren und auf verschiedenen Seiten desselben liegen, so wird einem auf der Kugel- fliche in der Curve von A aus nach B zu und dann weiter durch Z’, A’, B’ Fortgehenden und zuletzt durch Z nach A Zuriickkehrenden, wenn ihm Anfangs bei A der Hauptkreis w und damit die erhabene Seite der Curve zur Linken war, auf seinem sphiirischen Wege bei A’ der Hauptkreis und damit die erhabene Seite der Curve zur Rechten liegen. Er muss folglich auf dem Wege von A bis A’ wenigstens durch eimen, oder auch durch drei, oder fiinf u. s.w. Punkte gegangen sein, in denen die Seite der Curve, welche vorher erhaben war, hohl wird, und umgekehrt, d.i. durch eine ungerade Anzahl von Wendepunkten; und da ebensoviel solcher Punkte von A’ bis A liegen miissen, so folgern wir: Eine einfache Curve hat immer eine ungerade An- zahl von Paaren einander gegendiber liegender Wende- punkte. Sie kann aber — so lange wenigstens, als keme Knoten und Spitzen zugelassen werden — nicht bloss Kin Paar haben. Denn ge- setzt, es wiiren die Punkte W und W’ einer solchen Curve, durch welche sie in die zwei Halften w und w’ getheilt werde, ihr einziges Paar Wendepunkte. Da ein Curvenpunkt W (oder W’) erst durch Ver- gleichung der Kriimmungen des vorangehenden und des folgenden Theils der Curve, nicht aus einem derselben allein, als Wendepunkt erkannt wird, so wiirde sich alsdann von einem Punkte W der Kugel- fiche bis zu seinem Gegenpunkte W’ cine Curve w (oder w’) ohne alle 42 A. F. Mostus, merkwiirdige Punkte ziehen lassen, — welches nicht moglich ist *). — Deshalb und zu Folge des obigen Satzes muss eine einfache Curve, in welcher keine Knoten oder Spitzen vorkommen, wenigstens drei Paare von Wendepunkten haben. Dass aber einfache Curven ohne Knoten und Spitzen mit dieser geringen Anzahl (sechs) von Wendepunkten auch wirklich existiren, er- hellet aus folgendem einfachen Beispiele. — Man theile einen Haupt- kreis in sechs gleiche Theile und beschreibe vom ersten Theilpunkte bis zum zweiten, vom zweiten bis zum dritten u. s.w. und zuletzt vom sechsten bis zum ersten abwechselnd auf die eine und die andere Seite des Hauptkreises fallende Bogen eines und desselben kleineren Kreises, deren jeder kleiner als ein Halbkreis sein mag. Diese sechs Bégen werden daher einander gleich sein und eine geschlossene Curve ohne Knoten und Spitzen bilden, welche die sechs Theilpunkte zu Wende- punkten hat. Zudem wird die Curve eine einfache sein, da der erste Bogen dem vierten, der zweite dem fiinften und der dritte dem sechsten diametral gegeniiber liegt. *) Um sich von dieser Unméglichkeit zu tberzeugen, denke man sich auf der Kugel- fliche von einem Punkte A derselben bis zu seinem Gegenpunkte A’ eine von einem Halbkreise verschiedene Curve, welche keine Spitzen oder Ecken hat, gezogen. Der dem A zuniichst liegende Theil dieser Curve wird dem A seine hohle Seite zukehren, d. h. von einem durch A und irgend einen der niachstfolgenden Curvenpunkte, er heisse B, gelegten Hauptkreise wird der Bogen AB, welcher kleiner als ein Halbkreis ist, mit seinem bei B an die Curve stossenden Elemente auf der hohlen Seite der Curve liegen; und eben so wird der dem 4’ niichstliegende Theil der Curve gegen 4’ hohl, folg- lich gegen A erhaben sein. Indem man daher von 4 bis A’ in der Curve fortgeht, wird man nothwendig auf einen Punkt C treffen, wo die bis dahin gegen A hohle Curve gegen A erhaben zu werden anfingt. Es muss folglich C entweder ein Wendepunkt sein, oder es muss, wenn C ein gewohnlicher Curvenpunkt ist, der in ihm die Curve beriihrende Hauptkreis, ehe er noch von C aus nach der Richtung des Fortgangs der Curve bis zu einem Halbkreise angewachsen ist, den Punkt A treffen (Fig. 2.). Im letztern Falle ist der auf C niichstfolgende Theil der Curve innerhalb des vom Curvenbogen ABC und vom Kreisbogen CA begrenzten, den Punkt A’ ausschliessenden Raumes der Kugel- flache enthalten, und es muss daher die Curve, um in ihrem weitern Fortgange nach A’ zu gelangen, entweder den von ihr schon zurtickgelegten Theil ABC oder den Kreis- bogen CA irgendwo durchschneiden. Letzteres ist aber ersichtlich nicht méglich, ohne noch vor dem Durchschnitte mit CA eine Wendung zu machen. Mithin ist es auch nicht méglich, von A bis A’ eine von einem Halbkreise verschiedene Curve zu ziehen, welche keine Spitze oder Ecke, keinen Wendepunkt, oder keinen Durchschnitt mit sich selbst, also tiberhaupt keinen merkwiirdigen Punkt hat. UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 43 Hat eine einfache Curve ein Knoten- oder ein Spitzenpaar, so reicht Ein Paar Wendepunkte hin. Denn ein Knoten, so wie eine Spitze*), lisst sich als durch das Zusammengehen zweier Wendepunkte ent- standen betrachten, mit dem Unterschiede, dass das zwischen den ver- einigten Wendepunkten liegende Curvenstiick beim Knoten von end- licher Grésse bleibt, bei der Spitze dagegen verschwindet. Siehe Fig. 3. und 3.*, wo durch den Buchstaben W die vorherigen Wendepunkte an- gedeutet werden. Eine Curve der letztgedachten Art wird unter andern erhalten, wenn man einen Hauptkreis in den Punkten A, B, A’, B’ in vier Qua- dranten theilt und itiber AB und BA’ zwei auf der einen, iiber A’ B’ und B’ A zwei auf der andern Seite des Hauptkreises liegende Halbkreise beschreibt. Denn die aus diesen vier Halbkreisen zusammengesetzte Curve wird eine einfache sein und in B und B’ Spitzen, in A und A’ Wendepunkte haben. S44, Weniges bleibt noch iiber die Zwillingscurven hinzuzufiigen iibrig. — Ist A ein Punkt einer der zwei geschlossenen eine Zwillingscurve bil- denden Curven, so liegt A’ in der andern. Ein Bogen AB der einen Curve ist dem Bogen A’ B’ der andern gleich und ahnlich, obwohl nicht auf ihn passend; und dasselbe gilt auch von den zwei Curven in ihrer Totalitat. Da ferner ein durch A gelegter Hauptkreis auch den Punkt A’ trifft, und da eine geschlossene sphirische Curve von emem Hauptkreise entweder gar nicht, oder in einer geraden Anzahl von Punkten durch- gangen wird, so wird eine Zwillingscurve von einem Hauptkreise ent- weder gar nicht, oder in einer geraden Anzahl Paare von Punkten *) Hier, so wie im Folgenden, ist unter Spitze ohne weiteren Zusatz stets eine sogenannte Spitze der ersten Art gemeint, d. h. eine solche, bei welcher die zwei die Spitze bildenden Curvenbégen ihre erhabenen Seiten einander zukehren. Eine Spitze der zweiten Art, als bei welcher die erhabene Seite des einen Bogens der hohlen des andern zugewendet ist, kann, wie hier noch bemerkt werden mag, erst bei Linien der vierten oder einer héhern Ordnung sich bilden. Denn eine an den erstern jener zwei Bégen sehr nahe bei der Spitze selbst gelegte Tangente schneidet den andern in zwei Punkten und hat daher, den Beriihrungspunkt als die Vereinigung zweier gedacht, mit der Curve vier Punkte gemcin. AA A. F. Mosivs, durchgangen. — Ein Hauptkreis, welcher die eine Curve in A beriilirt, beriihrt die andere in A’. Was noch die Wendepunkte anlangt, so ist die Anzahl derselben bei emer geschlossenen Curve gerade, Null mit eingeschlossen. Denn wenn Demjenigen, welcher, von einem nicht merkwiirdigen Punkte der Curve ausgehend, sie ganz durchschreitet, die hohle Seite derselben Anfangs etwa zur Rechten liegt, so wird ihm auch am Ende des Wegs die hohle Seite zur Rechten sein, und er wird folglich entweder keine oder eine gerade Anzahl von Wendungen gemacht haben. Eine Zwil- lingscurve, als ein System zweier emander gleichen und ihnlichen Curven, hat folglich keine oder eine gerade Anzahl! Paare von Wendepunkten. S12. Weitere Folgerungen. 1) Eime sphirische Linie von gerader (ungerader) Ordnung wird von einem Hauptkreise in einer geraden (un- geraden) Zahl Paare von Punkten geschnitten (§. 5.). Da nun von einem Hauptkreise eine einfache Curve in einer ungeraden und eine Zwillings- curve in einer geraden Anzahl Paare von Punkten durchgangen wird, so kénnen von den Curven, aus denen eine sphirische Linie von ungerader Ordnung zusammengesetzt ist, nicht alle Zwillingscurven sein, sondern wenigstens eine von ihnen, oder drei, oder fiinf, u. s.w., itiberhaupt eine ungerade An- zahl derselben miissen einfache Curven sein. Eben so erhellet, dass unter den Curven einer sphiarischen Linie von gerader Ordnung einfache Curven nur in gerader Anzahl vorkommen kénnen. Die Anzahl der Zwillingscurven hingegen kann in beiden Fallen sowohl gerade, als ungerade sein. — Uebrigens ist hier, und so auch im Folgenden, unter den geraden Zahlen stets Null mit einbegriffen. 2) Eine einfache Curve hat eine ungerade und eine Zwillingscurve eine gerade Anzahl Paare von Wendepunkten. Die Anzahl solcher Paare wird folglich bei emem aus einfachen und Zwillingscurven zusammen- sesetzten System ungerade oder gerade sein, je nachdem die Zahl der einfachen Curven ungerade oder gerade ist. Hieraus aber fliesst in Ver- bindung mit dem vorigen Satze, dass eine spht&rische Linie yon ungerader Ordnung eine ungerade, von gerader Ordnung UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 15 eine gerade Anzahl Paare von Wendepunkten hat. — Eine Linie von ungerader Ordnung hat daher wenigstens ein Paar, und, da- fern sie keine Knoten oder Spitzen hat, wenigstens drei Paar Wende- punkte. §. 413. Ich kann diese allgemeinen Betrachtungen tiber sphirische Linien nicht verlassen, ohne noch auf emige der Folgerungen aufmerksam ge- macht zu haben, welche sich aus ihnen in Bezug auf ebene algebraische Linien, als die Projectionen sphirischer, ableiten lassen. Bezeichne y eine der Curven, aus denen eine sphirische alge- braische Linie zusammengesetzt ist, und zwar zuerst eine der zwei eine Zwillingscurve bildenden. Indem man sich dieselbe von einem Punkte P durchlaufen denkt, sei P die Centralprojection von P auf eine bestimmte Ebene, c die von P in der Ebene beschriebene Curve, also die Projection von y auf diese Ebene; endlich sei » der mit der Ebene parallele Hauptkreis der Kugel. Wenn nun, wie dies bei einer Zwillings- curve mdglich ist, die Curve y ganz auf der emen Seite des Haupt- kreises » liegt und ihm auch in keinem Punkte begegnet, so ist ¢ eine ebene auf einen endlichen Raum beschriinkte und in sich zuriicklaufende Curve. — Trifft y den Kreis » irgendwo, ohne ihn zu durchgehen, so entfernt sich, wenn P an dieser Stelle anlangt, P in das Unendliche und kehrt von derselben Seite der Ebene her in das Endliche wieder zuriick, und die Curve ¢ erhilt somit zwei nach einerlei Richtung sich in das Unendliche erstreckende Aeste. — So oft dagegen y den Kreis y» nicht bloss trifft, sondern zugleich durchgeht, bilden sich in der Ebene zwei Aeste, die sich nach entgegengesetzten Richtungen im Unendlichen ver- lieren. Die Anzahl der Aestepaare letzterer Art wird aber gerade sein, da y, als eine geschlossene Curve, von y in einer geraden Anzahl von Punkten durchgangen wird. — Es wird kaum niéthig seyn, hinzu- zufiigen, dass die andere Curve, welche mit y in Vereinigung die Zwil- lingscurve bildet, dieselbe Projection c, wie y selbst, giebt. Anders verhilt es sich, wenn y eine der einfachen Curven der sphirischen Linie ist. Heisse alsdann K der Punkt in y, von welchem P bei seiner Beschreibung der Curve ausgeht. Durch ihn und seinen Gegenpunkt K’ wird y in zwei Halften getheilt, deren jede die namliche Projection hat, eben so wie die Projectionen von K und K’ einer und 16 A. F. Mosuus, derselbe Punkt sind, welchen man mit K bezeichne. Da nun jede der beiden Halften von y den Kreis » in einer ungeraden Anzahl von Punkten durchgeht (§. 9.), so muss die Curve c, als die Abbildung einer solchen Hilfte, eine ungerade Anzahl Paare von Aesten enthalten, die sich nach entgegengesetzten Richtungen ins Unendliche erstrecken. 8. 4h. Sowie eine sphiarische algebraische Linie aus einer, zwei, oder mehreren Curven besteht, welche theils einfache, theils Zwillingscurven sind, so ist auch eine ebene algebraische Linie, da sie immer als die Projection einer sphirischen angesehen werden kann, entweder eine ein- zige Curve, oder ein System mehrerer. Nach den im vor. §. gegebenen Eroérterungen hat es, wenigstens im Allgemeinen, keine Schwierigkeit, eine ebene Linie in die einzelnen Curven, aus denen sie zusammen- gesetzt ist, zu zerlegen und von jeder derselben zu bestimmen, ob die sphirische Curve, von welcher sie die Projection ist, zu den einfachen oder Zwillingscurven gehért. Wenn man namlich in einer ebenen Linie von einem beliebigen Punkte K derselben aus fortgeht und dabei jeder- zeit, wenn man zu dem letzten Punkte (§. 6.) eines unendlichen Astes gekommen ist, zu dem letzten Punkte des zugehérigen dem vorigen parallelen Astes tiberspringt und in diesem zweiten Aste nach dem end- lichen Theile der Ebene zuriickgeht, so wird man zuletzt zum Punkte K zuriickkommen, und der durchgangene Weg wird eine der einzelnen Curven sein, aus denen die Linie zusammengesetzt ist. Dieser Curve aber wird auf der Kugel eine einfache oder Zwillingscurve entsprechen, jenachdem die Zahl derjenigen Paare ihrer unendlichen Aeste, deren Aeste einander entgegengesetzte Richtungen haben, ungerade oder gerade ist; oder, wie man auch sagen kann: jenachdem unter den zu machenden Spriingen die Anzahl derer, bei welchen die zwei Punkte, zwischen denen zu springen ist, nach entgegengesetzten Richtungen liegen, ungerade oder gerade ist. Als Beispiel hierzu kénnen uns schon die Linien der zweiten Ord- nung dienen. — Die Ellipse wird von einem in ihr sich bewegenden Punkte ohne allen Sprung zuriickgelegt. — Bei der Parabel findet ein Sprung statt, der aber hier nicht zu zihlen ist, weil die letzten Punkte der zwei Aeste dieser Curve nach einerlei Richtung liegen. — Die Hy- perbel besteht aus zwei gesonderten Halften, deren jede zwei unendliche Ed UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 47 Aeste hat, welche paarweise, nimlich ei Ast der einen und ein Ast der andern Hilfte, sich nach entgegengesetzten Richtungen erstrecken. Heissen A, B die letzten Punkte der zwei Aeste der einen Halfte und A’, B’ die ihnen resp. gegentiberliegenden letzten Punkte der andern Halfte. Man gehe nun in der erstern Hilfte von einem beliebigen Punkte K derselben aus bis B fort, springe hierauf von B nach B’ in die andere Halfte, durchwandere diese ganz von B’ bis A’, springe dann von A’ nach A in die erste Hilfte zuriick und gehe in dieser von A bis K. Somit hat man die Hyperbel ganz durchgangen und. dabei zwei unend- liche Spriinge in das Entgegengesetzte gemacht. — Jede der drei For- men einer Linie der zweiten Ordnung muss sich daher auf der Kugel als eme Zwillingscurve abbilden. Vergl. §. 4. §. 15. Um die gegenseitigen Beziehungen zwischen ebenen und sphiiri- schen Curven noch augenfialliger darstellen zu kénnen, wollen wir den Begriff geschlossener ebener Curven auch auf solche mit ausdehnen, welche unendliche Aeste haben, dafern nur ihre spharischen Projectionen geschlossene Curven sind. Nennen wir ferner eine geschlossene ebene Curve, jenachdem sie zu ihrer Projection auf der Kugel eine eimfache oder eine Zwillingscurve hat, eine Curve der ersten oder der zweiten Art, so kénnen wir nach dem Bisherigen folgende Si&tze aufstellen : 1) Eine Curve der ersten (zweiten) Art wird von jeder in ihrer Ebene gezogenen Geraden in eimer ungeraden (geraden) Anzahl von Punkten durchgangen, — hat daher eine ungerade (gerade) An- zahl Paare nach entgegengesetzten Richtungen laufender unendlicher Aeste*), — und hat eine ungerade (gerade) Anzahl von Wendepunkten. Da diese Siitze von exclusiver Natur sind, so gelten sie auch um- gekehrt, und es kann daher aus dem Vorhandensein irgend einer der drei gedachten Higenschaften auf das Dasein der jedesmal zwei iibrigen geschlossen werden, so dass z. B. eine geschlossene Curve mit einer ungeraden (geraden) Anzahl von Paaren enfgegengesetzter Aeste cine ungerade (gerade) Anzahl yon Wendepunkten hat. *) Weil jedes Paar solcher Aeste auf einen Durchgang der Curve durch die in ihrer Ebene unendlich entfernt liegende Gerade, — sphirisch auf einen Durchgang durch den Hauptkreis y (§. 43.), — hinzeigt. A ha dl, d. K. S. Gesellsch. d. Wissensch. I. 2 18 A. F. Moss, 2) Unter den Curven, aus denen eine ebene algebraische Linie zusammengesetzt ist, ist bei ungerader (gerader) Ordnungszahl der Linie eine ungerade (gerade) Anzahl von Curven der ersten Art be- griffen; woraus, wie in §. 12. 2., noch folgt, dass eine ebene Linie von ungerader (gerader) Ordnung eine ungerade (gerade) Anzahl von Wende- punkten, und tiberhaupt dieselben drei Eigenschaften hat, welche im vorhergehenden Satze von den Curven der ersten (zweiten) Art aus- gesagt wurden. Schliesslich ist noch zu erinnern, dass man bei Ziihlung der Punkte, in denen eine ebene Curve von einer in ihrer Ebene gezogenen Ge- raden durchgangen wird, und bei Zaihlung der Wendepunkte diejenigen unter ihnen nicht tibersehe, welche in unendlicher Entfernung liegen, indem sonst die Sitze in 1) und 2) ihre allgemeine Giiltigkeit verléren. — Ist die gezogene Gerade mit einem Paare unendlicher Aeste der Curve parallel, so hat sie mit letzterer einen unendlich entfernten Punkt ge- mein; zugleich durchgeht sie die Curve in diesem Punkte, wenn die beiden Aeste, jenachdem sie eimerlei oder entgegengesetzte Richtungen haben, auf entgegengesetzten oder eimerlei Seiten der Geraden sich befinden. — Ein unendlich entfernter Wendepunkt giebt sich dadurch zu erkennen, dass zwei nach entgegengesetzten Richtungen ins Unend- liche sich erstreckende Aeste auf emer und derselben Seite ihrer ge- meinsamen geradlinigen Asymptote, der Tangente im Wendepunkte, liegen. Es kann aber auch geschehen, dass nicht bloss der Wendepunkt, sondern auch seine Tangente unendlich entfernt liegt. In diesem Falle sind die zwei entgegengesetzten Aeste von parabolischer Form, wahrend sie vorher eine hyperbolische hatten, und liegen auf einerlei Seite jeder mit ihnen in der Ebene parallel gezogenen Geraden. Von der Richtigkeit dieser Behauptungen wird man sich _ leicht iiberzeugen, wenn man die Curve auf die Kugel, und zwar zuniichst auf die der Ebene der Curve zugewendete, durch den Hauptkreis y (§. 13.) begrenzte Halbkugel, projiciert und dabei erwigt, dass das sphiarische Bild eines unendlich entfernten Punktes Q der Ebene ein Punkt Q des Kreises » iSt, dass eine in der Ebene nach Q gerichtete Gerade a einen durch Q gehenden Hauptkreis @ zum Bilde hat; dass, wenn a in der Ebene unendlich entfernt liegt, « mit » zusammenfillt; dass daher ein hyperbolischer Ast, welcher die in endlicher Entfernung gelegene Gerade a zur Asymptote hat, sich als ein in Q endigender und daselbst UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 49 yon @ beriihrter Bogen abbildet, und dass ein parabolischer nach Q gerichteter Ast sich auf der Kugel als ein in Q endigender und daselbst von y beriihrter Bogen darstellt. Ergiénzt man zuletzt die solchergestalt auf der einen Kugelhalfte construierte Curve durch ihre Gegencurve auf der andern Hilfte, so ersieht man die Beschaffenheit der nun vollstiin- digen Curve in ihren Begegnungen mit », ynd wird damit die obigen Behauptungen bestitigt finden Geometrische Entwickelung der Grundformen der sphirischen Linien der dritten Ordnung. §. 16. Die voranstehenden allgemeinen Betrachtungen iiber algebraische Linien wollen wir jetzt auf die Linien der dritten Ordnung anwenden; wir wollen die Curven, aus denen eine Linie dieser Ordnung zu- sammengesetzt ist, ihrer Zahl und Beschaffenheit nach zu bestimmen und dadurch die verschiedenen Grundformen der Linie selbst, soweit dieses ohne Zuhiilfenahme des Calculs geschehen kann, zu ermitteln suchen. — Eine thnliche Untersuchung fiir die Linien der zweiten Ord- nung vorangehen zu lassen, halte ich fiir tiberfliissig, da aus den nach- stehenden Betrachtungen iiber die Linien der dritten Ordnung sich zur Geniige ergeben wird, wie ihnlicherweise der Beweis zu fiihren ist, dass eine sphirische Linie der zweiten Ordnung eine einzige Zwillings- curve (§. 4.) ohne alle merkwiirdige Punkte ist. Als Criterium fiir eine sphirische Linie der dritten Ordnung wird uns bei der nun folgenden Untersuchung der Satz dienen, dass eine solche Linie — wir wollen sie inskiinftige kurz mit 4 bezeichnen — von einem Hauptkreise in drei Paaren von Punkten, oder in einem Paare geschnitten wird; dass daher ein sie in einem Punktenpaare beriihren- der Hauptkreis sie in einem zweiten schneidet, nicht aber in einem zweiten beriihren kann, und dass in dem besondern Falle, wenn der Hauptkreis die Linie 4 in einem Paare von Wendepunkten oder Knoten oder Spitzen beriihrt, er mit ihr kein zweites Punktenpaar gemein hat. 8.47. Unter den Curven, aus denen 4, als eine Linie von ungerader Ord- nung, zusammengesetzt ist, ist nach §. 12. 1. entweder eine, oder sind 9) * 20 A. F. Méntus, drei, fiinf u. s. w. einfache Curven enthalten. Es kann aber der 4 nicht mehr als Kine einfache Curve — sie heisse « — zukommen. Denn da eine einfache Curve von einem Hauptkreise stets in einer ungeraden An- zahl von Punktenpaaren durchgangen wird (§. 9.), so trifft ein durch zwei Punktenpaare der Curve ¢ gelegter Hauptkreis dieselbe noch in emem dritten Paare, und wiirde einer zweiten zu 4 gehdrigen einfachen Curve wenigstens in Einem Punktenpaare, dem vierten, begegnen, was gegen das obige Criterium streitet. Unter der einstweiligen Annahme, dass in der zu 4 gehirigen ein- fachen Curve e keine Knoten oder Spitzen vorkommen, hat ¢ nach §. 10. wenigstens drei Paare von Wendepunkten, oder fiinf, oder sieben u. s. w. Es wird sich aber wieder mit Hiilfe unsers Criteriums zeigen lassen, dass ¢ nicht mehr als drei Paare solcher Punkte haben kann. Denn setzen wir, dass der Curve e fiinf Paare zukommen, und nennen fiinf Wendepunkte in der Ordnung, in welcher sie auf einander folgen: A, B, C, D, E; also die fiinf brigen in derselben Folge: A’, ... E’. Man ziche einen die Curve in A und A’ beriihrenden Hauptkreis » und projiciere sie auf eine mit » parallele Ebene. Heissen B, C,... die Pro- jectionen von B und B’, C und C’ u. s.w. und e die Projection von ¢ selbst. Weil » die « in dem Wendepunktenpaare A, A’ beriihrt, so hat die ebene Curve e zwei einander entgegengesetzte parabolische Aeste, welche auf einerlei Seite jeder mit ihnen in der Ebene der Curve parallelen Geraden a liegen (§. 15.); ausser ihnen aber nicht noch andere unendliche Aeste, indem sonst « von » noch in andern Punkten, als in A und A’, getroffen werden miisste, — gegen das Criterium. — Die Curve e wird sich daher vom letzten Punkte des einen parabolischen Astes bis zum letzten Punkte des andern ununterbrochen fortziehen und dabei in B, C, D, E Wendungen machen. Die letzten Elemente der zwei Aeste, also auch die ihnen parallele Gerade a wollen wir uns horizontal denken und in der Ebene die Seite von a, auf welcher die Aeste liegen, als die untere vorstellen. Uebrigens wollen wir die Ge- rade so gelegt annehmen, dass die vier Wendepunkte. B, ... E siimmtlich auf ihre obere Seite fallen. Sie wird alsdann die e schneiden, aber nur in zwei Punkten, weil sie mit e schon ihren unendlich entfernten Punkt gemein hat. Heissen Ay und Ag die beiden Schneidepunkte, welche mit den vier Wendepunkten in ihrer Aufeinanderfolge die Reihe A,BCDEAg bilden; Ay liege zur Linken, Ag zur Rechten. UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 94 Weil sich die Curve e in Ay iiber die Gerade a erhebt und in Ag wieder zu ihr hinabsenkt, so wird sie zwischen A, und A» einen oder auch mehrere héchste Punkte haben. Sie kann aber nicht mehr als einen haben. Denn hatte sie zwei héchste Punkte F und G (Fig. 4.), und legte man an den niedrigern, welcher F sei, eine Tangente /, welche horizontal sein und den Punkt G iiber sich liegen haben wiirde, so miisste die Curve auf ihrem Wege von F nach G hin, weil sie von F aus zunichst unter f hinabsteigt, sich iiber f bis G wieder erheben, dann aber, um die tiefere Horizontale a in Ag (oder in A,) zu treffen, durch f{ zu- riickgehen miissen. Die in F an die Curve gelegte Tangente f wiirde sie daher in noch zwei Punkten schneiden — dem Criterium entgegen. — Eben so wenig kénnen die zwei héchsten,Punkte gleiche Héhe haben; denn alsdann wiirde die an den einen gelegte Tangente die Curve auch in dem andern beriihren. Nun lasst sich ferner darthun, dass wenigstens eine der zwischen B und C an die Curve e gelegten Tangenten horizontal sein, und daher der Bogen BC wenigstens einen héchsten oder tiefsten Punkt haben muss. Denn wo nicht (Fig. 4.*), so lege man an die Curve e eine sie in B selbst beriihrende Gerade ¢ und drehe diese dergestalt, dass sie mit e in Beriihrung bleibt, und der Beriihrungspunkt von B bis C riickt. Weil B ein Wendepunkt ist, so hat die Gerade ¢ in ihrer anfanglichen Lage drei nichstfolgende Punkte mit e gemein. Von diesen drei Punkten riicken bei der nachherigen Drehung von ¢ zwei, in Vereinigung bleibend und den Beriihrungspunkt bildend, von B bis C; der dritte gemeinsame Punkt von e und ¢ geht nach der entgegengesetzten Richtung, also von B nach Ay zu, auch wohl noch iiber A, hinaus in dem linken unend- lichen Aste fort, ohne jedoch bis zum letzten Punkte des Astes zu ge- langen, weil keme der Tangenten von B bis C horizontal, also keine mit der Richtung des Astes in seinem letzten Punkte parallel sein soll. Auch kann dieser dritte Punkt nicht nach B zuriickkehren, weil der Bogen BC nach einer und derselben Seite zu hohl ist, und folglich keine an BC gelegte Tangente, mit Ausnahme der Tangente in B selbst, B treffen kann. Die bis C fortgedrehte Tangente ¢ wiirde daher dem linken Aste in einem von B nach Ay zu gelegenen Punkte begegnen, welches aber, weil C ein Wendepunkt ist, dem Criterium widerspricht. Dieser Widerspruch fallt weg, wenn der Bogen BC zwischen seinen Endpunkten wenigstens Einen héchsten oder tiefsien Punkt hat. ye A. F. Méstus, Hatte er aber einen tiefsten Punkt T, so miisste eine an T gelegte und daher horizontale Tangente die Curve e zwischen A, und T schneiden, weil A, tiefer als T liegt. Aus gleichem Grunde miisste diese Tangente die e noch einmal zwischen T und A g treffen, — gegen das Criterium. — Mithin kann der Bogen BC keinen tiefsten, sondern muss emen héch- sten Punkt haben. Vollkommen eben so zeigt sich, dass auch der Bogen DE einen héchsten Punkt haben muss, sobald man nur in den vorigen Schliissen A,, B, G mit Ag, E, D und den linken Ast mit dem rechten vertauscht. Hiernach hitte aber die Curve zwei héchste Punkte, was dem vorher Erwiesenen entgegen ist. Mithin muss die Voraussetzung unrichtig sein, dass die Curve e fiinf Wendepunkte hat; und noch weniger kann sie sieben oder mehrere haben. Es hat demnach auch die spharische Curve ¢ nur drei Paare von Wendepunkten, von denen jedoch, wie schon bemerkt worden (S. 10.), zwei Paare zu einem Knoten- oder Spitzenpaare zusammen- gehen kiénnen. Auch wiirde sich durch ahnliche auf die Geometrie der Lage gegriindete Betrachtungen, wie vorhin, geradezu darthun lassen, dass in der Curve ¢, wenn sie ein Knoten- oder Spitzenpaar und ein Paar Wendepunkte hat, nicht noch andere merkwiirdige Punkte dieser Art vorhanden sein kénnen. Uebrigens kann es nicht geschehen, dass in ¢ alle drei Paare von Wendepunkten sich in einem Punktenpaare vereinigen, indem sonst die Curve von dem einen dieser beiden Punkte bis zum andern gegeniiberliegenden ohne Wendung und ohne sich selbst zu schneiden, fortgehen miisste, welches nach §. 10. nicht méglich ist. S18; Es bleibt jetzt noch zu untersuchen iibrig, ob und wenn eine Linie der dritten Ordnung 4 ausser der einfachen Curve ¢, welche ihr unbe- dingt zukommen muss, noch eine Zwillingscurve haben kann. Denn dass es nicht zwei oder mehrere sein kénnen, folgt sogleich daraus, dass eme Zwillingscurve mit einem Hauptkreise immer eine gerade An- zahl von Punktenpaaren gemein hat (§. 11.), und dass daher bei zwei Zwillingscurven ein durch ein Punktenpaar der einen und ein Punkten- paar der andern gelegter Hauptkreis den Curven in wenigstens noch zwei andern Paaren, also iiberhaupt wenigstens in vier Paaren be- geenet — gegen §. 16. — Aus gleichem Grunde erhellet, dass eine UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 93 zu 4 gehérige Zwillingscurve, wenn anders eine solche bei 4 iiberhaupt méglich ist, von keinem Hauptkreise in mehr als zwei Punktenpaaren getroffen werden darf, dass sie also keine Wendepunkte, Knoten oder Spitzen haben darf, dass von den zwei einzelnen Curven, aus denen sie besteht, jede fiir sich ganz auf einer und derselben Seite, und folglich beide auf verschiedenen Seiten eines sie in einem Punktenpaare be- riihrenden Hauptkreises liegen miissen, und dass endlich weder die einfache Curve ¢ selbst, noch ein an ¢ beriihrend gelegter Hauptkreis der Zwillingscurve begegnen darf, dass folglich die zwei einzelnen Curven der Zwillingscurve auf entgegengesetzten Seiten der einfachen liegen miissen. Hat nun die einfache Curve e drei gesondert liegende Paare von Wendepunkten, so kann, obschon nicht jederzeit, eine Zwillingscurve noch statt finden. Um uns die Méglichkeit hiervon, wenn auch nur an einem sehr extremen Falle, begreiflich zu machen, wollen wir durch zwei Punktenpaare yon ¢ einen Hauptkreis « legen, welcher der e in noch einem dritten Punktenpaare begegnen wird, und wollen annehmen, dass nicht nur alle iibrigen Punkte von ¢ in grosser Nahe von «@ liegen, sondern dass auch alle an ¢ beriihrend gelegten Hauptkreise mit « sehr kleine Winkel machen, — wie dies unter andern der Fall sein wiirde, wenn in dem in §.10. gegebenen Beispiele die abwechselnd an die eine und die andere Seite der sechs gleichen Abschnitte eines Hauptkreises gelegten Bogen insgesammt sehr flach, Theile eines von einem Haupt- kreise nur wenig verschiedenen kleineren Kreises, wiren. — Alsdann wird jeder durch ein in der Nahe der Pole von @ befindliches Punkten- paar gelegter Hauptkreis die ¢ nur in einem Punktenpaare schneiden ; und wenn wir daher noch annehmen, dass die zwei einzelnen mit keinen merkwiirdigen Punkten versehenen Curven der Zwillingscurve sehr klein, etwa zwei kleinere Kreise von nur geringem Durchmesser, sind, und dass die eine derselben in grosser Nihe des einen, mithin die andere in eben so grosser Nihe des andern Pols von « liegt, so wird, wie erforderlich, kein Hauptkreis die aus e und der Zwillingscurve zusammengesetzte Linie 4 in mehr als drei Punktenpaaren schneiden konnen. Hat dagegen die einfache Curve e nur Ein Paar Wendepunkte und zum Ersatz der beiden andern ein Knoten- oder ein Spitzenpaar, so _kann sie mit einer Zwillingscurve nicht verbunden sein. Denn weil in Qh A. F. Moéstus, einem Knoten zwei Curvenpunkte vereinigt sind, so wird ein durch das Knotenpaar gelegter Hauptkreis die « immer noch in einem andern Punktenpaare schneiden. Wire daher noch eine Zwillingscurve vor- handen, so wiirde ein durch ein Punktenpaar der letztern und durch das Knotenpaar in e gezogener Hauptkreis sowohl die Zwillingscurve als die e in noch einem Punktenpaare treffen, was gegen unser Critertum ist. — Und das von Knoten Gesagte gilt wortlich auch von Spitzen. §. 19. Nach diesem Allen, und wenn wir noch bemerken, dass die zwei einzelnen Curven einer Zwillingscurve sich zu zwei isolierten Punkten zusammenzichen kinnen, hat jede Linie der dritten Ordnung eine der nachstehenden fiinf Formen. Es besteht nimlich eine solche entweder 1) aus einer einfachen Curve mit drei Paaren von Wendepunkten und aus einer Zwillingscurve ohne merkwiirdige Punkte, oder 2) aus einer einfachen Curve mit drei Paaren von Wendepunkten und aus einem isolierten Punktenpaare, oder sie ist 3) bloss eme einfache Curve mit drei Paaren von Wendepunkten, oder %) eine einfache Curve mit einem Paar Wendepunkte und einem Knotenpaar, oder 5) eme einfache Curve mit einem Paar Wendepunkte und eimem Spitzenpaar. Ob nun alle diese fiinf Formen, welche die sphirischen Linien der dritten Ordnung bei alleiniger Beriicksichtigung des oft gedachten Cri- teriums haben kénnen, ihnen auch in Folge ihrer algebraischen Gleichung zukommen, ist eine Frage, welche erst durch Rechnung entschieden werden kann. Fiir jetzt steht nur dieses fest, dass eine solche Linie keine Form haben kann, welche nicht unter diesen fiinf mit enthalten wire, dass sie also namentlich immer wenigstens ein Paar, und wenn zwei, auch ein drittes, aber nicht mehr Paare von Wendepunkten hat. Die folgende Untersuchung wird uns indessen auch von der algebrai- schen Wirklichkeit der erhaltenen fiinf Formen iiberzeugen. Ich werde dabei von dem Algorithmus Gebrauch machen, den ich in meiner Abhandlung «iiber eine neue Behandlungsweise der UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 25 analytischen Sphirik» *) veréffentlicht habe. Da ich jedoch nicht vor- aussetzen kann, dass allen Lesern des Vorliegenden jene Abhandlung zu Gesicht gekommen, so will ich eine Erklirung des Fundaments und der Beschaffenheit meines sphirischen Algorithmus, so weit wir des- selben hier bediirfen, vorangehen lassen, und, um dieses in méglichster Kiirze zu thun, ihn nicht, wie dort geschah, auf geometrische Principien, sondern auf die ersten Saitze vom Gleichgewichte zuriickfiihren, als von welchen seine Formeln, wenn man will, als Symbole angesehen werden k6nnen. Der sphirische Algorithmus. §. 20. 1) Sind A, B,... Punkte auf der Oberfliche einer Kugel, deren Mittelpunkt O heisse, und a, 6... irgend welche Zahlen, so sollen A Mb B ste Kriafte bedeuten, welche auf den als frei beweglich zu denkenden Punkt O nach den Richtungen OA, OB,... wirken, und deren Intensitiiten sich wie die Zahlen a, b,... verhalten. Durch die Gleichung (a) aA+bB+...—0 werde ausgedriickt, dass die Kriifte aA, bB,... sich das Gleichgewicht halten; durch die Gleichung (6) aA+bB+...=pP, dass die Kraft p P die Resultante der Krifte aA, bB,... ist; durch die Gleichung (c) aA+bOB+...=pP+qQ+..., dass die Kriéfte aA, bB,... in Vereinigung dieselbe Wirkung, wie die Krafte pP, qQ,... in Vereinigung, haben. 2) Zwei einander gleiche Kriifte, deren Richtungen einander ent- gegengesetzt sind, kénnen auch als solche betrachtet werden, welche einerlei Richtung haben, und deren Intensititen, ihrem absoluten Werthe nach einander gleich, entgegengesetzte Vorzeichen haben. Wenn daher in den Gleichungen (a), (0), (c), in denen wir vorhin stillschweigend alle *) Sie befindet sich in der Sammlung von Abhandlungen, herausgegeben von der Firstlich Jablonowski’schen Gesellschaft. Leipzig, 1846. 26 A. F. Mostus, die die Intensitéten ausdriickenden Zahlen als positiv annahmen, ein oder etliche negative Glieder sich vorfinden, so sind die dadurch dar- gestellten Krifte Kriften mit eben so grossen positiven Intensititen, aber mit entgegengesetzten Richtungen, gleich zu achten, und man kann demnach, wenn es gefillt, das Minuszeichen eines Gliedes mit dem Plus- zeichen, so wie auch umgekehrt, vertauschen, dafern man nur gleich- zeitig statt des in dem Gliede enthaltenen Punktes seinen Gegenpunkt setzt. So ist z. B. + aA gleichbedeutend mit + aA’ (§. 9. 1.). 3) Da es in den Gleichungen (a), (b) und (c) nicht auf die absoluten Werthe der Coefficienten a, b,..., p, ¢,..., sondern nur auf ihr gegen- seitiges Verhiltniss ankémmt, so bleibt jede dieser Gleichungen noch richtig, wenn alle ihre Glieder mit emer und derselben Zahl multipliciert oder dividiert werden. Aus dem bekannten Satze der Statik, dass, wenn von zwei oder mehreren Systemen von Kriften jedes fiir sich im Gleich- gewichte ist, auch die Kriafte aller Systeme zusammen sich das Gleich- gewicht halten, aus diesem Satze und ihm abnlichen folgt ferner, dass man zwei oder mehrere solcher Gleichungen, wie (a), (b), (c), zu einander addieren, die eine von der andern subtrahieren, Glieder von der einen Seite des Gleichheitszeichens auf die andere mit entgegen- gesetzten Vorzeichen bringen, und iiberhaupt mit diesen Gleichungen alle die algebraischen Operationen vornehmen darf, bei welchen die einzelnen Glieder ihre obige Form behalten, also Punkte mit nume- rischen Coefficienten bleiben. 4) Zwei auf O wirkende Krafte sind nur dann und dann immer von gleicher Wirkung, wenn sie einerlei Richtung und einander gleiche Intensititen haben. Aus der Gleichung aA = pP ist daher zu schliessen, dass P ein mit A identischer Punkt, und dass p =a ist, oder auch, dass P der Gegenpunkt von A, und p = — a ist. 5) Aus der Gleichung aA bBizelp.P ist nach dem Satze vom Parallelogramm der Krafte zu schliessen, dass die drei Geraden OA, OB, OP in einer Ebene liegen, und dass, wenn man in dieser Ebene ein Parallelogramm construiert, von welchem zwei Seiten und die eine Diagonale in OA, OB und in OP fallen, jene zwei Seiten und diese Diagonale sich wie die Zahlen a, b, p verhalten. Oder, was dasselbe ausdriickt: In Bezug auf ein in der Ebene OAB UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. a enthaltenes Coordinatensystem, dessen Axen die Richtungen OA, OB haben, sind die Coordinaten des in dieser Ebene gleichfalls begriffenen Punktes P und der Abstand des P vom Anfangspunkte O der Coordi- naten den Zahlen a, b, p proportional. Oder mit noch andern Worten: Es liegen die Punkte A, B, P in einem Hauptkreise, und dieses dergestalt, dass sich sn PB: sn AP: sn AB—a:b: p verhalten, wobei die Bégen von P bis B, von A bis P und von A bis B nach einem und demselben Sinne zu rechnen sind. 6) Eben so folgt nach dem Satze vom Parallelepipedum der Kriifte, und vorausgesetzt, dass A, B, C nicht in einem Hauptkreise liegen, aus der Gleichung som Ne har ie dass a, b, c sich wie die Coordinaten von P in Bezug auf drei Axen verhalten, deren Richtungen OA, OB, OC sind, und dass nach dem- selben Verhiltnisse der Coefficient p dem Abstande des P vom Anfangs- punkte O der Coordinaten oder dem Kugelhalbmesser proportional ist. Mit der gegenseitigen Lage der Punkte A, B, C, P sind demnach die Verhiltnisse zwischen a, b, c, p unzweideutig bestimmt. Und um- gekehrt: Sind die Punkte A, B, C und die Verhiltnisse zwischen ihren Coefficienten a, b, ¢ gegeben, so sind damit zwei einander gegeniiber- liegende Punkte der Kugelfliche unzweideutig bestimmt; es sind naém- lich die Durchschnitte P und P’ der Fliche mit einer durch O dergestalt gelegten Geraden, dass in Bezug auf OA, OB, OC, als Axen, die Co- ordinaten jedes Punktes dieser Geraden sich wie a, 6, ¢ verhalten. 7) Indem wir auf solche Weise alle Punkte P der Kugelfliche auf drei nicht in einem Hauptkreise liegende Punkte A, B, C beziehen, wollen wir letztere Punkte die Fundamentalpunkte, die drei durch je zwei von ihnen zu legenden Hauptkreise BC, CA, AB die Funda- mentalkreise und das von ihnen gebildete Dreieck ABC das Fun- damentaldreieck nennen. Das Aggregat Hal op ac in welchem die Coefficienten a, b, c die Coordinaten von P in Bezug auf OA, OB, OC als Axen sind, oder doch diesen Coordinaten proportio- nale Gréssen vorstellen, und wodurch der Punkt P, sowie sein Gegen- punkt P’ bestimmt wird, heisse der Ausdruck des Punktenpaares P, P’, oder kurz: des Punktes P, indem wir unter P seinen Gegen- 98 A. F. Mons, punkt mit verstehen. Welcher von beiden Punkten gemeint ist, wird erst aus dem Vorzeichen seines Coeflicienten p erkannt. Um bloss an- zuzeigen, dass aA +.. der Ausdruck des P (und seines Gegenpunktes) ist, werden wir uns, mit Weglassung von p, des Zeichens (=) bedienen und schreiben aA+bB+4cC=P, statt = pP oder — — pP”. Ist emer der drei Coefficienten des Ausdrucks, z. B. c, Null, also P=aA+ DB, so liegt P im F.kreise AB (5.); sind zwei Coefficienten zugleich Null, etwa b und e¢, so fallt P mit A zusammen (4.). Dass diese Sitze auch umgekehrt gelten, ist von selbst klar. 8) Heissen jetzt #, y, z die Coefficienten yon A, B, C, und a, 6 die Exponenten der Verhiltnisse v:z, y:z. Sind diese Exponenten gegeben, so ist es auch der durch A + yB + 2 ausgedriickte Punkt P; es sind nimlich x Z die Gleichungen der Geraden OP, wenn OA, OB, OC als Axen der x,y, genommen werden. Sind aber a@, # nicht selbst, sondern nur SO hth ou —= @ und = I} eine Gleichung @ =f («) zwischen ihnen gegeben, so dass immer an- dern Werthen von @ immer andere von # zugehoéren, so bilden alle so- mit sich ergebenden Geraden eine Kegelfliche, welche O zur Spitze hat, und deren Gleichung (Das cet Renmats (2) Z z also eine homogene Gleichung zwischen 2, y, z ist; und alle durch x A+... ausgedriickten Punkte bilden eine sphirische Curve, welche keine an- dere, als der Durchschnitt der Kugelfliche mit jener Kegelflache ist. Durch den Ausdruck «A + yB + 2C in Verbindung mit einer ho- mogenen Gleichung zwischen #, y,z wird demnach immer eine spharische Curve dargestellt, diejenige niémlich, in welcher die Kugelflache von einer durch dieselbe Gleichung dargestellten Kegelflaiche geschnitten wird, wenn die Coordinaten x, y, z der Gleichung auf OA, OB, OC als Axen bezogen werden. 9) Ist die homogene Gleichung (wu) eine algebraische, und nach Weeschaffung der Bruchform vom nten Grade, so dass in jedem ihrer Glieder die Summe der Exponenten von 2, y, z gleich n ist, so gehort die durch sie ausgedriickte Kegelfliiche, mithin auch (§. 4.) die durch dieselbe Gleichung dargestellte sphiérische Curve zur nten Ordnung. Uper Die GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 29 Die allgemeine Form einer homogenen Gleichung des ersten Grades ist av + by +cz = 0. Die hierdurch ausgedriickte Kegelfliche ist eine den Punkt O ent- haltende Ebene, und daher die sphirische Curve ein Hauptkreis (ebds.). Fir « —0 wird y: 2 = —c:b. MWiermit verwandelt sich der Ausdruck 7A + yB+2€ in cB — bC; d.h. der Hauptkreis, dessen Gleichung av +...==0 ist, schneidet den F. kreis BC in einem Punkte, dessen Ausdruck cB — bC. Eben so finden sich a@ — cA und bA — aB als die Ausdriicke fiir die Durchschnitte des Hauptkreises mit den F. kreisen CA und AB. Ist die Constante a — 0, so reduciren sich die letzteren zwei Aus- driicke auf — cA und bA; d. h. der Hauptkreis, dessen Gleichung by +cz— 0, geht durch den F. punkt A und schneidet den F. kreis BC im Punkte cB—bC. Ist auch noch b= 0, so wird letzterer Durchschnitt = B; d.h. der Hauptkreis, dessen Gleichung YA fea) ist der F.kreis AB selbst; und aihnlicher Weise sind « = 0 und y = 0 die Gleichungen der F. kreise BC und CA. 10) Die Bequemlichkeit unsers sphirischen Algorithmus zeigt sich insbesondere beim Uebergange von einem F. dreieck oder Coordinaten- system zu einem andern desgleichen. Ist namlich eine homogene Gleichung zwischen 2, y, z, als Gleichung einer spharischen Curve in Bezug auf die F. punkte A, B, C gegeben, und soll ihre Gleichung in Bezug auf irgend drei andere F.punkte A;, By, Cy gefunden werden, so setze man, es seien die neuen F.punkte, durch die alten ausgedriickt: QU RA! CREE SE (a) By =adA + UB + CC, Gea Aaa 0: so dass, den Kugelhalbmesser — 1 angenommen, a, b, c die Coordinaten von Ay, u. Ss. Ww. in Bezug auf OA, OB, OC, als Axen, sind. Seien ferner ¢, wu, » drei von den Veriinderlichen x, y, z und den Constanten a, b,c, v...¢ dergestalt abhingige Verinderliche, dass at-+-ialu + a"v = zg, (f) bt + bu+ b'v —y, Corp oee ENC i 3" 2: 30 A. F. Ménuus, so kommt, wenn man die drei Gleichungen («) der Reihe nach mit t, u,v multiplicirt und sie hierauf addirt: (A, +uB, +00, =a2A+yB4 26. Da also, wenn ¢, uw, v auf die durch (f) ausgedriickte Weise von x, y, 2 abhingen, die durch tA, +... und vA +... ausgedriickten Punkte der Kugelflache identisch sind, so hat man nur die Werthe von x, y, 2 aus (8) in der gegebenen Curvengleichung zu substituiren, und es wird die hervorgehende homogene Gleichung zwischen 1, u, v die- selbe auf A,, B,, C,, als F.punkte, bezogene Curve darstellen. So war z. B. x = 0 die Gleichung des F. kreises BC; mithin ist at+au+ta'v=O0 die Gleichung des auf A,, B,, C, bezogenen Hauptkreises BC; eben so bt + b'u+ b'v—O0 die Gleichung des Hauptkreises CA; u. s. w. Analytische Entwickelung der Grundformen der sphirischen Linien der dritten Ordnung. §. 21. Mit Anwendung des jetzt erdrterten Calculs wollen wir nunmehr die verschiedenen Formen, welche eine sphirische Linie der dritten Ordnung zu Folge ihrer Gleichung haben kann, zu erforschen suchen und dabei von den vorhin durch geometrische Betrachtungen ge- fundenen Eigenschaften einer solchen zunachst nur den Satz benutzen, dass sie immer wenigstens Einen Wendepunkt*) hat. Die allgemeine Gleichung einer sphirischen Linie der dritten Ordnung ist: (A) aa® + by? + cz + fy?z + gv a + ha?y + ye + hex? + lay? + mryz =0. Ohne an Allgemeinheit zu verlieren wird sich diese Gleichung etwas einfacher gestalten, wenn wir das F.dreieck ABC so gelegt annehmen, dass B in den einen nothwendig vorhandenen Wendepunkt der Curve fillt, und diese daselbst von AB beriihrt wird, oder mit andern Worten : dass der Punkt B und zwei ihm in AB niachstliegende Punkte der Curve angehéren. *) Nicht Ein Paar Wendepunkte, da jetzt, wie schon erinnert worden (§. 20. 7.), unter jedem Punkte der Curve zugleich mit sein Gegenpunkt, als ein ebenfalls der Curve angehoriger Punkt, verstanden wird. UBER DIE GRUNDFORMEN DER LintEN DER DRITTEN ORDNUNG. 34 Nun ist fiir die der Curve mit dem F. kreis AB gemeinsamen Punkte z= 0 (§. 20. 7.), und daher (a) aw® + by® + ha?y + lay? = 0. Die Punkte selbst aber werden durch «A + yB ausgedriickt, nach- dem darin fiir das Verhaltniss 7: y die drei aus (a) folgenden Werthe desselben nach einander substituiert worden. Soll B einer dieser drei Punkte sein, soll also die Curve durch B gehen, so muss, weil sich der Ausdruck «A + yB nur fiir « = 0 auf B reduciert, der Gleichung (a) Geniige geschehen, wenn man x — 0 setzt, und es muss folglich die Constante b — 0 sem. In der That reducirt sich damit (a) auf ax*+hae?y + ley? — 0, wovon die linke Seite den Factor # enthilt. Sondert man denselben ab, so kommt die Gleichung (b) ax? + hay + ly? = 0, durch deren Auflésung sich die beiden andern Durchschnitte der Curve mit AB ergeben. Soll noch einer derselben in B fallen, soll also die Curve durch B gehen und daselbst von AB beriihrt werden, so muss aus gleichem Grunde, wie vorhin, / = 0 sein, als wodurch sich (6) in die abermals mit dem Factor x begleitete Gleichung axz*> +hry — 0 verwandelt. Nach Division mit demselben findet sich fiir den noch iibrigen Durchschnitt der Curve mit AB (c) ax + hy —0. Soll daher, wie gefordert wird, auch dieser noch mit B identisch sem, so hat man noch h = 0, also iiberhaupt die Coeflicienten von y*, zy” und «*y in (A) einzeln = 0 zu setzen. Bei einer solchen Lage des F. dreiecks gegen eine Linie der dritten Ordnung, dass B in einen Wendepunkt der Linie fillt, und sie daselbst von AB hberiihrt wird, ist demnach ihre allgemeine Gleichung ax + cz? + fy*z4 g2?a + iyz? + hou? + moyz — 0, wofiir wir auch schreiben kinnen: (B) [fy? + (ma +iz)y]le+ari + her? + 2°x + c2° = 0, eine Gleichung, die sich durch nachstehende Betrachtungen noch weiter vereinfachen lisst. 32 A. F. Mésrus, §. 22. Sei P’ (Fig. 5.) ein beliebiger Punkt der Curve, und sein Ausdruck (a) pp’ Pi = 2 A-p yo Bie CG, so dass a’, y’, 2, fiir x, y, z in der Gleichung (B) substituirt, ihr Geniige leisten. Weil die Gleichung nach y quadratisch ist, so wird, wenn man in ihr = 2’ und z =z’ setzt, sich fiir y nichst y’ noch ein zweiter sie befriedigender Werth y" finden. Der demselben zu- gehérige Curvenpunkt heisse P", so dass (b+) p P= 2 A-+tey Be C. Aus (a) und (b) folgt (c) p’P’ — p’P" = (y’ — y")B, und wenn (d) p’P’ + p’P* = qQ gesetat wird: (e:) gQ = QxvA + (y +y')B+ 226. Zu Folge der nach y quadratischen Gleichung (B) ist aber y’ + y" ’ Ch kel ma’ +12 re ; ig Eo wale Hiermit verwandelt sich (e) in fq¢Q = 2f2'A — (ma’ + iz’) B+ 2fz'C, und es wird daher, wenn man noch (f) 2fA — mB = dD und (g) 2f4 —iB = eE setzt: (hk) Q=daD+e2' LE. Nun liegen nach (c) die zwei Curvenpunkte P’ und P" mit B in einem Hauptkreise, in welchem nach (d) auch der Punkt Q mit begriffen ist. Dabei verhalten sich (§. 20. 5.) sin P°B : sin BP” — — p": p’ und sn P’Q°: sin’ QP’ = p': p, folglich sin P’B : sin’ BP" — — sin P’Q’: sn OP”, und es wird demnach der Bogen P’ P” in B und Q harmonisch getheilt. — Endlich ist nach (h) Q ein Punkt des zu Folge (f) und (g) von dem will- kiihrlich angenommenen P’ unabhiingigen Hauptkreises DE, und wir schliessen daher : Wird in jeder von drei oder mehreren sich in einem Wendepunkte B schneidenden sphiarischen Sehnen P’ P’ der Curve ein Punkt Q so bestimmt, dass die Sehne durch ihn und durch Bharmonisch getheilt wird, so liegen alle diese Punkte Q in einem Hauptkreise DE. Wir wollen diesen Hauptkreis, nach Analogie einer ihnlichen Eigen- schaft bei den Linien der zweiten Ordnung, die Polare des Wende- punktes B nennen. UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 33 Ist die Sehne P’ P’ unendlich klein, und liegt B ausserhalb ibrer Endpunkte, so fill¢ der Punkt Q der Polare nach der Natur der har- monischen Theilung zwischen die Endpunkte, d. h.: Der Beriihrungspunkt einer durch einen Wendepunkt Ban die Curve gelegten Tangente ist, wo nicht B selbst, ein Punkt der Polare von B. — Und umgekehrt wird die Curve von einem Hauptkreise, welcher durch Bund einen ihrer Durchschnitte mit der Polare von B gelegt worden, in dem Durchschnitte berihrt. Die Reduction der allgemeinen Gleichung (A) der Curve auf die einfachere Form (B) wurde dadurch bewirkt, dass wir den F. punkt B mit dem einen Wendepunkte der Curve und den F.kreis AB mit der Tangente daselbst zusammenfallen liessen. Der F. kreis CA und der durch B zu legende BC blieben dabei der Willkiihr iiberlassen. Zu noch mehrerer Vereinfachung der Gleichung wollen wir jetzt annehmen, dass, wiihrend die F.kreise AB und BC ihre vorige Lage unverindert be- halten, der dritte CA mit der Polare DE des Wendepunktes B identisch wird, dass also, weil DE die BA und BC nach den Formeln (f) und (q) in D und £ schnitt, jetzt A mit D und C mit FE zusammenfillt. Wegen des Ersteren ist nach (f) néthig, dass m — 0, und wegen des Letzteren nach (g), dass i = 0. Hiermit reduciert sich die allgemeine Gleichung (B) einer sphirischen Linie der dritten Ordnung auf (C) fy?z+ an? + khzx? + g2?a 4+ c25 = 0. §. 24. Um die Beschaffenheit der durch (C) ausgedriickten Curve zu er- forschen, wollen wir zunichst nicht sie selbst, sondern ihre Projection auf eine mit dem F. kreise AB parallele Ebene in Untersuchung ziehen. Da die Gleichung einer sphirischen Curve nach §. 20. 8) auch als die Gleichung einer auf OA, OB, OC, als coordinierte Axen, bezogene Gleichung einer Kegelflache betrachtet werden kann, welche der Kugel Mittelpunkt O zur Spitze und die sphirische Curve zur leitenden Linie hat, und da in Bezug auf dasselbe Coordinatensystem die Gleichung einer durch den Punkt C der Axe OC parallel mit der Ebene 0A B gelegten Ebene a= 0.C Abhandl. d. K. S. Ges. d. Wissensch. I. 3 34 A. F. Méstus, ist, so werden wir die verlangte Projection, als den Durchschnitt jener Kegelflache mit dieser Ebene, sogleich erhalten, wenn wir in (C) der Coordinate z den constanten Werth OC beilegen. Setzen wir demnach die jetzt constanten Gréssen a:fz=—a, k:f=— £6, 92:f=—y, c2?:f=—d, so ergiebt sich als die Gleichung der Projection (C*) y® = aa + Bx +tyrto. Hierbei sind die Axen der x und der y mit OA und OB parallel. Ihr gemeinschaftlicher Anfangspunkt ist C oder die Projection von QC, daher diese Axen auch als die Projectionen der F.kreise CA und CB anzusehen sind. Der Lauf der sphirischen Curve bei B wird, weil B ein Punkt des mit der Projectionsebene parallelen Hauptkreises AB ist, durch zwei unendliche mit OB oder der Axe der y parallel zu werden strebende Aeste dargestellt (Fig. 6.). Weil die sphirische Curve in B den Kreis AB beriihrt und daselbst ee Wendung macht, so sind diese Aeste von parabolischer Form und laufen auf einer und derselben Seite der Axe der y, welcher sie ihre hohle Seite zuwenden, nach entgegengesetzten Richtungen (§. 15.). Der Wendepunkt B der ebenen Curve, welcher dem Wendepunkte B der spharischen entspricht, liegt demnach un- endlich entfernt nach einer mit der Axe der y parallelen Richtung. Seine Polare ist die Axe der 2, als die Projection der Polare CA von B. So wie jede durch B gehende Sehne P’ P" der sphirischen Curve in B und von CA in Q harmonisch getheilt wird (§. 22.), so wird auch jede nach B gerichtete, d. i. mit der Axe der y parallele Sehne P’ P” der ebenen Curve in B und von der Axe der x, es sei in Q, harmonisch, d.h. also getheilt, dass P’B: BP” — — P’Q:QP"*). Wegen der un- endlichen Entfernung von B ist aber der Exponent des erstern dieser beiden Verhiltnisse = — 1, folglich P’Q — QP", wie auch un- *) Nach dem bekannten Satze, dass, wenn P’, (Dis B, Q irgend vier Punkte eines Hauptkreises und P’, P”, B, P ihre Projectionen auf eine beliebige Ebene und daher vier in einer Geraden liegende Punkte sind, die zwei Verhiltnisse sin P'B , ey singR ha RaByiies BLO sin BP" | ‘sinvOvPa Bebe oA OCPy einander gleich sind. Liegen die vier erstern Punkte harmonisch, so ist das erstere, folglich auch das letztere Verhaltniss, —= — 4, und die vier letztern Punkte haben daher gleichfalls eine harmonische Lage. UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 35 mittelbar aus der Gleichung (C*) fliesst, als nach welcher jeder Ab- scisse CQ zwei eimander gleiche und entgegengesetzte Ordinaten QP’ und QP” zugehéren. §. 25. Die sphirische Curve, deren Gleichung (C), und die ebene, deren Gleichung (€*) ist, liegen in einer und derselben den Punkt O zur Spitze habenden Kegelflache, und es sind daher die Projectionen beider Curven durch Linien aus O auf irgend eine andere Ebene mit einander identisch. Da nun die Gleichung (C) dieselben Curven, wie die allgemeine Gleichung (A), umfasst, indem sie aus (A) durch Annahme einer besondern Lage des F.dreiecks hervorgegangen, und da folglich aus der durch (C) aus- gedriickten spharischen Curve nach den verschiedenen Werthen der in (C) vorkommenden Constanten und nach der verschiedenen Lage der Ebene, auf welche sie projiciert wird, alle méglichen ebenen Linien der dritten Ordnung entstehen kénnen, so muss dasselbe auch von der durch (C*) dargestellten ebenen Curve gelten. In der That ist es die Gleichung (C*), aus welcher Newton in seiner Enumeratio linearum tertii ordinis die fiinf von ihm sogenannten divergierenden Parabeln ableitet, fiinf Curven, die, wie er hinzusetzt, mit ihren Schatten alle tibrigen Linien der dritten Ordnung erzeugen, ebenso, wie jede Linie der zweiten Ordnung der Schatten eines Kreises ist. Die fiinf verschiedenen Formen aber, welche die mit der Gleichung (C*) construierte ebene Curve annehmen kann, erhalt Newton un- mittelbar durch Betrachtung der drei Wurzeln der Gleichung (zt) coe? + 6a? +yr+0=—0. Denn entweder sind alle drei Wurzeln reell, oder nur eine reell und die beiden andern imaginir. Unter der erstern Annahme sind von den drei reellen Wurzeln entweder I. keme zwei einander gleich, oder Il. die beiden kleinern, oder Ill. die beiden gréssern, oder IV. alle drei eiander gleich; wozu noch V. der Fall kommt, wenn die Gleichung (x) nur eine reelle Wurzel hat. y * 36 A. F. Mésius, Die diesen fiinf Fallen entsprechenden fiinf Curven wollen wir gleichfalls mit I., I., ...V. bezeichnen und ihre Formen einzeln zu be- stimmen suchen. Zuvor noch die Bemerkung, dass jede dieser fiinf Curven zu Folge ihrer gemeinsamen Gleichung (C*), wenn das Coordinatensystem ein rechtwinkliges ist, durch die Axe der # in zwei symmetrische Halften getheilt wird, dass wir aber hier den Ausdruck symmetrisch auch bei schiefwinkligen Systemen gebrauchen und je zwei Punkte gegen die Axe der x symmetrisch hegend nennen werden, wenn die sie verbindende gerade Linie mit der Axe der y parallel ist und von der Axe der x, welche vorzugsweise die Axe heisse, halbiert wird. Man gewahrt augenblicklich, dass auch bei dieser Erweiterung des Begriffs symmetrischer Lage, wenn drei oder mehrere Punkte der Ebene in einer Geraden sind, die ihnen symmetrisch entsprechenden gleichfalls in emer Geraden legen, dass beide Gerade sich in einem Punkte der Axe schneiden, dass die gegen- seitigen Entfernungen der erstern Punkte in denselben Verhiltnissen, wie die gegenseitigen Entfernungen der letztern, zu einander stehen; dass daher, wenn vier Punkte harmonisch legen, auch die ihnen ent- sprechenden vier harmonische Punkte sind; dass ferner, wenn eine Curve von der Axe in zwei symmetrische Theile getheilt wird, die an zwei einander entsprechende Punkte beider Theile gezogenen Tangenten zwei symmetrisch liegende Gerade sind, dass, wenn der eime der beiden Punkte ein Wendepunkt ist, es auch der andere ist, u. s. w. $26. Unter der Annahme, dass die drei Wurzeln der Gleichung (x) reell sind, kinnen wir die Gleichung (C*) schreiben: y*> — oe (wa — 1) (w —m) (2 —n). Sei nun P ein beliebiger Curvenpunkt, und Q der Punkt, in welchem die Axe der # von einer durch P mit der Axe der y gelegten Parallele geschnitten wird, also y —= QP, x = CQ. Man trage — mit Riicksicht auf die Vorzeichen — auf die Axe der 2 von ihrem Anfangspunkte C aus die Lingen CL=—1, CM—m, CN=—n, so wird «—l1 =LQ, x£—m—=MQ, «—n—NQ, und die Curvengleichung verwandelt sich in y* == ¢. LQ. MQ. NQ. Dabei wollen wir die Constante «@ als positiv betrachten, indem der Fall, wenn @ negativ sein sollte, sich sogleich dadurch auf den UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. Si erstern reducieren lisst, dass man die vorher negative Richtung der Axe der x zur positiven, und umgekehrt, nimmt. Wir wollen ferner annehmen, dass die Punkte L, M, N in dieser Ordnung nach der posi- tiven Richtung der Axe der x auf einander folgen, dass also die Ab- schnitte LM und MN beide positiv sind. Bei der Curve I. sind nun L, M, N drei verschiedene Punkte und zugleich die einzigen, in welchen y 0 wird. Liegt Q zwischen L und M, oder auf der positiven Seite von N, so ist die rechte Seite der Gleichung positiv; negativ dagegen, wenn Q zwischen M und N, oder auf die negative Seite von L fallt. Hieraus folgt, dass von N aus nach der positiven Seite der Axe hin zwei symmetrisch gegen sie liegende Aeste sich ins Unendliche erstrecken, und dass zwischen L und M und bis zu diesen Grenzen eine in sich zuriicklaufende und daher von jenen Aesten isolirte Curve (ovalis) enthalten ist. (Fig. 7.). Liegt Q dem N unendlich nahe, so kann statt der vorigen Gleichung geschrieben werden: y? aul Nu.MNANQ,, Ks ist dies die Gleichung einer Parabel der zweiten Ordnung, welche die Axe der # zu ihrer Axe und N zum Scheitel hat, und wir schliessen hieraus, dass die Curve in unmittelbarer Nahe von N gegen die Axe hohl ist. Da aber die zwei unendlichen Aeste der Curve der Axe der y ihre hohle (§. 24.) und mithin der Axe der a ihre erhabene Seite zukehren, so muss, ehe dieses geschieht, jeder der beiden Aeste eine Wendung *) machen, und die Curve muss daher iiber die positive Seite von N hinaus zwei symmetrisch liegende, in der Figur mit F und G bezeichnete Wendepunkte haben. Newton nennt hiernach die Curve L.: parabola campanifor- mis cum oyali. Die Curve II., bei welcher | = m ist, unterscheidet sich von der vorigen nur dadurch, dass die Punkte L und M hier vereinigt sind, und damit die vorhin zwischen ihnen enthaltene Curve sich in einen isolierten Punkt L zusammengezogen hat (Fig. 8.). Sie fiihrt bei Newton den Namen parabola punctata, und ihre Gleichung ist y* = a (x — 1)? (29 —n), wo l—= a (w% — 1) (w—n)?, wo _l 27 ist, und dass die Zwillingscurve fiir g == 1 oder e = 27 sich in einen isolierten Punkt ver- wandelt, dies lisst sich auch leicht aus der Betrachtung der Scheitel oder der Durchschnitte der Linie mit den Polaren ihrer Wendepunkte folgern. Die Gleichung der Polare des Wendepunktes H ist x = y (§. 32.). Diese, verbunden mit der Gleichung der Linie (1), giebt fiir die gemein- samen Punkte der Polare und der Linie oder die in die Polare von H fallenden Scheitel : (2a +4 2)* = ew*z, oder wenn man z: —p setzt: (p) (2+ p)* = ep. Ist daher p’ eine Wurzel dieser cubischen Gleichung, so verhalten sich fiir einen jener Scheitel x: y:2z== 1:41: p', und er selbst hat den Ausdruck (p') aA+bB4+ pel. Da nun jede der drei Polaren die einfache Curve der Linie in einem Punkte und die Zwillingscurve, falls diese vorhanden ist, in zwei Punkten schneidet, die, wenn die Zwillingscurve sich immer mehr verengert, zu- letzt in einen isolierten Punkt zusammengehen, so wird die Linie entweder bloss aus einer einfachen Curve bestehen, oder noch mit emer Zwillings- curve, oder mit einem isolierten Punkte begleitet sein, jenachdem von den drei Wurzeln der Gleichung (p), oder der Gleichung q®> —eq+ 2e=— 0, wenn man 2+ p—q setzt, entweder nur eine reell, oder alle drei reell und verschieden, oder zwei der drei reellen einander gleich sind. Ueber- einstimmend mit dem schon Bemerkten tritt aber bei letzterer Gleichung nach einer bekannten Regel der erste, zweite, oder dritte Fall ein, je- nachdem e — 27 negativ, positiv, oder null ist. Zusitze. a. Ist e— 27, und hat folglich die Linie einen isolierien Punkt, so reduciert sich (p) auf ia 1)" (p +8 "0. Fiir den isolierten Punkt selbst ist daher p 4, und fir den in die Polare von H fallenden Scheitel R (Fig. 14.) p = — 8. Zufolge (p’) ist demnach ersterer Punkt =aA+0B+4cC, d.i. der Centralpunkt V (§. 28. 7.), letzterer = aA + DB — 8c. Abhandl. d. K. S. Ges. d. Wissensch. I. 5 66 A. F. Mésius, b. Fiir den Durchschnitt LZ der Polare yon H mit der an H gelegten Tangente hatten wir in §. 32. /E — aA + 0B, wodurch V=I1L+4+cC€ und R=IL— 8c€ wird. Da ferner die Gleichungen dieser Polare und des Wendekreises xy und ©+y +2 = 0 sind, so verhilt sich fiir den Durchschnitt beider Kreise mit einander, welcher D heisse, « : y: z= 4:41: — 2, und es ist folglich D=aA+ OB — 2cC=IL— 2c. Aus diesen Ausdriicken fiir V, R und D durch LE und € ergeben sich ihnlicherweise, wie in §. 37., die D.verhiltnisse (CLVD) = — 2, (CLVR) = — 8, wovon die erstere Gleichung bei allen Werthen von e, die letztere nur fiiriet=— 2 1gcilt, Die nimlichen zwei Gleichungen haben auch noch statt, wenn man unter C, L, V, D, R die Projectionen dieser Punkte auf irgend eine Ebene versteht. Fallt dabei Z in unendliche Entfernung, wie dies unter Anderem bei den Newton’schen Parabeln geschieht, wo die Tangente ALB an dem einen Wendepunkte H unendlich entfernt ist, und damit die beiden andern F und G eine symmetrische Lage erhalten, so wird CV CD CV CV CLV Dp e— RMA a Re TTI (CLVR) = CR’ also. VG =— 2.C.D. (8.29). § C Round VC: CR RDg— Sea c. Bezeichnet demnach N den Scheitel emer N.Parabel, C den gemeinsamen Durchschnitt der an die symmetrischen Wendepunkte der Parabel gelegten Tangenten und D den mit C und N in der Axe liegenden Mittelpunkt von FG, so ist bei der Parabola punctata (Fig. 8.) CN —iCD. Dagegen ist bei der parabola cum ovali (Fig. 7.) CN<1CD, wie sogleich daraus erhellet, dass die Characteristik g emer solchen Parabel zwischen 0 und 1 fillt, wahrend fiir die punctata g == ist, und dass nach der Betrachtungsweise in S§. 35. und 36. von je zwei zu demselben System von Wendepunkten und Tangenten an denselben gehérigen und auf einerlei Seite dieser Tangenten liegenden Linien die den Tangenten nihere Linie die kleinere Characteristik hat. — Aus ahnlichem Grunde ist bei der parabola pura, wo g entweder grésser als 1, oder negativ ist, CN >1CD; fir g > 1 fallt CN zwischen 1 CD und CD (Fig. 9.a.); fir g< 0 ist CN > CD (Fig. 9. b.). Fir g = (folg. §.) ist CN—=CD; C hegt dann im Unendlichen, d. h. die Tangenten in F und G sind einander parallel (Fig. 19.). UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN OrpNunc. 67 §. 42. Bei einer Linie der dritten Ordnung mit drei Wendepunkten kann noch der besondere Fall eintreten, dass die drei an die Wendepunkte gelegten Tangenten sich in einem Punkte schneiden. Die Gleichung einer solchen Linie wird sich am einfachsten mittelst des in §. 31. er- haltenen allgemeinen Satzes ergeben. Heissen nimlich, wie bisher, F, G, H (Fig. 19.) die drei Wendepunkte, zwischen welchen, als drei Punkten eines Hauptkreises, eme Gleichung von der Form fF4+9G+hH—0 besteht; bezeichnet C den Durchschnitt der an F und G gelegten Tan- genten, und wird in Bezug auf FGC, als F.dreieck, der allgemeine Ausdruck eines Punktes der Kugelfliche feF + gyG+ezC gesetzt: so ist die Gleichung des Wendekreises z—0, und die Gleichungen der Tangenten FC, GC an F, G sind y = 0, « — 0. Die Gleichung der an H zu legenden Tangente, welche jetzt gleichfalls den Punkt C treffen soll, ist 2 — y = 0; denn damit reduciert sich der allgemeine Ausdruck eines Punktes auf fal’ + gaG + czC, = — ha + cz€, d. i. auf den Ausdruck jedes beliebigen mit H und C in einem Haupt- kreise liegenden Punktes. Nach §. 34. ist daher die Gleichung der Linie: z*: ay (vw —y) = einer constanten Grosse, welche wir 7° setzen wollen; oder noch einfacher, wenn wir 7z statt z schreiben : (a) 2®—avy (ex— y), und der zugehorige Ausdruck wird: fel + gyG+c1zC, oder wenn wir oth setzen: (6) feF+qyG+kzC. Zusitze. a. Die Characteristik der Linie, bei welcher sich die Tangenten an den drei Wendepunkten in einem Punkte schneiden, ist als unendlich gross anzusehen. Dies erhellet sogleich aus dem in §. 37. durch D.verhiltnisse ausgedriickten Werthe von e. Denn wenn die drei Punkte A, B, C, in denen sich die Tangenten daselbst schneiden, in einen einzigen zusammengchen, so fallen mit diesem Punkte auch die dortigen P, Q, R zusammen. Hierdurch aber wird jedes der drei D.verhaltnisse (SATP), (SBUQ), (SCVR) = 0, folglich auch e—0, und die Characteristik = 3: Ye = «. b. Die Polare von H trifft den Centralpunkt C und schneidet die durch H gehende Sehne F’G in einem Punkte J, welcher nach §. 22. der vierte harmonische Punkt zu I’, G, H, und daher = [F — gG ist, weil 5 * 68 A. F. Monts, H=fF + 9G. Nehmen wir jetzt H und J, statt F und G, zu F.punkten, so dass das F.dreieck yon dem Wendekreise HJ, von der Polare CJ des Wendepunktes H und von der an H gelegten Tangente HC gebildet wird. Weil [fF + 9G = — hH, und weil wir fF — gG = iJ setzen kénnen, so wird 2/F = iJ —hH, 29G — —iJ —hHl, wnd damit der Aus- druck () x (td —hH) —y (id +hH)4+2k2C, di. (y) pI thqH+kzC, wenn wir noch « — y= 2p und —- « — y = 24 setzen. Hiermit aber verwandelt sich die Gleichung («) der Linie in (0) 2° == 2p (q? —p’). ec. Schliisslich wollen wir noch diese sphiirische Curve auf eine mit dem F.kreise HC parallele Ebene projicieren und die Gleichung dieser Projection zu bestimmen suchen. Heissen J, H, C die Projectionen von J, Hf, C, so liegen H und C unendlich entfernt, und es verhalten sich, wenn J zum Anfangspunkte und die Geraden JH und JC zu den Axen der Coordinaten y und « genommen werden, die Coefficienten im Aus- drucke (y) en sigs kee Ce esite wo, wenn O den Mittelpunkt der Kugel bezeichnet, c = OJ ist (§. 24.). Die hieraus folgenden Verhaltnisswerthe von p, q, z in (0) substituiert, ergiebt sich als die gesuchte Gleichung der Projection: 3 2 2 2 3 © cry c ) y By = De eS) oder “einfacher? = 4 big ih Eom re: eine Gleichung, die, wie zu erwarten stand, emer parabola pura (§. 26.) angehért. Fiir den Scheitel der Parabel ist «= —a und y= 0; fir die zwei symmetrischen Wendepunkte F und G, als die Projectionen von F und G, ist « = 0 und y = + 5, und die in ihnen an die Curve gelegten Tangenten FC und GC sind mit JC, d.i. mit der Axe der Parabel, parallel. Von den Linien der dritten Ordnung, welche Knoten, oder Spitzen haben. S. 43. Es bleiben uns noch die sphirischen Linien der dritten Ordnung zu betrachten tibrig, bei welchen zwei der drei Wendepunkte zu einem Knoten, oder emer Spitze zusammengegangen sind. Wir kehren deshalb zu der Gleichung (C) fy?z + ax> + kz? + g2?x + cz? = 0 in §. 23. zuriick, welche, auf den Ausdruck «A + yB + 2C bezogen, UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 69 eine Curve darstellt, bei welcher B ein Wendepunkt, AB die an den- selben gelegte Tangente und CA seine Polare ist. Wurde in (C) die Va- riable z constant gesetzt, so ergab sich (§. 24.) die Projection der Curve auf eine mit dem F.kreise AB parallele Ebene ; und wenn dieser ebenen Curve statt der zwei andern Wendepunkte ein Knoten zukommen sollte, so musste in ihrer Gleichung das Aggregat der mit y nicht behafteten Glieder in Bezug auf wv einen rein quadratischen Factor enthalten (§. 26.). Es wird daher (vergl. §. 5.) auch die durch (C) ausgedriickte sphirische Curve nur dann einen Knoten haben, wenn (C) sich auf die Form y2x = a ( — 62) (© — 72)? reducieren lisst. Wie indessen schon aus §. 26. bekannt ist, reicht diese eine Bedingung noch nicht hin. Fiihren wir nimlich statt 2 eine andere Verinderliche z,,==« — yz, ein und setzen y — @ = 0, so wird die Gleichung : (a) y*2 == a2? (x, +02), und der zugehiérige Ausdruck wird: (4,+ yz) A+yB+42zC, oder wenn wir yA + C= c, C, setzen: (8) 7%, A+yB4+c,2C,. Nun geschieht der Gleichung (@) Geniige fiir #, = 0 und y = 0, und es ist folglich C, ein Curvenpunkt. Ist aber 2, sehr klein, und mithin sehr nahe y?—= adx,*, so kann die Gleichung nur dann befriedigt werden, wenn das Product «06 positiv; nicht, wenn es negativ ist. Im letztern Falle ist daher C, ein isolierter Punkt. Im erstern setze man «od = e*. Fir ein sehr kleines 7, wird alsdann y = + ¢,, welches die Gleichungen zweier Hauptkreise sind, deren jeder durch C, und einen dem C, sehr nahe lie- genden Curvenpunkt geht, also die Gleichungen zweier die Curve in C, beriihrenden Hauptkreise. Mithin muss dann C, ein Knoten sein. Die Gleichung fiir eine sphirische Linie der dritten Ordnung mit einem Knoten ist demnach y?z = av > + ex? z, und (f) der zugehérige Ausdruck; oder, wenn wir x a fe —— UN 2 é é et fae zt, a setzen, yz, —=23+2,22,, die Gleichung, und 7 A+tyB+—y €,2,0, : ac der Ausdruck; oder endlich, wenn wir 1 : ¢ : —;+ = a:b: c setzen fi) und die nicht mehr néthigen Indices weglassen : (vy) y®z—= 2? + w*z die Gleichung und (0) aA + byB +4 czC€ der Ausdruck. 70 A. F. Mosius, Hierbei ist C der Knoten, B der noch iibrige Wendepunkt, AB die Tangente an B und AC die Polare von B. — Da die beiden andern Wendepunkte jetzt in C vereinigt sind, so vertritt hier der Hauptkreis BC die Stelle des Wendekreises. Zusatz. Wie aus dem Vorigen unmittelbar folgt, sind y = @ und y —= — « die Gleichungen der die Curve in C beriihrenden Hauptkreise, und daher die Durchschnitte der letztern mit dem F.kreise AB, dessen Gleichung z = 0 ist, = aA+ 0B und aA — dB. Bezeichnen wir da- her diese Durchschnitte mit D und E (Fig. 20.), so kénnen wir setzen: — 2dD —=aAt dB, — 2ek =aA — DB, woraus aA ——dD—eE, bB=—=—dD +e folgt; und der Ausdruck (6) wird, wenn wir D und E statt A und B zu F. punkten wahlen : —uz (dD+ek) —y dD—eE) +¢2z€, oder, wenn wir & + y — — u, & — y = — v setzen und ¢ statt z schreiben: ctC + duD + evk. Die Gleichung (y) verwandelt sich damit in utv,3 iM) d. h. das geometrische Mittel zwischen f¢, u, v ist dem arithmetischen zwischen wu und v gleich. (Vergl. §. 33.). tuy = ( Das F.dreieck wird hierbei von der Tangente am Wendepunkte B und den zwei Tangenten am Knoten € gebildet. In Bezug auf dasselbe ist der Wendepunkt = dD — ek, und dessen Polare der durch C und dD +e zu legende Hauptkreis. Hin Punkt dieses Hauptkreises ist cC4+dD+eE, welcher L heisse. Fiir ihn ist £ = u—v; und da mit dieser Gleichheit der Verinderlichen der Curvengleichung Geniige geschieht, so ist L der nochmalige Durchschnitt der durch C gehenden Polare mit der Curve, also der Scheitel der Curve. Dass letztere yon dem durch L und B gelegten Hauptkreise in L beriihrt wird, ist schon in §. 29. bemerkt worden. §. bh. In dem noch specielleren Falle, wenn in der Gleichung (C) der von y freie Theil rein cubisch, und daher in («) der Coefficient d= 0 ist, hat nach §. 26. und mit Anwendung derselben Schlussweise, wie im vor. §., die sphirische Linie der dritten Ordnung eine Spitze. Die Gleichung einer solchen Linie ist daher y>z == aa", verbunden mit dem Ausdrucke cA + yB 420. UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 7A Bestimmen wir noch drei Constanten a, b, c so, dass b?¢ = aa’, so verwandelt sich die Gleichung in Yeiula, x S Sseaiata? und es wird nunmehr, wenn wir in der Gleichung und im Ausdrucke ax, by, cz statt x, y, 2 schreiben, die erstere y*z == x", der letztere awA + byB + czC. Hierin ist C die Spitze und, wie vorhin, B der Wendepunkt, CA seine Polare und AB die an ihn gelegte Tangente; aA +bB +4 cC ist aber ein Punkt der Curve, weil mit 2 == y =z die Gleichung befriedigt wird. Von der Collineationsverwandtschaft ebener und sphirischer Figuren. §. 45. Der Hauptzweck dieser Abhandlung sollte die Eintheilung der ebenen Linien der dritten Ordnung nach dem Princip der Collineation sein. Weil alle einander collinearen ebenen Linien, und wo nicht sie selbst, doch ihnen affine Linien, als Centralprojectionen einer und der- selben sphirischen Linie betrachtet werden kénnen, so untersuchten wir zunichst die verschiedenen Formen und die daran sich kniipfenden Kigenschaften der sphirischen Linien der dritten Ordnung. Nachdem diese Gegenstiinde zur Geniige, wie ich hoffen darf, erértert worden, wende ich mich jetzt zu dem Versuche einer Eintheilung selbst, dem ich noch folgende die Collineation ebener und sphirischer Figuren iiber- haupt betreffende Siatze vorausgehen lasse. 1) Wenn allen Punkten einer Ebene die Punkte einer andern Ebene dergestalt entsprechen, dass von je drei Punkten der einen Ebene, welche in einer Geraden liegen, die entsprechenden der andern eben- falls in einer Geraden begriffen sind, so sagt man, dass die Punkte bei- der Ebenen sich nach dem Gesetze der Collineation entsprechen, und nennt je zwei Figuren der einen und der andern Ebene, welche durch entsprechende Punkte bestimmt sind, einander collinear. 2) Sollen die Punkte zweier Ebenen nach dem Gesetze der Col- lineation auf einander bezogen werden, so kann man die vier ersten Paare sich entsprechender Punkte, sie heissen A und A,, B und B,, G und C,, D und D,, nach Willkiihr annehmen, nur dass keine drei der vier Punkte der einen oder der andern Ebene in einer Geraden liegen. 2, . A. F. Moss, Der jedem fiinften Punkte S der einen Ebene entsprechende Punkt S, der andern ist dann vollkommen bestimmt. Die Bestimmung des Punktes S, aus den gegebenen A..D,A,..D, und S kann unter andern dadurch bewerkstelligt werden, dass man, was immer moglich ist (Bar. Calc. §. 230.), die beiden Ebenen in eine solche Lage gegen einander bringt, dass sich die vier Geraden AA,, BB,, CC,, DD, in einem Punkte X schneiden. Der Punkt S, wird alsdann der Durchschnitt der Ebene A , B, C, mit der Geraden XS sein. Denn es ist von selbst klar, dass bei einem solchen Entsprechen der Punkte beider Ebenen drei Punkte der einen jederzeit in emer Geraden liegen, wenn die ihnen entsprechenden der andern in einer Geraden sind. Zwei Ebenen, deren Punkte einander collinear entsprechen, kiénnen demnach immer in eine perspectivische Lage, d. i. in eine solche ge- bracht werden, bei welcher alle die Geraden, welche einander ent- sprechende Punkte verbinden, sich in einem Punkte schneiden. 3) Sind I, G, H, J vier Punkte der einen Ebene, F,, G,, H,, J, die ihnen entsprechenden in der andern, und liegen die vier erstern, also auch die vier letztern, in einer Geraden, so sind, weil bei der per- spectivischen Lage der beiden Ebenen die vier Geraden FF,, GG,, HH,, JJ, in einer Ebene liegen und sich in einem Punkte schneiden, nach einem bekannten und bereits in §. 38. angewendeten Satze die D.verhiltnisse (FGHJ) und (F, G, H, J,) emander gleich. ) Eben so, wie die Punkte zweier Ebenen, kann man auch die Punkte zweier Kugelflachen in collineare Beziehung setzen, indem man namlich alle Punkte der einen Fliche denen der andern dergestalt entsprechen lasst, dass je dreien Punkten der einen Fliche, welche in emem Haupt- kreise liegen, drei in einem Hauptkreise liegende Punkte der andern Fliche entsprechen. Man gewahrt augenblicklich, dass, wenn die Punkte beider Flichen in dieser Beziehung zu einander stehen, die Central- projectionen dieser Punkte auf zwei beliebig gelegte Ebenen einander collinear sind, und dass umgekehrt, wenn man die Punkte zweier Ebenen sich collinear entsprechen lisst, man durch Projection derselben auf zwei Kugelflachen zu jedem Punkte der einen Fliche einen ihm nach dem Gesetze der sphirischen Collineation entsprechenden in der andern erhilt. Beides aus dem einfachen Grunde, weil, wenn drei Punkte einer Kugel- flache in einem Hauptkreise liegen, die Centralprojectionen derselben auf eine Ebene in einer Geraden sind, und umgekehrt. UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 73 5) Es folgt hieraus leicht weiter, dass, wenn die Punkte zweier Kugelfliichen einander entsprechend gesetzt werden sollen, eben so, wie vorhin bei zwei Ebenen, vier Punkte der einen Fliche und die vier ihnen entsprechen sollenden der andern beliebig genommen werden kiénnen, dafern nur keine drei, weder der vier erstern, noch der vier letztern, in einem Hauptkreise liegen; und dass hiermit fiir jeden Punkt der einen Flache der entsprechende in der andern vollkommen bestimmt ist. 6) Sind F, G, H, J vier in einem Hauptkreise liegende Punkte der einen Fliche, F,, G,, H,, J, die ihnen collinear entsprechenden und daher gleichfalls in einem Hauptkreise liegenden Punkte der andern Flache, so sind die sphirischen D.verhiiltnisse (FGHJ) und (Ff, G, H,J,) emander gleich. Denn bezeichnen F, G, H, J die Projectionen der vier erstern Punkte auf ee Ebene, und F,, G,,-H,, J, die Projectionen der vier letztern auf eine zweite Ebene, so ist (§. 25. Anmerk.) (FGHJ) = (FGHJ) und (F, G, H,J,) =(F,G,H, J,). Weil aber die Punkte beider Ebenen, welche Projectionen sich entsprechender Punkte der beiden Kugelflachen sind, sich nach dem Ge- setze der Collineation entsprechen, so ist (FGHJ) = (F, G6, H,J,); folglich u. s. w: 7) Der eben bewiesene Satz gilt, wie von selbst einleuchtet, auch umgekehrt. Hat man naimlich die Punkte zweier Kugelflachen in col- lineare Beziehung gebracht, und entsprechen dabei drei in einem Haupt- kreise liegende Punkte F’, G, H der einen Fliche den Punkten I’,, G,, H, der andern, welche daher ebenfalls in enem Hauptkreise liegen werden, so werden zwei in denselben zwei Kreisen liegende Punkte J und J, ein- ander entsprechende sein, wenn (FGHJ) = (F, G, H, J,) ist. 8) Werden vier Punkte A, B, C und M, = aA+0B+4cC, einer Kugelfliche, von denen keine drei in emem Hauptkreise liegen, vier be- liebigen, nur derse!ben Bedingung unterworfenen Punkten A,, B,, C, und M,,=a,A, +b,B, +, G,, einer zweiten Kugelfliche collinear ent- sprechend gesetzt, so entsprechen sich nach diesem Gesetz auch die Punkte S=arA+byB+ezC und S, =a, 2A, +6, yB, +¢,20, beider Flachen. Beweis. Zu Folge der Ausdriicke fiir M und § kann man schreiben : aA+bB+4+cC=mM und avd + byB+czC=sS. Man setze hiernach bB +cC€ = mM —aA=J und byB+cz€ =sS—ardA=P. Th A. F. Moss, Es sind daher J und P die Punkte des Hauptkreises BC, welche er mit den Hauptkreisen MA und SA gemein hat (Fig. 24.), und es verhalt sich sin BJ Hsia’ sin BP A Pa Bin Cla aabhipacineE, Cmamiaban’ a et (BCJP) — z. Eben so findet sich, wenn K und Q die Durchschnitte des sil kreises CA mit MB und SB bezpichne nis (CAROY = Haben ferner auf der zweiten Kugelfliche die Punkte J,, P,, K,, Q, dieselbe Bedeutung, wie die gleichnamigen auf der ersten, so dass J, den Durchschnitt von B, C, mit M,A, u.s.w. ausdriickt , so ist auf gleiche Weise (B,C, J,P,) = und (6,4, K, 0,) = =, folglich (BCS P) = (BG. J.P.) und (CA KO) (GA he Ue Nach der Voraussetzung und nach der gemachten Construction ent- sprechen aber den Punkten A, B, C, J, K die Punkte A,, B,, C,, J,, K,. Zu Folge der zwei letzterhaltenen Gleichungen entsprechen sich daher auch die Punkte P und P,, so wie Q und Q,; mithin sind auch die Durchschnitte von AP mit BQ und von A, P, mit B, Q,, dh. SundS,, einander entsprechende Punkte. 9) Sind die vier Punkte A, B, C und M, = aA + OB +c, einer Kugelflache, also auch die Verhiltnisse a: b und b: c, gegeben, sind aber nicht die Verhialtnisse 2: y und y : z einzeln, sondern eine Gleichung zwischen ihnen oder eine homogene Gleichung zwischen 2, y, z gegeben, und ist daher der Ort von S, = arA + byB + czC, eine spharische Curve, so sind diese Curve und die mit derselben Gleichung in Bezug auf den Ausdruck a, 7A, +b, yB, + c¢,2C, construierte Curve nach vorigem Satze einander collinear. Es entsprechen sich namlich je zwei Punkte der einen und der andern Curve, fiir welche «7, y, z in den nam- lichen Verhiltnissen zu einander stehen. Nichstdem sind noch A, B, C, M und A,, B,, G,, M, einander entsprechende Punkte, mégen sie zu den Curven selbst gehéren, oder nicht. Zwei Curven, die mit zwei nicht identischen Gleichungen, die eine in Bezug auf den Ausdruck avxA+4..., die andere in Bezug auf a, 7A, +...., construiert worden, sind einander nicht collinear, wenigstens nicht UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN OrpNUNG. 7D dergestalt, dass dabei den Punkten A, B, C und aA +... die Punkte A,, B,, C, und a, A, +... entsprichen. Deshalb, und weil durch An- nahme anderer F.punkte die Ordnung, zu welcher eine Curve gehdrt, nicht geindert wird, kénnen zwei Curven, welche von verschiedener Ordnung sind, auf keine Weise einander collinear sein. 10) Bedeute (a, y, z) eine homogene Function von a, y, z. Die durch die Gleichung (x. 4% a0 und den Ausdruck azA +byB +4czC bestimmte Curve heisse 1, then ’. a,vtA,+b,yB,+e,2€, ,, re tudes re ton. 4 b, cB, +a,yA,+4+e,2C, ,, Ai ro ee Hiernach sind / und 1, zwei einander collineare Curven, und es entsprechen dabei den Punkten A, B, C und aA + bB + cC, = M, die Punkte A,,B,,C, und a, A, +6, B, +c, C,, =M,. Desgleichen sind /und/, einander collinear und dabei A, B, C, Mund B,, A,, €,, M, entsprechende Punkte. Im Allgemeinen werden nun die ebenfalls einander collinearen Curven /, und /, von einander verschieden sein. Nehmen wir aber an, dass (a, y, z) eme nach x und y symmetrische Function ist, so kénnen wir als Gleichung fiir 1, auch schreiben: (y, 2, 2) = 0; und diese Gleichung, verbunden mit dem Ausdrucke a,yA, +b, cB, +c,2zC, fir /,, giebt eine mit /, ganz identische Curve. Ist daher die Function (a, y, z) nach « und y symmetrisch, so sind die Curven lund /, auch dergestalt in collinearer Beziehung, dass A, B, C, M und B,, A,, ,, M, eimander entsprechen. Wenn folglich (x, y, z) eine nach a, y, z zugleich symmetrische Function ist, so kénnen die Curven / und 1, auf sechs verschiedene Arten einander entsprechend gesetzt werden, indem man alsdann den Punkten A, B, C die Punkte A,, B,, C,, letztere in jeder beliebigen Folge genommen, entsprechen lassen kann. Dabei aber entspricht M, stets dem M, weil die Coefficienten a,, 6,, c, resp. mit den Punkten A,, B,, G, stets verbunden bleiben. Von der Collineationsverwandtschaft zwischen Linien der dritten Ordnung. §. 46. Mit Hiilfe des Voranstehenden wird es nun keine Schwierigkeit haben, die Bedingungen zu bestimmen, unter denen zwei spharische ‘Linien der dritten Ordnung einander collinear sind, sobald wir nur noch die leicht erweislichen Satze beriicksichtigen, dass bei zwei einander 76 A. F. Ménius, collinearen sphirischen (oder ebenen) Curven jedem Wendepunkte, Knoten, oder Spitze der einen Curve ein gleichartiger merkwiirdiger Punkt in der andern entspricht, und dass zwei an zwei emander ent- sprechende Punkte beider Curven gelegte Beriihrungskreise sich gleich- falls entsprechen. Vergl. §. 5. Wenn demnach von zwei einander collinearen Linien der dritten Ordnung die eine drei Wendepunkte hat, so miissen der andern_gleich- falls drei Wendepunkte zukommen. Da die auf den Ausdruck av A + byB+czC sich beziehende Gleichung einer solchen Linie, den in §. 42. betrachteten Fall ausgenommen, immer auf die Form Vayz== 19 (a-+y +2) gebracht werden kann (§. 35.), so sind je zwei solcher Linien, wenn sie einerlei Characteristik g und damit eine gemeinschaftliche Gleichung haben, einander collinear. Dabei entspricht der Centralpunkt aA + bB + cC der einen dem Centralpunkte der andern, und, wie gehdérig, die Punkte 6B — cC, cO — aA, aA — DB, d.i. die Wendepunkte (§. 31.) der einen, den Wendepunkten der andern, die F.kreise BC, CA, AB, d.i. die an die Wendepunkte der einen Linie gelegten Beriihrungskreise, denselben Kreisen bei der andern, u. s. w. Weil iibrigens die Gleichung nach x, y, 2 symmetrisch ist, so kann man die Punkte A, B, C bei der einen Linie den gleichnamigen Punkten bei der andern, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die drei Wendepunkte der einen den drei Wendepunkten der andern, in jeder beliebigen Folge entsprechend setzen, und es sind daher die beiden Linien auf sechs verschiedene Arten einander collinear. Da ferner, wenn zwei Linien, deren jede drei Wendepunkte hat, einander collinear sein sollen, die Wendepunkte der einen und die der andern, also auch die beiderseits von den Tangenten in den Wende- punkten gebildeten Dreiecke (ABC und A, B, C,) einander entsprechen miissen, so kénnen die Linien, wenn sie verschiedene Characteristiken haben, und folglich ihre auf jene Dreiecke bezogenen Gleichungen nicht identisch sind, auch nicht eimander collinear sein. Zwei Linien der dritten Ordnung, deren jede drei Wendepunkte hat, sind daher nur dann und dann immer, und zwar auf sechserlei Weise, einander collinear, wenn ihre Characteristiken einander gleich sind. Insbesondere sind es daher alle die Linien, welche eine Cha- racteristik — 4 und damit einen isolierten Punkt haben (§. 36.). Das jetzt von Linien mit drei Wendepunkten im Allgemeinen Ge- sagte gilt aber auch fur den speciellen in §. 42. erdrterten Fall, wenn die UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. | an die drei Wendepunkte F, G, H gelegten Tangenten sich in einem Punkte C schneiden. Denn die auf den Ausdruck fxF + gyG 4+ kz€ sich bezichende Gleichung einer solchen Linie, z* = «ay (w — y), ist frei von einer erst noch zu bestimmenden Constante; mithin sind alle diese Linien einander collinear verwandt. Und da, wie aus §. 42. erhellet, die- selbe Gleichung hervorgeht, wenn. statt F und G ein anderes Paar Wende- punkte zu F. punkten genommen wird, so kénnen auch je zwei dieser Linien auf sechs verschiedene Arten einander collinear gesetzt werden. Endlich folgt unmittelbar aus dem Princip der Collineation, dass keine dieser Linien einer andern, bei welcher die Tangenten in den drei Wendepunkten sich nicht in einem Punkte schneiden, collinear sein kann. Was die mit einem Knoten versehenen Linien der dritten Ordnung anlangt, so sind diese insgesammt einander collinear, weil in ihrer auf den Ausdruck ctC+duD+4evk bezogenen Gleichung 8 tuv = (u+v) (§. 43.) keine erst noch zu bestimmende Constante vorkommt. Weil die Gleichung nach wu und v symmetrisch ist, so konnen je zwei dieser Linien auf doppelte Weise auf einander bezogen werden. Hat man nimlich die eine Linie mit den vier Punkten C, D, EK und L, = cC+dD + eF, und die andere mit den vier ihnen resp. entsprechenden C,, D,, E, und L, construiert, so kann man auch FE, dem D und D, dem E entsprechend setzen; d.h. die zwei Tangenten CD und CE am Knoten C der einen Linie kénnen willkiihrlich den zwei Tangenten am Knoten der andern entsprechend gesetzt werden. Je zwei solcher Linien kénnen aber nicht noch auf eine dritte Art einander collinear sein, weil der Knoten C und der Wendepunkt B der einen Linie und die durch diese Punkte an die Linie gelegten Tangenten CD und CE, BDE wnd BL denselben Stiicken bei der andern entsprechen miissen. Eben so, wie alle Linien, welche eimen Knoten haben, sind endlich auch je zwei mit einer Spitze versehene Linien einander collinear; denn in ihrer auf den Ausdruck avA + byB +4 czC€ sich beziehenden Gleichung y?z — a* (§. 44.) ist keine willkihrliche Constante enthalten. Dabei entsprechen der Spitze C, dem Wende- punkte B und dem Durchschnitte A der an C und B gelegten Tangenten der einen Linie die gleichnamigen Stiicke bei der andern. Je zwei sol- cher Linien kénnen aber auf unendlich viele Arten einander collinear gesetzt werden; denn der Punkt aA + 0B + cC ist ein beliebiger Punkt der einen Linie, und fiir den ihm entsprechenden a, A, +), B, +c, C, kann man jeden beliebigen Punkt der andern wiahlen. 78 A. F. Monts, §. 47, Sind zwei sphirische Linien einander collinear, so sind es auch die Centralprojectionen derselben auf Ebenen, und umgekehrt : sind zwei ebene Linien einander collinear, so sind es auch ihre sphérischen Pro- jectionen. Alles, was im vor. §. iiber die collineare Beziehung zwischen sphirischen Linien der dritten Ordnung bemerkt worden, muss mithin wortlich auch bei den ebenen dieser Ordnung gelten. Jenachdem daher von zwei solchen Linien die eine drei Wendepunkte, oder statt zweier derselben einen Knoten, oder eime Spitze hat, muss auch die andere, wenn sie der erstern collinear heissen soll, im ersten Falle drei Wende- punkte, im zweiten einen Knoten, im dritten eime Spitze haben. Im zweiten und dritten braucht keine anderweitige Bedingung erfiillt zu werden. Im ersten Falle dagegen muss noch, jenachdem sich die Tan- genten an den drei Wendepunkten der einen Linie in einem Punkte schneiden, oder nicht, das eine, oder das andere bei der entsprechen sollenden Linie geschehen; und wenn beiderseits die drei Tangenten sich nicht in einem Punkte schneiden, so muss noch die Characteristik der einen Linie der Characteristik der andern gleich sein. In §. 40. construierten wir eine krumme Flache, welche die Eigen- schaft besass, dass jeder Schnitt derselben mit einer Ebene, welche einer gewissen Grundebene parallel war, eine Linie der dritten Ordnung mit drei unendlich entfernten Wendepunkten und mit emer dem Ab- stande g’ der schneidenden Ebene von der Grundebene proportionalen Characteristik gab. Diese Flache kann daher als die Reprisentantin aller ebenen Linien der dritten Ordnung mit drei Wendepunkten angesehen werden, indem jede dieser Linien einem gewissen mit der Grundebene parallelen Schnitte der Fliche collinear ist. Selbst die Linie, bei welcher die Tangenten der drei Wendepunkte sich in einem Punkte treffen, kann man als eimen Schnitt dieser Flache betrachten. Denn je grésser der Abstand g der schneidenden Ebene von der Grundebene nach der einen oder der andern Seite ist, desto mehr liegen die dem Centralpunkte nachsten Punkte der drei hyperbolischen Curven des Schnittes vom Centralpunkte entfernt; desto mehr ver- schwindet also das von den Asymptoten der auf die Grundebene recht- winklig projicierten drei Curven gebildete und den Centralpunkt als Mittelpunkt enthaltende endliche Dreieck gegen die Curven selbst, wie ein blosser Punkt; so dass bei einem unendlich grossen g’ der Schnitt sich als UBER DIE GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 79 eine der in §. 42. betrachteten Linien, nur in unendlicher Vergrésserung, ansehen lasst. Auch stimmt damit die dortige Bemerkung iiberein, dass die Characteristik (g') einer solchen Linie unendlich gross ist. Eintheilung der Linien der dritten Ordnung in Gattungen. §. 48. Der in §. 2. gemachten Bestimmung zu Folge sollten die Linien der dritten Ordnung nach dem Princip der Collineation in Gattungen ver- theilt werden, so dass je zwei dieser Linien, jenachdem sie einander collinear, oder nicht collmear sind, zu eierlei Gattung, oder zu ver- schiedenen gehérten. Eine Gattung wiirden hiernach die Linien, welche einen Knoten haben, ausmachen ; eine zweite Gattung die mit einer Spitze versehenen Linien. Die itbrigen Gattungen wiirden alle mit drei Wende- punkten versehenen Linien enthalten. Die Anzahl dieser Gattungen aber wiirde unendlich gross sein, da jeder Characteristik eine besondere Gattung entspriche, und die Characteristik jeden beliebigen positiven oder negativen, rationalen oder irrationalen Zahlenwerth haben und selbst unendlich gross sein kann. Wenn nun auch durch Angabe der Characteristik etwas der Linie Eigenthiimliches ausgedriickt wird, und sie dabei noch unzihlig ver- schiedene Formen haben kann, so wiirde doch eine solche Unterscheidung, wo der Uebergang von einer Gattung zur andern nach dem Gesetz der Stetigkeit durch unendlich viele andere geschihe, nicht eine Classification zu nennen sein. Unter diesen Umstinden, und wenn wir die Collineation als oberstes Eintheilungsprincip nicht aufgeben wollen, scheint es am angemessensten, folgende Bestimmung iiber die Eintheilung in Gattungen festzusetzen: dass je zwei Linien zu verschiedenen Gattungen gerechnet werden, wenn sich, ohne erst eine Messung vorzunehmen, erkennen lisst, dass sie einander nicht collinear sind. Kann man aber ohne vorher an- gestellte Messung dieses nicht erkennen, so zahle man sie zu einerlei Gattung. Dieses festgesetzt, werden nach §. 36. die Linien, welche drei Wendepunkte haben, in fiinf Gattungen zerfallen. Legen wir namlich, zunichst nur die sphirischen Linien beriicksichtigend, an die Wende- punkte einer solchen drei Beriihrungskreise, und nehmen fiirs Erste an, dass sich dieselben nicht in einem Punkte schneiden. Durch sie und 80 A. F. Mosws, durch den Wendekreis wird die Kugelfliche in acht Dreiecke und sechs Vierecke zerlegt, von denen die sechs letztern und sechs der acht erstern an den Wendekreis grenzen (§. 35 ). Zu der ersten Gattung rechne man nun alle diejenigen Linien, welche bloss aus einer sich durch die am Wendekreise liegenden sechs Dreiecke windenden Curve bestehen. Die Charakteristik g jeder dieser Linien ist grésser als 1 und von endlicher Grdsse. Kommt zu emer also geformten Curve ein isolierter Punkt hinzu, so rechne man die Linie zur zweiten Gattung; fiir sie ist g = 1. Bei Linien der dritten Gattung hat sich der isolierte Punkt zu einer isolierten Curve erweitert, und es fallt g zwischen 1 und 0. — Aus §. 36. wissen wir, dass sowohl jener Punkt und sein Gegenpunkt, als diese Curve und ihre Gegencurve, stets in den zwei nicht an den Wendekreis grenzenden Gegendreiecken zu suchen sind. Die vierte Gattung umfasst alle die Linien, welche aus einer sich durch die sechs Vierecke ziehenden Curve bestehen. Fiir diese Linien hat g einen negativen endlichen Werth. f Die fiinfte Gattung wird von den Linien gebildet, bei welchen die an die drei Wendepunkte gelegten Tangenten sich in einem Punkte schneiden, und wo g unendlich gross ist. Von diesen fiinf Gattungen kann man die zweite und die fiinfte auch bloss als Uebergangsgattungen betrachten; die zweite als den Uebergang von der ersten zur dritten; die fiinfte als den Uebergang von der vierten zur ersten Gattung, da das unendlich grosse g bei der fiinften ebensowohl positiv als negativ genommen werden kann. — Den hier nicht mit gerechneten Uebergang von der dritten zur vierten Gattung bildet ein System von drei Hauptkreisen, als in welches sich die Linie fiir g 0 verwandelt. (§. 36.) Zu diesen fiinf Gattungen von Linien mit drei Wendepunkten kom- men als sechste und siebente Gattung der Inbegriff aller der Linien, bei welchen an die Stelle zweier der drei Wendepunkte das einemal ein Knoten, das anderemal eine Spitze getreten ist. §. 49. Auf gleiche Art, wie die spharischen, miissen nun auch die ebenen Linien der dritten Ordnung in sieben Gattnngen zerfallen, und es wird leicht sein, die Merkmale anzugeben, an denen jede Gattung einzeln GBER Diz GRUNDFORMEN DER LINIEN DER DRITTEN ORDNUNG. 84 erkannt wird. Hat nimlich die zu beurtheilende Linie nur einen Wende- punkt und statt der beiden andern einen Knoten, oder eine Spitze, so echért sie im erstern Falle zur sechsten, im letztern zur siebenten Gattung. Hat sie dagegen drei Wendepunkte, so lege man an diese Punkte drei Tangenten. Schneiden sich dieselben in einem Punkte, so ist die Linie zur fiinften Gattung zu rechnen. Im entgegengesetzten Falle wird die Ebene von den drei Tangenten und von der die drei Wende- punkte verbindenden Geraden im Allgemeinen, d. h. wenn keine zwei dieser vier Geraden einander parallel sind, in zwei endliche Dreiecke, ein endliches Viereck und acht unendliche Theile zerlegt (Fig. 22.). Wird diese Figur auf die Kugel projiciert, so geben die zwei ebenen Dreiecke zwei sphirische Dreiecke und das ebene Viereck ein sphirisches Viereck; .den acht unendlichen Theilen aber entsprechen auf der Kugel abwechselnd Drei- und Vierecke, so dass an die Seiten der Dreiecke bloss Vierecke, und umgekehrt, grenzen*). Da nun eine sphirische Linie der vierten Gattung sich durch alle Vierecke windet, so wird zu derselben Gattung auch die ebene Linie zu zihlen sein, wenn ein Theil derselben innerhalb des endlichen Vierecks enthalten ist. Findet sich im Vierecke nichts von der Linie vor, so gehért sie zu einer der drei ersten Gattungen, und zwar zur zweiten, Wenn sie eimen isolierten Punkt hat; in Ermangelung desselben zur ersten, oder dritten Gattung. Um hieriiber zu entscheiden, untersuche man auf die in §. 14. angegebene Weise, ob die Linie aus einer einzigen Curve besteht, oder aus zweien zusammen- gesetzt ist. Denn im erstern Falle ist sie eine Linie der ersten, im letz- tern der dritten Gattung. Ein anderes Verfahren, um die erste und die dritte Gattung von emander zu unterscheiden, ist folgendes. Man sehe zu, ob die ebene Linie eine Curve, sie heisse 2, enthilt, welche, sich ununterbrochen (durch mit + bezeichnete, also dreieckige Réiume) fortziehend, zwei nach entgegengesetzten Richtungen sich erstreckende unendliche Aeste hat. Beim Daseim einer solchen Curve unterscheidet sich nun eine Linie der ersten Gattung von einer der dritten dadurch, dass erstere aus 2 allein besteht. Ist aber eine Curve, wie 4, nicht vorhanden, so zeichnet sich die dritte Gattung vor der ersten dadurch aus, dass sich bei ihr eine end- *) In der Figur sind die den sphirischen Drei— und Vierecken entsprechenden Riume resp. mit + und — bezeichnet. Abbandl. d. K. S. Gesellsch, d. Wissensch, I. 6 82